《圖形認(rèn)識初步》知識點串講及考點透視

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1、 《圖形認(rèn)識初步》知識點串講及考點透視 內(nèi)江 鄒學(xué)友 請同學(xué)們先看一看如圖1的幾幅圖案： 圖1 通過觀察，同學(xué)們一定會體會到我們生活在圖形的世界里.我們剛學(xué)過的《圖形認(rèn)識初步》不都是我們生活中所見到過的嗎？為了能讓我們一起再去光顧一下《圖形認(rèn)識初步》，從而進(jìn)一步欣賞豐富多彩的圖形世界，體會更多的立體圖形與平面圖形，了解立體圖形與平面圖形之間的關(guān)系，希望你還喜歡. 一、目標(biāo)要求 1，經(jīng)歷觀察、測量、折疊、模型制作與圖案設(shè)計等活動，進(jìn)一步發(fā)展空間概念；能從生活周圍熟悉的物體入手，加深對物體的形狀的認(rèn)識，并從感性逐步上升到抽象的幾何圖形，并通過從不同方向看立體圖形

2、和展開立體圖形，初步認(rèn)識立體圖形與平面圖形的聯(lián)系，在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步認(rèn)識一些簡單的平面圖形——直線、射線、線段和角. 2，進(jìn)一步認(rèn)識角，以及角的表示方法，角的度量，角的畫法.角的比較，補(bǔ)角和余角等內(nèi)容.會進(jìn)行線段或角的比較，能估計一個角的大小，會進(jìn)行角的單位的簡單換算. 3，從實物出發(fā)，感受到圖形世界的無處不在，引起學(xué)習(xí)的興趣.能區(qū)分直線、射線、線段的概念，并體會它們的一些性質(zhì)，結(jié)合生活情景認(rèn)識角并知道周角、平角等概念. 4，能借助三角尺、量角器、方格紙等工具，會畫角、線段、垂線，能進(jìn)行簡單的圖案設(shè)計，并能了解直線、線段等有關(guān)性質(zhì)；積累操作活動經(jīng)驗，發(fā)展有條理的思考與表達(dá)，

3、經(jīng)歷在操作活動中探索圖形性質(zhì)的過程豐富數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的成功體驗. 二、知識網(wǎng)絡(luò) 角和平分線 等角的補(bǔ)角相等 等角的余角相等 角的度量 角的大小比較與運算 余角和補(bǔ)角 角 從不同方向看立體圖形 展開立體圖形 平面圖形 幾何圖形 點、線、面、體 立體圖形 平面圖形 直線、射線、線段 線段大小的比較 兩點確定一條直線 兩點之間、線段最短 二、要點解讀 （一）知識總攬 本章內(nèi)容都是研究的簡單的基本圖形，是以后學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)，其中如何結(jié)合立體圖形與平面圖形的互相轉(zhuǎn)化的學(xué)習(xí)，來發(fā)展空間觀念以及一些重要

4、的概念、性質(zhì)等是本章的重點；建立和發(fā)展空間觀念是空間與圖形學(xué)習(xí)的核心目標(biāo)之一，能由實物形狀想象出幾何圖形，由幾何圖形想象出實物形狀，進(jìn)行幾何體與其三視圖、展開圖之間的相互轉(zhuǎn)化是培養(yǎng)空間觀念的重要方面，更有利于創(chuàng)新能力的培養(yǎng). （二）疑點和易錯點 這一章內(nèi)容的概念比較多，概念之間的聯(lián)系又比較密切，因此，如何從具體事物中抽象出幾何圖形，把握幾何圖形的本質(zhì)特征，區(qū)分一些相近的概念，對圖形的表示方法以及對幾何語言的認(rèn)識與運用，都復(fù)習(xí)的疑點和易錯點.具體地說： 1，通常畫一個立體圖形要分別從正面看、從左面看、從上面看.如從不同方向看圖2就可得到圖3中的三個圖形.同樣由圖3的三個圖形也可以畫出圖2.

