安徽省蚌埠二中高三數(shù)學下學期模擬測試(一)文新人教A版【會員獨享】

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1、 安徽省蚌埠二中2012屆高三下學期模擬測試（一） 文科數(shù)學 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分 1．已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是 。 2已知 ，其中，為虛數(shù)單位，則 。 3某單位從4名應聘者A、B、C、D中招聘2人，如果這4名應聘者被錄用的機會均等，則A，B兩人中至少有1人被錄用的概率是 。 4、某日用品按行業(yè)質(zhì)量標準分成王五個等級，等級系數(shù)依次為1，2，3，4，5.現(xiàn)從一批該日用品中隨機抽取200件，對其等級系數(shù)進行統(tǒng)計分析，得到頻率的分布如下

2、 1 2 3 4 5 a 0.2 0.45 0.15 0.1 則在所抽取的200件日用品中，等級系數(shù)的件數(shù)為 。 5已知變量滿足約束條件，則目標函數(shù)的取值范圍是 6已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率 7已知圓的經(jīng)過直線與坐標軸的兩個交點，又經(jīng)過拋物線的焦點，則圓的方程為 。 8設(shè)是等差數(shù)列的前項和。若，則 。 9、已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值為 。 10、在如圖所示的流程圖中，若輸入的值為，則輸出A的值為

3、 。 11、 一塊邊長為10的正方形鐵片按如圖所示的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形作側(cè)面，以它們的公共頂點為頂點，加工成一個如圖所示的正四棱錐形容器。當時，該容器的容積為 。 12、下列四個命題 ①“”的否定； ②“若則”的否命題； ③在中，““”的充分不必要條件； ④“函數(shù)為奇函數(shù)”的充要條件是“”。 其中真命題的序號是 。（把真命題的序號都填上） 13、在面積為的中，分別是的中點，點在直線上，則 的最小值是 。 14、已知關(guān)于的方程有唯一解，則實數(shù)的值為 15．（本

4、小題滿分14分） 設(shè)向量a＝(2，sinθ)，b＝(1，cosθ)，θ為銳角． （1）若ab＝，求sinθ＋cosθ的值； （2）若a∥b，求sin(2θ＋)的值． 16．（本小題滿分14分） 如圖，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC． A B C D E F (第16題圖） （1）求證：平面AEC⊥平面ABE； （2）點F在BE上．若DE//平面ACF，求的值 17．（本小題滿分14分） x y O T M P Q N (第17題圖） 如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，

5、以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋2＝0相切． （1）求橢圓C的方程； （2）已知點P(0，1)，Q(0，2)．設(shè)M，N是橢圓C上關(guān)于y軸對稱的不同兩點，直線PM與QN相交于點T，求證：點T在橢圓C上． 18．（本小題滿分16分） (第18題圖） C A B D l 某單位設(shè)計一個展覽沙盤，現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi)，布設(shè)一個對角線在l上的四邊形電氣線路，如圖所示．為充分利用現(xiàn)有材料，邊BC，CD用一根5米長的材料彎折而成，邊BA，AD用一根9米長的材料彎折而成，要求∠A和∠C互補，且AB＝BC． （1）設(shè)AB＝x米，cosA＝f(x)，求f(x)的解析式，并指

6、出x的取值范圍； （2）求四邊形ABCD面積的最大值． 19．（本小題滿分16分） 函數(shù)f(x)＝∣ex－bx∣，其中e為自然對數(shù)的底． （1）當b＝1時，求曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程； （2）若函數(shù)y＝f(x)有且只有一個零點，求實數(shù)b的取值范圍； （3）當b＞0時，判斷函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(0，2)上是否存在極大值．若存在，求出極大值及相應實數(shù)b的取值范圍． 20．（本小題滿分16分） 已知數(shù)列{an}滿足：a1＋＋ ＋…＋＝n2＋2n（其中常數(shù)λ＞0，n∈N*）． （1）求數(shù)列{an}的通項公式； （2）當λ＝4時，是否存在互不相同的正整數(shù)r，s，

