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(全國通用)高考數(shù)學大一輪復習 坐標系和參數(shù)方程 第2節(jié) 參數(shù)方程課件 文 新人教A

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(全國通用)高考數(shù)學大一輪復習 坐標系和參數(shù)方程 第2節(jié) 參數(shù)方程課件 文 新人教A

第第2節(jié)節(jié) 參數(shù)方程參數(shù)方程 最新考綱 1.了解參數(shù)方程,了解參數(shù)的意義;2.能選擇適當?shù)膮?shù)寫出直線、圓和橢圓的參數(shù)方程. 1.曲線的參數(shù)方程 知知 識識 梳梳 理理 一般地,在平面直角坐標系中,如果曲線上任意一點的坐標x,y都是某個變數(shù)t的 函數(shù) 并且對于t的每一個允許值,由這個方程組所確定的點M(x,y)都在這條曲線上,那么這個方程組就叫做這條曲線的參數(shù)方程,聯(lián)系變數(shù)x,y的變數(shù)t叫做參變數(shù),簡稱參數(shù). xf(t),yg(t), 2.參數(shù)方程與普通方程的互化 通過消去 從參數(shù)方程得到普通方程,如果知道變數(shù) x,y 中的一個與參數(shù) t的關系,例如 xf(t),把它代入普通方程,求出另一個變數(shù)與參數(shù)的關系 yg(t),那么xf(t),yg(t)就是曲線的參數(shù)方程.在參數(shù)方程與普通方程的互化中,必須使用 x,y 的取值范圍保持一致. 參數(shù) 3.常見曲線的參數(shù)方程和普通方程 溫馨提醒 直線的參數(shù)方程中,參數(shù)t的系數(shù)的平方和為1時,t才有幾何意義且?guī)缀我饬x為:|t|是直線上任一點M(x,y)到M0(x0,y0)的距離. 點的軌跡 普通方程 參數(shù)方程 直線 yy0tan (xx0) xx0tcos ,yy0tsin (t 為參數(shù)) 圓 x2y2r2 xrcos ,yrsin ( 為參數(shù)) 橢圓 x2a2y2b21(ab0) xacos ,ybsin ( 為參數(shù)) 1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”) (1)參數(shù)方程yf(t),yg(t)中的 x,y 都是參數(shù) t 的函數(shù).( ) (2)過 M0(x0,y0),傾斜角為 的直線 l 的參數(shù)方程為xx0tcos ,yy0tsin (t 為參數(shù)).參數(shù)t 的幾何意義表示: 直線 l 上以定點 M0為起點, 任一點 M(x, y)為終點的有向線段M0M的數(shù)量.( ) (3)方程x2cos ,y12sin ( 為參數(shù))表示以點(0,1)為圓心,以 2 為半徑的圓.( ) 診診 斷斷 自自 測測 答案 (1) (2) (3) (4) (4)已知橢圓的參數(shù)方程x2cos t,y4sin t(t 為參數(shù)),點 M 在橢圓上,對應參數(shù) t3,點O 為原點,則直線 OM 的斜率為 3.( ) 解析 消去t,得xy1,即xy10. 答案 xy10 2.(選修 44P26 習題 T4 改編)在平面直角坐標系中,曲線 C:x222t,y122t(t 為參數(shù))的普通方程為_. 解析 由(cos sin )2,得xy2. 答案 (2,4) 又xt2,y2 2t(t 為參數(shù))消去 t,得 y28x. 聯(lián)立,得x2,y4,即交點坐標為(2,4). 3.在平面直角坐標系 xOy 中,以原點 O 為極點,x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系.曲線 C1的極坐標方程為 (cos sin )2,曲線 C2的參數(shù)方程為xt2,y2 2t (t 為參數(shù)),則 C1與 C2交點的直角坐標為_. 解析 圓的普通方程為(x2)2y23,圓心 A(2,0),半徑 r 3. 直線 yb(x4)與圓相切,|2b4b0|b21 3,則 b23,b 3. 因此 tan 3,切線的傾斜角為3或23. 答案 3或23 4.直線 yb(x4)與圓x2 3cos ,y 3sin ( 為參數(shù))相切,則切線的傾斜角為_. 5.(2017 江蘇卷)在平面坐標系 xOy 中, 已知直線 l 的參數(shù)方程為x8t,yt2(t 為參數(shù)),曲線 C 的參數(shù)方程為x2s2,y2 2s(s 為參數(shù)).設 P 為曲線 C 上的動點,求點 P到直線 l 的距離的最小值. 