[初一數(shù)學(xué)]滬教版初一下數(shù)學(xué)詳細(xì)講義

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1、第十二章 實(shí)數(shù) 第1講 實(shí)數(shù)的概念 【知識(shí)要點(diǎn)】 1. 無(wú)理數(shù)：無(wú)限不循環(huán)小數(shù)叫做無(wú)理數(shù),也就是不能用兩整數(shù)比表示的數(shù). 無(wú)理數(shù)可分為正無(wú)理數(shù)和負(fù)無(wú)理數(shù).只有符號(hào)不同的兩個(gè)無(wú)理數(shù)是互為相反數(shù). 2. 實(shí)數(shù)：有理數(shù)和無(wú)理數(shù)統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù). 3. 實(shí)數(shù)分類(lèi)： 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 理解無(wú)理數(shù)、實(shí)數(shù)的概念 【典型例題】 【例1】 下列表述是否正確,并說(shuō)明理由： （1）一個(gè)實(shí)數(shù),不是正數(shù),就是負(fù)數(shù).（2）有限小數(shù)都是有理數(shù),無(wú)限小數(shù)都是無(wú)理數(shù). （3）一個(gè)有理數(shù)不是整數(shù),就是負(fù)數(shù).（4）一個(gè)無(wú)理數(shù),不是正數(shù)就是負(fù)數(shù). （5）一個(gè)實(shí)數(shù)不是有理數(shù),就是無(wú)

2、理數(shù). 【分析】利用實(shí)數(shù)、有理數(shù)、無(wú)理數(shù)的概念. 【解答】因?yàn)榱闶菍?shí)數(shù),但它既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù),在（1）的實(shí)數(shù)分類(lèi)中并沒(méi)有把零包括在內(nèi),所以（1）不正確. 無(wú)限小數(shù)包括無(wú)限循環(huán)小數(shù)和無(wú)限不循環(huán)小數(shù),而無(wú)限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù),所以（2）不正確. 因?yàn)榱闶怯欣頂?shù),它既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù),在（3）的有理數(shù)分類(lèi)中沒(méi)有把零包括在內(nèi),所以（3）不正確. 無(wú)理數(shù)可分為正無(wú)理數(shù)和負(fù)無(wú)理數(shù),所以（4）正確. 實(shí)數(shù)是有理數(shù)與無(wú)理數(shù)的統(tǒng)稱(chēng),所以（5）正確. 【注】零在實(shí)數(shù)中仍是正、負(fù)數(shù)的分界點(diǎn),不可忽視. 【例2】選擇題： （1） 在實(shí)數(shù)范圍內(nèi),有一個(gè)數(shù)不是正實(shí)數(shù),這個(gè)數(shù)一定是 （A） 負(fù)實(shí)

3、數(shù) （B）負(fù)有理數(shù) （C）非正實(shí)數(shù) （D）非負(fù)實(shí)數(shù) （2） 實(shí)數(shù)(兩個(gè)11之間依次多一個(gè)0)中,無(wú)理數(shù)的個(gè)數(shù)有 （ ） （A）2個(gè) （B）3個(gè) （C）4個(gè) （D）5個(gè) 【解答】（1）按實(shí)數(shù)可以分為正實(shí)數(shù),零,負(fù)實(shí)數(shù),非正實(shí)數(shù),即零或負(fù)實(shí)數(shù),選（C）. （2）判斷無(wú)理數(shù)應(yīng)根據(jù)無(wú)理數(shù)的概念“無(wú)限不循環(huán)小數(shù)是無(wú)理數(shù)”來(lái)斷定,應(yīng)選（B）. 【例3】分別將下列各數(shù)填入相應(yīng)的橫線(xiàn)上： （每?jī)蓚€(gè)3之間1的個(gè)數(shù)依次多1

4、） 有理數(shù)是 無(wú)理數(shù)是 【分析】有理數(shù)是能表示為形式的數(shù),無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù),分別用這兩條標(biāo)準(zhǔn)去檢驗(yàn)上面的數(shù)得出正確結(jié)果. 【解答】有理數(shù)是： 無(wú)理數(shù)是：（每?jī)蓚€(gè)3之間1的個(gè)數(shù)依次多1）. 【基礎(chǔ)訓(xùn)練】 1. 實(shí)數(shù)可以分為和兩類(lèi). 2． 有理數(shù)可以分為和;但按符號(hào)來(lái)分還可以分為、和. 3．叫無(wú)理數(shù). 4．,無(wú)理數(shù)有個(gè),它們是 5．寫(xiě)出在2和3之間的一個(gè)無(wú)理數(shù). 第2講 數(shù)的開(kāi)方 （1）平方根和開(kāi)平方 【知識(shí)要點(diǎn)】 1.平方根 如果一個(gè)數(shù)的平方根等于,那么這個(gè)數(shù)叫做的平方根,也可敘述為：“如果,那么就叫做的平方根.” 2.開(kāi)平方

5、 求一個(gè)數(shù)的平方根的運(yùn)算叫做開(kāi)平方,叫做被開(kāi)方數(shù). 3.平方根的性質(zhì) 一個(gè)正數(shù)有兩個(gè)平方根,它們互為相反數(shù).正數(shù)的兩個(gè)平方根可以用“”表示,其中表示的正平方根（又叫算術(shù)平方根）,讀作“根號(hào)”; 表示的負(fù)平方根,讀作“負(fù)根號(hào)”. 零的平方根記作,. 因?yàn)槿魏我粋€(gè)正數(shù)、負(fù)數(shù)或零的平方都不是負(fù)數(shù),所以負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根. 4.開(kāi)平方與平方的關(guān)系 開(kāi)平方與平方互為逆運(yùn)算,根據(jù)平方根的意義,“如果,那么叫做的平方根”, 記作,我們得到： （1）一個(gè)正數(shù)的平方根的平方等于這個(gè)數(shù),即：當(dāng)時(shí), （2）一個(gè)正數(shù)的平方的正平方根等于這個(gè)數(shù),即：當(dāng)時(shí), 一個(gè)負(fù)數(shù)的平方的正平方根等于這個(gè)數(shù)的相反

6、數(shù),即：當(dāng)時(shí), 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.理解平方根與開(kāi)平方的概念; 2.理解開(kāi)平方與平方互為逆運(yùn)算的關(guān)系; 3.掌握平方根的性質(zhì),分清平方根與算術(shù)平方根的區(qū)別,并知道它們之間的聯(lián)系. 【典型例題】 例1 判斷下列說(shuō)法是否正確： （1）1的平方根是1. （2）-16的平方根是. （3）的平方根是9. （4）. （5）-7是49的平方根 （6）的平方根是 【解答】（1）不正確.因?yàn)?是正數(shù),1的平方根有兩個(gè),是. （2）不正確.因?yàn)?16是負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)沒(méi)有平方根. （3）不正確.應(yīng)該是的平方是9. （4）不正確.表示81的正的平方根.它是一個(gè)正數(shù),=9

