2019-2020年高二數(shù)學下學期第一次月考試卷 文(含解析).doc
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2019-2020年高二數(shù)學下學期第一次月考試卷 文(含解析) 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求) 1.設(shè)全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},則?UA=( ?。? A. ? B. {2} C. {5} D. {2,5} 2.用反證法證明命題:“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60度”時,假設(shè)正確的是( ?。? A. 假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度 B. 假設(shè)三內(nèi)角都大于60度 C. 假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60度 D. 假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60度 3.極坐標系內(nèi)曲線ρ=2cosθ上的動點P與定點Q(1,),的最近距離等于( ?。? A. ﹣1 B. ﹣1 C. 1 D. 4.設(shè)函數(shù)f(x)=,那么f(xx)=( ?。? A. 27 B. 9 C. 0 D. 1 5.設(shè)a>0且a≠1,則“函數(shù)f(x)=ax在R上是減函數(shù)”,是“函數(shù)g(x)=(2﹣a)x3在R上是增函數(shù)”的( ?。? A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 6.給出下列不等式:(1)x2+3>2x(2)a5+b5>a3b2+a2b3(3)a2+b2≥2(a﹣b﹣1).其中成立的個數(shù)是( ?。? A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7.下列參數(shù)方程中,與普通方程x2+y﹣1=0等價的參數(shù)方程是( ) A. (φ為參數(shù)) B. (φ為參數(shù)) C. (r為參數(shù)) D. (φ為參數(shù)) 8.甲乙二人玩游戲,甲想一數(shù)字記為a,乙猜甲剛才想的數(shù)字,把乙猜出的數(shù)字記為b,且a,b∈{1,2,3},若|a﹣b|≤1,則稱甲乙“心有靈犀”,則他們“心有靈犀”的概率為( ?。? A. B. C. D. 9.已知命題p:?m∈R,m+1≤0,命題q:?x∈R,x2+mx+1>0恒成立.若p∨q為假命題,則實數(shù)m的取值范圍是( ?。? A. m≥2 B. m≤﹣2 C. m≤﹣2或m≥2 D. ﹣2≤m≤2 10.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導,其導函數(shù)為f′(x),且函數(shù)y=(1﹣x)f′(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中一定成立的是( ) A. 函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1) B. 函數(shù)f(x)有極大值f(﹣2)和極小值f(1) C. 函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(﹣2) D. 函數(shù)f(x)有極大值f(﹣2)和極小值f(2) 11.過拋物線x2=2py(p>0)焦點F作傾斜角為30的直線,與拋物線分別交于A,B兩點(點A在y軸左側(cè)),則=( ?。? A. B. C. D. 12.設(shè)函數(shù)f(x)的導函數(shù)是f′(x),對任意x∈R,都有f′(x)>f(x),則( ?。? A. 2014f(lnxx)≥2015f(lnxx) B. 2014f(lnxx)≤2015f(lnxx) C. 2014f(lnxx)>2015f(lnxx) D. 2014f(lnxx)<2015f(lnxx) 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分) 13.