2019-2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷 文（含解析）.doc

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2019-2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中試卷 文（含解析） 一、選擇題（本大題共10個小題；每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求.） 1．（5分）直線x﹣y+1=0的傾斜角是（） A． 30 B． 45 C． 60 D． 135 2．（5分）如果命題“p∨q”為真命題，則（） A． p，q中至少有一個為真命題 B． p，q均為假命題 C． p，q均為真命題 D． p，q中至多有一個為真命題 3．（5分）全稱命題“?x∈R，x2+2x+3≥0”的否定是（） A． ?x∈R，x2+2x+3＜0 B． ?x?R，x2+2x+3≥0 C． ?x∈R，x2+2x+3≤0 D． ?x∈R，x2+2x+3＜0 4．（5分）已知直線m，n，l，若m∥n，n∩l=P，則m與l的位置關(guān)系是（） A． 異面直線 B． 相交直線 C． 平行直線 D． 相交直線或異面直線 5．（5分）設(shè)x∈R，則“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（） A． 充分而不必要條件 B． 必要而不充分條件 C． 充分必要條件 D． 既不充分也不必要條件 6．（5分）已知圓錐的母線長為4，側(cè)面展開圖的中心角為，那么它的體積為（） A． B． C． D． 4π 7．（5分）以直線x﹣2y=0和x+2y﹣4=0的交點為圓心，且過點（2，0）的圓的方程為（） A． （x﹣2）2+（y﹣1）2=1 B． （x+2）2+（y+1）2=1 C． （x﹣2）2+（y﹣1）2=2 D． （x+2）2+（y+1）2=2 8．（5分）對于直線m、n和平面α，下面命題中的真命題是（） A． 如果m?α，n?α，m、n是異面直線，那么n∥α B． 如果m?α，n?α，m、n是異面直線，那么n與α相交 C． 如果m?α，n∥α，m、n共面，那么m∥n D． 如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n 9．（5分）已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線與拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線分別交于O、A、B三點，O為坐標(biāo)原點．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為，則p=（） A． 1 B． C． 2 D． 3 10．（5分）過雙曲線的右焦點F2向其一條漸近線作垂線l，垂足為P，l與另一條漸近線交于Q點，若，則雙曲線的離心率為（） A． 2 B． 3 C． 4 D． 6 二、填空題.（共5小題，每小題5分，共25分） 11．（5分）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)面積是． 12．（5分）已知球的體積為，則球的大圓面積是． 13．（5分）設(shè)M為圓（x﹣5）2+（y﹣3）2=9上的點，則M點到直線3x+4y﹣2=0的最短距離為． 14．（5分）一長方體的各頂點均在同一個球面上，且一個頂點上的三條棱長分別為1，，3，則這個球的表面積為． 15．（5分）已知雙曲線=1的右焦點為F，P是雙曲線右支上任意一點，定點M（6，2），則3|PM|+|PF|的最小值是． 三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟，并把解答寫在答題卷相應(yīng)的位置上． 16．（13分）如圖直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CB，E、F、M分別是棱CC1、AB、BB1中點． （1）求證：平面AEB1∥平面CFM； （2）求證：CF⊥BA1． 17．（13分）已知命題p：方程=1表示焦點在y軸上的橢圓；命題q：m2﹣15m＜0，若p∧q為假命題，p∨q為真命題，求m的取值范圍． 18．（13分）如圖，直線l：y=x+b與拋物線C：x2=4y相切于點A． （Ⅰ）求實數(shù)b的值； （Ⅱ）求以點A為圓心，且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程． 19．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓=1（a＞b＞0）的離心率為，過橢圓焦點F作弦AB．當(dāng)直線AB斜率為0時，弦AB長4． （1）求橢圓的方程； （2）若|AB|=．求直線AB的方程． 20．