5、如果不能認(rèn)真的觀察分析立體圖形的特征，就不能正確畫出相應(yīng)的平面圖形. 從正面看 從左面看 從上面看 圖3 圖2 　　2，在研究直線、線段、射線的有關(guān)概念時，容易出現(xiàn)延長直線或延長射線之類的錯誤，在用兩個大寫字母表示射線時，忽視第一個字母表示的是這條射線的頂點. 3，直線有這樣一個重要性質(zhì)：經(jīng)過兩點有一條直線，并且只有一條直線.即兩點確定一條直線.線段有這樣一條重要性質(zhì)：兩點的所有連線中，線段最短.簡單說成：兩點之間，線段最短.這兩個性質(zhì)是研究幾何圖形的基礎(chǔ)，復(fù)習(xí)時應(yīng)抓住性質(zhì)中的關(guān)鍵性字眼，不能出現(xiàn)似是而非的錯誤. 4，注意線段的中

6、點是指把線段分成相等的兩條線段的點；而連結(jié)兩點間的線段的長度，叫做這兩點的距離.這里應(yīng)特別注意線段與距離的區(qū)別是，即距離是線段的長度，是一個量；線段則是一種圖形，它們之間是不能等同的. 5，在復(fù)習(xí)角的概念時，應(yīng)注意理解兩種方式來描述，即一種是從一些實際問題中抽象地概括出來，即有公共端點的兩條射線組成的圖形，叫做角；另一種是用旋轉(zhuǎn)的觀點來定義，即一條射線繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置所成的圖形叫做角.角的兩種定義都告訴我們這樣一些事實：（1）角有兩個特征：一是角有兩條射線，二是角的兩條射線必須有公共端點，兩者缺一不可；（2）由于射線是向一方無限延伸的，所以角的兩邊無所謂長短，即角的大小與它

7、的邊的長短無關(guān)；（3）當(dāng)角的大小一旦確定，它的大小就不因圖形的位置、圖形的放大或縮小而改變.如一個37的角放在放大或縮小若干倍的放大鏡下它仍然是37不能誤認(rèn)為角的大小也放大或縮小若干倍.另外對角的表示方法中，當(dāng)用三個大寫字母來表示時，頂點的字母必須寫在中間，在角的兩邊上各取一點，將表示這兩個點的字母分別寫在頂點字母的兩旁，兩旁的字母不分前后. 6，在研究互為余角和互為補(bǔ)角時，容易混淆這兩個概念.常常誤認(rèn)為互為余角的兩個角的和等于180，互為補(bǔ)角的兩個角的和等于90. 　　三、思想方法 復(fù)習(xí)《圖形認(rèn)識初步》這部分內(nèi)容除了要注意基礎(chǔ)知識的鞏固和典型習(xí)題的訓(xùn)練，還要注意數(shù)學(xué)思想方法的訓(xùn)練與運用

8、.具體地說： 一、分類思想. 在過平面上若干點可以畫多少條直線，應(yīng)注意這些點的分情況討論；或在畫其它的圖形時，應(yīng)注意圖形的各種可能性. 例1　兩條相交直線與另外一條直線在同一平面內(nèi)，它們的交點個數(shù)是（　　?。?  　A.1 　　　B.2 　　　C.3或2 　　　 D.1或2或3 分析　由于題設(shè)條件中并沒有明確這三條直線的具體位置，所以應(yīng)分情況討論. 圖5 解　依題意可以畫出如圖4的三種情況.故應(yīng)選D. 圖4 二、方程思想.在處理有關(guān)角的大小，線段大小的計算時常需要通過列方程來解決. 例2　如果一個角的補(bǔ)角是150，求這個角的

