北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第五章 5.3 分式的加減法第2課時(shí) 異分母分式的加減法 教案

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1、第2課時(shí) 異分母分式的加減法 【教學(xué)目標(biāo)】 【知識(shí)與技能】 1.會(huì)找最簡(jiǎn)公分母，能進(jìn)行分式的通分； 2.理解并掌握異分母分式加減法的法則. 【過(guò)程與方法】 類(lèi)比同分?jǐn)?shù)加減法的法則歸納出分式的加減法法則. 【情感態(tài)度】 通過(guò)學(xué)習(xí)認(rèn)識(shí)到數(shù)與式的聯(lián)系，理解事物拓延的內(nèi)在本質(zhì)，豐富數(shù)學(xué)情感與思想. 【教學(xué)重點(diǎn)】 1．會(huì)找最簡(jiǎn)公分母，能進(jìn)行分式的通分． 2．理解并掌握異分母分式加減法的法則． 3．經(jīng)歷異分母分式的加減運(yùn)算和通分的探討過(guò)程，提高分式運(yùn)算能力． 【教學(xué)難點(diǎn)】 掌握異分母的分式加減法的運(yùn)算. 【教學(xué)過(guò)程】 一、情境導(dǎo)入 問(wèn)題1：觀察思考： (1)＋＝＋＝；

2、 (2)－＝－＝. 異分母分?jǐn)?shù)相加減，先通分，再把分子相加減． 類(lèi)比異分母分?jǐn)?shù)的加減，你能說(shuō)出異分母分式的加減法則么？ 異分母的分式相加減，先通分，化為同分母的分式，然后再按同分母分式的加減法法則進(jìn)行計(jì)算． 用字母表示為：＝＝. 問(wèn)題2：小學(xué)我們學(xué)習(xí)過(guò)異分母分?jǐn)?shù)的加減法，如＋＝＋＝，那么如何計(jì)算－呢？ 二、合作探究 探究點(diǎn)一：分式的通分 【類(lèi)型一】 最簡(jiǎn)公分母 分式與的最簡(jiǎn)公分母是________． 解析：∵x2－3x＝x(x－3)，x2－9＝(x＋3)(x－3)，∴最簡(jiǎn)公分母為x(x＋3)(x－3)． 方法總結(jié)：最簡(jiǎn)公分母的確定：最簡(jiǎn)公分母的系數(shù)，取各個(gè)分母的系數(shù)的最

3、小公倍數(shù)；字母及式子取各分母中所有字母和式子的最高次冪．“所有字母和式子的最高次冪”是指“凡出現(xiàn)的字母(或含字母的式子)為底數(shù)的冪的因式選取指數(shù)最大的”；當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，一般應(yīng)先因式分解． 【類(lèi)型二】 分母是單項(xiàng)式分式的通分 通分． (1)，； (2)，； (3)，，. 解析：先確定最簡(jiǎn)公分母，找到各個(gè)分母應(yīng)當(dāng)乘的單項(xiàng)式，分子也相應(yīng)地乘以這個(gè)單項(xiàng)式． 解：(1)最簡(jiǎn)公分母是2b2d，＝，＝； (2)最簡(jiǎn)公分母是6a2bc2，＝，＝； (3)最簡(jiǎn)公分母是10xy2z2，＝，＝，＝－. 方法總結(jié)：通分時(shí)，先確定最簡(jiǎn)公分母，然后根據(jù)分式的基本性質(zhì)把各分式的分子、分母同時(shí)乘以一

4、個(gè)適當(dāng)?shù)恼?，使分母化為最?jiǎn)公分母． 【類(lèi)型三】 分母是多項(xiàng)式分式的通分 通分． (1)，； (2)，. 解析：先把分母因式分解，再確定最簡(jiǎn)公分母，然后再通分． 解：(1)最簡(jiǎn)公分母是2a(a＋1)(a－1)， ＝， ＝； (2)最簡(jiǎn)公分母是(2m＋3)(2m－3)2， ＝，＝. 方法總結(jié)：①確定最簡(jiǎn)公分母是通分的關(guān)鍵，通分時(shí)，如果分母是多項(xiàng)式，一般應(yīng)先因式分解，再確定最簡(jiǎn)公分母；②在確定最簡(jiǎn)公分母后，還要確定分子、分母應(yīng)乘的因式，這個(gè)因式就是最簡(jiǎn)公分母除以原分母的商． 探究點(diǎn)二：異分母分式的加減法 【類(lèi)型一】 異分母分式的加減法運(yùn)算 計(jì)算： (1)－； (

5、2)＋a＋2； (3)－＋. 解析：依據(jù)分式的加減法法則，(1)、(3)中先找出最簡(jiǎn)公分母分別為(x－2)(x＋2)2、(m＋n)(m－n)，再通分，然后運(yùn)用同分母分式加減法法則運(yùn)算；(2)中把后面的加數(shù)a＋2看成分母為1的式子進(jìn)行通分． 解：(1)原式＝－ ＝－ ＝＝； (2)原式＝＝＝2a； (3)原式＝－＋＝＝. 方法總結(jié)：分母是多項(xiàng)式時(shí)，應(yīng)先因式分解，目的是為了找最簡(jiǎn)公分母以便通分．對(duì)于整式與分式的加減運(yùn)算，可以將整式的每一項(xiàng)的分母看成1，再通分，也可以把整式的分母整體看成1，再進(jìn)行通分運(yùn)算． 【類(lèi)型二】 分式的混合運(yùn)算 計(jì)算： (1)(－)； (2)(－a－

