高中數(shù)學(xué) 第一章4 空間圖形的基本關(guān)系與公理第1課時(shí)目標(biāo)導(dǎo)學(xué) 北師大版必修2

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1、 4　空間圖形的基本關(guān)系與公理 第1課時(shí)　空間圖形的基本關(guān)系與公理1～公理3 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 1．公理1的應(yīng)用 活動(dòng)與探究1 如圖，在正方體ABCD－A′B′C′D′中，M，N分別是所在棱的中點(diǎn)，連接D′M，交C′B′的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)E，連接C′N(xiāo)，交CB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)F. 求證：直線(xiàn)EF平面BCC′B′. 遷移與應(yīng)用 如圖，在△ABC中，若AB，BC在平面α內(nèi)，試判斷AC是否在平面α內(nèi)． 公理1的作用：(1)用直線(xiàn)檢驗(yàn)平面；(2)判斷直線(xiàn)是否在平面內(nèi)，要證明直線(xiàn)在平面內(nèi)，我們需要在直線(xiàn)上找到兩個(gè)點(diǎn)，這兩個(gè)點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)，那么直線(xiàn)就在這個(gè)平面內(nèi)．解決問(wèn)題的關(guān)鍵就在于尋找這

2、樣的點(diǎn)． 2．公理2的應(yīng)用 活動(dòng)與探究2 已知a∥b，a∩c＝A，b∩c＝B，求證：a，b，c三條直線(xiàn)在同一平面內(nèi)． 遷移與應(yīng)用 1．經(jīng)過(guò)同一直線(xiàn)上的三個(gè)點(diǎn)的平面(　　)． A．有且只有一個(gè)　　　B．有且只有三個(gè) C．有無(wú)數(shù)個(gè) D．不存在 2．已知A∈l，B∈l，C∈l，Dl(如圖)，求證：直線(xiàn)AD，BD，CD共面． 公理2的作用：(1)確定一個(gè)平面；(2)證明點(diǎn)、線(xiàn)的共面問(wèn)題；(3)判斷一圖形是否為平面圖形．對(duì)于平面的確定問(wèn)題，務(wù)必分清它們的條件，對(duì)于證明幾點(diǎn)(或幾條直線(xiàn))共面問(wèn)題，可先由其中幾個(gè)點(diǎn)(或直線(xiàn))確定一個(gè)平面后，再證明其他點(diǎn)(或直線(xiàn))也

3、在該平面內(nèi)即可． 3．公理3的應(yīng)用 活動(dòng)與探究3 已知△ABC在平面α外，它的三邊所在的直線(xiàn)分別交平面α于P，Q，R三點(diǎn)(如圖)，求證：P，Q，R三點(diǎn)共線(xiàn)． 遷移與應(yīng)用 如圖，在三棱錐S－ABC的邊SA，SC，AB，BC上分別取點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H，若EF∩GH=P，求證：EF，GH，AC三條直線(xiàn)交于一點(diǎn)． 1．公理3的作用：(1)判斷兩平面是否相交；(2)證明點(diǎn)在直線(xiàn)上；(3)證明共線(xiàn)問(wèn)題；(4)證明共點(diǎn)問(wèn)題．證明三點(diǎn)共線(xiàn)問(wèn)題的常用方法有：方法一是首先找出兩個(gè)平面，然后證明這三個(gè)點(diǎn)都是這兩個(gè)平面的公共點(diǎn)，根據(jù)公理3，這些點(diǎn)都在交線(xiàn)上．方法二是選擇其中兩點(diǎn)確定一條直線(xiàn)，然后

