2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試卷 文(含解析).doc
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2019-2020年高三數(shù)學(xué)上學(xué)期12月月考試卷 文(含解析) 一、選擇題(本大題共12個小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.(5分)已知全集U={x∈N|x<9},集合A={3,4,5},B={1,3,6},則(?UA)∩(?UB)=() A. {0,2,7,8} B. {0,2,7} C. {0,2,8} D. {0,2} 2.(5分)設(shè)復(fù)數(shù)z=1+i(i是虛數(shù)單位),則+z2=() A. ﹣1﹣i B. ﹣1+i C. 1﹣i D. 1+i 3.(5分)“函數(shù)y=ax是增函數(shù)”是“l(fā)og2a>1”的() A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 4.(5分)已知實數(shù)4,m,1構(gòu)成一個等比數(shù)列,則圓錐曲線+y2=1的離心率為() A. B. C. 或 D. 或3 5.(5分)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的B的值為() A. 63 B. 31 C. 15 D. 7 6.(5分)在平面直角坐標系中,若不等式組(a為常數(shù))所表示的平面區(qū)域的面積等于2,則a的值為() A. ﹣5 B. 1 C. 2 D. 3 7.(5分)已知集合 M={x||x+2|+|x﹣1|≤5},N={x|a<x<6},且M∩N=(﹣1,b],則b﹣a=() A. ﹣3 B. ﹣1 C. 3 D. 7 8.(5分)已知f(x)=,則f()的值為() A. B. ﹣ C. 1 D. ﹣1 9.(5分)雙曲線x2+my2=1的虛軸長是實軸長的2倍,則雙曲線的漸近線方程為() A. y=2x B. C. D. 10.(5分)如圖,平面四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,,將其沿對角線BD折成四面體A′﹣BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,若四面體A′﹣BCD頂點在同一個球面上,則該球的體積為() A. B. 3π C. D. 2π 11.(5分)把正奇數(shù)數(shù)列依次按第一個括號一個數(shù),第二個括號兩個數(shù),第三個括號三個數(shù),第四個括號一個數(shù),…,依次循環(huán)的規(guī)律分為(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(25),…,則第50個括號內(nèi)各數(shù)之和為() A. 98 B. 197 C. 390 D. 392 12.(5分)定義在R上的函數(shù)(x),其圖象是連續(xù)不斷的,如果存在非零常數(shù)λ(λ∈R),使得對任意的x∈R,都有f(x+λ)=λf(x),則稱y=f(x)為“倍增函數(shù)”,λ為“倍增系數(shù)”,下列命題為假命題的是() A. 若函數(shù)y=f(x)是倍增系數(shù)λ=﹣2的函數(shù),則y=f(x)至少有1個零點 B. 函數(shù)f(x)=2x+1是倍增函數(shù)且倍增系數(shù)λ=1 C. 函數(shù)f(x)=e﹣x是倍增函數(shù),且倍增系數(shù)λ∈(0,1) D. 若函數(shù)f(x)=sin2ωx(ω>0)是倍增函數(shù),則ω=(k∈N+) 二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在答題卷的橫線上.. 13.(5分)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線或粗虛線畫出了某簡單組合體的三視圖和直觀圖(斜二測畫法),則此簡單幾何體的體積是. 14.(5分)數(shù)列{an}滿足a1=3,an﹣anan+1=1,An表示{an}前n項之積,則Axx=. 15.(5分)若△ABC的面積為,BC=2,C=60,則邊AB的長度等于. 16.(5分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax3﹣3x+1(x∈R),若對于任意的x∈[﹣1,1]都有f(x)≥0成立,則實數(shù)a的值為. 三、解答題:本大題共5小題,滿分60分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17.(12分)△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知3cos(B﹣C)﹣1=6cosBcosC. (1)求cosA; (2)若a=3,△ABC的面積為,求b,c. 18.