7、,而. （5）正確.因?yàn)楦鶕?jù)平方根的概念,-7是49的平方根,但反過(guò)來(lái)說(shuō),49的平方根是-7就錯(cuò)了. (6)不正確.,的平方根即為4的平方根,所以的平方根應(yīng)是. 【點(diǎn)評(píng)】解答這道題目是對(duì)鞏固和掌握平方根的概念和性質(zhì)不可忽視的基本訓(xùn)練. 【例2】求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） 【分析】求的值就是求144的正的平方根（即144的算術(shù)平方根）;求的值就是求的負(fù)的平方根（即的算術(shù)根的相反數(shù)）;求的值就是求0.01的平方根;求的值就是求的算術(shù)平方根的相反數(shù).搞清各式的符號(hào)語(yǔ)言的意義,是得到正確解的關(guān)鍵. 【解答】（1） （

8、2） （3） （4） 【例3】求下列各數(shù)的平方根： （1）0.64 （2） （3）0 （4） 【解答】（1）的平方根是即： （2） （3） （4） 【點(diǎn)評(píng)】運(yùn)用平方運(yùn)算求一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根是常用的方法.用符號(hào)語(yǔ)言表示一個(gè)非負(fù)數(shù)的平方根,應(yīng)由不習(xí)慣到習(xí)慣,這對(duì)加深平方根概念和性質(zhì)的理解有好處. 【例4】 已知的平方根是,的平方根是,求的平方根. 【分析】由已知得：=,即： ①, ②, 解由方程①和②組成的方程組得和的值,再求的平方根. 【解答】由已知得解得的平方根是. 【基礎(chǔ)訓(xùn)練】 1.下列說(shuō)法正確的是

9、（ ） （A）因?yàn)?的平方是9,所以9的平方根是3 （B）因?yàn)?3的平方是9,所以9的平方根是-3 （C）因?yàn)榈牡讛?shù)為-3,所以沒(méi)有平方根 （D）因?yàn)?9是負(fù)數(shù),所以-9沒(méi)有平方根 2.下列各數(shù)是否有平方根,如果有,有幾個(gè)？并說(shuō)明理由. （1）（2）-8 （3）0 （4） 3.已知與互為相反數(shù),求的值 4.求下列各數(shù)的平方根和算術(shù)平方根 （1）0.0009 （2） （3） 5.求值. （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【提高訓(xùn)練】 1.一個(gè)數(shù)的算術(shù)平方根為,比這個(gè)數(shù)大2的數(shù)是

10、 ( ) (A) （B） （C） （D） 2. ,則的取值范圍為 （ ） (A) （B） （C） （D） 3.若,則 4.已知,求的值. 5.已知一個(gè)正數(shù)的平方根是和,求的值. 6.已知為實(shí)數(shù),求的最小值和取得最小值時(shí)的值. 第2講 數(shù)的開(kāi)方 （2）立方根和開(kāi)立方 【知識(shí)要點(diǎn)】 1.立方根 與平方根類(lèi)似,有： 如果一個(gè)數(shù)的立方等于,那么這個(gè)數(shù)叫做的立方根,用“”表示,讀作“三次根號(hào)”,中的叫做被

11、開(kāi)方數(shù),“3”叫做根指數(shù);也可敘述為“如果,那么就叫做的立方根”,記作. 2.開(kāi)立方 求一個(gè)數(shù)的立方根的運(yùn)算叫做開(kāi)立方.開(kāi)立方與立方互為逆運(yùn)算. 3.立方根的性質(zhì) 我們已學(xué)過(guò)正數(shù)的立方是一個(gè)正數(shù),負(fù)數(shù)的立方是一個(gè)負(fù)數(shù),零的立方等于零,由立方運(yùn)算可知正數(shù)有一個(gè)正立方根,負(fù)數(shù)有一個(gè)負(fù)立方根,零的立方根是零,也就是說(shuō)任意一個(gè)數(shù)都有立方根,而且只有一個(gè)立方根. 類(lèi)似于平方與開(kāi)平方之間的關(guān)系,根據(jù)立方根的意義,可以得到 .（以上是實(shí)數(shù)） 方法與技能：一個(gè)數(shù)的立方根記作“”,根指數(shù)3不能忽略. 由于,有,,有,可見(jiàn).一般地,如果>0則,,如果把非負(fù)數(shù)的立方根叫做算術(shù)立方根,那么負(fù)數(shù)的立方根

12、可以由它的相反數(shù)的算術(shù)立方根的相反數(shù)來(lái)表示,也就是把“—”號(hào)提到根號(hào)外面來(lái). 典型剖析 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.理解立方根與開(kāi)立方的概念; 2.理解開(kāi)立方與立方互為逆運(yùn)算的關(guān)系; 【典型例題】 【例1】 求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） 【分析】 由立方根的意義,如果,那么就叫做的立方根,記作,可知的立方根的立方：. 【解答】 （1） （2） 也可以這樣求： （3） （4） 【例2】 判斷題（對(duì)的打“√”,錯(cuò)的打“”） （1）1的立方根是. （2）任何數(shù)都有立方根. （3）

13、如果,那么. （4）兩個(gè)互為相反數(shù)的立方根也是互為相反數(shù). （5）一個(gè)數(shù)的立方根和平方根都是它本身,這個(gè)數(shù)是0或1. （6）的平方根是. 【解答】（1）（）. 1的立方根是1. （2）（√）.任何實(shí)數(shù)都有唯一的立方根,記作. （3）（√）.因?yàn)槭堑牧⒎礁?則;同理,.由可推出,即.. （4）（√）. ,兩個(gè)互為相反數(shù)的立方根也互為相反數(shù). (5) () 如果一個(gè)數(shù)的立方根是它本身,則 或.如果一個(gè)數(shù)的平方根是它本身,則,則,所以或1. （6）（√）. ,它的平方根為. 【例3】 若<0,則______________. 【解答】<0,. 【例4】 求下列各

14、數(shù)的立方根 （1）0.216 （2） （3） 【分析】運(yùn)用立方運(yùn)算求一個(gè)數(shù)的立方根是常用的方法,求帶分?jǐn)?shù)的立方根,要先將帶分?jǐn)?shù)化為假分?jǐn)?shù).用這個(gè)性質(zhì)有,但對(duì)于平方根來(lái)說(shuō)不能適用,因?yàn)閺?fù)數(shù)沒(méi)有平方根. 【解答】（1） 的立方根是0.6,即. （2）,而 的立方根是,即. （3） 的立方根是,即; 的立方根是,即. 【基礎(chǔ)訓(xùn)練】 1. 判斷 （1）的立方根是和

15、 （ ） （2）的的立方根是沒(méi)有意義的 （ ） （3）的立方根是 （ ） （4）的立方根是4 （ ） （5）是的立方根 （ ） 2.下列說(shuō)法正確的是（