7、t，使得ar，as，at成等比數(shù)列？若存在，給出r，s，t滿足的條件；若不存在，說明理由； （3）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和．若對任意n∈N*，都有(1－λ)Sn＋λan≥2λn恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍． 21在平面直角坐標系xOy中，判斷曲線C：(q為參數(shù)）與直線l：(t為參數(shù))是否有公共點，并證明你的結(jié)論． 21 D．選修4—5：不等式選講 已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求證：． 22．甲、乙兩班各派三名同學參加青奧知識競賽，每人回答一個問題，答對得10分，答錯得0分．假設(shè)甲班三名同學答對的概率都是，乙班三名同學答對的概率分別是，，，且這六個同學答題正確與否相互

8、之間沒有影響． （1）用X表示甲班總得分，求隨機變量X的概率分布和數(shù)學期望； （2）記“兩班得分之和是30分”為事件A，“甲班得分大于乙班得分”為事件B，求事件A，B同時發(fā)生的概率． 23．記(1＋)(1＋)…(1＋)的展開式中，x的系數(shù)為an，x2的系數(shù)為bn，其中 n∈N*． （1) 求an； （2）是否存在常數(shù)p，q(p＜q) ，使bn＝(1＋)(1＋) 對n∈N*，n≥2恒成立？證明你的結(jié)論． 數(shù)學試卷解析 一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分 1．已知集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是 。 解析：可知道，又所以實數(shù)a的取值范圍是

9、 2已知 ，其中，為虛數(shù)單位，則 。 解析：將等式兩邊都乘，得到，兩邊比較得結(jié)果為4 3某單位從4名應聘者A、B、C、D中招聘2人，如果這4名應聘者被錄用的機會均等，則A，B兩人中至少有1人被錄用的概率是 。 解析：從題目來看，所有的可能性共有6種，但A，B都沒被錄取的情況只有一種，即滿足條件的有5種，所以結(jié)果為 4、某日用品按行業(yè)質(zhì)量標準分成王五個等級，等級系數(shù)依次為1，2，3，4，5.現(xiàn)從一批該日用品中隨機抽取200件，對其等級系數(shù)進行統(tǒng)計分析，得到頻率的分布如下 1 2 3 4 5 a 0.2 0.45

10、 0.15 0.1 則在所抽取的200件日用品中，等級系數(shù)的件數(shù)為 。 解析：由所有頻率之和為1，可知道a =0.1，由頻率公式可知道所求件數(shù)為20。 5、 已知變量滿足約束條件，則目標函數(shù)的取值范圍是 解析：畫出可行域，可以知道目標函數(shù)的取值范圍是[－4，2] 6、 已知雙曲線的一條漸近線方程為，則該雙曲線的離心率 解析：焦點在x軸上的雙曲線的漸近線方程是，與題是所給比較得，所以結(jié)果為 7、 已知圓的經(jīng)過直線與坐標軸的兩個交點，又經(jīng)過拋物線的焦點，則圓的方程為 。 解析：先求直線得與坐標軸的交點為，拋物線

11、的焦點為，可把圓C的方程設(shè)為一般形式，把點坐標代入求得x2＋y2－x－y－2＝0 法2?？梢岳脠A心在弦的垂直平分線上的特點，先求出圓心。并求出半徑，再求。 8、 設(shè)是等差數(shù)列的前項和。若，則 。 解析：由可得 ，從而，故結(jié)果為 9、已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，則的值為 解析：由圖像可知A=2，=3 10、在如圖所示的流程圖中，若輸入的值為，則輸出A的值為 。 解析：經(jīng)計算A值是以為循環(huán)的，注意，當i =11時仍循環(huán)，12的時候出來，所以有12個A值，結(jié)果為 12、 一塊邊長為10的正方形鐵片按如圖所示

