2019-2020年高三4月月考 數(shù)學理 含答案.doc

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2019-2020年高三4月月考 數(shù)學理 含答案 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的． 1．集合，則＝（　?。? A．{0,2,3} B．{0,1,4} C．{1,2,3} D．{1,4,5} 2．若函數(shù)，則該函數(shù)在上是（ ） A．單調遞減無最小值 B．單調遞減有最小值 C．單調遞增無最大值 D．單調遞增有最大值 3．已知函數(shù)的最小正周期為，為了得到函數(shù) 的圖象，只要將的圖象( ) A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度 4．設則下列不等式成立的是(　　) A． B． C． D． 5．“數(shù)列為遞增數(shù)列”的一個充分不必要條件是（　　） A．　　 B．　 C． 　 D． 6．已知函數(shù)內是減函數(shù)，則（ ） A．0<≤1 B．－1≤<0 C．≥1 D．≤－1 7．M是正方體的棱的中點，給出下列命題： ①過M點有且只有一條直線與直線、都相交； ②過M點有且只有一條直線與直線、都垂直； ③過M點有且只有一個平面與直線、都相交； ④過M點有且只有一個平面與直線、都平行.其中真命題是（ ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 8．過點P(4,2)作圓x2＋y2＝4的兩條切線，切點分別為A，B，O為坐標原點，則△OAB 的外接圓方程是(　　) A．(x－2)2＋(y－1)2＝5 B．(x－4)2＋(y－2)2＝20 C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20 9．已知二次函數(shù)的導函數(shù)為，且＞0，的圖象與x 軸恰有一個交點，則的最小值為 (　　 ) A．3 B． C．2 D． 10．設，分別為雙曲線：的左、右焦點，為雙曲線 的左頂點，以為直徑的圓交雙曲線某條漸近線于、兩點，且滿足： ，則該雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． D． 二、選做題：請在下列兩題中任選一題作答。若兩題都做，則按第一題評閱計分。本題 共5分. 11．(1)（坐標系與參數(shù)方程選做題）已知曲線C的極坐標方程為：，直線的極坐標方程為：.則它們相交所得弦長等于 . (2)（不等式選做題）已知函數(shù)f (x)＝|x－2|－|x－5|，則不等式f (x)≥x2－8x＋15的 解集為 ． 三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。 12．復數(shù)z=(i為復數(shù)的虛數(shù)單位)的模等于 ． 13．擲均勻硬幣5次，則總共擲出3次正面且在整個投擲過程中擲出反面的次數(shù)總是小 于正面次數(shù)的概率是 ． 14．語句： S=0 i=1 Do S=S+i i=i+2 Loop while S≤200 n=i－2 Output n 則正整數(shù)n= . 15．在平面直角坐標系中，設點，其中O為坐標原點，對于以下結論： ①符合[OP]=1的點P的軌跡圍成的圖形的面積為2； ②設P為直線上任意一點，則[OP]的最小值為1； ③設P為直線上的任意一點，則“使[OP]最小的點P有無數(shù)個” 的必要不充分條件是“”. 其中正確的結論有 （填上你認為正確的所有結論的序號）. 三、解答題:本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 16．（本小題滿分12分）已知△ABC的面積S滿足≤S≤3，且= 6 , 與的夾角為. (1) 求的范圍;(2)求函數(shù)= 的最大值. 17．（本小題滿分12分）八一商場進行促銷活動，促銷方案為顧客消費1000元，便可獲 得獎券一張，每張獎券中獎的概率為，中獎后商場返還顧客現(xiàn)金1000元. 顧客甲 購買一臺價格2400元的手機，只能得2張獎券，于是甲補償50元給同事購買價格 600元的商品（甲可以得到三張獎券），甲抽獎后實際支出為（元）. （1）求的分布列； （2）試說明甲出資50元增加1張獎券是否劃算. 18．（本小題滿分12分）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，當E、F 分別在線段AD、BC上，且，AD=4，CB=6，AE=2.現(xiàn)將梯形ABCD沿EF折 疊，使平面ABFE與平面EFCD垂直. （1）判斷直線AD與BC是否共面，并證明你的結論； （2）當直線AC與面EFCD所成角的正切值為多少時，二面角A-DC-E的大小是60？ 19．