16、 ） （A）一個(gè)數(shù)的立方根有兩個(gè),且它們互為相反數(shù) （B）任何一個(gè)數(shù)必有立方根和平方根 （C）一個(gè)數(shù)的立方根必與這個(gè)數(shù)同號(hào) （D）負(fù)數(shù)沒(méi)有立方根 3. 求下列各數(shù)的立方根： 4.求下列各式的值： 5.計(jì)算： 【能力提高】 1.設(shè),則的立方根= . 2.若求的值. 3.已知是的算術(shù)平方根, 是的立方根, 求的立方根. 4.解方程： 5.立方根有如下性質(zhì)： (1)計(jì)算：的值. (2)設(shè)用含的代數(shù)式表示. 第2講

17、 數(shù)的開(kāi)方 （3）次方根 【知識(shí)要點(diǎn)】 1.次方根 如果一個(gè)數(shù)的次方(是大于1的整數(shù))等于,那么這個(gè)數(shù)叫做的次方根,也可敘述為“如果(是大于1的整數(shù)),那么就叫做的次方根”,記作.平方根和立方根是次方根的特例. 2.開(kāi)次方 求一個(gè)數(shù)的次方根的運(yùn)算叫做開(kāi)次方,叫做被開(kāi)方數(shù), 叫做根指數(shù). 次方根簡(jiǎn)稱(chēng)為“方根”;開(kāi)次方簡(jiǎn)稱(chēng)“開(kāi)方”. 3.次方根的性質(zhì) 由于次方根包含平方根和立方根在內(nèi),而平方根和立方根有不同的性質(zhì),這使得研究次方根的性質(zhì)時(shí),必然要把指數(shù)按奇數(shù)或偶數(shù)分別進(jìn)行研究. 與立方根類(lèi)比：實(shí)數(shù)的奇次方根有且只有一個(gè),用“”表示,其中被開(kāi)方數(shù)是任意一個(gè)實(shí)數(shù),根指數(shù)是大于1

18、的奇數(shù). 與平方根類(lèi)比：正數(shù)的偶次方根有兩個(gè),它們互為相反數(shù),正次根用“”表示,讀作“次根號(hào)”,負(fù)次根用“”表示,其中被開(kāi)方數(shù),根指數(shù)是正偶數(shù)（當(dāng)時(shí),在中省略）,負(fù)數(shù)的偶次方根不存在. 因?yàn)榱愕拇畏降扔诹?所以零的次方根等于零,表示為 方法與技能：研究次方根,必須用分類(lèi)思想把指數(shù)分為奇數(shù)和偶數(shù)來(lái)考慮,學(xué)習(xí)奇次根式時(shí)與立方根類(lèi)比,學(xué)習(xí)偶次根式時(shí)與平方根類(lèi)比,這種類(lèi)比方法是數(shù)學(xué)思維重要方法之一. 綜上,無(wú)論為奇數(shù)還是偶數(shù),對(duì)于正數(shù)的正次方根都記作,稱(chēng)為正數(shù)的次算術(shù)根.（的次算術(shù)根為零）正數(shù)的次算術(shù)根,有下列重要性質(zhì)： （為大于或等于2的整數(shù)） 即根指數(shù)與被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)如果有公因數(shù)則可以

19、約去,這一公式可以順用,即將化為反過(guò)來(lái),也可以將化為. 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.理解次方根的概念; 2.理解開(kāi)次方與次乘方互為逆運(yùn)算的關(guān)系; 【典型例題】 【例1】 求值： （1）32的五次方根 （2）-32的五次方根 （3）16的四次方根 （4）64的六次方根 （4）0.000064的六次方根 （6）的五次方根 【分析】 運(yùn)用乘方運(yùn)算求方根的值是常用的方法,對(duì)于正數(shù)的偶次方根有兩個(gè),它們互為相反數(shù)要充分理解,求次方根的值必須考慮指數(shù)的奇、偶性,增強(qiáng)分類(lèi)的意識(shí),學(xué)會(huì)正確的語(yǔ)言表述是很重要的,給書(shū)寫(xiě)也帶來(lái)簡(jiǎn)

20、便. 【解答】 （1） 32的五次方根 （2） -32的五次方根 （3） 16的四次方根 （4） 64的六次方根 （5） 0.000064的六次方根 （6） 的五次方根 【例2】 選擇題： 1.下列語(yǔ)句中,正確的是（ ） （A）正數(shù)的次方根記作 （B）如果是偶數(shù),當(dāng)且僅當(dāng)是非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí),則有意義 （C）零的次方根無(wú)意義 （D）任何實(shí)數(shù)都能開(kāi)方 2.在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)能開(kāi)偶次方根的條件是（ ） （A）為任意實(shí)數(shù) （B） （C） （D）

21、 【分析】理解立方根和開(kāi)立方的概念 【解答】1.（B） 當(dāng)是奇數(shù)時(shí),正數(shù)的次方根記作“”, 當(dāng)是偶數(shù)時(shí),正數(shù)的次方根記作“”,故（A）錯(cuò). 當(dāng)為非負(fù)實(shí)數(shù)時(shí),有偶次方根,所以（是偶數(shù)）有意義,故（B）對(duì).零的次方為零,故（C）錯(cuò). 負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根,任何實(shí)數(shù)不一定都能開(kāi)方,故（D）錯(cuò). 2.（C） 由被開(kāi)方數(shù)解得,故選（C）. 【例3】求適合下列等式中的. （1） （2） 【分析】理解開(kāi)次方與次乘方互為逆運(yùn)算的關(guān)系 【解答】（1）是的立方根,因?yàn)?所以是的立方根,因此 ,即. （2）由已知可知,是的四次方根,由于,所以是的四次方根,因此,即.

22、 【基礎(chǔ)訓(xùn)練】 1.的五次方根是（ ） 2.81的四次方根是 （ ） 3. 的四次方根是（ ） 4. 的五次方根是（ ） 5.如果,那么 6.下列式子中,正確的是 7.用符號(hào)表示下列各方根,并求出各方根的值. (1) 的三次方的三次方根 （2）的六次方根 （3）—8平方的六次方根 8.計(jì)算： 【能力提高】 1.下列各式不正確的是 2. 3.計(jì)算： 4.已知是自然數(shù), 是實(shí)數(shù)且成立.試討論及的取值范圍. 第3講 實(shí)數(shù)的運(yùn)算 （1）用數(shù)軸上的點(diǎn)表示

23、實(shí)數(shù) 【知識(shí)要點(diǎn)】 知識(shí)點(diǎn)1 用數(shù)軸上的點(diǎn)表示無(wú)理數(shù) 方法一：用畫(huà)圖的方法找到數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示它.例如：邊長(zhǎng)為的正方形,對(duì)角線(xiàn)長(zhǎng)為（這在學(xué)習(xí)了直角三角形中勾股定理后很容易知道, 現(xiàn)在暫不作介紹）,我們可以在數(shù)軸上以一個(gè)單位長(zhǎng)為邊長(zhǎng)作一個(gè) 正方形,以原點(diǎn)為圓心,正方形對(duì)角線(xiàn)為半徑作弧,與數(shù)軸正 半軸交于點(diǎn)就表示無(wú)理數(shù),與數(shù)軸負(fù)半軸交于點(diǎn)就表示 圖1 無(wú)理數(shù). 方法二：用無(wú)限不循環(huán)小數(shù)點(diǎn)的近似值來(lái)確定這個(gè)點(diǎn)的位置.例如：可以精確到百分位的近似數(shù)來(lái)確定數(shù)軸上表示這個(gè)點(diǎn)的位置.