12、的陰影部分裁下，然后用余下的四個全等的等腰三角形作側(cè)面，以它們的公共頂點為頂點，加工成一個如圖所示的正四棱錐形容器。當時，該容器的容積為 。 解析：由題意可知道，這個正四棱錐形容器的底面是以6為邊長的正方形，側(cè)高為5，高為4，所以所求容積為48 12、下列四個命題 ①“”的否定； ②“若則”的否命題； ③在中，““”的充分不必要條件； ④“函數(shù)為奇函數(shù)”的充要條件是“”。 其中真命題的序號是 。（把真命題的序號都填上） 解析：“”的否定；即，是真命題； “若則”的否命題；即，也是真倒是，其余兩個是假命題很顯然 A

13、P B F E C 13、在面積為的中，分別是的中點，點在直線上，則 的最小值是 。 解析： 如圖所示，沒 由，得，即 再用余弦定理得，所以= ，令，求導以后可以知道當時，有最小值2 14、已知關(guān)于的方程有唯一解，則實數(shù)的值為 。 解析：先將方程化為，由題意知有唯一解，即為“=”兩邊的函數(shù)圖像只有一個交點。畫圖可知道當時，，圖像只有一個交點。解得a =1 15．（設(shè)向量a＝(2，sinθ)，b＝(1，cosθ)，θ為銳角． （1）若ab＝，求sinθ＋cosθ的值；（2）若a∥b，求sin(2θ＋)的值． 解

14、：（1） 因為ab＝2＋sinθcosθ＝，所以sinθcosθ＝． ……………… 2分 所以 (sinθ＋cosθ)2＝1＋2 sinθcosθ＝． 又因為θ為銳角，所以sinθ＋cosθ＝． ……………… 5分 （2） 解法一 因為a∥b，所以tanθ＝2．　　　 ……………… 7分 所以 sin2θ＝2 sinθcosθ＝＝＝， cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝＝＝－．……………… 11分 所以sin(2θ＋)＝sin2θ＋cos2θ ＝＋(－ )＝． ……………… 14分 解法二 因為a

15、∥b，所以tanθ＝2． ……………… 7分 所以 sinθ＝，cosθ＝． 因此 sin2θ＝2 sinθcosθ＝， cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝－． ……………… 11分 所以sin(2θ＋)＝sin2θ＋cos2θ A B C D E F (第16題圖） ＝＋(－ )＝． ……………… 14分 16．如圖，四邊形ABCD是矩形，平面ABCD⊥平面BCE，BE⊥EC． （1）求證：平面AEC⊥平面ABE； （2）點F在BE上．若DE//平面ACF，求的值 解：（1）證明：因為A

16、BCD為矩形，所以AB⊥BC． 因為平面ABCD⊥平面BCE， 平面ABCD∩平面BCE＝BC，AB平面ABCD， A B C D E F (第16題圖） O 所以AB⊥平面BCE． ……………… 3分 因為CE平面BCE，所以CE⊥AB． 因為CE⊥BE，AB平面ABE，BE平面ABE，AB∩BE＝B， 所以CE⊥平面ABE． ………………………… 6分 因為CE平面AEC，所以平面AEC⊥平面ABE． ………………………… 8分 （2）連結(jié)BD交AC于點O，連結(jié)OF． 因為DE∥平面ACF，D

17、E平面BDE，平面ACF∩平面BDE＝OF， 所以DE//OF． ………………………… 12分 又因為矩形ABCD中，O為BD中點， 所以F為BE中點，即＝． ……… 14分 17．x y O T M P Q N (第17題圖） 如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，以原點為圓心，橢圓C的短半軸長為半徑的圓與直線x－y＋2＝0相切． （1）求橢圓C的方程； （2）已知點P(0，1)，Q(0，2)．設(shè)M，N是橢圓C上關(guān)于y軸對稱的不同兩點

18、，直線PM與QN相交于點T，求證：點T在橢圓C上． 解：（1）由題意知b＝＝． 因為離心率e＝＝，所以＝＝． 所以a＝2． 所以橢圓C的方程為＋＝1． （2）證明：由題意可設(shè)M，N的坐標分別為(x0，y0)，(－x0，y0)，則 直線PM的方程為y＝x＋1， ① 直線QN的方程為y＝x＋2． ② ………………………… 8分 證法一 聯(lián)立①②解得x＝，y＝，即T(，)．……… 11分 由＋＝1可得x02＝8－4y02． 因為()2＋()2＝ ＝＝＝＝1， 所以點