(12分)某食品店每天以每瓶2元的價格從廠家購進一種酸奶若干瓶,然后以每瓶3元的價格出售,如果當(dāng)天賣不完,余下的酸奶變質(zhì)作垃圾處理. (1)若食品店一天購進170瓶,求當(dāng)天銷售酸奶的利潤y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天的需求量n(單位:瓶,n∈N)的函數(shù)解析式; (2)根據(jù)市場調(diào)查,100天的酸奶的日需求量(單位:瓶)數(shù)據(jù)整理如下表: 日需求量n 150 160 170 180 190 200 天數(shù) 17 23 23 14 13 10 若以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.食品店一天購進170瓶酸奶,X表示當(dāng)天的利潤(單位:元),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX. 19.(12分)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AC=AA1=3a,BC=2a,D是BC的中點,E,F(xiàn)分別是A1A,C1C上一點,且AE=CF=2a. (1)求證:B1F⊥平面ADF; (2)求三棱錐B1﹣ADF的體積; (3)求證:BE∥平面ADF. 20.(12分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的兩個焦點F1,F(xiàn)2和上下兩個頂點B1,B2是一個邊長為2且∠F1B1F2為60的菱形的四個頂點. (1)求橢圓C的方程; (2)過右焦點F2,斜率為k(k≠0)的直線與橢圓C相交于E,F(xiàn)兩點,A為橢圓的右頂點,直線AE,AF分別交直線x=3于點M,N,線段MN的中點為P,記直線PF2的斜率為k′.求證:k?k′為定值. 21.(12分)已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=﹣x2+ax﹣3. (1)求函數(shù)f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值; (2)若存在x0∈[,e](e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…),使不等式2f(x0)≥g(x0)成立,求實數(shù)a的取值范圍. 一、請考生在第(22)、(23)(24)三體中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題記分. 22.(10分)【選修4﹣1:幾何證明選講】 如圖,梯形ABCD內(nèi)接于圓O,AD∥BC,且AB=CD,過點B引圓O的切線分別交DA、CA的延長線于點E、F. (1)求證:CD2=AE?BC; (2)已知BC=8,CD=5,AF=6,求EF的長. 一、選考題 23.【選修4﹣4:坐標系與參數(shù)方程】 在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),若以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,則曲線C的極坐標方程為ρ=cos(θ+). (1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程; (2)求直線l被曲線C所截得的弦長. 一、選考題 24.選修4﹣5:不等式選講 已知函數(shù)f(x)=|x﹣7|﹣|x﹣3|, (Ⅰ)作出函數(shù)f(x)的圖象; (Ⅱ)當(dāng)x<5時,不等式|x﹣8|﹣|x﹣a|>2恒成立,求a的取值范圍. 甘肅省蘭州市西北師大附中xx高三上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷(文科) 參考答案與試題解析 一、選擇題(本大題共12個小題,每小題5分,共60分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的) 1.(5分)已知全集U={x∈N|x<9},集合A={3,4,5},B={1,3,6},則(?UA)∩(?UB)=() A. {0,2,7,8} B. {0,2,7} C. {0,2,8} D. {0,2} 考點: 交、并、補集的混合運算. 專題: 計算題. 分析: 先計算(?UA),(?UB),再計算(?UA)∩(?UB). 解答: 解:全集U={x∈N|x<9}={0,1,2,3,4,5,6,7,8}. 集合A={3,4,5},B={1,3,6}, 所以?UA={0,1,2,6,7,8},?UB}={0,2,4,5,7,8}. 則(?UA)∩(?UB)={0,2,7,8} 故選A. 點評: 本題考查集合的基本運算.屬于基礎(chǔ)題. 2.(5分)設(shè)復(fù)數(shù)z=1+i(i是虛數(shù)單位),則+z2=() A. ﹣1﹣i B. ﹣1+i C. 1﹣i D. 1+i 考點: 復(fù)數(shù)代數(shù)形式的混合運算. 專題: 數(shù)系的擴充和復(fù)數(shù). 分析: 把復(fù)數(shù)z代入表達式化簡整理即可. 解答: 解:對于, 故選D. 點評: 本小題主要考查了復(fù)數(shù)的運算和復(fù)數(shù)的概念,以復(fù)數(shù)的運算為載體,直接考查了對于復(fù)數(shù)概念和性質(zhì)的理解程度. 3.