【志鴻優(yōu)化設計】（山東專用）2014屆高考數(shù)學一輪復習 第九章解析幾何9.2點與直線、直線與直線的位置關系教學案 理 新人教A版

9.2點與直線、直線與直線的位置關系考綱要求1能根據(jù)兩條直線的斜率判定這兩條直線平行或垂直2能用解方程組的方法求兩條相交直線的交點坐標3掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式，會求兩條平行直線間的距離1兩直線的位置關系平面內兩條直線的位置關系包括平行、相交、重合三種情況(1)兩直線平行對于直線l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，l1l2_.對于直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2_.(2)兩直線垂直對于直線l1：yk1xb1，l2：yk2xb2，l1l2k1k2_.對于直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2_.2兩直線的交點設直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，將這兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組若方程組有唯一解，則l1與l2_，此解就是兩直線交點的坐標；若方程組無解，則l1與l2_；若方程組有無數(shù)個解，則l1與l2_.3有關距離(1)兩點間的距離平面上兩點P1(x1，y1)，P2(x2，y2)間的距離|P1P2|_.(2)點到直線的距離平面上一點P(x0，y0)到一條直線l：AxByC0的距離d_.(3)兩平行線間的距離已知l1，l2是平行線，求l1，l2間距離的方法：求一條直線上一點到另一條直線的距離；設l1：AxByC10，l2：AxByC20，則l1與l2之間的距離d_.4對稱問題(1)中點坐標公式設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則線段AB的中點坐標為_(2)中心對稱若點M(x1，y1)及N(x，y)關于P(a，b)對稱，則由中點坐標公式得_(3)軸對稱若兩點P1(x1，y1)與P2(x2，y2)關于直線l：AxByC0對稱，則線段P1P2的中點在對稱軸l上，而且連接P1，P2的直線垂直于對稱軸l.由方程組可得到點P1關于l對稱的點P2的坐標(x2，y2)(其中A0，x1x2)1過點(1,0)且與直線x2y20平行的直線方程是()Ax2y10 Bx2y10C2xy20 Dx2y102已知點P在直線x2y5上，且點Q(1,1)，則|PQ|的最小值為()A B C D3若直線axy50與x2y70垂直，則a的值為()A2 B C2 D4若三條直線2x3y80，xy10和xby0相交于一點，則b()A1 B C2 D5與直線7x24y50平行，并且到它的距離為4的直線方程是_一、兩直線的平行【例1】直線l1：2x(m1)y40與直線l2：mx3y20平行，則m的值為()A2 B3C2或3 D2或3方法提煉1判定兩直線平行的方法：(1)判定兩直線的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1k2，且b1b2，則兩直線平行；若斜率都不存在，還要判定是否重合(2)直接用以下方法，可避免對斜率是否存在進行討論：設直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1B2A2B10且B1C2B2C10.2與直線AxByC0平行的直線方程可設為AxBym0(mC)，這也是經(jīng)常采用的解題技巧請做演練鞏固提升2二、兩直線的垂直【例2】若直線x2y50與直線2xmy60互相垂直，則實數(shù)m_.