19、T坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上．………………… 14分 證法二 設(shè)T(x，y)． 聯(lián)立①②解得x0＝，y0＝． ……………………… 11分 因為＋＝1，所以()2＋()2＝1． 整理得＋＝(2y－3)2，所以＋－12y＋8＝4y2－12y＋9，即＋＝1． 所以點T坐標滿足橢圓C的方程，即點T在橢圓C上．………………… 14分 18．某單位設(shè)計一個展覽沙盤，現(xiàn)欲在沙盤平面內(nèi)，布設(shè)一個對角線在l上的四邊形電氣線路，如圖所示．為充分利用現(xiàn)有材料，邊BC，CD用一根5米長的材料彎折而成，邊BA，AD用一根9米長的材料彎折而成，要求∠A和∠C互補，且AB＝BC

20、． (第18題圖） C A B D l （1）設(shè)AB＝x米，cosA＝f(x)，求f(x)的解析式，并指出x的 取值范圍；（2）求四邊形ABCD面積的最大值． 解：（1）在△ABD中，由余弦定理得 BD2＝AB2+AD2－2ABADcosA． 同理，在△CBD中，BD2＝CB2+CD2－2CBCDcosC． ………………… 3分 因為∠A和∠C互補， 所以AB2+AD2－2ABADcosA＝CB2+CD2－2CBCDcosC ＝CB2+CD2＋2CBCDcosA． ………… 5分 即 x2+(9－x)2－

21、2 x(9－x) cosA＝x2+(5－x)2＋2 x(5－x) cosA．　 解得 cosA＝，即f( x)＝．其中x∈(2，5)．　　 ……………………… 8分 （2）四邊形ABCD的面積 S＝(ABAD+ CBCD)sinA＝[x(5－x)+x(9－x)]．　 ＝x(7－x)＝＝．………… 11分 記g(x)＝(x2－4)( x2－14x＋49)，x∈(2，5)． 由g′(x)＝2x( x2－14x＋49)＋(x2－4)( 2 x－14)＝2(x－7)(2 x2－7 x－4)＝0， 解得x＝4(x＝7和x＝－舍)． ………………

22、……… 14分 所以函數(shù)g(x)在區(qū)間(2，4)內(nèi)單調(diào)遞增，在區(qū)間(4，5)內(nèi)單調(diào)遞減． 因此g(x)的最大值為g(4)＝129＝108． 所以S的最大值為＝6． 答：所求四邊形ABCD面積的最大值為6m2． ……………………… 16分 19．（本小題滿分16分） 函數(shù)f(x)＝∣ex－bx∣，其中e為自然對數(shù)的底． （1）當b＝1時，求曲線y＝f(x)在x＝1處的切線方程； （2）若函數(shù)y＝f(x)有且只有一個零點，求實數(shù)b的取值范圍； （3）當b＞0時，判斷函數(shù)y＝f(x)在區(qū)間(0，2)上是否存在極大值．若存在，求出極大值及相應實數(shù)b的取值范圍． 解：（1）記g

23、(x)＝ex－bx．當b＝1時，g(x)＝ex－1． 當x＞0時，g(x)＞0，所以g(x)在(0，＋∞)上為增函數(shù)． 又g(0)＝1＞0，所以當x∈(0，＋∞)時，g(x)＞0． 所以當x∈(0，＋∞)時，f(x)＝∣g(x)∣＝g(x)，所以f(1)＝g(1)＝e－1． 所以曲線y＝f(x)在點(1，e－1)處的切線方程為： y－(e－1)＝(e－1)(x－1)， 即y＝(e－1)x． ……………… 4分 （沒有說明“在x＝1附近，f(x)＝ex－bx”的扣1分) （2）解法一 f(x)＝0同解于g(x)＝0，因此，只需g(x)＝0有且只有