有以下判斷: (1)f(x)=與g(x)=表示同一個函數(shù); (2)f(x)=x2﹣2x+1與g(t)=t2﹣2t+1是同一函數(shù); (3)若f(x)=|x﹣1|﹣|x|,則f=0. 其中正確判斷的序號是 ?。? 14.已知直線過點P(1,2),其參數(shù)方程為(t是參數(shù)),若直線l與直線2x+y﹣2=0交于點Q,則|PQ|等于 ?。? 15.向邊長為2米的正方形木框ABCD內(nèi)隨機投擲一粒綠豆,記綠豆落在P點;則P點到A點的距離大于1米,同時∠DPC∈的概率為 ?。? 16.若曲線C:y=ax+lnx存在斜率為1的切線,則實數(shù)a的取值范圍是 ?。? 三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟) 17.p:實數(shù)x滿足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0,q:實數(shù)x滿足 (1)若a=1,且p∧q為真,求實數(shù)x的取值范圍; (2)p是q的充分不必要條件,求實數(shù)a的取值范圍. 18.設(shè)函數(shù)f(x)=|x﹣a|+2x,其中a>0. (Ⅰ)當a=2時,求不等式f(x)≥2x+1的解集; (Ⅱ)若x∈(﹣2,+∞)時,恒有f(x)>0,求a的取值范圍. 19.已知曲線C的極坐標方程為ρ=4cosθ,以極點為原點,極軸為x軸正半軸建立平面直角坐標系,設(shè)直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù)). (1)求曲線C的直角坐標方程與直線l的普通方程; (2)設(shè)曲線C與直線l相交于P、Q兩點,以PQ為一條邊作曲線C的內(nèi)接矩形,求該矩形的面積. 20.某中學在校就餐的高一年級學生有440名,高二年級學生有460名,高三年級學生有500名;為了解學校食堂的服務(wù)質(zhì)量情況,用分層抽樣的方法從中抽取70名學生進行抽樣調(diào)查,把學生對食堂的“服務(wù)滿意度”與“價格滿意度”都分為五個等級:1級(很不滿意);2級(不滿意);3級(一般);4級(滿意);5級(很滿意),其統(tǒng)計結(jié)果如下表(服務(wù)滿意度為x,價格滿意度為y). 人數(shù) y x 價格滿意度 1 2 3 4 5 服 務(wù) 滿 意 度 1 1 1 2 2 0 2 2 1 3 4 1 3 3 7 8 8 4 4 1 4 6 4 1 5 0 1 2 3 1 (1)求高二年級共抽取學生人數(shù); (2)求“服務(wù)滿意度”為3時的5個“價格滿意度”數(shù)據(jù)的方差; (3)為提高食堂服務(wù)質(zhì)量,現(xiàn)從x<3且2≤y<4的所有學生中隨機抽取兩人征求意見,求至少有一人的“服務(wù)滿意度”為1的概率. 21.已知橢圓C:+=1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1(﹣,0)、F2(,0), 橢圓上的點P滿足∠PF1F2=90,且△PF1F2的面積=. (Ⅰ)求橢圓C的方程; (Ⅱ)是否存在直線l,使l與橢圓C交于不同的兩點M、N,且線段MN恰被直線x=﹣1平分?若存在,求出l的斜率取值范圍;若不存在,請說明理由. 22.已知函數(shù)f(x)=lnx﹣. (1)若a>0,試判斷f(x)在定義域內(nèi)的單調(diào)性; (2)若f(x)在上的最小值為,求a的值; (3)若f(x)>x2在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍. 參考答案與試題解析 一、選擇題(本大題共12小題,每小題5分,在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求) 1.設(shè)全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5},則?UA=( ) A. ? B. {2} C. {5} D. {2,5} 考點: 補集及其運算. 專題: 集合. 分析: 先化簡集合A,結(jié)合全集,求得?UA. 解答: 解:∵全集U={x∈N|x≥2},集合A={x∈N|x2≥5}={x∈N|x≥3}, 則?UA={2}, 故選:B. 