含參量瑕積分一致收斂性的判定

2008年9月Sep. 2008第30卷第5期Vol.30Nd,5*山師危學(xué)Bt學(xué)按Journal ofTcmgshan Teachers College含參量瑕積分致收斂性的判定宋澤成(扈山師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與倍息科學(xué)系.河北 唐山063000)摘要：依據(jù)兩類(lèi)含參量反常積分可以互化的關(guān)系.從含參畳無(wú)窮限積分的一致收斂的判定定理出發(fā).給出了 含參瑕積分一毀收斂性的判定定理及其證明.關(guān)鍵詞$含參量瑕積分；含參量無(wú)窮限積分；一致收斂中圖分類(lèi)號(hào)：0172文Itt標(biāo)識(shí)碼：A文章編號(hào)：1009-9115(2008)05-0012-04Judgment Theorem of Consistent Astringency of Flaw IntegralContaining ParametersSONG Ze-cheng(Dq)artmcnt of Mathematics and Information Science, Tangshan Teachers College, Hebei Tangshan 063000, China)Abstract: On the base of the relation between the two abnormality integral containing parameters, the judgment theorem of consistent astringency of flaw integral containing parameters was deduced from the judgment theorem of consistent astringency infinite integral containing parameters. Some typical examples were given to illuminate the application of the obtained judgment theorem Key words: flaw integral containing parameters; infinite integral containing parameters; consistent astringency2008年9月Sep. 20082008年9月Sep. 2008現(xiàn)行的數(shù)學(xué)分析教材及文獻(xiàn)中僅給出了含參St無(wú)窮限 積分一致收斂性的判定定理忽視了含參呈瑕積分的一致收 斂性的判定，英實(shí)兩者Z間是同中有“異”的.它們?cè)跀⑹?和證明中都存在著不同之處因此弄清它們的“異”對(duì)學(xué)習(xí) 含參鳳瑕枳分是很有必要的.一、預(yù)備知識(shí)定義I在區(qū)域6卜c, N)上冇定義若對(duì)x的某些值.y = d為函& /(x, y)的瑕點(diǎn)(以F 的含參議瑕稅分未加說(shuō)期都同此).則稱(chēng)f f(x, ydy(1)為含參fit X的瑕積分定義2對(duì)任給正數(shù)總存在某正數(shù)3<d-c.便得 當(dāng)0 <耳<6時(shí).對(duì)一 ttxefa, b,都有則稱(chēng)含參g瑕枳分在a b上一致收斂二、含參*破積分一致收紋性的判別法 定理1 (柯西收斂準(zhǔn)則)含零量瑕枳分 f /(X, y)dy在a.葉上一致收斂的充耍冬件足：對(duì)任給正數(shù)存在不 依賴于x的6>Q.使得當(dāng)0時(shí).對(duì)一切xea9 b 都仃|O(x,翊 V證明：必要性由在a, 6上一致收斂.故對(duì)任 給的r>0(S<d-c.存任5>0使得OvhvqvS 時(shí).有2008年9月Sep. 20082008年9月Sep. 2008收稿H 期：2008-1-24作者簡(jiǎn)介：宋澤成(1964-).男，河北瞞海人，唐山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與信息科學(xué)系副救授. 12第30卷第2期唐山師范學(xué)院學(xué)報(bào)2008年3月宋澤成：含參量収積分一致收斂性的判定14第30卷第2期唐山師范學(xué)院學(xué)報(bào)2008年3月14第30卷第2期唐山師范學(xué)院學(xué)報(bào)2008年3月忙/X,刃對(duì)<鏟y)dy<同時(shí)成立則有|【：/(x，翊 TL/(x，yy-丄/熱咧 WI f_, /(xM卜 | 打 /(x, y匈 v e.