24、一個解． 即方程ex－bx＝0有且只有一個解． 因為x＝0不滿足方程，所以方程同解于b＝． ………………………… 6分 令h(x)＝，由h(x)＝＝0得x＝1． 當x∈(1，＋∞)時，h(x)＞0，h(x)單調(diào)遞增，h(x)∈(e，＋∞)； 當x∈(0，1)時，h(x)＜0，h(x)單調(diào)遞減，h(x)∈(e，＋∞)； 所以當x∈(0，＋∞)時，方程b＝有且只有一解等價于b＝e．………… 8分 當x∈(－∞，0)時，h(x)單調(diào)遞減，且h(x)∈(－∞，0)， 從而方程b＝有且只有一解等價于b∈(－∞，0)． 綜上所述，b的取值范圍為(－∞，0)∪{e}． ……………

25、……………… 10分 解法二 f(x)＝0同解于g(x)＝0，因此，只需g(x)＝0有且只有一個解． 即方程ex－bx＝0有且只有一個解，即ex＝bx有且只有一解． 也即曲線y＝ex與直線y＝bx有且只有一個公共點． …………………… 6分 1 x y O 1 y＝ex y＝bx （圖1） 1 x y O 1 y＝ex y＝bx （圖2） 如圖1，當b＜0時，直線y＝bx與y＝ex總是有且只有一個公共點，滿足要求． ………………………… 8分 如圖2，當b≥0時，直線y＝bx與y＝ex有且只有一個公共點， 當且僅當直線y＝bx與曲線

26、y＝ex相切． 設(shè)切點為(x0，e)，根據(jù)曲線y＝ex在x＝x0處的切線方程為： y－e＝e(x－x0)． 把原點(0，0)代入得x0＝1，所以b＝e＝e． 綜上所述，b的取值范圍為(－∞，0)∪{e}． ………………………… 10分 （3）由g(x)＝ex－b＝0，得x＝lnb． 當x∈(－∞，lnb)時，g(x)＜0，g(x)單調(diào)遞減． 當x∈(lnb，＋∞)時，g(x)＞0，g(x)單調(diào)遞增． 所以在x＝lnb時，g(x)取極小值g(lnb)＝b－blnb＝b(1－lnb)． ①當0＜b≤e時， g(lnb)＝b－blnb＝b(1－lnb)≥0，從而當x∈R時，g

27、(x)≥0． 所以f(x)＝∣g(x)∣＝g(x)在(－∞，＋∞)上無極大值． 因此，在x∈(0，2)上也無極大值． …………………………… 12分 ②當b＞e時，g(lnb)＜0． 因為g(0)＝1＞0，g(2lnb)＝b2－2blnb＝b(b－2lnb)＞0， （令k(x)＝x－2lnx．由k(x)＝1－＝0得x＝2，從而當x∈(2，＋∞)時，k(x)單調(diào)遞增，又k(e)＝e－2＞0，所以當b＞e時，b－2lnb＞0．） 所以存在x1∈(0，lnb)，x2∈(lnb，2lnb)，使得g(x1)＝g(x2)＝0． 此時f(x)＝∣g(x)∣＝ 所以f(x)在(－∞

28、，x1)單調(diào)遞減，在(x1，lnb)上單調(diào)遞增，在(lnb，x2)單調(diào)遞減， 在(x2，＋∞)上單調(diào)遞增． ……………………………… 14分 所以在x＝lnb時，f(x)有極大值． 因為x∈(0，2)．所以，當lnb＜2，即e＜b＜e2時，f(x)在(0，2)上有極大值； 當lnb≥2，即b≥e2時，f(x)在(0，2)上不存在極大值． 綜上所述，在區(qū)間(0，2)上， 當0＜b≤e或b≥e2時，函數(shù)y＝f(x)不存在極大值； 當e＜b＜e2時，函數(shù)y＝f(x)，在x＝lnb時取極大值f(lnb)＝b(lnb－1)．… 16分 20．（本小題滿分1