點評: 本題主要考查全集、補集的定義,求集合的補集,屬于基礎(chǔ)題. 2.用反證法證明命題:“三角形的內(nèi)角中至少有一個不大于60度”時,假設(shè)正確的是( ?。? A. 假設(shè)三內(nèi)角都不大于60度 B. 假設(shè)三內(nèi)角都大于60度 C. 假設(shè)三內(nèi)角至多有一個大于60度 D. 假設(shè)三內(nèi)角至多有兩個大于60度 考點: 反證法與放縮法. 專題: 常規(guī)題型. 分析: 一些正面詞語的否定:“是”的否定:“不是”;“能”的否定:“不能”;“都是”的否定:“不都是”; “至多有一個”的否定:“至少有兩個”;“至少有一個”的否定:“一個也沒有”;“是至多有n個”的否定:“至少有n+1個”; “任意的”的否定:“某個”;“任意兩個”的否定:“某兩個”;“所有的”的否定:“某些”. 解答: 解:根據(jù)反證法的步驟,假設(shè)是對原命題結(jié)論的否定,“至少有一個”的否定:“一個也沒有”;即“三內(nèi)角都大于60度”. 故選B 點評: 本題考查反證法的概念,邏輯用語,否命題與命題的否定的概念,邏輯詞語的否定. 3.極坐標系內(nèi)曲線ρ=2cosθ上的動點P與定點Q(1,),的最近距離等于( ?。? A. ﹣1 B. ﹣1 C. 1 D. 考點: 簡單曲線的極坐標方程. 專題: 坐標系和參數(shù)方程. 分析: 把極坐標方程化為直角坐標方程,求出圓心和半徑,求出QC的值,則QC減去半徑,即為所求. 解答: 解:曲線ρ=2cosθ,即 ρ2=2ρcosθ,化為直角坐標方程為 (x﹣1)2+y2=1, 表示以C(1,0)為圓心、半徑等于1的圓. 定點Q即(0,1),∵QC=,故動點P與定點Q的最近距離等于﹣1, 故選:A. 點評: 本題主要考查把極坐標方程化為直角坐標方程的方法,直線和圓的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題. 4.設(shè)函數(shù)f(x)=,那么f(xx)=( ?。? A. 27 B. 9 C. 0 D. 1 考點: 函數(shù)的值. 專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用. 分析: 由已知中函數(shù)f(x)=,將x=xx代入可得f(xx)的值. 解答: 解:∵函數(shù)f(x)=, ∴f(xx)=f(xx)=f(xx)=…=f(10)=f(5)=f(0)=0, 故選:C 點評: 本題考查的知識點是函數(shù)的值,分段函數(shù),難度不大,屬于基礎(chǔ)題. 5.設(shè)a>0且a≠1,則“函數(shù)f(x)=ax在R上是減函數(shù)”,是“函數(shù)g(x)=(2﹣a)x3在R上是增函數(shù)”的( ?。? A. 充分不必要條件 B. 必要不充分條件 C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件 考點: 必要條件、充分條件與充要條件的判斷. 專題: 簡易邏輯. 分析: 根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)結(jié)合充分條件和必要條件的定義即可得到結(jié)論. 解答: 解:a>0且a≠1,則“函數(shù)f(x)=ax在R上是減函數(shù)”,所以a∈(0,1), “函數(shù)g(x)=(2﹣a)x3在R上是增函數(shù)”所以a∈(0,2); 顯然a>0且a≠1,則“函數(shù)f(x)=ax在R上是減函數(shù)”, 是“函數(shù)g(x)=(2﹣a)x3在R上是增函數(shù)”的充分不必要條件. 故選A. 點評: 本題主要考查充分條件和必要條件的判斷,根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵. 6.給出下列不等式:(1)x2+3>2x(2)a5+b5>a3b2+a2b3(3)a2+b2≥2(a﹣b﹣1).其中成立的個數(shù)是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 考點: 不等式的基本性質(zhì). 專題: 不等式. 