《人教高中數(shù)學選修2-1 第二章 2.2.1橢圓的定義與標準方程》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《人教高中數(shù)學選修2-1 第二章 2.2.1橢圓的定義與標準方程（36頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、引例： 若取一條長度一定且沒有彈性的細繩，把它若取一條長度一定且沒有彈性的細繩，把它的兩端都固定在圖板的同一點處，套上鉛筆，拉的兩端都固定在圖板的同一點處，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，這時筆尖畫出的軌跡是什么緊繩子，移動筆尖，這時筆尖畫出的軌跡是什么圖形？圖形？圓的定義：平面內(nèi)到定點的距離等于定長的點的軌跡是圓222)()(rbyax探究：若將細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在若將細繩的兩端拉開一段距離，分別固定在圖板上不同的兩點圖板上不同的兩點F1、F2處，并用筆尖拉處，并用筆尖拉緊繩子，再移動筆尖一周，這時筆尖畫出的緊繩子，再移動筆尖一周，這時筆尖畫出的軌跡是什么圖形呢軌跡是什么圖形呢？
2、思考：如何定義橢圓？F1F2xy0p 如何定義橢圓?圓的定義: 平面上到定點的距離等于定長 的點的集合叫圓.橢圓的定義: 平面上到兩個定點F1, F2的距離之和為固定值(大于| F1F2 |)的點的軌跡叫作橢圓.1、橢圓的定義：1F2FM 平面內(nèi)到兩個定點F1、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓。 這兩個定點叫做橢圓的這兩個定點叫做橢圓的焦點焦點，兩焦點間的距離，兩焦點間的距離叫做橢圓的叫做橢圓的焦距焦距。cFF221為橢圓時,022ca2 2a aMMF FMMF F2 21 133常數(shù)要常數(shù)要大于大于焦距焦距 22動點動點 M M 與兩個定點與兩個定點F F1 1
3、和和F F2 2的距離的和是的距離的和是常數(shù)常數(shù) 11平面內(nèi)平面內(nèi)-這是大前提這是大前提 1. 改變兩圖釘之間的距離，使其與改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？2繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？ 1. 改變兩圖釘之間的距離，使其與改變兩圖釘之間的距離，使其與繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？繩長相等，畫出的圖形還是橢圓嗎？2繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？繩長能小于兩圖釘之間的距離嗎？ 回憶圓標準方程推導步驟 求動點軌跡方程的一般步驟：求動點軌跡方程的一般步驟：1、建立適當?shù)淖鴺讼?，用有序?qū)崝?shù)對、建立適當?shù)淖鴺讼担?/p>
4、用有序?qū)崝?shù)對（x,y）表示曲線上任意一點）表示曲線上任意一點M的坐標的坐標;2、寫出適合條件、寫出適合條件 P（M） ;3、用坐標表示條件、用坐標表示條件P（M），列出方程），列出方程 ; 4、化方程為最簡形式。、化方程為最簡形式。結論結論：若把繩長記為若把繩長記為2a，兩定點間，兩定點間的距離記為的距離記為2c(c0).（1）當）當2a2c時，軌跡是時，軌跡是 ；（2）當）當2a=2c時，軌跡時，軌跡 是是 ； （3）當）當2a0)，則F1、F2的坐標分別是(c,0)、(c,0) . P與F1和F2的距離的和為固定值2a(2a2c) （問題：下面怎樣（問題：下面怎樣化簡化簡？）？）aPFPF