29、6分） 已知數(shù)列{an}滿足：a1＋＋ ＋…＋＝n2＋2n（其中常數(shù)λ＞0，n∈N*）． （1）求數(shù)列{an}的通項公式； （2）當λ＝4時，是否存在互不相同的正整數(shù)r，s，t，使得ar，as，at成等比數(shù)列？若存在，給出r，s，t滿足的條件；若不存在，說明理由； （3）設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項和．若對任意n∈N*，都有(1－λ)Sn＋λan≥2λn恒成立，求實數(shù)λ的取值范圍． 解：（1）當n＝1時，a1＝3． 當n≥2時，由a1＋＋＋…＋＝n2＋2n， ① 得a1＋＋ ＋…＋＝(n－1)2＋2(n－1)． ② ①－②得：＝2n＋1，所以an

30、＝(2n＋1)λn－1，（n≥2）． 因為a1＝3，所以an＝(2n＋1)λn－1 (n∈N*)． ………………………… 4分 （2）當λ＝4時，an＝(2n＋1)4n－1． 若存在ar，as，at成等比數(shù)列，則 [(2r＋1) 4r－1] [(2t＋1) 4t－1]＝(2s＋1)2 42s－2． 整理得(2r＋1) (2t＋1) 4 r＋t －2s＝(2s＋1)2． ………………………… 6分 由奇偶性知r＋t －2s＝0． 所以(2r＋1) (2t＋1)＝(r＋t＋1)2，即(r－t)2＝0． 這與r≠t矛盾，故不存在這樣的正整數(shù)r，s，t，使得ar，as，

31、at成等比數(shù)列．… 8分 （3）Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n＋1)λn－1． 當λ＝1時，Sn＝3＋5＋7＋…＋(2n＋1)＝n2＋2n． 當λ≠1時，Sn＝3＋5λ＋7λ2＋…＋(2n＋1)λn－1， λSn＝ 3λ＋5λ2＋…＋(2n－1)λn－1＋(2n＋1)λn． (1－λ)Sn＝3＋2(λ＋λ2＋λ3＋＋…＋λn－1)－(2n＋1)λn ＝3＋2 －(2n＋1)λn． ……………………… 10分 要對任意n∈N*，都有(1－λ)Sn＋λan≥2λn恒成立， ①當λ＝1時，左＝(1－λ)Sn＋λan＝an＝2n＋1≥2，結(jié)論顯然成立； ②當λ≠1時，左＝(1

32、－λ)Sn＋λan＝3＋2 －(2n＋1)λn＋λan ＝3＋2＝－． 因此，對任意n∈N*，都有≥λn恒成立． 當0＜λ＜1時，只要≥λn對任意n∈N*恒成立． 只要有≥λ即可，解得λ≤1或λ≥． 因此，當0＜λ＜1時，結(jié)論成立． ……… 14分 當λ≥2時，≥λn顯然不可能對任意n∈N*恒成立． 當1＜λ＜2時，只要≤λn對任意n∈N*恒成立． 只要有≤λ即可，解得1≤λ≤． 因此當1＜λ≤時，結(jié)論成立． 綜上可得，實數(shù)λ的取值范圍為(0，]． ………………………… 16分 21C．選修4—4：坐標系與參數(shù)方程 在平面直角坐標系xOy

33、中，判斷曲線C：(q為參數(shù)）與直線l：(t為參數(shù))是否有公共點，并證明你的結(jié)論． 解法一：直線l的普通方程為x＋2y－3＝0． ……………… 3分 曲線C的普通方程為． …………………… 3分 由方程組得 因為無解，所以曲線C與直線l沒有公共點． …………… 4分 （注：計算出錯，但位置關(guān)系正確，得2分） 解法二：直線l的普通方程為x＋2y－3＝0． ……………………… 3分 把曲線C的參數(shù)方程代入l的方程x＋2y－3＝0， 得2cosq＋2sinq－3＝