得l的普通方程為x2y80, 因為點 P 在曲線 C 上,設點 P(2s2,2 2s). 則點 P 到直線 l 的距離 d|2s24 2s8|52(s 2)245, 當 s 2時,d 有最小值454 55. 解 由x8t,yt2(t 為參數(shù))消去 t. 考點一考點一 參數(shù)方程與普通方程的互化參數(shù)方程與普通方程的互化 【例 1】 已知直線 l 的參數(shù)方程為xa2t,y4t(t 為參數(shù)),圓 C 的參數(shù)方程為x4cos ,y4sin ( 為參數(shù)). (1)求直線 l 和圓 C 的普通方程; (2)若直線 l 與圓 C 有公共點,求實數(shù) a 的取值范圍. 解 (1)直線l的普通方程為2xy2a0, 圓C的普通方程為x2y216. (2)因為直線l與圓C有公共點, 故圓 C 的圓心到直線 l 的距離 d|2a|54,解得2 5a2 5. 即實數(shù) a 的取值范圍是2 5,2 5. 規(guī)律方法 1.將參數(shù)方程化為普通方程,消參數(shù)常用代入法、加減消元法、三角恒等變換消去參數(shù). 2.把參數(shù)方程化為普通方程時,要注意哪一個量是參數(shù),并且要注意參數(shù)的取值對普通方程中x及y的取值范圍的影響,一定要保持同解變形. 【訓練 1】 (2016 江蘇卷)在平面直角坐標系 xOy 中,已知直線 l 的參數(shù)方程為x112t,y32t(t 為參數(shù)),橢圓 C 的參數(shù)方程為xcos ,y2sin ( 為參數(shù)).設直線 l 與橢圓 C 相交于 A,B 兩點,求線段 AB 的長. 將直線 l 的參數(shù)方程x112t,y32t(t 為參數(shù))代入 x2y241,得112t232t241, 即 7t216t0,解之得 t10,t2167. 所以|AB|t1t2|167.所以線段 AB 的長為167. 解 橢圓 C 的普通方程為 x2y241. 考點二考點二 參數(shù)方程及應用參數(shù)方程及應用 【例 21】 (2017 全國卷)在直角坐標系 xOy 中,曲線 C 的參數(shù)方程為x3cos ,ysin ( 為參數(shù)),直線 l 的參數(shù)方程為xa4t,y1t(t 為參數(shù)). (1)若 a1,求 C 與 l 的交點坐標; (2)若 C 上的點到 l 距離的最大值為 17,求 a. 則 C 與 l 交點坐標是(3,0)和2125,2425. 解 (1)a1時,直線l的普通方程為x4y30. 曲線 C 的標準方程是x29y21, 聯(lián)立方程x4y30,x29y21,解得x3,y0或x2125,y2425. (2)直線l的普通方程是x4y4a0. 設曲線C上點P(3cos ,sin ). |5sin()4a|的最大值為17. 若a0,則54a17,a8. 若a0,則54a17,a16. 綜上,實數(shù)a的值為a16或a8. 則 P 到 l 距離 d|3cos 4sin 4a|17|5sin()4a|17,其中 tan 34. 又點 C 到直線 l 距離的最大值為 17. 【例 22】 (2018 郴州模擬)在平面直角坐標系 xOy 中,曲線 C 的參數(shù)方程為x2cos ,y22sin ( 為參數(shù)), 直線 l 的參數(shù)方程為x122t,y22t(t 為參數(shù)).以坐標原點O 為極點,x 軸的正半軸為極軸建立極坐標系. (1)寫出直線 l 的普通方程以及曲線 C 的極坐標方程; (2)若直線l與曲線C的兩個交點分別為M, N, 直線l與x軸的交點為P, 求|PM| |PN|的值. 消去參數(shù)t,得xy10. 利用平方關系,得x2(y2)24,則x2y24y0. 令2x2y2,ysin ,代入得C的極坐標方程為4sin . (2)在直線xy10中,令y0,得點P(1,0). 曲線 C 的參數(shù)方程為x2cos ,y22sin ( 為參數(shù)), 把直線 l 的參數(shù)方程代入圓 C 的方程得 t23 2t10,t1t23 2,t1t21. 由直線參數(shù)方程的幾何意義,|PM| |PN|t1 t2|1. 解 (1)直線 l 的參數(shù)方程為x122t,y22t(t 為參數(shù)), 規(guī)律方法 1.在與直線、圓、橢圓有關的題目中,參數(shù)方程的使用會使問題的解決事半功倍,尤其是求取值范圍和最值問題,可將參數(shù)方程代入相關曲線的普通方程中,根據(jù)參數(shù)的取值條件求解. 2.過定點 P0(x0,y0),傾斜角為 的直線參數(shù)方程的標準形式為xx0tcos ,yy0tsin (t 為參數(shù)),t 的幾何意義是P0P的數(shù)量,即|t|表示 P0到 P 的距離,t 有正負之分.