(5分)“函數(shù)y=ax是增函數(shù)”是“l(fā)og2a>1”的() A. 必要不充分條件 B. 充分不必要條件 C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件 考點: 必要條件、充分條件與充要條件的判斷. 專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用. 分析: 先判斷兩個命題p?q與q?p的真假,再根據(jù)充要條件的定義給出結(jié)論. 解答: 解:∵條件p:“函數(shù)y=ax是增函數(shù)”即a>1, 又∵條件q:“l(fā)og2a>1”即a>2, 由于a>2?a>1,反之不能. 則“函數(shù)y=ax是增函數(shù)”是“l(fā)og2a>1”的必要不充分條件. 故選A. 點評: 判斷充要條件的方法是:①若p?q為真命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的充分不必要條件;②若p?q為假命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的必要不充分條件;③若p?q為真命題且q?p為真命題,則命題p是命題q的充要條件;④若p?q為假命題且q?p為假命題,則命題p是命題q的即不充分也不必要條件.⑤判斷命題p與命題q所表示的范圍,再根據(jù)“誰大誰必要,誰小誰充分”的原則,判斷命題p與命題q的關(guān)系. 4.(5分)已知實數(shù)4,m,1構(gòu)成一個等比數(shù)列,則圓錐曲線+y2=1的離心率為() A. B. C. 或 D. 或3 考點: 橢圓的簡單性質(zhì);雙曲線的簡單性質(zhì). 專題: 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程. 分析: 由4,m,1構(gòu)成一個等比數(shù)列,得到m=2.當(dāng)m=2時,圓錐曲線是橢圓;當(dāng)m=﹣2時,圓錐曲線是雙曲線,由此入手能求出離心率. 解答: 解:∵4,m,1構(gòu)成一個等比數(shù)列, ∴m=2. 當(dāng)m=2時,圓錐曲線+y2=1是橢圓, 它的離心率是; 當(dāng)m=﹣2時,圓錐曲線+y2=1是雙曲線, 它的離心率是e2=. 故選C. 點評: 本題考查圓錐曲線的離心率的求法,解題時要注意等比數(shù)列的性質(zhì)的合理運用,注意分類討論思想的靈活運用. 5.(5分)執(zhí)行如圖所示的程序框圖,則輸出的B的值為() A. 63 B. 31 C. 15 D. 7 考點: 程序框圖. 專題: 計算題;圖表型;算法和程序框圖. 分析: 由程序框圖依次計算第一、第二…的運行結(jié)果,直到不滿足條件A≤5時,輸出B,即為所求. 解答: 解:由當(dāng)型程序框圖得: 第一次運行B=21+1=3,A=2; 第二次運行B=23+1=7,A=3; 第三次運行B=27+1=15,A=4; 第四次運行B=215+1=31,A=5; 第五次運行B=231+1=63,A=6; 不滿足條件A≤5結(jié)束運行,輸出B=63. 故選A. 點評: 本題考查了當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖,解答的關(guān)鍵是讀懂程序框圖. 6.(5分)在平面直角坐標系中,若不等式組(a為常數(shù))所表示的平面區(qū)域的面積等于2,則a的值為() A. ﹣5 B. 1 C. 2 D. 3 考點: 簡單線性規(guī)劃. 專題: 計算題;數(shù)形結(jié)合. 分析: 本題主要考查線性規(guī)劃的基本知識,先畫出約束條件的可行域,根據(jù)已知條件中,表示的平面區(qū)域的面積等于2,構(gòu)造關(guān)于a的方程,解方程即可得到答案. 解答: 解:不等式組所圍成的區(qū)域如圖所示. ∵其面積為2, ∴|AC|=4, ∴C的坐標為(1,4), 代入ax﹣y+1=0, 得a=3. 故選D. 點評: 平面區(qū)域的面積問題是線性規(guī)劃問題中一類重要題型,在解題時,關(guān)鍵是正確地畫出平面區(qū)域,然后結(jié)合有關(guān)面積公式求解. 7.(5分)已知集合 M={x||x+2|+|x﹣1|≤5},N={x|a<x<6},且M∩N=(﹣1,b],則b﹣a=() A. ﹣3 B. ﹣1 C. 3 D. 7 考點: 絕對值不等式的解法;交集及其運算. 專題: 不等式的解法及應(yīng)用. 分析: 解絕對值不等式求得 M={x|﹣3≤x≤2},再由N={x|a<x<6},且M∩N=(﹣1,b],可得a=﹣1,b=2,從而求得b﹣a的值. 解答: 解:由于|x+2|+|x﹣1|表示數(shù)軸上的x對應(yīng)點到﹣2和1對應(yīng)點的距離之和, 而﹣3和2對應(yīng)點到﹣2和1對應(yīng)點的距離之和正好等于5,故由|x+2|+|x﹣1|≤5可得﹣3≤x≤2, ∴集合 M={x||x+2|+|x﹣1|≤5}={x|﹣3≤x≤2}. 再由N={x|a<x<6},且M∩N=(﹣1,b],可得a=﹣1,b=2,b﹣a=3, 故選C. 點評: 本題主要考查絕對值的意義,絕對值不等式的解法,兩個集合的交集的定義,屬于中檔題. 8.(5分)已知f(x)=,則f()的值為() A. B. ﹣ C. 1 D. ﹣1 考點: 函數(shù)的值. 