34、0，即sin(q＋)＝． …………………… 3分 因為sin(q＋)∈[－，]，而[－，]， 所以方程sin(q＋)＝無解．即曲線C與直線l沒有公共點．…………… 4分 （或sin(q＋)＝，所以sin(q＋)無解．即曲線C與直線l沒有公共點． 4分） 21D．選修4—5：不等式選講 已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，求證：． 證法一：因為a＞0，b＞0，a＋b＝1， 所以 ()[(2a＋1)＋(2b＋1)] ＝1＋4＋ …………………… 5分 ≥5＋2＝9． …………………… 3分 而 (2a＋1)＋(2b＋1)＝4

35、，所以．　…………………… 2分 證法二：因為a＞0，b＞0，由柯西不等式得 ()[(2a＋1)＋(2b＋1)] …………………… 5分 ≥(＋)2 ＝(1＋2)2＝9． …………………… 3分 由a＋b＝1，得 (2a＋1)＋(2b＋1)＝4， 所以．　 …………………… 2分 證法三：設(shè)，則且…… 2分 只需證明即可．…………… 2分 因為 ． ………… 2分 且，所以． 故 ……………… 2分 22．甲、乙兩班各派三名同學參

36、加青奧知識競賽，每人回答一個問題，答對得10分，答錯得0分．假設(shè)甲班三名同學答對的概率都是，乙班三名同學答對的概率分別是，，，且這六個同學答題正確與否相互之間沒有影響． （1）用X表示甲班總得分，求隨機變量X的概率分布和數(shù)學期望； （2）記“兩班得分之和是30分”為事件A，“甲班得分大于乙班得分”為事件B，求事件A，B同時發(fā)生的概率． 解：（1）隨機變量X的可能取值是0，10，20，30，且 P(X＝0)＝C(1－)3＝， P(X＝10)＝C(1－)2＝， P(X＝20)＝C()2(1－)＝， P(X＝30)＝C()3＝． 所以，X的概率分布為 X 0 10

37、 20 30 P ………………………… 3分 隨機變量X的數(shù)學期望E(X)＝0＋10＋20＋30＝20．……… 5分 （2）甲班得20分，且乙班得10分的概率是： C()2(1－)[(1－)(1－)＋(1－)(1－)＋(1－)(1－)]＝； 甲班得30分，且乙得班0分的概率是： C()3 (1－)(1－)(1－)＝． 所以事件A，B同時發(fā)生的概率為＋＝．　　 …………………… 10分 23．記(1＋)(1＋)…(1＋)的展開式中，x的系數(shù)為an，x2的系數(shù)為b

38、n，其中 n∈N*． （1) 求an； （2）是否存在常數(shù)p，q(p＜q) ，使bn＝(1＋)(1＋) 對n∈N*，n≥2恒成立？證明你的結(jié)論． 解：（1） 根據(jù)多項式乘法運算法則，得 an＝＋+…＋＝1－． ………………………… 3分 （2）解法一 計算得b2＝，b3＝． 代入bn＝(1＋)(1＋)，解得p＝－2，q＝－1． ……………………… 6分 下面用數(shù)學歸納法證明bn＝(1－)(1－)＝－＋ (n≥2)： ①當n＝2時，b2＝，結(jié)論成立． ②設(shè)n＝k時成立，即bk＝－＋． 則當n＝k＋1時， bk+1＝bk＋＝－＋＋－ ＝－＋． 由①②可得結(jié)論成立．　

39、　　 ………………………… 10分 解法二 根據(jù)多項式乘法運算法則，得 bn+1=bn+． ……………………… 6分 所以bn－bn－1＝＝－＝－ (n≥3)． 所以bn＝++……+－2(++……+)+b2 ＝－＋ (n≥3) ． 又b2＝也滿足上式．所以bn＝－＋＝(1－) (1－) (n≥2)． 所以存在p＝－2，q＝－1符合題意． ………………………… 10分 解法三 根據(jù)多項式乘法運算法則，得 bn＝[(＋＋…＋)2－(＋＋…＋)] ………………………… 7分 ＝[(1－)2－]＝－＋＝(1－)(1－)． 所以存在p＝－2，q＝－1符合題意． ………………………… 10分 16 用心 愛心 專心