對于形如xx0at,yy0bt(t 為參數(shù)),當 a2b21 時,應先化為標準形式后才能利用 t 的幾何意義解題. 【訓練 2】 (2018 衡水中學質(zhì)檢)已知曲線 C 的參數(shù)方程為x2cos ,y2sin ( 為參數(shù)),直線 l 的參數(shù)方程為xt2,y2 3t (t 為參數(shù)). (1)寫出直線 l 與曲線 C 的普通方程; (2)設曲線 C 經(jīng)過伸縮變換xx,y12y得到曲線 C,過點 F( 3,0)作傾斜角為 60 的直線交曲線 C于 A,B 兩點,求|FA| |FB|. 曲線C的普通方程為x2y24. (2)由xx,yy2,得xx,y2y,代入曲線 C,得 x24y24,即x24y21. 則曲線 C的方程為x24y21 表示橢圓. 由題設,直線 AB 的參數(shù)為x 3t2,y32t(t 為參數(shù)). 將直線 AB 的參數(shù)方程代入曲線 C:x24y21.得134t2 3t10, 解 (1)直線 l 的普通方程 2 3xy20. 則 t1 t2413,|FA| |FB|t1|t2|t1 t2|413. 考點三考點三 參數(shù)方程與極坐標方程的綜合應用參數(shù)方程與極坐標方程的綜合應用 【例 31】 (2017 全國卷)在直角坐標系 xOy 中, 直線 l1的參數(shù)方程為x2t,ykt(t 為參數(shù)),直線 l2的參數(shù)方程為x2m,ymk(m 為參數(shù)).設 l1與 l2的交點為 P,當 k 變化時,P 的軌跡為曲線 C. (1)寫出 C 的普通方程; (2)以坐標原點為極點, x 軸正半軸為極軸建立極坐標系, 設 l3: (cos sin ) 20,M 為與 C 的交點,求 M 的極徑. 化為l1的普通方程yk(x2), 同理得直線l2的普通方程為x2ky, 聯(lián)立,消去k,得x2y24(y0). 所以C的普通方程為x2y24(y0). (2)將直線 l3化為普通方程為 xy 2, 聯(lián)立xy 2,x2y24得x3 22,y22, 2x2y2184245,與 C 的交點 M 的極徑為 5. 解 (1)由 l1:x2t,ykt(t 為參數(shù))消去 t, 【例 32】 (2018 河北“五個一”名校聯(lián)盟二模)在平面直角坐標系 xOy 中,曲線 C的參數(shù)方程為x 5cos ,ysin ( 為參數(shù)).以坐標原點 O 為極點,x 軸正半軸為極軸建立極坐標系,直線 l 的極坐標方程為 cos4 2.l 與 C 交于 A,B 兩點. (1)求曲線 C 的普通方程及直線 l 的直角坐標方程; (2)設點 P(0,2),求|PA|PB|的值. 所以直線l的直角坐標方程為xy20. 因為直線 l 的極坐標方程為 cos4 2,即 cos sin 2, (2)點 P(0,2)在 l 上,則 l 的參數(shù)方程為x22t,y222t(t 為參數(shù)), 代入x25y21 整理得 3t210 2t150, 由題意可得|PA|PB|t1|t2|t1t2|10 23. 解 (1)由曲線 C:x 5cos ,ysin ( 為參數(shù))消去 ,得普通方程x25y21. 規(guī)律方法 1.涉及參數(shù)方程和極坐標方程的綜合題,求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解.當然,還要結合題目本身特點,確定選擇何種方程. 2.數(shù)形結合的應用,即充分利用參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義,或者利用和的幾何意義,直接求解,能達到化繁為簡的解題目的. 【訓練 3】 (2016 全國卷)在直角坐標系 xOy 中,曲線 C1的參數(shù)方程為x 3cos ,ysin ( 為參數(shù)),以坐標原點為極點,以 x 軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線 C2的極坐標方程為 sin42 2. (1)寫出 C1的普通方程和 C2的直角坐標方程; (2)設點 P 在 C1上,點 Q 在 C2上,求|PQ|的最小值及此時 P 的直角坐標. 因此曲線C2的直角坐標方程為xy40. 又曲線 C2:sin42 2.所以 sin cos 4. (2)由題意,可設點 P 的直角坐標為( 3cos ,sin ).因為 C2是直線,所以|PQ|的最小值即為 P 到 C2的距離 d()的最小值. d()| 3cos sin 4|2 2sin32 , 當且僅當 2k6(kZ)時,d()取得最小值,最小值為 2,此時 P 的直角坐標為32,12. 解 (1)曲線 C1的普通方程為x23y21.

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