4、證明另一點(diǎn)在其上． 2．證明三線(xiàn)共點(diǎn)問(wèn)題可把其中一條作為分別過(guò)其余兩條直線(xiàn)的兩個(gè)平面的交線(xiàn)，然后再證兩條直線(xiàn)的交點(diǎn)在此直線(xiàn)上，此外還可先將其中一條直線(xiàn)看作某兩個(gè)平面的交線(xiàn)，證明該交線(xiàn)與另兩條直線(xiàn)分別交于兩點(diǎn)，再證點(diǎn)重合，從而得三線(xiàn)共點(diǎn)． 當(dāng)堂檢測(cè) 1．點(diǎn)P在直線(xiàn)l上，而直線(xiàn)l在平面α內(nèi)，用符號(hào)表示為(　　)． A．Pl，lα B．P∈l，l∈α C．Pl，l∈α D．P∈l，lα 2．如圖所示是表示兩個(gè)相交平面，其中畫(huà)法正確的是(　　)． 3．下列說(shuō)法正確的是(　　)． A．線(xiàn)段AB在平面α內(nèi)，直線(xiàn)AB不會(huì)在α內(nèi) B．平面α和β有時(shí)只有一個(gè)公共點(diǎn)

5、 C．三點(diǎn)確定一個(gè)平面 D．過(guò)一條直線(xiàn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面 4．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為棱A1B1，BB1的中點(diǎn)，則D1E與CF的延長(zhǎng)線(xiàn)交于一點(diǎn)，此點(diǎn)在直線(xiàn)(　　)． A．AD上　　　 B．B1C1上 C．A1D1上 D．BC上 5．如圖，O1是正方體ABCD－A1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心，M是對(duì)角線(xiàn)A1C和截面B1D1A的交點(diǎn)．求證：O1，M，A三點(diǎn)共線(xiàn)． 提示：用最精練的語(yǔ)言把你當(dāng)堂掌握的核心知識(shí)的精華部分和基本技能的要領(lǐng)部分寫(xiě)下來(lái)并進(jìn)行識(shí)記. 答案： 課前預(yù)習(xí)導(dǎo)學(xué) 預(yù)習(xí)導(dǎo)引 1．(1

6、)點(diǎn)在直線(xiàn)上　點(diǎn)在直線(xiàn)外 A∈l　Bl　(2)點(diǎn)在平面內(nèi)　點(diǎn)在平面外　(3)同一平面　沒(méi)有公共點(diǎn)　a∥b　只有一個(gè)公共點(diǎn)　a∩b＝P　不同在任何一個(gè)平面內(nèi)　(4)有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)　只有一個(gè)公共點(diǎn)　l∩α＝P　沒(méi)有公共點(diǎn)　l∥α　(5)沒(méi)有公共點(diǎn)　α∥β　不重合但有公共點(diǎn) 預(yù)習(xí)交流1　提示：不能．如圖所示，a在平面α內(nèi)，b在平面β內(nèi)，但是a與b平行． 預(yù)習(xí)交流2　提示：當(dāng)兩直線(xiàn)在同一平面內(nèi)時(shí)，沒(méi)有公共點(diǎn)就一定平行；在空間中，當(dāng)兩直線(xiàn)不同在任何一個(gè)平面內(nèi)時(shí)，沒(méi)有公共點(diǎn)，是異面直線(xiàn)． 2．兩點(diǎn)　所有的點(diǎn)　在平面內(nèi)　lα　不在同一條直線(xiàn)上　有且只有　確定　有且只有一個(gè)平面α　有一個(gè)公共點(diǎn)　有

7、且只有　α∩β＝l且A∈l 預(yù)習(xí)交流3　提示：“有”是說(shuō)圖形存在，“只有一個(gè)”是說(shuō)圖形唯一．“有且只有”強(qiáng)調(diào)的是存在性和唯一性?xún)蓚€(gè)方面，確定一個(gè)平面中的“確定”是“有且只有”的同義詞，也是指存在性和唯一性這兩個(gè)方面． 預(yù)習(xí)交流4　提示：(1)能；(2)能；(3)能． 課堂合作探究 問(wèn)題導(dǎo)學(xué) 活動(dòng)與探究1　思路分析：要證明直線(xiàn)在平面內(nèi)，只需證明直線(xiàn)上有兩個(gè)點(diǎn)在這個(gè)平面內(nèi)． 證明：∵B∈平面BCC′B′，C∈平面BCC′B′， ∴直線(xiàn)BC平面BCC′B′. 又∵C′N(xiāo)∩CB＝F， ∴F∈CB，∴F∈平面BCC′B′. 同理可得E∈平面BCC′B′. ∴直線(xiàn)EF平面BCC′B′