5、2|21222221)(| ,)(|ycxPFycxPFaycxycx2)()(2222由橢圓的定義得，限制條件由橢圓的定義得，限制條件：由于由于得方程得方程222222bayaxb 22ba兩邊除以兩邊除以 得得).0(12222babyax設所以即,0,2222cacaca),0(222bbca由橢圓定義可知由橢圓定義可知整理得整理得2222222)()(44)(ycxycxaaycx 222)(ycxacxa 2222222222422yacacxaxaxccxaa 兩邊再平方，得兩邊再平方，得)()(22222222caayaxca移項，再平方移項，再平方橢圓的標準方程剛才我們得到了焦
6、點在x軸上的橢圓方程，如何推導焦點在y軸上的橢圓的標準方程呢？（問題：下面怎樣（問題：下面怎樣化簡化簡？）？）aPFPF2|21222221)(| ,)(|cyxPFcyxPFacyxcyx2)()(2222由橢圓的定義得，限制條件由橢圓的定義得，限制條件：由于由于得方程得方程aycxycxx2)()(2222軸焦點在).0(12222babyaxOXYF1F2M(-c,0)(c,0)YOXF1F2M(0,-c)(0 , c)0(12222babyax)0(12222babxay 橢圓的標準方程的特點：（1）橢圓標準方程的形式：左邊是兩個分式的平方和，右邊是1（2）橢圓的標準方程中三個參數(shù)a、
7、b、c滿足a2=b2+c2。（3）由橢圓的標準方程可以求出三個參數(shù)a、b、c的值。（4）橢圓的標準方程中，x2與y2的分母哪一個大，則焦點在哪一個軸上。2222+=1 0 xyabab2222+=1 0 xyabba分母哪個大，焦點就在哪個軸上分母哪個大，焦點就在哪個軸上222=+abc平面內(nèi)到兩個定點平面內(nèi)到兩個定點F1，F(xiàn)2的距離的和等的距離的和等于常數(shù)（大于于常數(shù)（大于F1F2）的點的軌跡）的點的軌跡12- , 0 , 0，F(xiàn)cFc120,-0,，F(xiàn)cFc標準方程標準方程不不 同同 點點相相 同同 點點圖圖 形形焦點坐標焦點坐標定定 義義a、b、c 的關系的關系焦點位置的判斷焦點位置的判
8、斷 再認識！再認識！xyF1 1F2 2POxyF1 1F2 2PO三、例題分析三、例題分析543(-3,0)、(3,0)6x例例1. .已知橢圓方程為已知橢圓方程為 ,則則(1)a= , b= , c= ; (2)焦點在焦點在 軸上軸上,其焦點坐標為其焦點坐標為 , 焦距為焦距為 。 (3)(3)若橢圓方程為若橢圓方程為 , , 其焦點坐標為其焦點坐標為 . . 2212516xy1251622 yx(0,3)、(0,-3)例例2.求下列橢圓的焦點坐標，以及橢圓上求下列橢圓的焦點坐標，以及橢圓上每一點到兩焦點距離的和。每一點到兩焦點距離的和。14) 1 (22 yx154)2(22yx434
9、)3(22 yx解：解：橢圓方程具有形式橢圓方程具有形式12222byax其中其中1, 2ba因此因此31422bac兩焦點坐標為兩焦點坐標為)0 , 3(),0 , 3(橢圓上每一點到兩焦點的距離之和為橢圓上每一點到兩焦點的距離之和為42 a例例1橢圓的兩個焦點的坐標分別是（橢圓的兩個焦點的坐標分別是（4，0）（4，0），橢圓上一點），橢圓上一點P到兩焦點距離之和等于到兩焦點距離之和等于10，求橢圓的標準方程。求橢圓的標準方程。 1 12 2yoFFMx.解：解： 橢圓的焦點在橢圓的焦點在x軸上軸上設它的標準方程為設它的標準方程為: 2a=10, 2c=8 a=5, c=4 b2=a2c2=
10、5242=9所求橢圓的標準方程為所求橢圓的標準方程為 ) 0( 12222babyax192522yx求橢圓的標準方程求橢圓的標準方程（1）首先要）首先要判斷判斷類型，類型，（2）用）用待定系數(shù)法待定系數(shù)法求求ba,橢圓的定義橢圓的定義a2=b2+c2例例2 2. .已已知知橢橢圓圓的的兩兩個個焦焦點點坐坐標標分分別別為為（- - 2 2，0 0），5 53 3（2 2，0 0）并并且且經(jīng)經(jīng)過過點點（， - -），求求它它的的標標準準方方程程. .2 22 22 22 22 22 2解解 : :因因為為橢橢圓圓的的焦焦點點在在x x軸軸上上，所所以以設設它它的的標標準準方方程程為為x xy y
