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1、
余弦定理導(dǎo)學(xué)案
知能目標(biāo)解讀
1.通過對任意三角形邊長和角度關(guān)系的探索，掌握余弦定理，理解用數(shù)量積推導(dǎo)余弦定理的過程，并體會向量在解決三角形的度量問題時的作用.
2.了解余弦定理的幾種變形公式及形式.
3.會從方程的角度來理解余弦定理的作用及適用范圍，并會用余弦定理解決“已知三邊求三角形的三角”及“已知兩邊及其夾角求三角形中其他的邊和角”等問題.
4.能熟練應(yīng)用余弦定理解三角形以及現(xiàn)實生活中的實際問題.
重點難點點撥
重點：余弦定理的證明及其應(yīng)用.
難點：處理三角形問題恰當(dāng)?shù)剡x擇正弦定理或余弦定理.
學(xué)習(xí)方法指導(dǎo)
一、余弦定理
1.余弦定理：在△
2、ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，那么有如下結(jié)論：a2=b2+c2-2bccosA,b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.即三角形任何一邊的平方等于其他兩邊的平方和減去這兩邊與它們夾角的余弦的積的兩倍.這一結(jié)論叫做余弦定理，它揭示了任意三角形邊角之間的客觀規(guī)律.也是解三角形的重要工具.
注意：
（1）在余弦定理的每一個等式中含有四個量，利用方程的思想，可以知三求一.
（2）余弦定理也為求三角形的有關(guān)量（如面積，外接圓，內(nèi)切圓等）提供了工具，它可以用來判定三角形的形狀，證明三角形中的有關(guān)等式，在一定程度上，它比正弦定理的應(yīng)用更加廣泛.
3、
2.關(guān)于公式的變形：將余弦定理稍加變形，可以得到另外的形式，我們稱為余弦定理的推論.掌握這些表達(dá)形式，可以幫助我們深入理解和靈活應(yīng)用余弦定理.
cosA=，cosB=，cosC=.
由上述變形，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)，可知道：如果一個三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么第三邊所對的角是直角，如果小于第三邊的平方，那么第三邊所對的角為鈍角，如果大于第三邊的平方，那么第三邊所對的角為銳角.從這一點說，余弦定理可以看作勾股定理的推廣，而勾股定理則是余弦定理的特例.
二、余弦定理的證明
教材中給出了用向量的數(shù)量積證明余弦定理的方法，是平面向量知識在解三角形中的應(yīng)用.另外，對余弦定理
4、的證明，還可以應(yīng)用解析法、幾何法等方法證明.
證明：方法1：（解析法）如圖所示，以A為原點，△ABC的邊AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系.
則A（0,0）,C(bcosA,bsinA),B(c,0),
由兩點間的距離公式得BC2=（bcosA-c）2+(bsinA-0) 2,
即a2=b2+c2-2bccosA.
同理可證b2=a2+c2-2accosB,
c2=a2+b2-2abcosC.
方法2：（幾何法）如圖.當(dāng)△ABC為銳角三角形時，過C作CD⊥AB于D，則CD=bsinA,
AD=bcosA,BD=AB-AD=c-bcosA.
5、
在Rt△BCD中，BC2=CD2+BD2,即a2=b2sin2A+(c-bcosA) 2.
所以a2=b2+c2-2bccosA.
同理可證b2=a2+c2-2accosB,c2=a2+b2-2abcosC.
如圖，當(dāng)△ABC為鈍角三角形時，過C作CD垂直于AB的延長線，垂足為D，
則AD=bcosA,CD=bsinA.
BD=AD-AB=bcosA-c.
在Rt△BCD中 ,BC2=CD2+BD2,即a2=b2sin2A+（bcosA-c）2.
所以a2=b2+c2-2bccosA.
同理可證：b2=a2+c2-2accosB,c2=a
6、2+b2-2abcosC.