8、. 遷移與應(yīng)用　解：AC在平面α內(nèi)，證明如下： ∵AB在平面α內(nèi)，∴A點(diǎn)一定在平面α內(nèi)． ∵BC在平面α內(nèi)，∴C點(diǎn)一定在平面α內(nèi)．∴A點(diǎn)、C點(diǎn)都在平面α內(nèi)．∴直線(xiàn)AC在平面α內(nèi)． 活動(dòng)與探究2　思路分析：依題意，可先證a與b確定一個(gè)平面，再證明c在這個(gè)平面內(nèi)，從而可證a，b，c在同一平面內(nèi)． 證明：∵a∥b，∴a與b確定一個(gè)平面α， ∵a∩c＝A，∴A∈a，從而A∈α； ∵b∩c＝B，∴B∈b，從而B(niǎo)∈α. 于是ABα，即cα，故a，b，c三條直線(xiàn)在同一平面內(nèi)． 遷移與應(yīng)用　1．C 2．證明：因?yàn)橹本€(xiàn)l與點(diǎn)D可以確定平面α，所以只需證明AD，BD，CD都在平面α內(nèi)即可．

9、 因?yàn)锳∈l，所以A∈α.又D∈α，所以ADα. 同理BDα，CDα.所以AD，BD，CD都在平面α內(nèi)，即它們共面． 活動(dòng)與探究3　思路分析：只需證明P，Q，R三點(diǎn)在平面ABC內(nèi)，又在平面α內(nèi)，再利用公理3推得結(jié)論． 證明：方法一：∵AB∩α＝P， ∴P∈AB，P∈平面α. 又AB平面ABC，∴P∈平面ABC. ∴由公理3可知，點(diǎn)P在平面ABC與平面α的交線(xiàn)上． 同理可證Q，R也在平面ABC與平面α的交線(xiàn)上， ∴P，Q，R三點(diǎn)共線(xiàn)． 方法二：∵AP∩AR＝A， ∴直線(xiàn)AP與直線(xiàn)AR確定平面APR. 又∵AB∩α＝P，AC∩α＝R， ∴平面APR∩平面α＝PR. 又B

10、∈平面APR，C∈平面APR， ∴BC平面APR.又∵Q∈直線(xiàn)BC， ∴Q∈平面APR.又Q∈α， ∴Q∈PR.∴P，Q，R三點(diǎn)共線(xiàn)． 遷移與應(yīng)用　證明：∵E∈SA，SA平面SAC，F(xiàn)∈SC，SC平面SAC，∴E∈平面SAC，F(xiàn)∈平面SAC，∴EF平面SAC. 同理可得GH平面ABC. 又∵EF∩GH＝P，∴P∈平面SAC，P∈平面ABC. ∵平面SAC∩平面ABC＝AC，∴P∈AC， 即直線(xiàn)EF，GH，AC共點(diǎn)于P. 當(dāng)堂檢測(cè) 1．D　2．D　3．D　4．B 5．證明：因?yàn)樯系酌嬷蠥1C1∩B1D1＝O1，A1C1平面A1C1CA，B1D1平面AB1D1， 所以，O1是平面A1C1CA與平面AB1D1的公共點(diǎn)． 又因?yàn)锳1C∩平面AB1D1＝M， A1C平面A1C1CA， 所以，M是平面A1C1CA與平面AB1D1的公共點(diǎn)． 又因?yàn)锳∈平面AB1D1，A∈平面A1C1CA， 所以，A是平面A1C1CA與平面AB1D1的公共點(diǎn)． 所以，O1，M，A都是平面A1C1CA與平面AB1D1的公共點(diǎn)，由公理3可知，O1，M，A三點(diǎn)共線(xiàn)． 5