方法提煉1判定兩直線垂直的方法：(1)判定兩直線的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1k21，則兩直線垂直；若一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率為0，兩直線也垂直(2)直接用以下方法，可避免對斜率是否存在進行討論：設直線l1：A1xB1yC10，l2：A2xB2yC20，l1l2A1A2B1B20.2與AxByC0垂直的直線方程可設為BxAym0，這也是經(jīng)常采用的解題技巧請做演練鞏固提升1三、距離公式的應用【例3】已知點A(2，1)，(1)求過點A且與原點距離為2的直線l的方程；(2)求過點A且與原點距離最大的直線l的方程，最大距離是多少？(3)是否存在過點A且與原點距離為6的直線？若存在，求出方程；若不存在請說明理由方法提煉運用點到直線的距離公式時，需把直線方程化為一般式；運用兩平行線的距離公式時，需先把兩平行線方程中x，y的系數(shù)化為相同的形式請做演練鞏固提升4四、對稱問題【例4】已知直線l1：2x3y10，點A(1，2)求：(1)點A關于直線l1的對稱點A的坐標；(2)直線m：3x2y60關于直線l1的對稱直線l2的方程；(3)直線l1關于點A對稱的直線l3的方程方法提煉1在對稱問題中，點關于直線的對稱是最基本也是最重要的對稱處理這種問題關鍵是抓住垂直與平分兩個幾何條件，轉化為代數(shù)關系列方程求解；線關于線的對稱問題，可以轉化為點關于直線的對稱問題來解決；直線關于點的對稱可轉化為點關于點的對稱來處理，結合“代入法”求軌跡方程的思想方法解題也是這類問題的一個通法2求與距離有關的最值問題，一般是通過作圖，轉化為對稱問題加以解決請做演練鞏固提升3直線中的新概念問題【典例】在平面直角坐標系中，設點P(x，y)，定義OP|x|y|，其中O為坐標原點對于以下結論：符合OP1的點P的軌跡圍成的圖形的面積為2；設P為直線x2y20上任意一點，則OP的最小值為1；其中正確的結論有_(填上你認為正確的所有結論的序號)解析：根據(jù)新定義，討論x的取值，得到y(tǒng)與x的分段函數(shù)關系式，畫出分段函數(shù)的圖象，即可求出該圖形的面積；認真觀察直線方程，可舉一個反例，得到OP的最小值為1是假命題由OP1，根據(jù)新定義得：|x|y|1，上式可化為：yx1(0x1)，yx1(1x0)，yx1(1x0)，yx1(0x1)，畫出圖象如圖所示：根據(jù)圖形得到：四邊形ABCD為邊長是的正方形，所以面積等于2，故正確；當點P為時，OP|x|y|01，所以OP的最小值不為1，故錯誤；所以正確的結論有：.答案：答題指導：1本題有以下兩處創(chuàng)新點(1)考查內容的創(chuàng)新，使解析幾何問題與函數(shù)知識巧妙結合進行考查(2)考查對新定義、新概念的理解與運用，同時考查思維的創(chuàng)新，本題考查了學生的發(fā)散思維，思維方向與習慣思維不同2解決新概念、新定義的創(chuàng)新問題時，要注意以下幾點：(1)充分理解概念、定理的內涵與外延；(2)對于新概念、新結論要具體化，舉幾個具體的例子，代入幾個特殊值；(3)注意新概念、新結論正用怎樣，逆用又將如何，變形將會如何1與直線3x4y10垂直且過點(2,1)的直線l的方程為_2直線xay30與直線ax4y60平行的充要條件是a_.3如圖，已知A(4,0)，B(0,4)，從點P(2,0)射出的光線被直線AB反射后，再射到直線OB上，最后經(jīng)OB反射回到P點，則光線經(jīng)過的路程是_4若P(a，b)在直線xy10上，求的最小值5(1)在直線l：3xy10上求一點P，使得P到A(4,1)和B(0,4)的距離之差最大；(2)在直線l：3xy10上求一點Q，使得Q到A(4,1)和C(3,4)的距離之和最小參考答案基礎梳理自測知識梳理1(1)k1k2且b1b2A1B2A2B10且B1C2B2C10(2)1A1A2B1B202相交平行重合3(1)(2)(3)4(1)(2)基礎自測1A解析：所求直線與直線x2y20平行，所求直線的斜率為，方程為y0(x1)，即x2y10.2D解析：根據(jù)題意知，|PQ|的最小值為點Q到直線x2y5的距離根據(jù)點到直線的距離公式，得.3A解析：兩直線垂直，a11(2)a20.a2.4B解析：解方程組得三條直線交于點(1，2)12b0，即b.57x24y950或7x24y1050解析：設所求直線方程為7x24yc0，則d4，c95或c105.