三、余弦定理的應(yīng)用
余弦定理主要適用以下兩種題型:
（1）已知三邊求三角，用余弦定理，有解時只有一解；
（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其他的角，用余弦定理，必有一解.
注意：
在應(yīng)用余弦定理求三角形的邊長時，容易出現(xiàn)增解，原因是余弦定理中涉及的是邊長的平方，求得結(jié)果常有兩解，因此，解題時需要特別注意三角形三邊長度應(yīng)滿足的基本條件.
知能自主梳理
1.余弦定理
（1）語言敘述：
三角形任何一邊的平方等于 減去 的積的 .
（2）公式表達(dá):
a2= ;
b2
7、= ;
c2= .
(3)變形:
cosA= ;
cosB= ;
cosC= .
2.余弦定理及其變形的應(yīng)用
應(yīng)用余弦定理及其變形可解決兩類解三角形的問題，一類是已知兩邊及其 解三角形，另一類是已知 解三角形.
［答案］ 1.(1)其他兩邊的平方和 這兩邊與它們夾角的余弦 兩倍 (2) b2+c2-2bccosA a2+c2-2accosB a2+b2-2abcosC (3)
2.夾角 三邊
思路方法技巧
命題方向 已知三邊解三角形
［例
8、1］ 在△ABC中，已知a=7,b=3,c=5，求最大角和sinC.
［分析］ 在三角形中，大邊對大角，所以a邊所對角最大.
?。劢馕觯荨 遖＞c＞b,∴A為最大角,
由余弦定理得， cosA==＝，
又∵0＜A＜180,∴A=120，
∴sinA=sin120=.
由正弦定理 ＝得，
sinC===.
∴最大角A為120，sinC=.
［說明］ （1）求sinC也可用下面方法求解：
cosC===，
∴C為銳角.
sinC==＝.
(2)在解三角形時，有時既可用余弦定理，也可用正弦定理.
變式應(yīng)用1
在△ABC中，已知(b+c)：(c+
9、a)：(a+b)=4：5：6，求△ABC的最大內(nèi)角.
［解析］ 設(shè)b+c=4k,c+a=5k,a+b=6k(k＞0).
則a+b+c=7.5k,解得a=3.5k,b=2.5k,c=1.5k.
∴a是最大邊，即角A是△ABC的最大角.
由余弦定理，得cosA==-,
∵0＜A＜180,∴A=120，即最大角為120.
命題方向 已知兩邊及一角解三角形
［例2］ △ABC中，已知b=3,c=3,∠B=30,解三角形.
［分析］ 由題目可知以下信息：
①已知兩邊和其中一邊的對角.
②求另外的兩角和另一邊.
解答本題可先由正弦定理求出角C,然后再求其他的邊和角，
10、也可由余弦定理列出關(guān)于邊長a的方程，求出邊a,再由正弦定理求角A，角C.
［解析］ 解法一：由余弦定理b2=a2+c2-2accosB,
得32=a2+(3)2-2a3cos30,
∴a2-9a+18=0,得a=3或6.
當(dāng)a=3時，∠A=30,∠C=120.
當(dāng)a=6時，由正弦定理sinA===1.
∴∠A=90,∴∠C=60.
解法二：由bcsin30=3=知本題有兩解.
由正弦定理sinC===,
∴∠C=60或120，
當(dāng)∠C=60時，∠A=90,
由勾股定理a===6.
當(dāng)∠C=120時，∠A=30，△ABC為等腰三
11、角形，
∴a=3.
［說明］ 知兩邊和一角解三角形時有兩種方法：
（1）利用余弦定理列出關(guān)于第三邊的等量關(guān)系建立方程，運用解方程的方法求出此邊長.
(2)直接用正弦定理，先求角再求邊.
用方法（2）時要注意解的情況，用方法（1）就避免了取舍解的麻煩.