24、 知識(shí)點(diǎn)2 數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)成一一對(duì)應(yīng) 每一個(gè)有理數(shù)和無(wú)理數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個(gè)點(diǎn)來(lái)表示,反過(guò)來(lái)數(shù)軸上的每一個(gè)點(diǎn)都可以用一個(gè)有理數(shù)或無(wú)理數(shù)表示.為有理數(shù)和無(wú)聊隸屬統(tǒng)稱(chēng)為實(shí)數(shù),因此,全體實(shí)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)布滿(mǎn)了整個(gè)數(shù)軸,數(shù)軸上的點(diǎn)和實(shí)數(shù)成一一對(duì)應(yīng). 知識(shí)點(diǎn)3 實(shí)數(shù)的相反數(shù)和絕對(duì)值 一個(gè)實(shí)數(shù)在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離,叫做這個(gè)數(shù)的絕對(duì)值,實(shí)數(shù)的絕對(duì)值記作 ,

25、 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 當(dāng)時(shí) 絕對(duì)值相等,符號(hào)相反的兩個(gè)數(shù)叫做互為相反數(shù),零的相反數(shù)是零,非零實(shí)數(shù)的相反數(shù)是. 知識(shí)點(diǎn)4 兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的比較 兩個(gè)實(shí)數(shù)可以比較大小,其大小順序的規(guī)定同有理數(shù)一樣,負(fù)數(shù)小于零,零小于正數(shù),兩個(gè)正數(shù),絕對(duì)值大的數(shù)較大;兩個(gè)負(fù)數(shù),絕對(duì)值大的反而小,從數(shù)軸上看,右邊的點(diǎn)所表示的數(shù)總比左邊的點(diǎn)索表示的數(shù)大. 知識(shí)點(diǎn)5 同一數(shù)軸上,兩點(diǎn)間的距離 在數(shù)軸上,如果點(diǎn)、點(diǎn)索對(duì)應(yīng)的數(shù)分別是,那么兩點(diǎn)的距離. 方法與技能：當(dāng)有理數(shù)系擴(kuò)展到實(shí)數(shù)后,有理數(shù)的絕對(duì)值、相反數(shù)、大小比

26、較法則都自然延伸到實(shí)數(shù)系.有關(guān)概念、性質(zhì)仍然正確,特別是數(shù)形結(jié)合思想仍然是研究的重要方法.了解了數(shù)學(xué)系擴(kuò)大的原則,大大的提高了學(xué)習(xí)的效率. 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.會(huì)用數(shù)軸上的點(diǎn)表示實(shí)數(shù); 2.理解在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)絕對(duì)值、相反數(shù)的概念,會(huì)比較實(shí)數(shù)的大小; 【典型例題】 【例1】寫(xiě)出下列各數(shù)的相反數(shù)與絕對(duì)值： ,,,,, 【分析】與有理數(shù)一樣,實(shí)數(shù)的相反數(shù)是;實(shí)數(shù)的絕對(duì)值的為或. 【解答】 的相反數(shù)是,絕對(duì)值是; 的相反數(shù)是,絕對(duì)值是; 的相反數(shù)是,絕對(duì)值是; 的相反數(shù)是,絕對(duì)值是; 的相反數(shù)是,絕對(duì)值是; 的相反數(shù)是,絕對(duì)值是 【例2】比較與的大小. 【分析】

27、 可以先將無(wú)理數(shù)用近似的有限小數(shù)表示,轉(zhuǎn)化為有理數(shù)后再進(jìn)行比較. 【解答】 【例3】 如圖2,在數(shù)軸上,如果點(diǎn)、點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的數(shù)分別為和,求 兩點(diǎn)間的距離. 圖2 【解答】 【注】 也可以這樣計(jì)算： 【例4】 已知在數(shù)軸上的位置如圖3所示,則的值等于（ ） （A） （B

28、） （C） （D）

29、 圖 3 【解答】 如圖12-5所示,知. 原式.選（C）. 【例5】 當(dāng)是,（ ） （A） （B） （C）

30、 （D） 【解答】 原式,選（B）. 【例6】 當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí),的值是（ ） （A） （B） （C） （D） 【解答】 . 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí),的值最大,為,此時(shí),選（D）. 【分析】 由于二次根式表示的算術(shù)平方根,隱含條件是,,結(jié)合不等式的性質(zhì),獲得如上. 對(duì)于的幾何意義是表示數(shù)軸兩點(diǎn)間的距離,也是數(shù)形結(jié)合重要知識(shí)點(diǎn),首先,其次與實(shí)數(shù)絕對(duì)值概念結(jié)合,當(dāng)時(shí),.這是有廣泛應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn). 【例7】 如果,求的取值范圍. 【解答】 ,表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離;表示點(diǎn)到點(diǎn)的距離,從圖4上觀察,

31、 圖4 當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)到點(diǎn)之間時(shí),恒有 . . 【基礎(chǔ)訓(xùn)練】 1.無(wú)理數(shù)可以用（ ）點(diǎn)來(lái)表示. 2.數(shù)軸上的點(diǎn)都表示（ ）數(shù). 3.在數(shù)軸上表示的點(diǎn)離開(kāi)原點(diǎn)的距離是（ ）. 4．的相反數(shù)、絕對(duì)值依次是（ ）、（ ）. 5.在數(shù)軸上分別標(biāo)出所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的大致位置. 6.設(shè)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是,在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)是,那么、兩點(diǎn)間的距離是

32、 （ ） 7.比較下列各組數(shù)的大小. 【能力提高】 1.如果試化簡(jiǎn): 2.由,試在與之間求一個(gè)無(wú)理數(shù);在與之間求兩個(gè)無(wú)理數(shù). 3.已知為實(shí)數(shù),化簡(jiǎn): 4.一個(gè)正實(shí)數(shù)的兩個(gè)4次方根分別為與,求與這個(gè)正實(shí)數(shù). 第3講 實(shí)數(shù)的運(yùn)算 （2）實(shí)數(shù)的運(yùn)算 【知識(shí)要點(diǎn)】 知識(shí)點(diǎn)1 算術(shù)平方根的積和商 注意：公式都是雙向的,既可從左到右,也可從右到左,這里的都是算術(shù)平方根,非算數(shù)平方根,公式不一定成立. 當(dāng)