6、3)． 解：(1)原式＝[－] ＝(－)＝＝－； (2)原式＝(－) ＝ ＝ ＝－. 方法總結(jié)：對(duì)于一般的分式混合運(yùn)算來(lái)講，其運(yùn)算順序與整式混合運(yùn)算一樣，是先乘方，再乘除，最后加減，如果遇到括號(hào)要先算括號(hào)里面的．在此基礎(chǔ)上，有時(shí)也應(yīng)該根據(jù)具體問(wèn)題的特點(diǎn)，靈活應(yīng)變，注意方法． 探究點(diǎn)三：分式運(yùn)算的化簡(jiǎn)求值 【類(lèi)型一】 先化簡(jiǎn)，再根據(jù)所給字母的值求分式的值 先化簡(jiǎn)，再求值：(＋)，其中x＝1，y＝－2. 解析：化簡(jiǎn)時(shí)，先把括號(hào)內(nèi)通分，把除法轉(zhuǎn)化為乘法，把多項(xiàng)式因式分解，再約分，最后代值計(jì)算． 解：原式＝＝， 當(dāng)x＝1，y＝－2時(shí)，原式＝＝－. 方法總結(jié)：分式的化簡(jiǎn)求值

7、，其關(guān)鍵步驟是分式的化簡(jiǎn)．要熟悉混合運(yùn)算的計(jì)算順序，式子化到最簡(jiǎn)再代值計(jì)算． 【類(lèi)型二】 先化簡(jiǎn)，再選擇字母的值求分式的值 先化簡(jiǎn)，再選擇使原式有意義的數(shù)代入求值：－. 解析：先把分式化簡(jiǎn)，再選數(shù)代入，x可取除－3、0和2以外的任何數(shù)． 解：原式＝－ ＝－ ＝ ＝－. 當(dāng)x＝1時(shí)，原式＝－1.(x取除－3、0和2以外的任何數(shù)) 方法總結(jié)：取數(shù)代入求值時(shí)，要注意所選擇的值一定滿足分式分母不為0，這包括原式及化簡(jiǎn)過(guò)程中的每一步的分式都有意義． 【類(lèi)型三】 整體代入求值 已知實(shí)數(shù)a滿足a2＋2a－8＝0，求－的值． 解析：首先把分式分子、分母能因式分解的先因式分解進(jìn)行約分

8、，然后進(jìn)行減法運(yùn)算，最后整體代值計(jì)算． 解：－＝－＝－＝＝. ∵a2＋2a－8＝0，∴a2＋2a＝8，∴原式＝＝. 方法總結(jié)：利用“整體代入”思想化簡(jiǎn)求值時(shí)，先把要求值的代數(shù)式化簡(jiǎn)，然后將已知條件變換成適合所求代數(shù)式的形式，再整體代入即可． 探究點(diǎn)四：運(yùn)用分式解決實(shí)際問(wèn)題 有一客輪往返于重慶和武漢之間，第一次往返航行時(shí)，長(zhǎng)江的水流速度為a千米/小時(shí)；第二次往返航行時(shí)，正遇上長(zhǎng)江汛期，水流速度為b千米/小時(shí)(b＞a)．已知該船在兩次航行中，靜水速度都為v千米/小時(shí)，問(wèn)該船兩次往返航行所花時(shí)間是否相等，若你認(rèn)為相等，請(qǐng)說(shuō)明理由；若你認(rèn)為不相等，請(qǐng)分別表示出兩次航行所花的時(shí)間，并指出哪次

9、時(shí)間更短些？ 解析：重慶和武漢之間的路程一定，可設(shè)其為s，所用時(shí)間＝順流時(shí)間＋逆流時(shí)間，注意順流速度＝靜水速度＋水流速度；逆流速度＝靜水速度－水流速度，把相關(guān)數(shù)值代入，比較即可． 解：設(shè)兩次航行的路程都為s. 第一次所用時(shí)間為＋＝， 第二次所用時(shí)間為＋＝， ∵b＞a，∴b2＞a2， ∴v2－b2＜v2－a2， ∴＞. ∴第一次的時(shí)間要短些． 方法總結(jié)：①運(yùn)用分式解決實(shí)際問(wèn)題時(shí)，用分式表示實(shí)際問(wèn)題中的量是解決問(wèn)題的關(guān)鍵；②比較分子相同的兩個(gè)分式的大小，分母大的反而小． 三、板書(shū)設(shè)計(jì) 1．分式的通分 2．異分母分式的加減法：先通分，化為同分母分式，再按同分母分式相加減的法則

10、進(jìn)行計(jì)算． 3．分式的混合運(yùn)算：先乘方，再乘除，最后算加減，如果遇到括號(hào)要先算括號(hào)里面的． 四、教學(xué)反思 對(duì)于異分母分式相加減，注意強(qiáng)調(diào)轉(zhuǎn)化思想：通過(guò)通分，把異分母分式轉(zhuǎn)化為同分母分式，再按同分母分式相加減的法則進(jìn)行計(jì)算．對(duì)于分式混合運(yùn)算，關(guān)鍵是要注意各種運(yùn)算的先后順序，最后結(jié)果要化為最簡(jiǎn)分式．在教學(xué)中，注意培養(yǎng)學(xué)生認(rèn)真細(xì)致的學(xué)習(xí)態(tài)度，從運(yùn)算符號(hào)到通分、約分，都應(yīng)認(rèn)真對(duì)待，一絲不茍. 在授課結(jié)束后發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)于同分母的分式的加減運(yùn)算掌握得比較好，但是對(duì)于異分母的分式加減就掌握得不是很理想，很多學(xué)生對(duì)于分式的通分還很不熟練，也有學(xué)生對(duì)于計(jì)算結(jié)果應(yīng)該為最簡(jiǎn)分式理解不夠總是無(wú)法化到最簡(jiǎn)的形式，所以對(duì)異分母的加減法還要加強(qiáng)練習(xí).