充分性由所給條件知：對(duì)任給正數(shù)存在不依績(jī) 于x的5>0(5vd-c)便得當(dāng)0 5時(shí).對(duì)一切xea9 b9都有令y->o>則有由定義2尬 含簽竝瑕積分(y(a9 6一致收斂.注根據(jù)含參址琨積分f /(X, y)dy一致收斂的柯西收斂準(zhǔn)則，我們可以給出其非一致收斂的充 姿條件，30 >0.對(duì)5>o(5vd-c) 3)v帀<%<<? 3x0 e a, b有定理2(爾斯待拉斯M判別法)設(shè)右函數(shù)g(j).使|/(x,y)|Wg(y),aWxWb,cWy<d(3)若fgOMr收斂則含參11瑕積分/(x, y)dy在a,b上一致收斂證明：因?yàn)間(y)dy收斂所以由瑕枳分的柯西收 斂原理知：對(duì)于任給的>0.存在5>0(5<d-c)對(duì) 于任怠的久rjf RO <rj9 <tj <6 有化；g(yW v 又宙(3)可御I j： /(x，翊 wf：g(y)dy<.故由定理I知:含參穴瑕積分f /(xf y)dy在估可上 一致收斂.定理3 (Heine歸結(jié)原則)含參fit瑕積分f /(x, y)dy 在a, b 一致收飲的充要條件是：對(duì)任滋遞增數(shù)列 名細(xì)1=6 4亠(卄6)時(shí),相應(yīng)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)Z廣/a，刃矽=gm)在b，M上一致收斂.證明：必耍性因?yàn)?1旺0切上一致收斂，由定理 1知對(duì)任給的>0 .必存在5>0(5v-c)當(dāng) Q<rjf <rj <6時(shí)對(duì)切xea9 b總有| 打/(X,刃列 <(5)成立.令% = d_ A由人Td(M ->+00)且&遞堆 則->0(n->ao)且遞減.由數(shù)列極限定義.對(duì)上述 6>Q9存在正整數(shù)N.只要m>n>N時(shí)，就有 < v %, v 5 于是k(x)+>i(x)+(x)l-f/(X,刃妙+ +/(X, y)dy=廣/(*，7剛根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)柯西一致收斂準(zhǔn)則函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(4)在 a, 6上一致收斂.充分性用反證法備設(shè)在a, b上非一致收魚(yú) 則存在臬一正數(shù)Q >0,使甜對(duì)于 存在相用的0 <rf<7<&和有:/(x； A匈二如現(xiàn)取=minl,J-c.則存在0<仍5<&及 Xi e a,Z> 使得般地取氏=min丄.-久(mW2)則有 n(斗，刃如令令則兒是遞堆數(shù)列且有 limAnd.夸察級(jí)效用十 800mi/ii n由(6)式知存在正數(shù)。>0對(duì)任戀正整數(shù)N.只要 n> N StWM 個(gè) x”wa，M使廣 fxyy)dy *這與函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)(4)在上上一致收斂的條件矛盾.故 在肚”上一致收斂.定理4 (軟利克雷判別法) 若含參量瑕稅分滿足:<i)對(duì)一切c<(f<d.含參量正常枳分f fx.y)dy 對(duì)ttx在a,b上一致有界.即存在正數(shù)M.對(duì)任何 c <d < d 及一切xea,h> 有 | f(x9y)dy |A/ (ii)對(duì)毎一個(gè)xea9b.函數(shù)g(x)關(guān)于y單調(diào)且 當(dāng)yd時(shí).對(duì)參ttx. g(x,y) 致收斂于0.則含參H 瑕積f/(x)g(x,刃妙在a,b上一致收敘.證明：由(i)可知：對(duì)一切c <d-rj <d及一切 xea.b.存在正數(shù)M>0有|f7(x,y)pA/()由條件(ii)可知：對(duì)任意的>0,存在與X無(wú)關(guān)的5>0(5<d-c)，使得當(dāng)0 v礦 v5且d時(shí).對(duì)于任意xea,b.有亦惦令從而當(dāng)0 <耳5<時(shí).由積分中值定理和(8)、 可以得到I /(x,y)g(x,刃創(chuàng)=|g(x,d -f/(小嗆卜|g(x,d-“)|f"/(x,y)創(chuàng)-其中在d-rf和d-h之間.