11、+ += =1 1( (a a b b 0 0) ). .a ab b2 22 22 22 22 22 22 2由由橢橢圓圓的的定定義義知知5 53 35 53 32 2a a = =+ + 2 2+ + - -+ +- -2 2+ + - -= = 2 2 1 10 02 22 22 22 2所所以以a a = =1 10 0. .又又因因為為c c = = 2 2, ,所所以以b b = = a a - -c c = =1 10 0 - -4 4 = = 6 6. .22222222因因此此，所所求求橢橢圓圓的的標標準準方方程程為為xyxy+=1.+=1.106106求橢圓標準方程的解題步
12、驟：求橢圓標準方程的解題步驟：（1）確定焦點的位置；）確定焦點的位置；（2）設出橢圓的標準方程；）設出橢圓的標準方程；（3）用待定系數(shù)法確定）用待定系數(shù)法確定a、b的值，的值， 寫出橢圓的標準方程寫出橢圓的標準方程.1 1 1 11 1變變式式引引申申：求求焦焦點點在在y y軸軸上上，且且經(jīng)經(jīng)過過點點A A( (, ,) )、B B( (0 0, ,- -) )的的3 3 3 32 2橢橢圓圓的的標標準準方方程程. . 2 22 22 22 22 22 2y yx x解解 ： 設設 所所 求求 橢橢 圓圓 的的 方方 程程 為為+ += = 1 1 , ,a ab b1 11 11 1將將 A
13、 A ( (, ,) ) , , B B ( ( 0 0 , , - -) ) 代代 入入 得得 ：3 33 32 22 22 21 11 13 33 3+ += = 1 12 22 2a ab b, ,2 21 1- -2 2= = 1 12 2a a1 12 2a a= =, ,4 4解解 得得 ：1 12 2b b= =. .5 5y yx x故故 所所 求求 橢橢 圓圓 的的 標標 準準 方方 程程 為為+ += = 1 1 . .1 11 14 45 5？思考一個問題思考一個問題:把把“焦點在焦點在y軸上軸上”這句話去掉，怎么辦？這句話去掉，怎么辦？2222xyxy例例3.3.若若+
14、=1,+=1,表表示示焦焦點點在在x x軸軸上上的的橢橢圓圓，則則mnmnm,nm,n滿滿足足什什么么條條件件，并并指指出出焦焦點點坐坐標標. .2222xyxy解解：若若+=1+=1表表示示焦焦點點在在x x軸軸上上的的橢橢圓圓，則則mnmnmn0,mn0,且且c =m-n,c =m-n,所所以以，焦焦點點坐坐標標為為( m-n,0),(- m-n,0).( m-n,0),(- m-n,0).2 22 2變變式式引引申申: :若若焦焦點點在在y y軸軸上上；如如果果不不指指明明在在哪哪個個坐坐標標軸軸上上；若若mmx x + +n ny y = =1 1表表示示橢橢圓圓，mm, ,n n應應
15、滿滿足足什什么么條條件件. .2222(3)(3)若若mx +ny =1mx +ny =1表表示示橢橢圓圓, ,則則m0,n0m0,n0且且mmn,n,當當mn0mn0，表表示示焦焦點點在在y y軸軸上上的的橢橢圓圓；當當nm0nm0，表表示示焦焦點點在在x x軸軸上上的的橢橢圓圓. .2 22 2x xy y解解：( (1 1) )若若+ += =1 1表表示示焦焦點點在在y y軸軸上上的的橢橢圓圓，則則mmn nn n mm 0 0, ,且且c c = =n n- -mm, ,所所以以，焦焦點點坐坐標標為為( (0 0, , n n- -mm) ), ,( (0 0, ,- - n n-