（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前n項和滿足： （正常數(shù)），. （1）求的通項公式； （2）設，若數(shù)列為等比數(shù)列，求的值； （3）在滿足條件（2）的情形下，，數(shù)列的前n項和為, 求證：． 20．（本小題滿分13分）已知拋物線C1:y2=4x的焦點與橢圓C2:的右焦點F2 重合，F(xiàn)1是橢圓的左焦點. （1）在ABC中，若A(-4,0)，B(0,-3)，點C在拋物線y2=4x上運動，求ABC重心G 的軌跡方程； （2）若P是拋物線C1與橢圓C2的一個公共點，且∠PF1F2=，∠PF2F1=,求cos 的值及PF1F2的面積. 21．（本小題滿分14分）已知函數(shù)(常數(shù). （1）當時，求曲線在處的切線方程； （2）討論函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）. 參考答案 一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的． 1．集合，則＝（　D?。? A．{0,2,3} B．{0,1,4} C．{1,2,3} D．{1,4,5} 2．若函數(shù)，則該函數(shù)在上是（ A ） A．單調遞減無最小值 B．單調遞減有最小值 C．單調遞增無最大值 D．單調遞增有最大值 3．已知函數(shù)的最小正周期為，為了得到函數(shù) 的圖象，只要將的圖象( B ) A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度 C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度 4．設則下列不等式成立的是(　D　) A． B． C． D． 5．“數(shù)列為遞增數(shù)列”的一個充分不必要條件是（　D?。? A．　　 B．　 C． 　 D． 6．已知函數(shù)內是減函數(shù)，則（ B ） A．0<≤1 B．－1≤<0 C．≥1 D．≤－1 7．M是正方體的棱的中點，給出下列命題： ①過M點有且只有一條直線與直線、都相交； ②過M點有且只有一條直線與直線、都垂直； ③過M點有且只有一個平面與直線、都相交； ④過M點有且只有一個平面與直線、都平行.其中真命題是（ C ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 8．過點P(4,2)作圓x2＋y2＝4的兩條切線，切點分別為A，B，O為坐標原點，則△OAB 的外接圓方程是(　A　) A．(x－2)2＋(y－1)2＝5 B．(x－4)2＋(y－2)2＝20 C．(x＋2)2＋(y＋1)2＝5 D．(x＋4)2＋(y＋2)2＝20 9．已知二次函數(shù)的導函數(shù)為，且＞0，的圖象與x 軸恰有一個交點，則的最小值為 (　C　 ) A．3 B． C．2 D． 10．設，分別為雙曲線：的左、右焦點，為雙曲線 的左頂點，以為直徑的圓交雙曲線某條漸近線于、兩點，且滿足： ，則該雙曲線的離心率為（ A ） A． B． C． D． 二、選做題：請在下列兩題中任選一題作答。若兩題都做，則按第一題評閱計分。本題 共5分. 11．(1)（坐標系與參數(shù)方程選做題）已知曲線C的極坐標方程為：，直線的極坐標方程為：.則它們相交所得弦長等于 3 . (2)（不等式選做題）已知函數(shù)f (x)＝|x－2|－|x－5|，則不等式f (x)≥x2－8x＋15的 解集為 {x|5－≤x≤6} ． f(x)＝|x－2|－|x－5|＝ 當x≤2時，f(x)≥x2－8x＋15的解集為空集； 當2＜x＜5時，f(x)≥x2－8x＋15的解集為{x|5－≤x＜5}； 當x≥5時，f(x)≥x2－8x＋15的解集為{x|5≤x≤6}． 綜上，不等式f(x)≥x2－8x＋15的解集為{x|5－≤x≤6}． 三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。 12．復數(shù)z=(i為復數(shù)的虛數(shù)單位)的模等于 ． 13．擲均勻硬幣5次，則總共擲出3次正面且在整個投擲過程中擲出反面的次數(shù)總是小 于正面次數(shù)的概率是 ． 14．語句： S=0 i=1 Do S=S+i i=i+2 Loop while S≤200 n=i－2 Output n 則正整數(shù)n= 29 . 15．在平面直角坐標系中，設點，其中O為坐標原點，對于以下結論： ①符合[OP]=1的點P的軌跡圍成的圖形的面積為2； ②設P為直線上任意一點，則[OP]的最小值為1； ③設P為直線上的任意一點，則“使[OP]最小的點P有無數(shù)個” 的必要不充分條件是“”. 其中正確的結論有 ①③ （填上你認為正確的所有結論的序號）. 三、解答題:本大題共6小題，共75分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 16．