故由定理】知含參債瑕枳分f(x9y)g(x9y)(fy在a，M上_致收斂. 定理5 (阿貝爾判別法)若含參益瑕枳分f(xty)g(xfy)(fy滿足：含參辭?積分f(xty)dy在a,b上一致收斂;(ii)對(duì)每一個(gè)xep9bf函數(shù)g(x,y)為y的單調(diào)函 數(shù).且對(duì)參fitx. g(xfy)在a,"上一致有界，則含翁址 瑕枳分刃 g(x,咖在a,b上一致收斂.證明：由(ii)知存莊M>0對(duì)參址有|g(x,y)MM(10)因?yàn)楹涛蓁Χ惙諮/ f(x9y)dy在a,”上一致收 斂.所以由定理1知：時(shí)任給的>0存在與X無(wú)關(guān)的 5>0(5vd-c)使得 0時(shí).有篇/(和)呦芍(故對(duì)任意x wab,由枳分中值定理和(10).(11)可得： | 篇/3)g(x，訓(xùn)0x0-鬭/(羽翊+跑d 初|7(1 刈= 2e M M其中在d_rj和d-礦之間故由定理I知含參就瑕積分f(x.y)g(x9y)dy在 %上一致收斂.定理6設(shè)f(x9y)在匕”卜卜皿)上連續(xù).對(duì)任何 *a,b), f/(x,刃妙收斂，R 7。刃妙發(fā)散，則 f f(x9y)dy在證小)上不一致收斂.證明：用反證法若ff(x9y)dy在肚力上一致收斂. 由柯西收敘準(zhǔn)則：對(duì)任給的。>0,存在5>0(5vdY)當(dāng) 0<”<帀<5時(shí).對(duì)一切xwa,b)有忙:/Xx,刃<根據(jù)假設(shè)/(X)在血卜-幾“刊上連續(xù)，對(duì)含 參宣正常枳分血用連續(xù)性定理，令XTbS有|篇刃妙I(lǐng)".這與所設(shè)含參尼瑕枳分f f(b9y)dy發(fā)散相矛氐 故14三、典型例題宋澤成：含泰童瑕積分一致收斂性的判定易證（12）、（13）右瑞的函效在區(qū)間（0,1）和（1,2）上的枳分收斂，所以由定理2知例題1證明含妙址瑕枳分舟空（X （0,1）空一在-2-2）2上一致收斂.例麵3證明含倉(cāng)fit瑕枳分|n（xy）dy在（b>l）上一致收斂.證明：由條件可知|ln(xy)| = |lnx + lnj| |lnx| + |ln| W nb-ny故對(duì)于任給的>0取久=占4當(dāng)0<巾<4時(shí).即右因此.對(duì)于0 vxv 1它是一致收斂的 對(duì)于枳分上而（Inb-Iny）妙收斂所以由定理2知（In（矽沏在*,> 1）上一致收斂.例JS 4判別含妙員瑕積分（Asin丄和在開(kāi)區(qū)何由于收對(duì)于任給的>C9取當(dāng)0<T<時(shí), 即有J嚴(yán)乎工彳< （0, 2）是否一致收斂解：因?yàn)?Lsin丄妙發(fā)散，所以由定理6知 （厶血丄妙在開(kāi)區(qū)何（0, 2）非一致收斂.:例題5證明含參H琨枳分致收斂在（0. d上一因此.對(duì)于0vx< 1它是一致收斂的于是枳分對(duì)于Vx （0,1）上一致收斂.JF司例JH2證明含參fit瑕積分才dy_時(shí)心 IX，-2)2 VxeO,| _致收效.證明：易見(jiàn)嚴(yán)h嚴(yán)2是瑕點(diǎn).將積分分成在（0,1）及（I.2）上的兩個(gè)積分當(dāng)0<嚴(yán)1且X 0,0.5時(shí).有證明:由于于Cfy收斂（當(dāng)然，對(duì)于參<ix,它在0, d上收斂）.函數(shù)對(duì)每個(gè)xw（o,d單調(diào). 且對(duì)任何 0 M x S d.O My S1 都 W|g（x,y）| = ”門(mén) S1 故由定理5知ev-dy在0, d）上一致收斂.(12)(1-莎 U-2)亍當(dāng)|vy<2且xg 0,0.5時(shí)有42心-lXD?<(I-卯 O-2)>(13)參考文獻(xiàn)11華東師大數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)X第三版）M北京高 等敎育M版社2001華東師大數(shù)學(xué)系數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)X第三版）【"北京:離 等教育出版社.2001.3劉玉璉，傅沛仁數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)X第三版）M北京:高等 教育出版社992（4陳紀(jì)修於崇華數(shù)學(xué)分析（下冊(cè)X第二版）（M.北京:高尊教 育出版社J988.（責(zé)任編輯.校對(duì)：陳景林）