專題: 計算題;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用. 分析: 由題意,f()=f(﹣)+1=sin(﹣)+1=﹣?+1=﹣;從而求解. 解答: 解:f()=f(﹣)+1=sin(﹣)+1 =﹣?+1=﹣; 故選B. 點評: 本題考查了函數(shù)的值的求法,屬于基礎(chǔ)題. 9.(5分)雙曲線x2+my2=1的虛軸長是實軸長的2倍,則雙曲線的漸近線方程為() A. y=2x B. C. D. 考點: 雙曲線的簡單性質(zhì). 專題: 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程. 分析: 利用雙曲線x2+my2=1的虛軸長是實軸長的2倍,求出m的值,從而可求雙曲線的漸近線方程. 解答: 解:雙曲線x2+my2=1中a=1,b=. ∵雙曲線x2+my2=1的虛軸長是實軸長的2倍, ∴, ∴m=﹣, ∴雙曲線方程為x2﹣=1, ∴雙曲線的漸近線方程為y=2x. 故選A. 點評: 本題考查雙曲線的幾何性質(zhì),考查學(xué)生的計算能力,確定m的值是關(guān)鍵. 10.(5分)如圖,平面四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,,將其沿對角線BD折成四面體A′﹣BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,若四面體A′﹣BCD頂點在同一個球面上,則該球的體積為() A. B. 3π C. D. 2π 考點: 球內(nèi)接多面體;球的體積和表面積. 專題: 計算題;壓軸題. 分析: 說明折疊后幾何體的特征,求出三棱錐的外接球的半徑,然后求出球的體積. 解答: 解:由題意平面四邊形ABCD中,AB=AD=CD=1,,將其沿對角線BD折成四面體A′﹣BCD,使平面A′BD⊥平面BCD,若四面體A′﹣BCD頂點在同一個球面上,可知A′B⊥A′C,所以BC 是外接球的直徑,所以BC=,球的半徑為:;所以球的體積為:=. 故選A 點評: 本題是基礎(chǔ)題,考查折疊問題,三棱錐的外接球的體積的求法,考查計算能力,正確球的外接球的半徑是解題的關(guān)鍵. 11.(5分)把正奇數(shù)數(shù)列依次按第一個括號一個數(shù),第二個括號兩個數(shù),第三個括號三個數(shù),第四個括號一個數(shù),…,依次循環(huán)的規(guī)律分為(1),(3,5),(7,9,11),(13),(15,17),(19,21,23),(25),…,則第50個括號內(nèi)各數(shù)之和為() A. 98 B. 197 C. 390 D. 392 考點: 歸納推理. 專題: 推理和證明. 分析: 由題意將三個括號作為一組,判斷出第50個括號應(yīng)為第17組的第二個括號,由題意和奇數(shù)對應(yīng)數(shù)列的通項公式,求出第50個括號內(nèi)各個數(shù),再求出第50個括號內(nèi)各數(shù)之和. 解答: 解:由題意可得,將三個括號作為一組, 則由50=163+2,第50個括號應(yīng)為第17組的第二個括號, 即50個括號中應(yīng)有兩個數(shù), 因為每組中有6個數(shù), 所以第48個括號的最后一個數(shù)為數(shù)列{2n﹣1}的第166=96項, 第50個括號的第一個數(shù)為數(shù)列{2n﹣1}的第166+2=98項, 即298﹣1=195,第二個數(shù)是299﹣1=197, 所以第50個括號內(nèi)各數(shù)之和為195+197=392, 故選:D. 點評: 本題考查了歸納推理,等差數(shù)列的通項公式,難點在于發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律,考查觀察、分析、歸納能力. 12.(5分)定義在R上的函數(shù)(x),其圖象是連續(xù)不斷的,如果存在非零常數(shù)λ(λ∈R),使得對任意的x∈R,都有f(x+λ)=λf(x),則稱y=f(x)為“倍增函數(shù)”,λ為“倍增系數(shù)”,下列命題為假命題的是() A. 若函數(shù)y=f(x)是倍增系數(shù)λ=﹣2的函數(shù),則y=f(x)至少有1個零點 B. 函數(shù)f(x)=2x+1是倍增函數(shù)且倍增系數(shù)λ=1 C. 函數(shù)f(x)=e﹣x是倍增函數(shù),且倍增系數(shù)λ∈(0,1) D. 若函數(shù)f(x)=sin2ωx(ω>0)是倍增函數(shù),則ω=(k∈N+) 考點: 函數(shù)的值. 專題: 新定義;函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用. 分析: 根據(jù)題意,利用“倍增函數(shù)”的定義f(x+λ)=λf(x),對題目中的選項進行分析判斷,即可得出正確的答案. 