9、余角. 分析　若設(shè)這個角的大小為x，則這個角的余角是90－x，于是由這個角的補(bǔ)角是150可列出方程求解. 解　設(shè)這個角為x，則這個角的余角是90－x，根據(jù)題意，得 180－x＝150，解得：x＝30， 即90－x＝60. 故這個角的余角是60. 三、圖形變換思想.在研究角的概念時要充分體會對射線旋轉(zhuǎn)的認(rèn)識，在處理圖形時應(yīng)注意轉(zhuǎn)化思想的運用，如立體圖形與平面圖形的互相轉(zhuǎn)化的學(xué)習(xí). 例3　請畫出正六棱柱表面展開圖. 分析　要將一個立體圖形轉(zhuǎn)化為平面圖形，只要按照立體圖形的折疊原理即可求解. 解　正六棱柱表面展開圖如圖5所示 四、化歸思想.在進(jìn)行線段、射線、直線、角以及相關(guān)圖形的

10、計數(shù)時總要化歸到公式的具體運用上來. 例4　若點C、D、E、F是線段AB上的四個點.則這個圖形中共有多少條線段？ 分析　已知線段上除了端點外，還有4個點，即這條線段共有6個點，這樣要求這個圖形中共有多少條線段，則由代數(shù)式即求. 解　因為依題意已知線段上共有6個點，所以這個圖形中共有線段的為：＝＝15. 四、考點解密 （所選例題均出自2006年全國部分省市中考試卷） 考點1　從不同方向看立體圖形 例5（河北?。﹫D1中幾何體的主視圖是如圖7所示中的（　　） 正面 圖6 C. A. D. Ｂ. 圖7 分析　主視圖是從下面看的，由于圖6中的圖形是由兩個

11、部分組成的，上面是一個球，球的下面是一個長方體，這樣問題就簡單了. 解　因為要畫出的是從正面看到的主視圖，而已知的立體圖形是由兩個部分組成的，上面是一個球，球的下面是一個長方體，所以我們從正面看到的上面是一個圓，下面是一個長方形. 又因為原立體圖形中上面的球是放在中間的，所以正確的平面圖形應(yīng)該是C.故應(yīng)選C. 說明　要畫出從不同方向看到的平面圖形，通常畫出分別從正面看、從左面看、從上面看一個立體圖形的平面圖形. 考點2　立體圖形的側(cè)面展開圖 例2（嘉興市）如圖8所示的圖形中，不能經(jīng)過折疊圍成正方體的是（　B?。? 　A　　　　　　　　　　B　　　　　　　　　C　　　　　　　　　　D

12、 圖8 分析　觀察這四個平面圖形，A、C、D能圍成一個正方體，只有B不能圍成正方體. 解　應(yīng)選B. 說明　判斷一個圖形能否圍成正方體，關(guān)鍵是要看這個平面圖形是否是某一個正方體的側(cè)面展開圖，如果是，即能圍成一個正方體，否則就不是.另外，一個立體圖形可以有不同的平面展開圖.也就是說，同一個立體圖形，按不同方式展開得到的平面展開圖是不一樣的.反之，一些平面圖形也可以圍成立體圖形，就是說，平面圖形可以圍成立體圖形.但要注意，并不是所有的平面圖形都能夠圍成多面體. 考點3　確定平面圖形的個數(shù) 例3（紹興市）若有一條公共邊的兩個三角形稱為一對“共邊三角形”，則如圖9中

13、以BC為公共邊的“共邊三角形”有（　　） 　A.2對 　　 B.3對 　　 C.4對 　　 D.6對 分析　要知道有多少“共邊三角形”，只要能依據(jù)圖形寫出所有的滿足題意的三角形即可. 解　結(jié)合圖形，滿足題意的三角形是：△ABC與△DBC，△DBC與△EBC，△EBC與△ABC，共3對.故應(yīng)選B. P Q T S R 圖10 圖9 說明　求解本題一定要注意抓住以BC為公共邊的“共邊三角形”，不能忽視關(guān)鍵性的字眼. 考點4　圖形角度大小的計算 例4（大連市）如圖10，∠PQR等于138，SQ⊥QR，QT⊥PQ.則∠SQT等于（ ）