（本小題滿分12分）已知△ABC的面積S滿足≤S≤3，且= 6 , 與的夾角為. (1) 求的范圍;(2)求函數(shù)= 的最大值. 解：（1）∵ ∴S=3. ∴。 （2）上遞增，∴. 17．（本小題滿分12分）八一商場進行促銷活動，促銷方案為顧客消費1000元，便可獲 得獎券一張，每張獎券中獎的概率為，中獎后商場返還顧客現(xiàn)金1000元. 顧客甲 購買一臺價格2400元的手機，只能得2張獎券，于是甲補償50元給同事購買價格 600元的商品（甲可以得到三張獎券），甲抽獎后實際支出為（元）. （1）求的分布列； （2）試說明甲出資50元增加1張獎券是否劃算. 解：（1）的所有可能取值為2450,1450,450，－550 , ， 分布列為 2450 1450 450 －550 P （2） 　　　?。?850（元）） …（9分） 設小李不出資50元增加1張獎券,消費的實際支出為（元） 則, ∴ ∴, 故小王出資50元增加1張獎券劃算.…（12分） 18．（本小題滿分12分）如圖，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，，當E、F 分別在線段AD、BC上，且，AD=4，CB=6，AE=2.現(xiàn)將梯形ABCD沿EF折 疊，使平面ABFE與平面EFCD垂直. （1）判斷直線AD與BC是否共面，并證明你的結論； （2）當直線AC與面EFCD所成角的正切值為多少時，二面角A-DC-E的大小是60？ 解：（1）、是異面直線， （1分） （反證法）假設、共面為． ,,,,． ,又． 這與為梯形矛盾．故假設不成立．即、是異面直線． …6分 （2）延長CD,FE相交于N，由已知設則△NDE中，， ，平面平面, 平面．過E作于H，連結AH， 則．是二面角的平面角， 則． ,, , 此時在△EFC中，．又平面, 是直線與平面所成的角, ． 即當直線與平面所成角的正切值為時，二面角的 大小為。 19．（本小題滿分12分）已知數(shù)列的前n項和滿足： （正常數(shù)），. （1）求的通項公式； （2）設，若數(shù)列為等比數(shù)列，求的值； （3）在滿足條件（2）的情形下，，數(shù)列的前n項和為, 求證：． 解：（1）, ∴ ……….1分 當時， 兩式相減得：， , 即是等比數(shù)列． ∴；…4分 （2）由（1）知, ,， 若為等比數(shù)列，則有 而 ，, ……6分 故， 解得， ……………………7分 再將代入得成立，所以． …………8分 （3）證明：由（2）知， 所以… 10分 所以 ………12分 20．（本小題滿分13分）已知拋物線C1:y2=4x的焦點與橢圓C2:的右焦點F2 重合，F(xiàn)1是橢圓的左焦點. （1）在ABC中，若A(-4,0)，B(0,-3)，點C在拋物線y2=4x上運動，求ABC重心G 的軌跡方程； （2）若P是拋物線C1與橢圓C2的一個公共點，且∠PF1F2=，∠PF2F1=,求cos 的值及PF1F2的面積. 解：（1）設重心G(x,y)，則 整理得將(*)式代入 y2=4x中，得(y+1)2= ∴重心G的軌跡方程為(y+1)2=.…6分 (2) ∵橢圓與拋物線有共同的焦點，由y2=4x得F2(1,0)， ∴b2=8，橢圓方程為.設P(x1,y1) 由得，∴x1=，x1=-6(舍).∵x=-1是y2=4x的準線，即拋物線的準線過橢圓的另一個焦點F1. 設點P到拋物線y2=4x的準線的距離為PN，則︱PF2︱=︱PN︱. 又︱PN︱=x1+1=, ∴. 過點P作PP1⊥x軸，垂足為P1，在Rt△PP1F1中，cosα=在Rt△PP1F2中，cos(л-β)=,cosβ=,∴cosαcosβ=。 ∵x1=,∴∣PP1∣=, ∴.…13分 21．（本小題滿分14分）已知函數(shù)(常數(shù). （1）當時，求曲線在處的切線方程； （2）討論函數(shù)在區(qū)間上零點的個數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）. 解:（1）當 時，，. .…3分 又，∴曲線在點處的切線方程為．…4分 （3），所以. 因為，，于是當時，，當時，. 所以在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù). …7分 所以 …8分 討論函數(shù)的零點情況如下． ①，即時，函數(shù)無零點，在上也無零點；…9分 ②當，即時，函數(shù)在內有唯一零點，而 ，∴在內有一個零點；……10分 ③當，即時， 由于， ， 當時，即時， ，，由單調性可知，函數(shù) 在內有唯一零點、在內有唯一零點滿足，在內有兩個零點； …11分 當時，即時，，而且，由單調性可知，無論還是，在內有唯一的一個零點，在內沒有零點，從而在內只有一個零點；…14分 （注：這一類的討論中，若沒有類似“來說明唯一零點在內”的這一步，則扣去這2分）綜上所述，有：當時，函數(shù)無零點；當或時，函數(shù)有一個零點；當時，函數(shù)有兩個零點.