解答: 解:對于A,∵函數(shù)y=f(x)是倍增系數(shù)λ=﹣2的倍增函數(shù),∴f(x﹣2)=﹣2f(x), 當(dāng)x=0時,f(﹣2)+2f(0)=0,若f(0)、f(﹣2)任意一個為0,則函數(shù)f(x)有零點; 若f(0)、f(﹣2)均不為0,則f(0)、f(﹣2)異號,由零點存在性定理得, 在區(qū)間(﹣2,0)內(nèi)存在x0,使得f(x0)=0,即y=f(x)至少存在1個零點, ∴A正確; 對于B,∵f(x)=2x+1是倍增函數(shù),∴2(x+λ)+1=λ(2x+1),∴λ=≠1, ∴B錯誤; 對于C,∵f(x)=e﹣x是倍增函數(shù),∴e﹣(x+λ)=λe﹣x, ∴=,∴λ=∈(0,1), ∴C正確; 對于D,∵f(x)=sin2ωx(ω>0)是倍增函數(shù), ∴sin[2ω(x+λ)]=λsin2ωx,∴ω=(k∈N*), ∴D正確. 故選:B. 點評: 本題考查了新定義的函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用的問題,解題時應(yīng)理解新定義的內(nèi)容是什么,是綜合性題目. 二、填空題:本大題共4小題,每小題5分,共20分,把答案填在答題卷的橫線上.. 13.(5分)如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗線或粗虛線畫出了某簡單組合體的三視圖和直觀圖(斜二測畫法),則此簡單幾何體的體積是﹣. 考點: 由三視圖求面積、體積. 專題: 計算題;空間位置關(guān)系與距離. 分析: 由三視圖可知,該幾何體是一個三棱錐挖去四分之一個圓錐剩下的部分,三棱錐的底面是一個腰長為4的等腰直角三角形,高為4,還原的圓錐的底面半徑為2,高為4,代入棱錐體積公式,可得答案. 解答: 解:由已知中的三視圖可得:該幾何體是一個三棱錐挖去四分之一個圓錐剩下的部分,三棱錐的底面是一個腰長為4的等腰直角三角形,高為4,還原的圓錐的底面半徑為2,高為4, 故體積V=444﹣=﹣, 故答案為:﹣. 點評: 本題考查的知識點是由三視圖,求體積,其中根據(jù)已知分析出幾何體的形狀是解答的關(guān)鍵. 14.(5分)數(shù)列{an}滿足a1=3,an﹣anan+1=1,An表示{an}前n項之積,則Axx=﹣1. 考點: 數(shù)列遞推式. 專題: 計算題;壓軸題;等差數(shù)列與等比數(shù)列. 分析: 先通過計算,確定數(shù)列{an}是以3為周期的數(shù)列,且a1a2a3=﹣1,再求Axx的值. 解答: 解:由題意,∵a1=3,an﹣anan+1=1, ∴,,a4=3, ∴數(shù)列{an}是以3為周期的數(shù)列,且a1a2a3=﹣1 ∵xx=3671 ∴Axx=(﹣1)671=﹣1 故答案為:﹣1 點評: 本題考查數(shù)列遞推式,考查學(xué)生的計算能力,確定數(shù)列{an}是以3為周期的數(shù)列,且a1a2a3=﹣1是解題的關(guān)鍵. 15.(5分)若△ABC的面積為,BC=2,C=60,則邊AB的長度等于2. 考點: 正弦定理. 專題: 解三角形. 分析: 利用三角形面積公式列出關(guān)系式,把已知面積,a,sinC的值代入求出b的值,再利用余弦定理求出c的值即可. 解答: 解:∵△ABC的面積為,BC=a=2,C=60, ∴absinC=,即b=2, 由余弦定理得:c2=a2+b2﹣2abcosC=4+4﹣4=4, 則AB=c=2, 故答案為:2 點評: 此題考查了余弦定理,三角形面積公式,熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵. 16.(5分)設(shè)函數(shù)f(x)=ax3﹣3x+1(x∈R),若對于任意的x∈[﹣1,1]都有f(x)≥0成立,則實數(shù)a的值為4. 考點: 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值. 專題: 計算題. 分析: 先求出f′(x)=0時x的值,進而討論函數(shù)的增減性得到f(x)的最小值,對于任意的x∈[﹣1,1]都有f(x)≥0成立,可轉(zhuǎn)化為最小值大于等于0即可求出a的范圍. 解答: 解:由題意,f′(x)=3ax2﹣3, 當(dāng)a≤0時3ax2﹣3<0,函數(shù)是減函數(shù),f(0)=1,只需f(1)≥0即可,解得a≥2,與已知矛盾, 當(dāng)a>0時,令f′(x)=3ax2﹣3=0解得x=, ①當(dāng)x<﹣時,f′(x)>0,f(x)為遞增函數(shù), ②當(dāng)﹣<x<時,f′(x)<0,f(x)為遞減函數(shù), ③當(dāng)x>時,f(x)為遞增函數(shù). 所以f( )≥0,且f(﹣1)≥0,且f(1)≥0即可 由f( )≥0,即a?﹣3?+1≥0,解得a≥4, 由f(﹣1)≥0,可得a≤4, 由f(1)≥0解得2≤a≤4, 綜上a=4為所求. 故答案為:4. 點評: 本題以函數(shù)為載體,考查學(xué)生解決函數(shù)恒成立的能力,考查學(xué)生分析解決問題的能力,屬于基礎(chǔ)題. 三、解答題:本大題共5小題,滿分60分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17.(12分)△ABC中,角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知3cos(B﹣C)﹣1=6cosBcosC. (1)求cosA; (2)若a=3,△ABC的面積為,求b,c. 考點: 余弦定理;誘導(dǎo)公式的作用;兩角和與差的余弦函數(shù);正弦定理. 