變式應(yīng)用2
在△ABC中，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，且cosA=,若a=4,b+c=6,且b
12、向 判斷三角形的形狀
［例3］ △ABC中，已知(a+b+c)(a+b-c)=3ab,且2cosAsinB=sinC，確定△ABC的形狀.?。鄯治觯荨∮捎谝阎獥l件等式中既含有邊的關(guān)系，又含有角的關(guān)系，因此在判斷三角形的形狀時，可考慮將邊統(tǒng)一成角或?qū)⒔墙y(tǒng)一成邊.
［解析］ 解法一：利用角的關(guān)系來判斷.
∵A+B+C=180,∴sinC=sin(A+B).
又∵2cosAsinB=sinC,
∴2cosAsinB=sinAcosB+cosAsinB,
∴sin(A-B)=0.
∵A與B均為△ABC的內(nèi)角，∴A=B.
又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab,
∴
13、(a+b) 2-c2=3ab,a2+b2-c2+2ab=3ab,
根據(jù)余弦定理，上式可化為2abcosC+2ab=3ab,
解得cosC=,∴C=60.
故△ABC為等邊三角形.
解法二：利用邊的關(guān)系來確定.
由正弦定理，得=.
由2cosAsinB=sinC,得
cosA==.
又∵cosA=,∴=,
即c2=b2+c2-a2,∴a=b.
又∵(a+b+c)(a+b-c)=3ab,
∴(a+b) 2-c2=3ab,∴4b2-c2=3b2,
∴b=c,∴a=b=c.
因此△ABC為等邊三角形.
［說明］ 判斷三角形的形狀主要有兩種思路：其
14、一是利用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為邊的關(guān)系，通過代數(shù)變換（一般是因式分解）得到邊的關(guān)系，最終判斷出該三角形的形狀；其二是利用正、余弦定理將已知條件轉(zhuǎn)化為角的關(guān)系，通過三角恒等變換得到角的關(guān)系，最終判斷該三角形的形狀.在實際應(yīng)用中應(yīng)針對具體的題目，靈活選用解決問題的方法.
變式應(yīng)用3
△ABC中，AB＝5,BC=6,AC=8,則△ABC的形狀是 ( )
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.非鈍角三角形
［答案］ C
［解析］ 利用余弦定理判斷最大角的余弦值是大于0、等于0還是小于0，即可對其形狀作出判斷.因為c
15、osB==-<0,所以B為鈍角，即△ABC是鈍角三角形.
探索延拓創(chuàng)新
命題方向 利用余弦定理確定范圍問題
［例4］ 設(shè)2a+1,a,2a-1為鈍角三角形的三邊，求實數(shù)a的取值范圍.
［分析］ 一邊大于兩邊差而小于兩邊和是任一個三角形三邊都成立的條件.若是在銳角或鈍角三角形中，三邊的制約條件還要更強(qiáng).若△ABC為銳角三角形，則有a2＜b2+c2,b2＜a2+c2,c2＜a2+b2;若△ABC為鈍角三角形，最大邊為a,則一定有a2＞b2+c2,這些都是可以從余弦定理中直接推導(dǎo)的.
［解析］ 2a+1,a,2a-1是三角形的三邊,
2a+1＞0
∴ a＞0
16、
2a-1＞0，
解得a＞,此時2a+1最大.
∴要使2a+1,a,2a-1表示三角形的三邊，還需a+(2a-1)＞2a+1,解得a＞2.
設(shè)最長邊2a+1所對的角為θ,則cosθ==＜0,
解得＜a＜8,∴a的取值范圍是2＜a＜8.
?。壅f明］ 本題易忽視構(gòu)成三角形的條件a＞2,而直接應(yīng)用余弦定理求解，從而使a的范圍擴(kuò)大.
變式應(yīng)用4.
已知銳角三角形三邊長分別為2，3，x，求x的取值范圍.
［解析］ 由三角形三邊的關(guān)系有3-2＜x＜3+2，即1＜x＜5.