33、且僅當(dāng)時(shí),成立.如,就不能直接應(yīng)用,應(yīng)將化為再進(jìn)行. 另一方面,對(duì)于上節(jié)已提到的算術(shù)根的基本性質(zhì),更要仔細(xì)對(duì)待. 對(duì)于,如下的應(yīng)用十分頻繁： (根號(hào)內(nèi)的數(shù)可以移到根號(hào)外;反過(guò)來(lái),也可把根號(hào)外的數(shù)移到根號(hào)內(nèi)),這里要特別注意的正負(fù),如則 知識(shí)點(diǎn)2 近似數(shù)的精確度 近似數(shù)與準(zhǔn)確數(shù)的接近程度即近似程度,近似的程度的要求叫做精確度. 近似數(shù)的精確度有以下兩種表達(dá)方式： 一種是精確到哪一個(gè)數(shù)位,例如精確到千分位（即保留3位小數(shù)）,那么準(zhǔn)確數(shù)與近似數(shù)的誤差不大于0.0005（即萬(wàn)分之五）,這是因?yàn)榻茢?shù)是經(jīng)過(guò)四舍五入截取得到的. 另一種是指定保留幾個(gè)有效數(shù)字.對(duì)于一個(gè)近似數(shù),從左邊第一

34、個(gè)不是零的數(shù)字起,往右到末尾數(shù)字為止的所有數(shù)字,叫做這個(gè)近似數(shù)的有效數(shù)字.如果保留五個(gè)有效數(shù)字,π的近似值為3.1416.那么π的準(zhǔn)確值在3.14155與3.14165之間,絕對(duì)誤差為0.00005.如用π代表圓周率的準(zhǔn)確值,則 利用無(wú)理數(shù)的近似數(shù)作計(jì)算時(shí),中間過(guò)程中,應(yīng)比最后要求精確度多保留一位數(shù)字,到最后再按四舍五入法,按最后要求取近似值. 知識(shí)點(diǎn)1和2都是難點(diǎn),應(yīng)結(jié)合典例剖析仔細(xì)理解. 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.掌握實(shí)數(shù)的加減乘除運(yùn)算; 2.會(huì)運(yùn)用算術(shù)平方根的積和商進(jìn)行計(jì)算,理解近似數(shù)的精確度. 【典型例題】 【例1】不用計(jì)算器,計(jì)算： 【分析】掌握實(shí)數(shù)的加減乘除

35、運(yùn)算,通過(guò)合并同類(lèi)項(xiàng)以及算術(shù)平方根的積和商來(lái)計(jì)算. 【例2】已知化簡(jiǎn)：（使分母不含根號(hào)）. 【分析】運(yùn)用算數(shù)平方根的積和商來(lái)計(jì)算 【解答】 【例3】化簡(jiǎn),再用計(jì)算器求值,要求保留兩位小數(shù). 【分析】運(yùn)用算數(shù)平方根的商運(yùn)算 【例4】計(jì)算： 【解答】, 【例5】 當(dāng)時(shí),化成分母不含根式的式子. 【解答】 【例6】化簡(jiǎn)的結(jié)果是 （ ） 【基礎(chǔ)訓(xùn)練】 1．計(jì)算的結(jié)果是（ ） （A） （B）

36、 （C） （C） 2．下列式子中,正確的是（ ） （A） （B） （B） （D） 3．下列各式中,正確的是（ ） （A） （B） （C） （D） 4．要使有意義,則的取值范圍是（ ） （A） （B） （C）且 （D）且 5．把跟號(hào)外的因式移到根號(hào)內(nèi),得（ ） （A） （B） （C） （D） 填空題：

37、 6. 如果,那么,. 7．如果,則. 8．計(jì)算. 9．計(jì)算. 10．若,則. 【能力提高】 1．已知為實(shí)數(shù),,求的值. 2．已知,求（1）（2） 3．計(jì)算. 4．已知等式求的值 5．已知且,試求的值. 第4講 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 【知識(shí)要點(diǎn)】 知識(shí)點(diǎn)1 （1）分?jǐn)?shù)指數(shù)冪概念. 把指數(shù)的取值范圍擴(kuò)大到分?jǐn)?shù),我們規(guī)定：其中為正整數(shù),

38、.在這規(guī)定中的與叫做分?jǐn)?shù)指數(shù)冪, 是底數(shù). (2)有理數(shù)指數(shù)冪概念 整數(shù)指數(shù)冪和分?jǐn)?shù)指數(shù)冪統(tǒng)稱(chēng)為有理數(shù)指數(shù)冪. 知識(shí)點(diǎn)2 運(yùn)用有理數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)計(jì)算 （1） 有理數(shù)指數(shù)冪運(yùn)算性質(zhì)： 設(shè)為有理數(shù),那么① ② ③ （2） 利用冪的性質(zhì)計(jì)算. 冪的指數(shù)取值范圍擴(kuò)大到有理數(shù)后,冪的運(yùn)算性質(zhì)仍舊適用. 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的概念以及會(huì)運(yùn)用指數(shù)冪的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算; 2.理解分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義與表示方式以及它與算術(shù)根的內(nèi)在聯(lián)系. 【典型例題】 【例1】 把下列方根轉(zhuǎn)化為冪的形式,冪的形式轉(zhuǎn)化為方根形式. 【分析】分?jǐn)?shù)指數(shù)冪與方根互化時(shí),方根的根

39、指數(shù)作為分?jǐn)?shù)指數(shù)的分母,被開(kāi)方數(shù)的指數(shù)作為分?jǐn)?shù)指數(shù)的分子. 【解答】 【例2】 計(jì)算：（結(jié)果用冪的形式表示） 【分析】運(yùn)用有理數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算 【解答】 【例3】 利用冪的運(yùn)算性質(zhì)運(yùn)算： 【分析】利用方根形式轉(zhuǎn)化為冪的形式,通過(guò)冪的性質(zhì)來(lái)解決. 【解答】 【例4】 化簡(jiǎn)： 【分析】利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪化簡(jiǎn)求值. 【解答】 【例5】已知說(shuō)明成立. 【分析】 引用輔助字母,利用冪的運(yùn)算性質(zhì)找出的關(guān)系. 【解答】設(shè) 當(dāng)時(shí),等式顯然成立. 若則 所以 因?yàn)? 所以 兩邊同乘以得

40、 所以 【基礎(chǔ)訓(xùn)練】 1.把寫(xiě)成冪的形式 . 2.把寫(xiě)成方根的形式 . 3.下列各式中錯(cuò)誤的是 （ ） 4.設(shè)則可化為 5.如果則 （ ） 6. = . 7.計(jì)算 . 8.計(jì)算： 9.計(jì)