專題: 計算題. 分析: (1)利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式化簡已知等式左邊的第一項,移項合并后再利用兩角和與差的余弦函數(shù)公式得出cos(B+C)的值,將cosA用三角形的內(nèi)角和定理及誘導(dǎo)公式變形后,將cos(B+C)的值代入即可求出cosA的值; (2)由cosA的值及A為三角形的內(nèi)角,利用同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系求出sinA的值,利用三角形的面積公式表示出三角形ABC的面積,將已知的面積及sinA的值代入,得出bc=6,記作①,再由a及cosA的值,利用余弦定理列出關(guān)于b與c的關(guān)系式,記作②,聯(lián)立①②即可求出b與c的值. 解答: 解:(1)3cos(B﹣C)﹣1=6cosBcosC, 化簡得:3(cosBcosC+sinBsinC)﹣1=6cosBcosC, 變形得:3(cosBcosC﹣sinBsinC)=﹣1, 即cos(B+C)=﹣, 則cosA=﹣cos(B+C)=; (2)∵A為三角形的內(nèi)角,cosA=, ∴sinA==, 又S△ABC=2,即bcsinA=2,解得:bc=6①, 又a=3,cosA=, ∴由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA得:b2+c2=13②, 聯(lián)立①②解得:或. 點評: 此題考查了余弦定理,三角形的面積公式,兩角和與差的余弦函數(shù)公式,誘導(dǎo)公式,以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系,熟練掌握公式及定理是解本題的關(guān)鍵. 18.(12分)某食品店每天以每瓶2元的價格從廠家購進一種酸奶若干瓶,然后以每瓶3元的價格出售,如果當(dāng)天賣不完,余下的酸奶變質(zhì)作垃圾處理. (1)若食品店一天購進170瓶,求當(dāng)天銷售酸奶的利潤y(單位:元)關(guān)于當(dāng)天的需求量n(單位:瓶,n∈N)的函數(shù)解析式; (2)根據(jù)市場調(diào)查,100天的酸奶的日需求量(單位:瓶)數(shù)據(jù)整理如下表: 日需求量n 150 160 170 180 190 200 天數(shù) 17 23 23 14 13 10 若以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率.食品店一天購進170瓶酸奶,X表示當(dāng)天的利潤(單位:元),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX. 考點: 離散型隨機變量的期望與方差;等可能事件的概率. 專題: 計算題;概率與統(tǒng)計. 分析: (1)由于食品店一天購進170瓶,故n<170時,當(dāng)天賣不完;n>170時,當(dāng)天全部賣完,由此可得分段函數(shù); (2)確定X的可能取值,確定相應(yīng)的頻率,即可求X的分布列和數(shù)學(xué)期望EX. 解答: 解:(1)當(dāng)n<170時,y=3n﹣1702=3n﹣340; 當(dāng)n>170時,y=(3﹣2)170=170 ∴y=; (2)X的可能取值為:110,140,170 由題意,n=150,160及不小于170的頻率分別為0.17.0.23.0.6 ∴X的分布列為 X 110 140 170 P 0.17 0.23 0.6 ∴EX=1100.17+1400.23+1700.6=152.9. 點評: 本題考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學(xué)期望,考查利用數(shù)學(xué)知識解決實際問題,考查學(xué)生的計算能力,屬于中檔題. 19.(12分)在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中,AB=AC=AA1=3a,BC=2a,D是BC的中點,E,F(xiàn)分別是A1A,C1C上一點,且AE=CF=2a. (1)求證:B1F⊥平面ADF; (2)求三棱錐B1﹣ADF的體積; (3)求證:BE∥平面ADF. 考點: 直線與平面平行的判定;棱柱、棱錐、棱臺的體積;直線與平面垂直的判定. 專題: 計算題;證明題;空間位置關(guān)系與距離. 分析: (1)由直棱柱的性質(zhì),得B1B⊥底面ABC,從而有AD⊥B1B,結(jié)合等腰△ABC中AD⊥BC,證出AD⊥平面B1BCC1,從而得出AD⊥B1F,矩形B1BCC1中利用Rt△DCF≌Rt△FC1B1證出∠B1FD=90,從而B1F⊥FD,最后根據(jù)AD∩FD=D,證出B1F⊥平面AFD; (2)由(1)B1F⊥平面AFD,得B1F是三棱錐B1﹣ADF的高.根據(jù)題中數(shù)據(jù)分別算出AD、DF、B1F的長度,用錐體體積公式即可算出棱錐B1﹣ADF的體積; (3)連EF、EC,設(shè)EC∩AF=M,連結(jié)DM.矩形AEFC中證出M為EC中點,從而得到MD是△CBE的中位線,得到MD∥BE,再利用線面平行判定定理,即可證出BE∥平面ADF. 