所求直線方程為7x24y950或7x24y1050.考點探究突破【例1】C解析：(方法一)當m1時，l1：2x40，l2：x3y20，顯然l1與l2不平行；當m1時，因為l1l2，所以應滿足且，解得m2或m3.(方法二)若l1l2，需23m(m1)0，解得m3或m2.當m3或2時，2(m1)120.m3或2為所求【例2】1解析：(方法一)當m0時，l1：x2y50，l2：2x60不垂直；當m0時，因為l1l2，則1，則m1.(方法二)若l1l2，則12(2)m0.m1.【例3】解：(1)由過點A的直線l與原點距離為2，而點A的坐標為(2，1)，可知當斜率不存在時，直線l的方程為x2，此時，原點到直線l的距離為2，符合題意；當斜率存在時，設直線l的方程為y1k(x2)，即kxy2k10，由已知得2，解得k，此時直線l的方程為3x4y100，綜上可知：直線l的方程為x2或3x4y100.(2)過點A與原點O距離最大的直線是過點A與AO垂直的直線，由lAO，得klkOA1，所以kl2.由直線的點斜式得y12(x2)，即2xy50，即直線2xy50是過點A且與原點距離最大的直線l的方程，最大距離是.(3)由(2)可知，過點A不存在到原點距離超過的直線，因此不存在過點A且與原點距離為6的直線【例4】解：(1)設A(x，y)，由已知得解得故A.(2)在直線m上取一點，如M(2,0)，則M關于l1的對稱點必在l2上設對稱點為M(a，b)，則由得M.設m與l1的交點為N，由得N(4,3)又l2過N點，由兩點式得直線l2的方程為9x46y1020.(3)(方法一)在l1：2x3y10上任取兩點，如M(1,1)，N(4,3)則M，N關于點A的對稱點M，N均在直線l3上易知M(3，5)，N(6，7)，由兩點式可得l3的方程為2x3y90.(方法二)l1l3，可設l3的方程為2x3yc0(c1)點A到兩直線的距離相等，由點到直線的距離公式得，得c9，l3的方程為2x3y90.(方法三)設P(x，y)是l3上任一點，則P(x，y)關于點A(1，2)的對稱點為P(2x，4y)P在直線l1上，2(2x)3(4y)10.整理得2x3y90.演練鞏固提升14x3y50解析：(方法一)易知直線l的斜率存在，設直線l的斜率為k，l與直線3x4y10垂直，k.又直線l過點(2,1)，所以直線l的方程為y1(x2)，即4x3y50.(方法二)設直線l的方程為4x3yc0，由l過點(2,1)，4231c0，c5.直線l的方程為4x3y50.22解析：直線xay30與直線ax4y60平行a24且a2.32解析：P關于直線AB：xy4的對稱點P1(4,2)，P關于y軸的對稱點P2(2,0)，則|P1P2|2為所求4解：，可看成是點P(a，b)與點(1,1)之間的距離又點P是直線xy10上任一點，即是點(1,1)與直線xy10上任一點之間的距離因此，點(1,1)到直線xy10的距離即是的最小值由于點(1,1)到直線xy10的距離為d，故的最小值為.5解：(1)如圖甲所示，設點B關于l的對稱點為B，連接AB并延長交l于P，此時的P滿足|PA|PB|的值最大圖甲設B的坐標為(a，b)，則kBBkl1，即31.a3b120.又由于線段BB的中點坐標為，且在直線l上，310，即3ab60.聯(lián)立，解得a3，b3，B(3,3)于是AB的方程為，即2xy90.解方程組得即l與AB的交點坐標為P(2,5)(2)如圖乙所示，設C關于l的對稱點為C，連接AC交l于點Q，此時的Q滿足|QA|QC|的值最小圖乙設C的坐標為(x，y)，解得C.由兩點式得直線AC的方程為，即19x17y930.解方程組得所求點Q的坐標為.8