分析: 利用作差法對三個命題作差后判斷差式的符號,從而得到正確的答案 解答: 解:因為x2+3﹣2x=(x﹣1)2+2≥2>0,所以命題①正確; 因為a5+b5﹣a3b2﹣a2b3=a3(a2﹣b2)﹣b3(a2﹣b2) =(a2﹣b2)(a3﹣b3). 此式當a=﹣1,b=﹣2時小于0. 所以②不正確. 因為a2+b2﹣2a+2b+2=(a﹣1)2+(b+1)2≥0,所以命題③正確. 故選:C. 點評: 本題考查了不等關(guān)系與不等式,考查了作差法比較不等式的大小,是基礎(chǔ)題. 7.下列參數(shù)方程中,與普通方程x2+y﹣1=0等價的參數(shù)方程是( ?。? A. (φ為參數(shù)) B. (φ為參數(shù)) C. (r為參數(shù)) D. (φ為參數(shù)) 考點: 參數(shù)方程化成普通方程. 專題: 坐標系和參數(shù)方程. 分析: 利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域等可把A.B.C.D中的參數(shù)方程化為普通方程,同時注意檢查未知數(shù)的取值范圍即可判斷出. 解答: 解:A.普通方程x2+y﹣1=0中的y可以小于0,而中的y≥0,因此不正確; B.普通方程x2+y﹣1=0中的y可以小于0,而中的y≥0,因此不正確; C.x=≥0,而方程x2+y﹣1=0的x可以小于0,因此不正確; D.化為y+x2=1,且x,y中的取值范圍一致,因此正確. 故選:D. 點評: 本題考查了參數(shù)方程的化簡、同角三角函數(shù)基本關(guān)系式、三角函數(shù)的單調(diào)性與值域,考查了推理能力與計算能力,屬于中檔題. 8.甲乙二人玩游戲,甲想一數(shù)字記為a,乙猜甲剛才想的數(shù)字,把乙猜出的數(shù)字記為b,且a,b∈{1,2,3},若|a﹣b|≤1,則稱甲乙“心有靈犀”,則他們“心有靈犀”的概率為( ) A. B. C. D. 考點: 列舉法計算基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率. 專題: 概率與統(tǒng)計. 分析: 本題是一個古典概型,試驗包含的所有事件是任意找兩人玩這個游戲,其中滿足條件的滿足|a﹣b|≤1的情形包括7種,列舉出所有結(jié)果,根據(jù)計數(shù)原理得到共有的事件數(shù),根據(jù)古典概型概率公式得到結(jié)果. 解答: 解:由題意知本題是一個古典概型, ∵試驗包含的所有事件是任意找兩人玩這個游戲,共有33=9種猜字結(jié)果, 其中滿足|a﹣b|≤1的有如下情形: ①若a=1,則b=1,2; ②若a=2,則b=1,2,3; ③若a=3,則b=2,3, 總共7種, ∴他們“心有靈犀”的概率為P=. 故選D 點評: 本題是古典概型問題,屬于高考新增內(nèi)容,解本題的關(guān)鍵是準確的分類,得到他們“心有靈犀”的各種情形. 9.已知命題p:?m∈R,m+1≤0,命題q:?x∈R,x2+mx+1>0恒成立.若p∨q為假命題,則實數(shù)m的取值范圍是( ) A. m≥2 B. m≤﹣2 C. m≤﹣2或m≥2 D. ﹣2≤m≤2 考點: 復合命題的真假. 專題: 簡易邏輯. 分析: 若命題p是真命題時,m≤﹣1,則當m>﹣1時,命題p為假命題;若命題q是真命題時,﹣2<m<2,則當m≤﹣2,或m≥2時,命題q為假命題;進而根據(jù)p∨q為假命題,命題p為假命題且命題q為假命題得到答案. 解答: 解:∵命題p:?m∈R,m+1≤0,是真命題時,m≤﹣1, 故當m>﹣1時,命題p為假命題; 又命題q:?x∈R,x2+mx+1>0恒成立,是真命題時,﹣2<m<2, 故當m≤﹣2,或m≥2時,命題q為假命題; 若p∨q為假命題,命題p為假命題且命題q為假命題. 故m≥2, 故選:A. 點評: 本題考查的知識點是復合命題的真假,其中分析出兩個簡單命題為真(假)時,實數(shù)m的取值范圍是解答的關(guān)鍵. 10.設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導,其導函數(shù)為f′(x),且函數(shù)y=(1﹣x)f′(x)的圖象如圖所示,則下列結(jié)論中一定成立的是( ?。? A. 函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1) B. 函數(shù)f(x)有極大值f(﹣2)和極小值f(1) C. 