解答: 解:(1)∵AB=AC,D為BC中點,∴AD⊥BC. 在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中, ∵B1B⊥底面ABC,AD?底面ABC,∴AD⊥B1B. ∵BC∩B1B=B,∴AD⊥平面B1BCC1. ∵B1F?平面B1BCC1,∴AD⊥B1F. 在矩形B1BCC1中,∵C1F=CD=a,B1C1=CF=2a, ∴Rt△DCF≌Rt△FC1B1. ∴∠CFD=∠C1B1F.∴∠B1FD=90,可得B1F⊥FD. ∵AD∩FD=D,∴B1F⊥平面AFD. (2)∵B1F⊥平面AFD,∴B1F是三棱錐B1﹣ADF的高 等腰△ABC中,AD==2, 矩形BB1C1C中,DF=B1F== 因此,三棱錐B1﹣ADF的體積為 V=S△AFDB1F==. (3)連EF、EC,設(shè)EC∩AF=M,連結(jié)DM, ∵AE=CF=2a,∴四邊形AEFC為矩形,可得M為EC中點. ∵D為BC中點,∴MD∥BE. ∵MD?平面ADF,BE?平面ADF,∴BE∥平面ADF. 點評: 本題在直四棱柱中證明線面平行、線面垂直,并求三棱錐的體積.著重考查了空間直線與平面平行的判定定理、直線與平面垂直的判定定理和錐體體積公式等知識,屬于中檔題. 20.(12分)已知橢圓C:+=1(a>b>0)的兩個焦點F1,F(xiàn)2和上下兩個頂點B1,B2是一個邊長為2且∠F1B1F2為60的菱形的四個頂點. (1)求橢圓C的方程; (2)過右焦點F2,斜率為k(k≠0)的直線與橢圓C相交于E,F(xiàn)兩點,A為橢圓的右頂點,直線AE,AF分別交直線x=3于點M,N,線段MN的中點為P,記直線PF2的斜率為k′.求證:k?k′為定值. 考點: 直線與圓錐曲線的綜合問題. 專題: 圓錐曲線中的最值與范圍問題. 分析: 解:(1)由題意利用菱形和含30角的直角三角形的性質(zhì)可得a=2,,c=1.即可得到橢圓C的方程. (2)設(shè)過點F2(1,0)的直線l的方程為:y=k(x﹣1).設(shè)點E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),與橢圓方程聯(lián)立即可得到根與系數(shù)的關(guān)系,.可得直線AE的方程及直線AF的方程,令x=3,得點M,N的坐標.利用中點坐標公式可得點P的坐標.即可得到直線PF2的斜率為k′,把根與系數(shù)代入即可得出k?k′為定值. 解答: 解:(1)由題意可得a=2,,c=1. ∴橢圓C的方程為. (2)設(shè)過點F2(1,0)的直線l的方程為:y=k(x﹣1). 設(shè)點E(x1,y1),F(xiàn)(x2,y2),聯(lián)立,化為(3+4k2)x2﹣8k2x+4k2﹣12=0. 顯然△>0,∴,(*). 直線AE的方程為,直線AF的方程為, 令x=3,得點M,N. ∴點P. 直線PF2的斜率為k′= = = =. 把(*)代入得k′==﹣. ∴為定值. 點評: 熟練掌握橢圓的標準及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立得到根與系數(shù)的關(guān)系、直線的點斜式方程、中點坐標公式、斜率計算公式等是解題的關(guān)鍵. 21.(12分)已知函數(shù)f(x)=xlnx,g(x)=﹣x2+ax﹣3. (1)求函數(shù)f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值; (2)若存在x0∈[,e](e是自然對數(shù)的底數(shù),e=2.71828…),使不等式2f(x0)≥g(x0)成立,求實數(shù)a的取值范圍. 考點: 利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性. 專題: 導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用. 分析: (1)由已知知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=lnx+1,由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出函數(shù)f(x)在[t,t+2](t>0)上的最小值. (2)由已知得a≤2lnx+x+,x∈[,e],設(shè)h(x)=2lnx+x+,x∈[,e],則,x∈[,e],由此利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實數(shù)a的取值 解答: 解:(1)由已知知函數(shù)f(x)的定義域為(0,+∞),f′(x)=lnx+1, 當(dāng)x∈(0,),f′(x)<0,f(x)單調(diào)遞減, 當(dāng)x∈(),f′(x)>0,f(x)單調(diào)遞增, ①0<t<t+2<,沒有最小值; ②0<t<<t+2,即0<t<時,f(x)min=f()=﹣; ③,即t時,f(x)在[t,t+2]上單調(diào)遞增,f(x)min=f(t)=tlnt. ∴. (2)∵不等式2f(x0)≥g(x0)成立,即2x0lnx0≥﹣, ∴a≤2lnx+x+,x∈[,e], 設(shè)h(x)=2lnx+x+,x∈[,e], 則,x∈[,e], ①x∈[,1)時,h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減, ②x∈(1,e]時,h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增, ∴h(x)max=h(e)=2+e+,對一切x0∈[,e]使不等式2f(x0)≥g(x0)成立, ∴a≤h(x)max=2+e+. 