14、 A.42 　　　B.64 　　　C.48 　　　D.24 分析　要求∠SQT的大小，由于SQ⊥QR，QT⊥PQ，可知∠PQS＝∠RQT，進(jìn)而即可求得. 解　因為SQ⊥QR，QT⊥PQ，所以∠PQS+∠SQT＝∠SQT+∠RQT＝90，即∠PQS＝∠RQT，又∠PQS+∠SQT +∠RQT＝138，所以∠PQS＝∠RQT＝48，所以∠SQT＝138－248＝42.故應(yīng)選A. 說明　在進(jìn)行圖形的有關(guān)計算時，除了要能靈活運用所學(xué)的知識外，還要能從圖形中捕捉求解的信息. 考點5　互為余角與互為補(bǔ)角 例5（內(nèi)江市）一個角的余角比它的補(bǔ)角的少20.則這個角為（　　?。? A.30

15、 　　　　B.40 　　　　C.60 　　　　 D.75 分析　若設(shè)這個角為x，則這個角的余角是90－x，補(bǔ)角是180－x，于是構(gòu)造出方程即可求解. 解　設(shè)這個角為x，則這個角的余角是90－x，補(bǔ)角是180－x. 則根據(jù)題意，得(180－x)－(90－x)＝20.解得：x＝40.故應(yīng)選B. 說明　處理有關(guān)互為余角與互為補(bǔ)角的問題，除了要弄清楚它們的概念，通常情況下不要引進(jìn)未知數(shù)，構(gòu)造方程求解. 考點6　平面圖形的操作問題 例6（旅順口區(qū)）如圖11，將一塊正方形紙片沿對角線折疊一次，然后在得到的三角形的三個角上各挖去一個圓洞，最后將正方形紙片展開，得到的圖案是如圖12所示

16、的（　?。? 圖11 圖12 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 分析　要想知道展開后得到的圖案是什么，可以依據(jù)題意，結(jié)合正方形的圖形特征，發(fā)揮想象即可求解. 解　因為將正方形沿對角線折疊一次，然后在得到的三角形的三個角上各挖去一個圓洞，就是說這個正方形上共有6個小圓，其中分成3組關(guān)于正方形的對角線即折痕對稱，且1對圓在兩個直角的頂點上，2對圓位于對角線即折痕的兩側(cè).故應(yīng)選C. 說明　這種圖形的操作問題的求解一定要在靈活運用基礎(chǔ)知識的同時，充分發(fā)揮想象，并能大膽地歸納與推斷. 　　考點7　平面圖形的面積問題 例7（臨安市）如圖13，正方形硬

17、紙片ABCD的邊長是4，點E、F分別是AB、BC的中點，若沿左圖中的虛線剪開，拼成右圖的一座“小別墅”，則圖中陰影部分的面積是（ ） A.2 　　　　 B.4 　　　　C.8 　　　 D.10 分析　要求圖中陰影部分的面積，由于由剪到拼可知陰影部分的面積應(yīng)是原正方形面積的四分之一，于是即求. 解　根據(jù)題意“小別墅”的圖中陰影部分的面積應(yīng)等于正方形面積的四分之一，而正方形的面積是16，所以陰影部分的面積應(yīng)等于4.故應(yīng)選B. 說明　本題的圖形在操作過程中，雖然形狀發(fā)生了改變，但是圖形的面積卻沒有變化，抓住這一點問題就可以簡潔求解. 圖13 a 圖15 b a