41、算： 10.計(jì)算： 【能力提高】 1. 2. 3.計(jì)算： 4.化簡(jiǎn)： 5.解答題： 已知求的值. 《實(shí)數(shù)》章節(jié)測(cè)試 （全卷共三個(gè)大題,滿(mǎn)分150分,考試時(shí)間90分鐘） 一、選擇題（本大題共6個(gè)小題,每小題4分,共24分） 1.下列說(shuō)法正確的是 （ ） A．無(wú)限小數(shù)是無(wú)理數(shù)

42、 B.帶根號(hào)的數(shù)都是無(wú)理數(shù) C．無(wú)理數(shù)是無(wú)限小數(shù) D.無(wú)理數(shù)是開(kāi)方開(kāi)不盡的數(shù) 2.－27的立方根與的平方根之和為 （ ） A.0 B.6 C.0或-6 D.0或6 3.下列式子中,正確的是 （ ） A． B. C. D. 4.有下列說(shuō)法：①有理數(shù)和數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng);②不帶根號(hào)的數(shù)一定是有理數(shù);③負(fù)數(shù)沒(méi)有立方根;④無(wú)

43、理數(shù)包括正無(wú)理數(shù)、負(fù)無(wú)理數(shù)和零.其中正確的有 （ ） A．0個(gè) B.1個(gè) C. 2個(gè) D.3個(gè) 5.若式子有意義,則得取值范圍是 （ ） A． B. C. D.以上都不對(duì) 6.下列說(shuō)法正確的有 （ ） ①一個(gè)數(shù)的立方根的相反數(shù)等于這個(gè)數(shù)的相反數(shù)的立方根;②64的平方根是8,立方根是4;③表示的平方根,表示的立

44、方根;④一定是負(fù)數(shù) A. ①③ B. ①③④ C. ②④ D. ①④ 二、填空題（本大題12個(gè)小題,每小題4分,共48分） 7. 的算術(shù)平方根是 ,的平方根是 . = 8. 比較大?。? 1.7 ; ; 2 9. 若,則 ;若,則 ;若, ; 10. 的相反數(shù)是 , 絕對(duì)值等于的數(shù)是 11. 若, 則 ;,且,則

45、 . 12. 如果正方體的體積擴(kuò)大為原來(lái)的27倍,則邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的 倍;若體積擴(kuò)大為原來(lái)的2n倍,則邊長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的 倍. 13. 如果,都是有理數(shù),且,則= ,= 14. 已知,則 15. 若,則化簡(jiǎn)的結(jié)果是 16.若,都是無(wú)理數(shù),且,則,的值可以是 .（填一組） 17．若n為自然數(shù),那么＝ ． 18．在兩個(gè)連續(xù)整數(shù)和之間,,那么,的值分別是 ． 三、解答題（本大題7個(gè)小題,共78分） 19.

46、將下列各數(shù)的序號(hào)填在相應(yīng)的集合里.（10分） ①,②,③3.1415926,④－0.456,⑤3.030030003……（每相鄰兩個(gè)3之間0的個(gè)數(shù)逐漸多1）,⑥0,⑦,⑧－,⑨,⑩ 有理數(shù)集合：{ ……}; 無(wú)理數(shù)集合：{ ……}; 正實(shí)數(shù)集合：{ ……}; 整數(shù)集合： { ……}; 20.計(jì)算（10分） ⑴ （ 精

47、確到0.01） ⑵ 21.（10分）已知的平方根是,的算術(shù)平方根是4,求的平方根. 22.（10分）已知,為實(shí)數(shù),且滿(mǎn)足,則的值是多少？ 23.（12分）已知,滿(mǎn)足,求的平方根. 24.（12分）閱讀下面的文字,解答問(wèn)題. 大家知道是無(wú)理數(shù),而無(wú)理數(shù)是無(wú)限不循環(huán)小數(shù),因此的小數(shù)部分我們不可能全部地寫(xiě)出來(lái),于是小明用來(lái)表示的小數(shù)部分,你同意小明的表示方法嗎？ 事實(shí)上,小明的表示方法是有道理,因?yàn)榈恼麛?shù)部分是1,將這個(gè)數(shù)減去其整數(shù)部分,差就是小數(shù)

48、部分. 請(qǐng)解答：已知：,其中是整數(shù),且,求的相反數(shù). 25.（14分）觀察下列各式：請(qǐng)寫(xiě)下你猜想的規(guī)律,用自然數(shù)的代數(shù)式表示,并證明你的猜想. 第14章 三角形 第一講 三角形的有關(guān)概念與性質(zhì) 【知識(shí)要點(diǎn)】 1．三角形的概念：由不在同一直線(xiàn)上的三點(diǎn)順次聯(lián)結(jié)所組成的圖形叫做三角形。 由三角形的概念可知，三角形三邊有以下關(guān)系：三角形任意兩邊之和大于第三邊。 2

49、. 三角形的三邊與三內(nèi)角是三角形的六要素。 3. 三角形的特殊線(xiàn)段：三角形的高、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)。 （1） 三角形的三條高的交點(diǎn)在銳角三角形內(nèi)、在直角三角形直角頂點(diǎn)、在鈍角三角形外； （2） 三角形的三條中線(xiàn)的交點(diǎn)在三角形內(nèi)； （3）三角形的三條角平分線(xiàn)的交點(diǎn)在三角形內(nèi)。 4. 三角形的分類(lèi) （1） 按角分 （2）按邊分 【注意】 在做三角形分類(lèi)的題目時(shí)，要注意重合的部分，比如等邊三角形也屬于等腰三角形和銳角三角形。 5. 三角形的內(nèi)角和等于180. 【注意】（1） 直角三角形兩銳角互余。 （2） n邊形內(nèi)角和等于（n－2）180. 6.三角形的外角：三角形內(nèi)角的鄰

50、補(bǔ)角。 由5和6我們可以推出:三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和。進(jìn)而可知，三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角。 7. 三角形的外角和等于360. 【注意】n邊形的外角和都等于360. 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1． 理解三角形的概念，理解三角線(xiàn)的邊、角、高、中線(xiàn)、角平分線(xiàn)等有關(guān)概念以及三角形的分類(lèi)； 2． 理解三角形的構(gòu)成條件，在解題中牢記要檢驗(yàn)兩邊之和是否大于第三邊； 3．熟練使用三角形內(nèi)角和外角的性質(zhì)。 【典型例題】 1．判定能否構(gòu)成三角形 【例1】下列長(zhǎng)度的三條線(xiàn)段中，不能組成三角形的是（ ） （A） 6cm，8cm，12cm （B）8c

51、m，12cm，15cm （C） 4cm，8cm，12cm （D） 【分析】利用“三角形兩邊之和大于第三邊”判定。小技巧：已知最大邊的情況下，只需用最大邊與其余兩邊之和比較。 【解答】（C）. 較小兩邊之和＝4+8＝12cm，最大邊＝12cm，不符合“兩邊之和大于第三邊”，所以選（C）。 【例2】若ABC的三邊長(zhǎng)分別為整數(shù)，周長(zhǎng)為11，有一邊長(zhǎng)為4，則這個(gè)三角形的最大邊長(zhǎng)為_(kāi)_______. 【分析】利用“三角形兩邊之和大于第三邊”得出最長(zhǎng)邊可取值的范圍，然后取其中的最大值。 【解答】設(shè)最長(zhǎng)邊長(zhǎng)為x，則第三邊為11－4－x，所以11－4－x + 4 > x，x < 5.5;