點評: 本題重點考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì),利用函數(shù)的性質(zhì)解決不等式、方程問題.重點考查學(xué)生的代數(shù)推理論證能力.解題時要認真審題,注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運用. 一、請考生在第(22)、(23)(24)三體中任選一題作答,如果多做,則按所做的第一題記分. 22.(10分)【選修4﹣1:幾何證明選講】 如圖,梯形ABCD內(nèi)接于圓O,AD∥BC,且AB=CD,過點B引圓O的切線分別交DA、CA的延長線于點E、F. (1)求證:CD2=AE?BC; (2)已知BC=8,CD=5,AF=6,求EF的長. 考點: 與圓有關(guān)的比例線段. 專題: 直線與圓. 分析: (1)由已知條件,利用直線平行的性質(zhì)和弦切角定理推導(dǎo)出△EAB∽△ABC,由此能證明CD2=AE?BC. (2)由已知條件和(1)先求出AE,再由三角形相似的判定定理得到△FEA∽△FAB,由此能求出結(jié)果. 解答: 解:(1)因為AD∥BC,所以∠EAB=∠ABC. 又因為FB與圓O相切于點B, 所以∠EBA=∠ACB, 所以△EAB∽△ABC, 所以=,即AB2=AE?BC, 因為AB=CD,所以CD2=AE?BC. (2)因為AB2=AE?BC,BC=8,CD=5,AF=6,AB=CD, 所以AE==, 因為AD∥BC,所以∠FAE=∠ACB, 又因為∠EBA=∠ACB, 所以∠FAE=∠EBA,∠F=∠F, 所以△FEA∽△FAB, 所以, 所以EF==. 點評: 本題考查三角形相似的應(yīng)用,考查與圓有關(guān)的線段長的求法,解題時要注意弦切角定理和三角形相似的性質(zhì)的靈活運用. 一、選考題 23.【選修4﹣4:坐標系與參數(shù)方程】 在直角坐標系xOy中,直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),若以O(shè)為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標系,則曲線C的極坐標方程為ρ=cos(θ+). (1)求直線l的普通方程與曲線C的直角坐標方程; (2)求直線l被曲線C所截得的弦長. 考點: 參數(shù)方程化成普通方程. 專題: 坐標系和參數(shù)方程. 分析: 本題的關(guān)鍵(1)是直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))和曲線C的極坐標方程為ρ=cos(θ+)的普通方程的轉(zhuǎn)化,(2)是借助垂徑定理,求解弦長問題. 解答: 解:(1)∵直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)),(t為參數(shù)) ∴化為普通方程為l:3x+4y+1=0. 又∵曲線C的極方程為ρ=cos(θ+), ∴化為直角坐標方程為x2+y2﹣x+y=0. (2)由(1)可知曲線C表示圓心為(),半徑為的圓, ∴則圓心到直線l的距離d═=, ∴直線l被曲線C截得的弦長為 點評: 此題考查參數(shù)方程和極坐標方程化為普通方程,是一道xx高考常見的題目 一、選考題 24.選修4﹣5:不等式選講 已知函數(shù)f(x)=|x﹣7|﹣|x﹣3|, (Ⅰ)作出函數(shù)f(x)的圖象; (Ⅱ)當(dāng)x<5時,不等式|x﹣8|﹣|x﹣a|>2恒成立,求a的取值范圍. 考點: 帶絕對值的函數(shù);絕對值不等式的解法. 專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用. 分析: (I)由于函數(shù)f(x)=|x﹣7|﹣|x﹣3|=,由此根據(jù)函數(shù)的解析式作出函數(shù)的圖象. (II)當(dāng)x<5時,由題意可得|x﹣a|<6﹣x恒成立.平方可得(12﹣2a)x<36﹣a2.結(jié)合題意可得12﹣2a>0,且x<.故有≥5,且a<6,由此求得a的范圍. 解答: 解:(I)由于函數(shù)f(x)=|x﹣7|﹣|x﹣3|=,如圖所示: (II)當(dāng)x<5時,由于不等式|x﹣8|﹣|x﹣a|>2恒成立, 故|x﹣a|<6﹣x恒成立. 平方可得,(12﹣2a)x<36﹣a2. 結(jié)合題意可得12﹣2a>0,且x<. 故有≥5,且a<6,解得6>a≥4. 故所求的a的范圍為[4,6). 點評: 本題主要考查帶有絕對值的函數(shù),函數(shù)的恒成立問題,絕對值不等式的解法,屬于中檔題.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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