又∵三角形為銳角三角形，由余弦定理可知任一邊的平方小于另兩邊平方和.
x2＜22+
17、32
即
32＜x2+22
x2＜13
x2＞5
5＜x2＜13
即
x＞0
解得＜x＜，
∴x的取值范圍為（，）.
課堂鞏固訓(xùn)練
一、選擇題
1.在△ABC中，若a
18、b，c滿足b2=ac，且c=2a,則cosB=（ ?。┆?
A. B.
C. D.
［答案］ B
［解析］ 由b2=ac，又c=2a，由余弦定理，得cosB== =.
3.（2011四川理，6）在△ABC中，sin2A≤sin2B+sin2C-sinBsinC,則A的取值范圍是 ( )
A.(0, ］ B.［,π)
C.(0, ］ D.［,π)
［答案］ C
［解析］ 本題主要考查正余弦定理，∵sin2A≤sin2B+sin2C-sinBs
19、inC,
∴由正弦定理得：a2≤b2+c2-bc，即b2+c2-a2≥bc，由余弦定理得：cosA=≥=，∴0b>c,
∴最大角為A.sinA
20、=，若A為銳角，則A=60，又C
21、
課后強(qiáng)化作業(yè)
一、選擇題
1.在△ABC中，b=5,c=5,A=30,則a等于（ ?。┆?
A.5 B.4 C.3 D.10
［答案］ A
［解析］ 由余弦定理，得2bccosA=b2+c2-a2,
∴255cos30＝52＋（5）2-a2,
∴a2=25,∴a=5.
2.在△ABC中，已知a2=b2+c2+bc,則角A為（ ）
A. B. C. D. 或
［答案］ C
［解析］ ∵a2=b2+c2+bc,
∴cosA==
22、=,
又∵0
23、(a+c)(c-a)-b(b-a)=0，
即a2+b2-c2=ab,
∴cosC===.
∴C=.
5.在△ABC中，已知2a2=c2+(b+c) 2,則∠A的值為（ ?。┆?
A.30 B.45 C.120 D.135
［答案］ D
［解析］ 由已知得2a2=c2+2b2+c2+2bc,
∴a2=b2+c2+bc,
∴b2+c2-a2＝-bc,
又b2+c2-a2=2bccosA,
∴2bccosA=-bc,
∴cosA=-,
∴A=135.
6.（2011重慶理，6）若△ABC的內(nèi)角A、B、C所對的邊a、b、c滿足(a+b)
24、 2-c2=4，且C=60，則ab的值為 ( )
A. B. 8-4 C.1 D.
［答案］ A
［解析］ 本題主要考查余弦定理的應(yīng)用.
在△ABC中，C=60,∴a2+b2-c2=2abcosC=ab,
∴(a+b) 2-c2=a2+b2-c2+2ab=3ab=4,∴ab=,選A.
7.在△ABC中，三邊長AB=7,BC=5,AC=6,則等于 ( )
A.19 B.-14 C.-18 D.-19
［答案］ D
［解析］ 在△ABC中AB=7,BC=5,AC=6,
則cosB==.
25、又=｜｜｜｜cos(π-B)
=-｜｜｜｜cosB
＝－75=-19.
8.在△ABC中，若△ABC的面積S= (a2+b2-c2)，則∠C為（ ）
A. B. C. D.
［答案］ A
［解析］ 由S= (a2+b2-c2),得absinC=2abcosC,∴tanC=1,∴C=.
二、填空題
9.在△ABC中，b=,c=2,A=45,那么a的長為 .
［答案］
［解析］ 由余弦定理，得a2=b2+c2-2bcosA=+8-22=+8-==,所以a=.
10.在△ABC中，AB=3,BC=,AC=4,則邊AC
26、上的高為 .
［答案］
［解析］ 如圖，cosA=＝，
∴sinA=.
∴.BD=ABsinA=.
11.在△ABC中，已知BC=8,AC=5,三角形面積為12，則cos2C= .
［答案］
［解析］ 由題意得S△ABC=ACBCsinC=12,
即58sinC=12,則sinC=.