函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(﹣2) D. 函數(shù)f(x)有極大值f(﹣2)和極小值f(2) 考點: 函數(shù)在某點取得極值的條件;函數(shù)的圖象. 專題: 計算題. 分析: 利用函數(shù)的圖象,判斷導函數(shù)值為0時,左右兩側(cè)的導數(shù)的符號,即可判斷極值. 解答: 解:由函數(shù)的圖象可知,f′(﹣2)=0,f′(2)=0,并且當x<﹣2時,f′(x)>0,當﹣2<x<1,f′(x)<0,函數(shù)f(x)有極大值f(﹣2). 又當1<x<2時,f′(x)<0,當x>2時,f′(x)>0,故函數(shù)f(x)有極小值f(2). 故選D. 點評: 本題考查函數(shù)與導數(shù)的應(yīng)用,考查分析問題解決問題的能力,函數(shù)的圖象的應(yīng)用. 11.過拋物線x2=2py(p>0)焦點F作傾斜角為30的直線,與拋物線分別交于A,B兩點(點A在y軸左側(cè)),則=( ) A. B. C. D. 考點: 拋物線的簡單性質(zhì). 專題: 計算題;圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程. 分析: 點斜式設(shè)出直線l的方程,代入拋物線方程,求出A,B兩點的縱坐標,利用拋物線的定義得出==,即可得出結(jié)論. 解答: 解:設(shè)直線l的方程為:x=(y﹣),A(x1,y1),B(x2,y2), 由x=(y﹣),代入x2=2py,可得12y2﹣20py+3p2=0, ∴y1=,y2=, 從而,==. 故選:A. 點評: 本題考查拋物線的定義、標準方程,以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用,利用拋物線的定義,得出=是解題的關(guān)鍵. 12.設(shè)函數(shù)f(x)的導函數(shù)是f′(x),對任意x∈R,都有f′(x)>f(x),則( ?。? A. 2014f(lnxx)≥2015f(lnxx) B. 2014f(lnxx)≤2015f(lnxx) C. 2014f(lnxx)>2015f(lnxx) D. 2014f(lnxx)<2015f(lnxx) 考點: 導數(shù)的運算. 專題: 導數(shù)的概念及應(yīng)用. 分析: 構(gòu)造函數(shù)令g(x)=,利用導數(shù)可判斷g(x)的單調(diào)性,由單調(diào)性可得g(lnxx)與g(lnxx)的大小關(guān)系,整理即可得到答案. 解答: 解:令g(x)=,則g′(x)=, 因為對任意x∈R都有f′(x)>f(x), 所以g′(x)>0,即g(x)在R上單調(diào)遞增, 又lnxx<lnxx,所以g(lnxx)>g(lnxx),即>, 所以 2014f(lnxx)>2015f(lnxx), 故選:C 點評: 本題考查導數(shù)的運算及利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,屬中檔題,解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)選項及已知條件合理構(gòu)造函數(shù),利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性. 二、填空題(本大題共4小題,每小題5分) 13.有以下判斷: (1)f(x)=與g(x)=表示同一個函數(shù); (2)f(x)=x2﹣2x+1與g(t)=t2﹣2t+1是同一函數(shù); (3)若f(x)=|x﹣1|﹣|x|,則f=0. 其中正確判斷的序號是?。?)?。? 考點: 判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù). 專題: 函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用. 分析: 對于(1)、(2),根據(jù)兩個函數(shù)的定義域相同,對應(yīng)關(guān)系也相同,判斷是否為同一函數(shù); 對于(3),根據(jù)函數(shù)的解析式求出函數(shù)值即可. 