16、-mm) ). .2 22 2x xy y( (2 2) )若若+ += =1 1表表示示橢橢圓圓, ,則則mm 0 0, ,n n 0 0且且mmn n. .mmn n例3 已知橢圓經(jīng)過兩點 ,求橢圓的標準方程 3 5(, )( 3, 5)2 2與221(0,0,)xymnmnmn1)5()3(1)25()23(2222nmnm10, 6nm221610 xy解：設橢圓的標準方程則有 ，解得 所以，所求橢圓的標準方程為2 22 2分分析析：點點P P在在圓圓x x + +y y = =4 4上上運運動動, ,點點P P的的運運動動引引起起點點MM的的運運動動. .我我們們可可以以由由MM為為
17、線線段段P PD D的的中中點點得得到到點點MM與與點點P P坐坐標標之之間間的的關關系系式式, ,并并由由點點P P的的坐坐標標滿滿足足圓圓的的方方程程得得到到點點MM的的坐坐標標所所滿滿足足的的方方程程. .2 22 2例例4 4. .在在圓圓x x + +y y = =4 4上上任任取取一一個個點點P P，過過點點P P作作x x軸軸的的垂垂線線P PD D，D D為為垂垂足足. .當當點點P P在在圓圓上上運運動動時時，線線段段P PD D的的中中點點M M的的軌軌跡跡是是什什么么? ?為為什什么么? ?0 00 00 00 02 22 20 00 02 22 20 00 00 00
18、02 22 22 22 2解解 : : 設設點點的的坐坐標標為為( (x x, ,y y) ), ,點點的的坐坐標標為為( (x x , ,y y ) ), ,則則y yx x = = x x , ,y y = =. .2 2因因為為點點( (x x , ,y y ) )在在圓圓x x + + y y = = 4 4上上，所所以以x x + + y y = = 4 4. .把把x x = = x x, ,y y = = 2 2y y代代入入方方程程, ,得得x x + +4 4y y = = 4 4, ,即即x x+ + y y = =1 1. .4 4所所以以點點的的軌軌跡跡是是一一個個橢橢
19、圓圓. .2 22 2變變式式引引申申：已已知知圓圓x x + +y y = = 9 9, ,從從這這個個圓圓上上任任意意一一點點P P向向x x軸軸作作垂垂線線P PP P ，點點M M在在P PP P 上上, ,并并且且P PM M = = 2 2M MP P , , 求求點點M M的的軌軌跡跡00000 000000000000 000002222000022222 22 2解解：設設點點MM的的坐坐標標為為(x,y),(x,y),點點P P的的坐坐標標為為(x ,y )(x ,y )，則則點點P P 的的坐坐標標為為(x ,0).(x ,0).由由PM=2MPPM=2MP得得：(x-x
20、 ,y-y )=2(x -x,-y)(x-x ,y-y )=2(x -x,-y)，即即x-x =2(x -x)x-x =2(x -x), ,y-y =2(-y)y-y =2(-y)即即x = x,y =3y.x = x,y =3y.P(x ,y )P(x ,y )在在圓圓x +y =9x +y =9上上, ,代代入入得得x +9y =9x +9y =9，x x即即+y =1,+y =1,點點MM的的軌軌跡跡是是一一個個橢橢圓圓. .9 9211222132661251632xyFFFFMMFMFMxyPP+=+=+=22121.已知橢圓方程為，則這個橢圓的焦距為（ ）23 (A)6 (B)3
21、(C)3 5 (D)6 52. 、 是定點，且，動點 滿足， 則點 的軌跡是（ ） (A)橢圓 (B)直線 (C)圓 (D)線段3.已知橢圓上一點 到橢圓一個焦點的距離 為，則 到另一焦點的距離為（ ） (A) (B)37 (C)5 (D)變式題組一變式題組一2149xkyykxymmxyFF+=2222212 1.如果方程+=1表示焦點在 軸上的橢圓， 那么實數(shù) 的取值范圍是（ ） (A)（0，+） (B)（0，2） (C)（1，+） (D)（0，1） 2.橢圓+=1的焦距是2，則實數(shù) 的值是（ ）4 (A)5 (B)8 (C)3或5 (D)3 3.已知 、是橢圓的251 FABABFD2兩
