[初二數(shù)學(xué)]二元一次方程組的圖象解法教案

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1、“二元一次方程組的圖象解法”活動(dòng)課教案 鐘祥五中 郭 剛 活動(dòng)內(nèi)容： 人教版《義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)》七年級(jí)下冊(cè)第八章“數(shù)學(xué)活動(dòng)”第1課時(shí).（P.120.活動(dòng)1） 活動(dòng)目標(biāo)： ⑴知識(shí)技能：認(rèn)識(shí)二元一次方程的圖象表示法，從圖形的角度理解二元一次方程的解，了解二元一次方程組的圖象解法. ⑵數(shù)學(xué)思考：學(xué)生在活動(dòng)中體會(huì)“從特殊到一般”的認(rèn)識(shí)事物的方法，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的研究方法. ⑶解決問(wèn)題：經(jīng)歷用圖象法解二元一次方程組的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的能力. ⑷情感態(tài)度：在探究學(xué)習(xí)的過(guò)程中培養(yǎng)學(xué)生的合作精神、探究意識(shí). 活動(dòng)重點(diǎn)： 畫(huà)二元一次方程的圖象；用圖象法解二元一次方程組.

2、 活動(dòng)難點(diǎn)： 畫(huà)二元一次方程的圖象. 活動(dòng)準(zhǔn)備： 坐標(biāo)紙、CAI課件. 活動(dòng)過(guò)程： 一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情景 問(wèn)題：我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》中有“雞兔同籠”問(wèn)題：“今有雞兔同籠，上有八頭，下有二十足，問(wèn)雞兔各幾何？”你能用二元一次方程組表示題中的數(shù)量關(guān)系嗎?如果不用加減或代入法你能找出問(wèn)題的解嗎？ 二、活動(dòng)探究 活動(dòng)（一）：再認(rèn)二元一次方程 （多媒體顯示方程： x－y＝0 ） 我們知道二元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，你能說(shuō)出它的一個(gè)解嗎？ （學(xué)生回答后，教師把答案填入表中，而后寫(xiě)成有序數(shù)對(duì)的形式并回顧前學(xué)內(nèi)容.） 這樣一來(lái)，二元一次方程的任意一個(gè)解就對(duì)應(yīng)坐標(biāo)系里的一個(gè)點(diǎn)，而二元一

3、次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，它們將對(duì)應(yīng)無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，那么這無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)將組成什么樣的圖形呢？ 下面我們不妨把剛才寫(xiě)出的幾個(gè)解的對(duì)應(yīng)點(diǎn)在坐標(biāo)系中描出，觀察這些點(diǎn)，你有什么發(fā)現(xiàn)？ （發(fā)現(xiàn)這些點(diǎn)在一條直線上） 再寫(xiě)出幾個(gè)解，描出以這些解為坐標(biāo)的點(diǎn)，你又發(fā)現(xiàn)了什么？（還是在這條直線上）.既然如此，請(qǐng)同學(xué)們大膽的猜想一下，你能得到什么結(jié)論？ 以二元一次方程x－y＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在同一條直線上. （多媒體顯示） 為了進(jìn)一步驗(yàn)證，請(qǐng)同學(xué)們?cè)谶@條直線上任取一點(diǎn)，找出它的坐標(biāo)你又發(fā)現(xiàn)什么？再取幾點(diǎn)試一試.由此同學(xué)們又可以得到什么結(jié)論？ 這條直線上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都是二元一次方程x－y＝0的解. （多媒體顯示） 我

4、們把以二元一次方程x－y＝0的解為坐標(biāo)的點(diǎn)的全體叫做二元一次方程x－y＝0的圖象. （多媒體顯示） 顯然，二元一次方程x－y＝0的圖象是什么呢？（直線） 是不是所有的二元一次方程的圖象都是直線呢？ 下面我們換一個(gè)方程試一試看.（多媒體顯示方程：x＋y＝2 ） 請(qǐng)同學(xué)們仿照我們剛才的探究過(guò)程，自己探究一下這個(gè)方程的圖象是什么？（學(xué)生自己探究或小組合作）.請(qǐng)說(shuō)出你的發(fā)現(xiàn).（學(xué)生回答） 由此我們?cè)俅尾孪耄憾淮畏匠痰膱D象是什么呢？ 二元一次方程的圖象是直線. （多媒體顯示） 既然我們知道了二元一次方程的圖象是直線，那么我們?nèi)绾慰焖俚禺?huà)出它的圖象呢？請(qǐng)每個(gè)小組任意寫(xiě)出一個(gè)二元一次方程并