∴cos2C=1-2sin2C=1-2（）2=.
12.在△ABC中，B=60,b2=ac,則三角形的形狀為 .
［答案］ 等邊三角形
［解析］ 由余弦定理得b2=a2+c2-ac,
∵b2=ac,
27、
∴a2+c2-2ac=0,∴(a-c) 2=0,
∴a=c.
又∵B=60,∴A=C=60.
故△ABC為等邊三角形.
三、解答題
13.在△ABC中，A+C=2B,a+c=8,ac=15,求b.
［解析］ 解法一：在△ABC中，由A+C=2B，A+B+C=180，知B=60.
由a+c=8,ac=15,則a、c是方程x2-8x+15=0的兩根.
解得a=5,c=3或a=3,c=5.
由余弦定理，得b2=a2+c2-2accosB=9+25-235＝19.
∴b=.
解法二：在△ABC中，∵A+C=2B,A+B+C=180，
∴B=60.
由余弦
28、定理，得b2=a2+c2-2accosB=(a+c) 2-2ac-2accosB=82-215-215＝19.
∴b＝.
14.(2011大綱文，18)△ABC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c，asinA+csinC-asinC=bsinB.
(1)求B；
（2）若A=75,b=2,求a,c.
［分析］ 利用三角形正弦定理，將已知條件asinA+csinC-asinC=bsinB中的角轉(zhuǎn)化為邊，再利用余弦定理即可求得B角，然后再利用正弦定理求得a，c的值.
［解析］ （1）∵asinA+csinC-asinC=bsinB
∴a2+c2-ac=b2
∴a2+c2-
29、b2=ac
∴cosB===
∴B=45
(2)由(1)得B=45
∴C=180-A-B=180-75-45=60
由正弦定理==
∴a====
c=.
［點評］ 本題主要考查正、余弦定理的綜合應(yīng)用，考查考生利用所學(xué)知識解決問題的能力.解三角形的實質(zhì)是將幾何問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題即方程問題，具體操作過程的關(guān)鍵是正確分析邊角的關(guān)系，能依據(jù)題設(shè)條件合理的設(shè)計解題程序，進(jìn)行三角形中邊角關(guān)系的互化，要抓住兩個定理應(yīng)用的信息；當(dāng)遇到的式子含角的余弦或是邊的二次式，要考慮用余弦定理，若遇到的式子含角的正弦和邊的一次式，則大多用正弦定理，若是以上特征不明顯，則要考慮兩個定理都有可能用.
30、
15.在△ABC中，A=120,b=3,c=5.
(1)求sinBsinC;
(2)求sinB+sinC.
［分析］ 已知兩邊及其夾角，由余弦定理可求出第三邊a,再由正弦定理求出sinB,sinC.
［解析］?。?）∵b=3,c=5,A=120,
∴由余弦定理，得a2=b2+c2-2bccosA
=9+25-235（-）=49.
∴取正值a=7.
由正弦定理，得sinB==,
sinC=
∴sinBsinC=.
(2)由（1）可得sinB+sinC=.
16.已知三角形的一個角為60,面積為10cm2，周長為20 cm，求此三角形各邊長.
［解析
31、］ 設(shè)三角形的三條邊長分別為a,b,c,B=60,則依題意，得
a+b+c=20
cos60=
acsin60=10,
a+b+c=20,①
∴ b2=a2+c2-ac，②
ac=40.③
由①式，得b2=［20-(a+c)］2=400+a2+c2+2ac-40(a+c).④
將②代入④，得400+3ac-40(a+c)=0,
再將③代入④，得a+c=13.
a+c=13 a=5 a=8
,得 ,或
ac=40 c=8 c=5.
∴b=7.
∴該三角形的三邊長為5 cm,7 cm,8 cm.
斗中路67號
北師大版高中數(shù)學(xué)《余弦定理》導(dǎo)學(xué)案