52、x為最長(zhǎng)邊，所以x > 4且x > 11－4－x，x > 4; 所以4 < x < 5.5，整數(shù)x＝5. 【例3】三角形的三邊長(zhǎng)分別為a，b，c，那么代數(shù)式c2+2ab-b2-a2是（ ） （A） 小于零 （B） 等于零 （C） 大于零 （D）與零的大小關(guān)系不能確定 【分析】因式分解后，利用“三角形兩邊之和大于第三邊”判斷因式符號(hào)。 【解答】c2+2ab-b2-a2＝c2-(a-b)2 = (c+a-b)(c+b-a)，因?yàn)閮蛇呏痛笥诘谌叄? c+a-b>0, c+b-a>0, 所以原式>0，選C 2．內(nèi)角的計(jì)算 【例1】如圖，已知1＝20，2＝25，A

53、＝35，求BDC的度數(shù)。 【分析】利用“三角形內(nèi)角和等于180”計(jì)算。 【解答】 所以 【例2】在不等邊三角形，它的最小內(nèi)角的取值范圍是________. 【分析】利用內(nèi)角和定理，并注意到是最小內(nèi)角。 【解答】設(shè)三內(nèi)角為，且，則 ，且三角形內(nèi)角. 所以. 【點(diǎn)評(píng)】在討論取值范圍是不要忘了內(nèi)角大于零度，并且不要遺漏“”. 【例3】ABC中，如果那么ABC是（ ） （A） 銳角三角形 （B） 直角三角形 （C） 鈍角三角形 （D）等腰三角形 【分析】用內(nèi)角和定理結(jié)合提干信息，得到每個(gè)內(nèi)角的取值范圍。 【解答】同理根據(jù)三角形的分類(lèi)，三個(gè)內(nèi)

54、角都是銳角的三角形是銳角三角形，選（A）。 【例4】已知ABC中，, D、E為垂足， BD、CE交于點(diǎn)H，如圖，，求的度數(shù)。 【分析】用內(nèi)角和定理以及“直角三角形兩銳角互余”，加上一個(gè)量再減去這個(gè)量保持原數(shù)量不變。 【解答】 【點(diǎn)評(píng)】此題涉及了4個(gè)三角形的內(nèi)角和關(guān)系，處理這樣看似復(fù)雜的題目，只要理清關(guān)系就迎刃而解。 3．內(nèi)角與外角的聯(lián)系 【例1】ABC中，的外角平分線(xiàn)交于點(diǎn)O，如果，求的度數(shù)。 【分析】利用內(nèi)角和定理以及“三角形外角等于其不相鄰兩內(nèi)角的和”計(jì)算。 【解答】. 【基礎(chǔ)訓(xùn)練】 1. 三條線(xiàn)段a，b，c如能組成三角形，那么它們的長(zhǎng)度比可能是（

55、 ） （A）1：2：4 （B）1：3：4 （C）3：4：7 （D）2：3：4 2. 已知三角形的三邊分別為1，x，5，且x為整數(shù)，求x. 3. 對(duì)于ABC，下列命題中不正確的是（ ） （A） 如果，那么ABC是直角三角形 （B） 如果，那么ABC是銳角三角形 （C） 如果，那么ABC是鈍角三角形 （D） 如果，那么ABC是直角三角形 4. 已知ABC的三個(gè)內(nèi)角滿(mǎn)足關(guān)系式，則此三角形（ ） （A） 一定有一內(nèi)角為45 （B） 一定有一內(nèi)角為60 （C） 一定是直角三角形 （D） 一

56、定是鈍角三角形 5. 如果以4cm長(zhǎng)的線(xiàn)段為底組成一個(gè)等腰三角形,腰長(zhǎng)x應(yīng)在的范圍是( ) （A）x>4cm （B）x>2cm （C）x≥4cm （D）x≥2cm 6. 在△ABC中,∠A=2∠B=75,則∠C等于( ) （A）30 （B）6730′ （C）105 （D）135 7. 若三角形兩邊長(zhǎng)分別為6cm和2cm,第三邊長(zhǎng)為偶數(shù),則第三邊長(zhǎng)為( ) （A）2cm （B）4cm （C）6cm （D）8cm 8. 一個(gè)三角形有_____條角平分線(xiàn),______條中線(xiàn),_____條高. 9. 三角形兩邊分別為5cm和6

57、cm,則第三邊c的范圍為_(kāi)____. 10. 若等腰三角形兩邊長(zhǎng)分別為3和4,則它的周長(zhǎng)為_(kāi)_____. 11. 在ABC中,∠A=∠B=∠C,則∠A=_____. 12. 在ABC中, ,則∠B=______. 13. 在ABC中,的平分線(xiàn)交于點(diǎn)O,則___. 【能力提高】 1. 已知a，b，c是三角形的三邊長(zhǎng)，那么代數(shù)式的值是（ ） （A） 小于零 （B） 等于零 （C） 大于零 （D） 不能確定 2. 已知△ABC是等腰三角形 （1） 如果AB＝8cm，BC＝16cm，求AC之長(zhǎng)； （2） 如果AB＝8cm，BC＝12

58、cm，求AC之長(zhǎng). 3. 中，AB＝AC，AC邊上的中線(xiàn)BD，把分成兩個(gè)三角形，其周長(zhǎng)之差為4cm，如果的周長(zhǎng)為16cm，求此三角形三邊之長(zhǎng)。 4. 如圖,在△ABC中,AF、CE、BD都是中線(xiàn),且交于點(diǎn)H,在圖中找出△ABH、△AHC、△BHC的三邊AB、AC、BC邊上的中線(xiàn). 5. 兩根木棒的長(zhǎng)分別是7cm和10cm,要選擇第三根木棒,將它們釘成一個(gè)三角形,第三根木棒的長(zhǎng)有什么限制?說(shuō)明理由. 6. 一個(gè)零件的形狀如圖,按規(guī)定∠A應(yīng)等于90,∠B與∠C應(yīng)分別是32和21,檢驗(yàn)工人量得∠BDC=148,就判斷這個(gè)零件

59、不合格,試用三角形有關(guān)知識(shí)說(shuō)明理由. 7. 如圖,在△ABC中,∠A:∠ABC:∠ACB=3:4:5,BD、CE分別是邊AC、AB上的高,并相交于H,求∠BHC的度數(shù). 第二講 全等三角形 【知識(shí)要點(diǎn)】 1．全等三角形的概念：經(jīng)過(guò)平移、翻折、旋轉(zhuǎn)能夠重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形。 【注意】互相重合的頂點(diǎn)叫做對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)；互相重合的邊叫做對(duì)應(yīng)邊；互相重合的角叫做對(duì)應(yīng)角。 2. 兩個(gè)全等三角形的表示：ABC≌DEF 【注意】把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的字母寫(xiě)在對(duì)應(yīng)的位置上。 3. 全等三角形的性質(zhì)：全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。 4. 全等三角形的判定 （1） 兩