5、畫(huà)出它的圖象.（學(xué)生展示畫(huà)出的圖象并說(shuō)明） 教師小結(jié)：這樣看來(lái)，只要同學(xué)們多觀察、多思考，就一定能發(fā)現(xiàn)有價(jià)值的可以推廣的規(guī)律，說(shuō)不定將來(lái)就要學(xué)習(xí)各位發(fā)現(xiàn)探究出來(lái)的知識(shí)呢！經(jīng)過(guò)剛才的探究，我們可以看出：二元一次方程的圖像是直線，直線上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，而二元一次方程有無(wú)數(shù)個(gè)解，無(wú)數(shù)個(gè)解與無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)，真是“天作之美”! 活動(dòng)（二）：圖象法解二元一次方程組 下面請(qǐng)同學(xué)們把我們剛剛畫(huà)出的兩個(gè)二元一次方程（x－y＝0和 x＋y＝2 ）的圖象合在一個(gè)坐標(biāo)系里，看看有什么發(fā)現(xiàn)？ 兩個(gè)二元一次方程（x－y＝0和 x＋y＝2 ）的圖象交于一點(diǎn)（1，1），它是兩個(gè)二元一次方程的公共解（即方程組的解）. 經(jīng)過(guò)

6、學(xué)生匯報(bào)、質(zhì)疑、答辯后由學(xué)生自己總結(jié)出： 二元一次方程組的解與方程組中兩個(gè)二元一次方程的圖象間的關(guān)系：二元一次方程組的解就是方程組中兩個(gè)二元一次方程的圖象的交點(diǎn)坐標(biāo). 教師強(qiáng)化：經(jīng)過(guò)我們的集體合作，交流，發(fā)現(xiàn)：如果二元一次方程組中的兩個(gè)二元一次方程的圖象（即兩條直線）相交，那么交點(diǎn)的坐標(biāo)就是二元一次方程組的解.（電腦顯示） 方程組有唯一解，兩條直線相交，交點(diǎn)的坐標(biāo)就是二元一次方程組的解，真是珠聯(lián)璧合！ 三. 思維拓展 活動(dòng)（三）：用圖象法解下列二元一次方程組，你有什么新的發(fā)現(xiàn)？ ① ② （分兩大組進(jìn)行比賽，小組合作探究）得出結(jié)論： ①的圖象是平行的，沒(méi)有交點(diǎn)，解方程組，它

7、無(wú)解.所以我們得到：圖象沒(méi)有交點(diǎn)，圖象代表的二元一次方程沒(méi)有公共解，方程組就無(wú)解. ②的圖象是重合的，有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，方程組有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn). （電腦顯示） 并引導(dǎo)學(xué)生歸納出圖象法解二元一次方程組的三種情形. 四. 問(wèn)題解決 學(xué)生自己解決本課開(kāi)頭提出的問(wèn)題，而后多媒體顯示過(guò)程. 五、回顧活動(dòng)全程，提煉研究心得 （師生共同討論，由學(xué)生談感想、談收獲并引入笛卡爾的史料） （多媒體展示笛卡爾的照片及相關(guān)史料.） 數(shù)形結(jié)合的鼻祖——笛卡爾 笛卡爾是17世紀(jì)法國(guó)哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、生理學(xué)家. 傳說(shuō)有一次笛卡爾生病臥床，這是他思考問(wèn)題的好時(shí)機(jī).身體有病，頭腦可不能閑著.笛卡爾反復(fù)琢磨

8、通過(guò)一種什么辦法，能夠把點(diǎn)和數(shù)掛起鉤來(lái).突然，他看見(jiàn)屋頂上的一只蜘蛛拉著絲垂了下來(lái).一會(huì)兒，蜘蛛又順著絲爬了上去，在屋頂上左右爬行. 笛卡爾看到蜘蛛的“表演”，靈機(jī)一動(dòng)，他想，可以把蜘蛛看做為一個(gè)點(diǎn)，它在屋子里可以上、下、左、右運(yùn)動(dòng)，能不能用一組有序?qū)崝?shù)把蜘蛛的位置確定下來(lái)？ 在蜘蛛爬行的啟示下，笛卡爾創(chuàng)建了坐標(biāo)系.坐標(biāo)系如同架設(shè)在代數(shù)和幾何之間的一座橋梁.在坐標(biāo)系下，幾何圖形和方程建立了聯(lián)系，可以把幾何圖形通過(guò)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)化成代數(shù)方程來(lái)研究，也可以畫(huà)出方程的圖形來(lái)研究方程的性質(zhì).笛卡爾還創(chuàng)造了用代數(shù)方法來(lái)研究幾何圖形的數(shù)學(xué)分支——解析幾何. 結(jié)束語(yǔ)：由此可見(jiàn)，“觀察出智慧，思考出成果”。老師最喜歡笛卡爾的一句名言：“我思故我在”，把它送給大家，與同學(xué)們共勉！ 3