18、 b 圖14 考點8　拼圖問題 例8（煙臺市）如圖14，有三種卡片，其中邊長為a的正方形卡片1張，邊長分別為a，b的矩形卡片6張，邊長為b的正方形卡片9張.用這16張卡片拼成一個正方形，則這個正方形的邊長為＿＿＿. 分析　16張卡片，拼成一個正方形，而邊長為a的正方形卡片1張，邊長分別為a，b的矩形卡片6張，邊長為b的正方形卡片9張，由此可知正方形的每邊上應(yīng)有4張，而且這個正方形的邊長應(yīng)為a+3b. 解　因為邊長為a的正方形卡片1張，邊長分別為a，b的矩形卡片6張，邊長為b的正方形卡片9張，而用這16張卡片拼成一個正方形，所以正方形的每邊上應(yīng)有4張，而且

19、這個正方形的邊長應(yīng)為a+3b.但拼得的正方形的形式是不一樣的，如圖15就是其中的一種. 說明　這是一道結(jié)論開放型問題，只要符合題意且結(jié)論正確的都可以. 考點9　規(guī)律探索問題 圖16 例9（江西?。┯煤诎變煞N顏色的正方形紙片，按黑色紙片數(shù)逐漸加1的規(guī)律拼成如圖16一列圖案： （1）第4個圖案中有白色紙片＿＿＿張； （2）第n個圖案中有白色紙片＿＿＿張. 分析　要解答這兩個問題，只要能求出第n個圖案中有白色紙片的張數(shù)即可，由于第1個圖案中有白色紙片1張，第2個圖案中有白色紙片7張，第3個圖案中有白色紙片10張，…，由此可以得到第n個圖案中有白色紙片3n + 1張，

20、從而求解. 解　因為第1個圖案中有白色紙片1張，第2個圖案中有白色紙片7張，第3個圖案中有白色紙片10張，…，所以可以得到第n個圖案中有白色紙片3n+1張.于是（1）當(dāng)n＝4時，3n+1＝13；（2）3n + 1. 說明　這種利用幾何圖形探索規(guī)律型問題是近年各地中考的熱點，同學(xué)們在求解時一定要通過認(rèn)真的觀察、歸納、猜想、驗證，才能正確地獲解. 練習(xí)題： 1，（十堰市）觀察如圖17甲，從左側(cè)正對長方體看到的結(jié)果是圖乙中的（　　） 圖17 （圖甲） A B C D （圖乙） 2，（衡陽市）如圖18所示的圖形中，不是正方體平面展開圖的是（　?。? 圖1

21、8 3，（江陰市）如圖19，把一個邊長為1的正方形經(jīng)過三次對折后沿中位線(虛線)剪下，則右圖展開得到的圖形的面積為（ ） 圖19 A. 　 B. C. D. 4，（廣東?。┧椒胖玫恼襟w的六個面分別用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示，如圖20是一個正方體的表面展開圖，若圖中“2”在正方體的前面，則這個正方體的后面是 ( ) A.0 　　　 B.6 　　　 C.快 　　　 D.樂 圖20 圖23 圖21 圖22 5，（南

22、通市）已知∠α＝3519′，則∠α的余角等于（　　?。? A.14441′　　　　 B.14481′ C.5441′ D.5481 6，（棗莊市）如圖21，B是線段AC的中點，過點C的直線l與AC成60的角，在直線l上取一點P，使∠APB＝30，則滿足條件的點P的個數(shù)是（　　?。? A.3個 B.2個 　　　 C.l個 　　 D.不存在 7，（十堰市）如圖22，將一張長方形紙片對折兩次，然后剪下一個角，打開.如果要剪出一個正方形，那么剪口線與折痕成（　?。? A.22.5角 B.30角　　　C.45角 D.60角 8，（煙臺市）一位美術(shù)老師在課堂上進(jìn)行立體模型素描教學(xué)時，把14個棱長為1分米的正方體擺在課桌上成如圖23形式，然后他把露出的表面都涂上不同的顏色，則被他涂上顏色部分的面積為（　　　） A.33分米2 B.24分米2　　　C.21分米2 D.42分米2 　　參考答案： 1，B；2，D；3，A；4，B；5，C；6，B；7，C；8，A.