解答: 解:對于(1),f(x)==, 與g(x)=的定義域不同,不是同一個函數(shù); 對于(2),f(x)=x2﹣2x+1,x∈R; 與g(t)=t2﹣2t+1,t∈R,定義域相同,對應(yīng)關(guān)系也相同,是同一函數(shù); 對于(3),∵f(x)=|x﹣1|﹣|x|,∴f()=|﹣1|﹣||=0, f(0)=|0﹣1|﹣|0|=1, ∴f=1,命題錯誤; 綜上,判斷正確的序號是(2). 故答案為:(2). 點評: 本題考查了判斷兩個函數(shù)是否為同一函數(shù)的問題,也考查了根據(jù)函數(shù)解析式求函數(shù)值的問題,是基礎(chǔ)題目. 14.已知直線過點P(1,2),其參數(shù)方程為(t是參數(shù)),若直線l與直線2x+y﹣2=0交于點Q,則|PQ|等于 2?。? 考點: 參數(shù)方程化成普通方程. 專題: 直線與圓. 分析: 消去參數(shù)得直線的普通方程為x+y﹣3=0,求出交點坐標Q,利用兩點間的距離公式進行求解即可. 解答: 解:消去參數(shù)得直線的普通方程為x+y﹣3=0, 由得, 即Q(﹣1,4), ∵P(1,2), ∴|PQ|==, 故答案為:2 點評: 本題主要考查兩點間的距離的求解,根據(jù)參數(shù)方程和普通方程之間的關(guān)系求出直線的普通方程是解決本題的關(guān)鍵. 15.向邊長為2米的正方形木框ABCD內(nèi)隨機投擲一粒綠豆,記綠豆落在P點;則P點到A點的距離大于1米,同時∠DPC∈的概率為 1﹣?。? 考點: 模擬方法估計概率. 專題: 應(yīng)用題;概率與統(tǒng)計. 分析: 確定點P應(yīng)落在兩圓之外,以面積為測度,即可求出概率. 解答: 解:由題意,以A點為圓心以1米為半徑作圓,圓之外的所有點到A點的距離都大于1,再以DC為直徑作圓,在圓上任取一點P連接P,D,C,則∠PDC為90,圓之外的任意點與DC連線角都滿足題意,由此可得點P應(yīng)落在兩圓之外,其面積為22﹣(+)=4﹣. 所以概率為=1﹣. 故答案為:. 點評: 本題主要考查了幾何概型,解題的關(guān)鍵是求陰影部分的面積,同時考查了計算能力,屬于中檔題. 16.若曲線C:y=ax+lnx存在斜率為1的切線,則實數(shù)a的取值范圍是 {a|a<1}?。? 考點: 利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程. 專題: 計算題. 分析: 先求出函數(shù)的定義域,然后求出導函數(shù),根據(jù)存在斜率為1的切線,得到此時斜率為1,問題轉(zhuǎn)化為x>0范圍內(nèi)導函數(shù) 存在實數(shù)解,再將之轉(zhuǎn)化為進行實數(shù)a的取值范圍即可. 解答: 解:由題意該函數(shù)的定義域x>0,由. 因為存在斜率為1的切線, 故此時斜率為1,問題轉(zhuǎn)化為x>0范圍內(nèi)導函數(shù) 存在實數(shù)解. 再將之轉(zhuǎn)化為 ∵x>0, ∴a<1 故答案為:{a|a<1}. 點評: 本題主要考查了利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程,方程有解等有關(guān)基礎(chǔ)知識,考查運算求解能力、推理論證能力與轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題. 三、解答題(解答應(yīng)寫出文字說明,證明過程或演算步驟) 17.p:實數(shù)x滿足x2﹣4ax+3a2<0,其中a>0,q:實數(shù)x滿足 (1)若a=1,且p∧q為真,求實數(shù)x的取值范圍; (2)p是q的充分不必要條件,求實數(shù)a的取值范圍. 考點: 必要條件、充分條件與充要條件的判斷;復合命題的真假. 專題: 簡易邏輯. 分析: (1)若a=1,分別求出p,q成立的等價條件,利用且p∧q為真,求實數(shù)x的取值范圍; (2)利用¬p是¬q的充分不必要條件,即q是p的充分不必要條件,求實數(shù)a的取值范圍. 解答: 解:(1)由x2﹣4ax+3a2<0,得(x﹣3a)(x﹣a)<0.又a>0, 所以a<x<3a. 當a=1時,1<x<3,即p為真時實數(shù)x的取值范圍是1<x<3. 由得 得2<x≤3, 即q為真時實數(shù)x的取值范圍是2<x≤3. 若p∧q為真,則p真且q真, 所以實數(shù)x的取值范圍是2<x<3. (2)¬p是¬q的充分不必要條件,即¬p?