60、邊夾一角對(duì)應(yīng)相等：S.A.S； （2） 兩角夾一邊對(duì)應(yīng)相等：A.S.A； （3） 兩角一對(duì)邊對(duì)應(yīng)相等：A.A.S； （4） 三邊對(duì)應(yīng)相等：S.S.S； 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1. 理解全等形的概念； 2. 理解全等三角形的性質(zhì)； 3. 熟練使用全等三角形的4條判定法則，并利用全等三角形的性質(zhì)證明邊或者角的關(guān)系。 【典型例題】 1．全等三角形的性質(zhì) 【例1】如圖，AB=AD, AC=AE, 如果ABE≌ACD全等，BAD＝90,BE=10,CAE＝_______,CD=____. 【分析】利用全等三角形的性質(zhì)：全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等，對(duì)應(yīng)角相等。 【解答】ABE≌A

61、CD，則BAD＝CAE＝90,. 2．全等三角形的判定 【例1】如圖，已知 , 求證： 【分析】只要證明ABD≌ACE，就可證明。已知,，如果能再找出一對(duì)角相等就可判定全等。由已知，則，即 【解答】 【點(diǎn)評(píng)】從已知條件中獲取足夠信息證明兩個(gè)三角形全等，進(jìn)而證明對(duì)應(yīng)邊相等、對(duì)應(yīng)角相等，是重點(diǎn)考察的內(nèi)容。而利用角和邊的等量加減等量其和差相等，也是常用技巧。 【例2】如圖，A在OC上, B在OD上, OA=OB, OC=OD, BC與AD相交于T，求證：OT平分. 【分析】只要證明，就是OT平分, 可尋求證明, 為此要證CT=DT，這樣又要證，那么可從判定入手

62、。 【解答】 【點(diǎn)評(píng)】證明全等三角形并利用其性質(zhì)和其他信息證明另一對(duì)三角形全等，是一個(gè)難點(diǎn)，只要我們耐心就可以解決。 【例3】 水管沿公路直線(xiàn)鋪設(shè)，A、B是公路同側(cè)的兩個(gè)居民點(diǎn)，為了給這兩點(diǎn)供水需在總水管上選一點(diǎn)P，使自P到A、B所鋪設(shè)水管的總長(zhǎng)最短，問(wèn)P應(yīng)設(shè)在總水管上哪一點(diǎn)？ 【分析】自點(diǎn)A向總水管所在直線(xiàn)l引垂線(xiàn)，垂足為D，延長(zhǎng)AD到A, 使AD=AD，這樣l就是AA的中垂線(xiàn)，聯(lián)結(jié)AB交l于P，點(diǎn)P即為所求點(diǎn)。 【解答】在l上取異于點(diǎn)P的點(diǎn)P1，則AP1=AP1(中垂線(xiàn)定理） 【點(diǎn)評(píng)】這個(gè)取對(duì)稱(chēng)點(diǎn)利用中垂線(xiàn)定理的解法叫做“軸對(duì)稱(chēng)變換法”，是解

63、決此類(lèi)問(wèn)題的典型解法，需要體會(huì)掌握。 【基礎(chǔ)訓(xùn)練】 1. 如圖AB=AC, AD=AE, CD與BE交于點(diǎn)F，則①ABE≌ACD;②BDF≌CEF;③F在A的平分線(xiàn)上.以上結(jié)論正確的是 （A）只有① （B）只有② （C）只有①② （D）①②③ 2. 下列命題中正確的是（ ） （A）全等三角形的高相等 （B）全等三角形的中線(xiàn)相等 （C）全等三角形的角平分線(xiàn)相等 （D）全等三角形對(duì)應(yīng)角的平分線(xiàn)相等 3. ABC是不等邊三角形, DE=BC,以 D、E為兩個(gè)頂點(diǎn)作位置不同的三角形，使所作的

64、三角形與ABC全等，這樣的三角形最多可以畫(huà)出 （A）2個(gè) （B）4個(gè) （C）6個(gè) （D）8個(gè) 4. 兩三角形有以下元素對(duì)應(yīng)相等，不能判定全等的是（ ） （A）兩角和一邊 （B）兩邊及夾角 （C）三個(gè)角 （D）三條邊 5. 如果兩個(gè)三角形兩邊對(duì)應(yīng)相等，且其中一邊所對(duì)的角也相等，那么這兩個(gè)三角形（ ） （A）一定全等 （B）一定不全等 （C）不一定全等 （D）面積相等 6. 如果兩個(gè)三角形中兩條邊和其中一邊上的高對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形的第三條邊所對(duì)的角的關(guān)系是（ ）

65、 （A）相等 （B）不相等 （C）互余或相等 （D） 互補(bǔ)或相等 7. 如圖，求證：AB=DE,AB∥DE. 8. 在ABC中，B=60，A和C的平分線(xiàn)相交于點(diǎn)O，求證：AE+CD=AC. 【能力提高】 1. 在ABC中，AB>BC>CA, 那么在①C60,②B<60,③A=60中正確的是（ ） （A）①② （B）②③ （C）①③ （D）①②③ 2. 如圖，已知AB=DE，直線(xiàn)AE、BD相交于C，B與C互補(bǔ)，求證：AC=E

66、C. 3. 如圖,設(shè)ABC在邊AC、AB上的高分別為BE、CF，在BE上截取BP=AC，在直線(xiàn)CF上截取CQ=AB，求證：AP=AQ, AP⊥AQ. 4. ABC為等腰直角三角形，A=90，D為BC的中點(diǎn)，P是線(xiàn)段BD上任意一點(diǎn)，PE⊥AB，PF⊥AC, E、F是垂足，求證：DE=DF，且DE⊥DF. 5. 如圖和均為等邊三角形，求證：DC=BE。 6. 如圖∠ABC＝90AB＝BC，D為AC上一點(diǎn)分別過(guò)A.C作BD的垂線(xiàn)，垂足分別為E.F,求證：EF＝CF－AE. 7. 如圖，△ABC中，E、F分別是AB、AC上的點(diǎn)．① AD平分∠BAC，② DE⊥AB，DF⊥AC，③ AD⊥EF．以此三個(gè)中的兩個(gè)為條件，另一個(gè)為結(jié)論，可構(gòu)成三個(gè)命題，即：①② ③，①③ ②，②③ ①． （1）試判斷上述三個(gè)命題是否正確（直接作答）； （2）請(qǐng)證明你認(rèn)為正確的命題． 8. 如圖，已知為等邊三角形