22、個焦點，過的直線與橢圓交于 、 兩點，則的 周長為（ ） (A)8 6 (B)20 (C)24 (D)28變式題組二變式題組二1、方程、方程10332222yxyx表示表示_。2、方程、方程表示表示_。6332222yxyx10332222yxyx3、方程、方程表示表示_。4、方程、方程的解是的解是_。10434322xx2 22 21 12 2x xy y1 1. .如如果果橢橢圓圓+ += =1 1上上一一點點P P到到焦焦點點F F的的距距離離等等于于6 6，那那么么點點P P到到1 10 00 03 36 6另另一一焦焦點點F F的的距距離離是是（）. .2 22 2x xy y2 2
23、. .橢橢圓圓+ += =1 1的的焦焦點點坐坐標標是是( () ). .mm- -2 2mm+ +5 5A A. .( ( 7 7, ,0 0) )B B. .( (0 0, , 7 7) )C C. .( (7 7, ,0 0) )D D. .( (0 0, ,7 7) )2 22 22 22 22 22 22 22 25 53 33 3. .兩兩個個焦焦點點的的坐坐標標是是( (- -2 2, ,0 0) ), ,( (2 2, ,0 0) ), ,且且經(jīng)經(jīng)過過點點P P( (, ,- -) )的的橢橢圓圓方方程程2 22 2是是( () ). .x xy yy yx xA A. .+
24、+= =1 1B B. .+ += =1 11 10 06 61 10 06 6x xy yy yx xC C. .+ += =1 1D D. .+ += =1 19 96 69 96 6鞏固練習鞏固練習14DD2 22 2x xy y4 4. .橢橢圓圓+ += = 1 1的的焦焦距距是是2 2( () ). .mm4 4A A. .5 5A A. .5 5或或8 8C C. .3 3或或5 5D D. .2 20 02 22 22 21 11 11 1x xy y5 5. .已已知知經(jīng)經(jīng)過過橢橢圓圓+ += =1 1的的右右焦焦點點F F 作作垂垂直直于于x x軸軸2 25 51 16 6
25、的的直直線線A AB B, ,交交橢橢圓圓于于A A, ,B B兩兩點點，F(xiàn) F 是是橢橢圓圓的的左左焦焦點點. .( (1 1) )求求A AF F B B的的周周長長；( (2 2) )如如果果A AB B不不垂垂直直于于x x軸軸，A AF F B B的的周周長長有有變變化化嗎嗎？為為什什么么？C一、二、二、三一、二、二、三一個概念；一個概念；二個方程；二個方程；三個意識：三個意識：求美意識，求美意識， 求簡意識，求簡意識， 猜想的意識。猜想的意識。二個方法：二個方法：去根號的方法；求標準方程的方法去根號的方法；求標準方程的方法|MF1|+|MF2|=2a 1 1b by ya ax x
26、2 22 22 22 20 0b ba a 1 1b bx xa ay y2 22 22 22 2反思總結反思總結 提高素質(zhì)提高素質(zhì) 標準方程標準方程圖形圖形焦點坐標焦點坐標定義定義a、b、c的關系的關系焦點位置的判定焦點位置的判定共同點共同點不同點不同點橢圓標準方程的求法：一定定焦點位置；二設設橢圓方程；三求求a、b的值.F1(-c,0)、F2(c,0)F1(0,-c)、F2(0,c) 平面內(nèi)與兩定點平面內(nèi)與兩定點F1、F2的距離的和等于常的距離的和等于常數(shù)（大于數(shù)（大于|F1F2|）的點的軌跡叫做橢圓）的點的軌跡叫做橢圓.b2 = a2 c2 橢圓的兩種標準方程中，總是橢圓的兩種標準方程中，總是 ab0. 所以哪個所以哪個項的分母大，焦點就在那個軸上；反過來，焦點在哪項的分母大，焦點就在那個軸上；反過來，焦點在哪個軸上，相應的那個項的分母就越大個軸上，相應的那個項的分母就越大.22221(0)xyabab+=22221(0)yxabab+=xyoxyo
人教高中數(shù)學選修2-1 第二章 2.2.1橢圓的定義與標準方程