¬q,且¬q推不出¬p. 即q是p的充分不必要條件, 則,解得1<a≤2, 所以實數(shù)a的取值范圍是1<a≤2. 點評: 本題主要考查復合命題與簡單命題之間的關(guān)系,利用逆否命題的等價性將¬p是¬q的充分不必要條件,轉(zhuǎn)化為q是p的充分不必要條件是解決本題的關(guān)鍵, 18.設(shè)函數(shù)f(x)=|x﹣a|+2x,其中a>0. (Ⅰ)當a=2時,求不等式f(x)≥2x+1的解集; (Ⅱ)若x∈(﹣2,+∞)時,恒有f(x)>0,求a的取值范圍. 考點: 絕對值不等式的解法;函數(shù)恒成立問題. 專題: 不等式的解法及應(yīng)用. 分析: (Ⅰ)當a=2時,不等式即|x﹣2|≥1,可得x﹣2≥1,或 x﹣2≤﹣1,解得x的范圍,可得不等式的解集. (Ⅱ)由于 f(x)的解析式及a>0,可得函數(shù)f(x)在它的定義域(﹣2,+∞)上是增函數(shù).再由f(x)>0在它的定義域(﹣2,+∞)上恒成立, 可得f(﹣2)=a﹣2≥0,由此求得a的范圍. 解答: 解:(Ⅰ)當a=2時,不等式f(x)≥2x+1,即|x﹣2|≥1,∴x﹣2≥1,或 x﹣2≤﹣1. 解得x≤1,或 x≥3,故不等式的解集為 {x|x≤1,或 x≥3}. (Ⅱ)∵f(x)=,a>0,故函數(shù)f(x)在它的定義域(﹣2,+∞)上是增函數(shù). 再由f(x)>0在它的定義域(﹣2,+∞)上恒成立,可得f(﹣2)=a﹣2≥0,解得 a≥2. 故a的范圍是上的最小值為,求a的值; (3)若f(x)>x2在(1,+∞)上恒成立,求a的取值范圍. 考點: 利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值;利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性. 專題: 導數(shù)的綜合應(yīng)用. 分析: (1)f(x)的定義域為(0,+∞),,由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增. (2)由(1)根據(jù)a的取值范圍分類討論,由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出a的值. (3)由,得a>xlnx﹣x3,令g(x)=xlnx﹣x3,由此利用導數(shù)性質(zhì)能求出a的取值范圍. 解答: 解:(1)∵f(x)=lnx﹣, ∴f(x)的定義域為(0,+∞),, ∵a>0,∴f′(x)>0, ∴f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增. (2)由(1),當a≥0時,f(x)在上單調(diào)遞增, ∴f(x)min=f(1)=﹣a=, ∴a=﹣,不舍題意,舍; 當﹣e<a<0時,f(x)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增, ∴f(x)min=f(﹣a)=ln(﹣a)+1=,解得a=﹣; 當a<﹣e時,f(x)在上單調(diào)遞增, ∴f(x)min=f(1)=﹣a=,解得a=﹣,不合題意,舍; 綜上所述,a=﹣. (3)∵,∴a>xlnx﹣x3, 令g(x)=xlnx﹣x3,則g′(x)=lnx+1﹣3x2,, 當x>1時,g(x)<0,∴g′(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減, ∴g′(x)<g′(1)=2<0, ∴g(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減, ∴g(x)<g(1)=﹣1. ∴a≥﹣1. ∴f(x)>x2在(1,+∞)上恒成立,a的取值范圍是[﹣1,+∞). 點評: 本題考查函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和實數(shù)取值范圍的求法,解題時要認真審題,注意分類討論思想和導數(shù)性質(zhì)的合理運用.- 1.請仔細閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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