（12分）已知四棱錐G﹣ABCD，四邊形ABCD是長為2a的正方形，DA⊥平面ABG，且GA=GB，BH⊥平面CAG，垂足為H，且H在直線CG上． （1）求證：平面AGD⊥平面BGC； （2）求三棱錐D﹣ACG的體積； （3）求三棱錐D﹣ACG的內(nèi)切球半徑． 21．（12分）已知橢圓的兩焦點為，，離心率． （1）求此橢圓的方程； （2）設(shè)直線l：y=x+m，若l與此橢圓相交于P，Q兩點，且|PQ|等于橢圓的短軸長，求m的值； （3）以此橢圓的上頂點B為直角頂點作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，這樣的直角三角形是否存在？若存在，請說明有幾個；若不存在，請說明理由． 重慶一中xx高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)試卷（文科） 參考答案與試題解析 一、選擇題（本大題共10個小題；每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一個符合題目要求.） 1．（5分）直線x﹣y+1=0的傾斜角是（） A． 30 B． 45 C． 60 D． 135 考點： 直線的傾斜角． 專題： 直線與圓． 分析： 化直線的方程為斜截式可得直線的斜率，進(jìn)而可得其傾斜角． 解答： 解：直線方程可化為：y=x+1， ∴直線的斜率為1， 設(shè)其傾斜角為α，0≤α＜180， 則可得tanα=1， ∴α=45 故選：B 點評： 本題考查直線的傾斜角，涉及斜率和傾斜角的關(guān)系，屬基礎(chǔ)題． 2．（5分）如果命題“p∨q”為真命題，則（） A． p，q中至少有一個為真命題 B． p，q均為假命題 C． p，q均為真命題 D． p，q中至多有一個為真命題 考點： 復(fù)合命題的真假． 專題： 簡易邏輯． 分析： 根據(jù)p∨q為真命題的定義即可找出正確選項． 解答： 解：根據(jù)p∨q為真命題的定義即可知道：A正確． 故選A． 點評： 考查真假命題的概念，以及p∨q真假和p，q真假的關(guān)系． 3．（5分）全稱命題“?x∈R，x2+2x+3≥0”的否定是（） A． ?x∈R，x2+2x+3＜0 B． ?x?R，x2+2x+3≥0 C． ?x∈R，x2+2x+3≤0 D． ?x∈R，x2+2x+3＜0 考點： 全稱命題；命題的否定． 專題： 簡易邏輯． 分析： 根據(jù)全稱命題的否定要改成存在性命題的原則，可寫出原命題的否定． 解答： 解：原命題為：?x∈R，x2+2x+3≥0 ∵原命題為全稱命題 ∴其否定為存在性命題，且不等號須改變 ∴原命題的否定為：?x∈R，x2+2x+3＜0 故選項為：D． 點評： 本題考查命題的否定的寫法，常見的命題的三種形式寫否定：（1）“若A，則B”的否定為“若￢A，則￢B”；（2）全稱命題的否定為存在性命題，存在性命題的否定為全稱命題；（3）切命題的否定為或命題，或命題的否定為切命題．本題考查第二種形式，屬簡單題 4．（5分）已知直線m，n，l，若m∥n，n∩l=P，則m與l的位置關(guān)系是（） A． 異面直線 B． 相交直線 C． 平行直線 D． 相交直線或異面直線 考點： 異面直線的判定． 專題： 空間位置關(guān)系與距離． 分析： 利用正方體的空間結(jié)構(gòu)求解． 解答： 解：如圖，AB∥CD，CD∩DD1=D，∴AB與DD1異面， AB∥CD，CD∩AD=D，∴AB與AD相交， ∴若m∥n，n∩l=P，則l與m的位置關(guān)系：相交或異面． 故選D． 點評： 本題考查兩直線的位置關(guān)系的判斷，是基礎(chǔ)題，解題時要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)． 5．（5分）設(shè)x∈R，則“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的（） A． 充分而不必要條件 B． 必要而不充分條件 C． 充分必要條件 D． 既不充分也不必要條件 考點： 必要條件、充分條件與充要條件的判斷． 專題： 簡易邏輯． 分析： 求出二次不等式的解，然后利用充要條件的判斷方法判斷選項即可． 解答： 解：由2x2+x﹣1＞0，可知x＜﹣1或x＞； 所以當(dāng)“x＞”?“2x2+x﹣1＞0”； 但是“2x2+x﹣1＞0”推不出“x＞”． 所以“x＞”是“2x2+x﹣1＞0”的充分而不必要條件． 故選A． 點評： 本題考查必要條件、充分條件與充要條件的判斷，二次不等式的解法，考查計算能力． 6．（5分）已知圓錐的母線長為4，側(cè)面展開圖的中心角為，那么它的體積為（） A． B． C． D． 4π 考點： 旋轉(zhuǎn)體（圓柱、圓錐、圓臺）． 專題： 計算題；空間位置關(guān)系與距離． 分析： 設(shè)圓錐的底面半徑為R，利用側(cè)面展開圖的中心角為，求得R，再根據(jù)圓錐的底面半徑，高，母線構(gòu)成直角三角形求得圓錐的高，代入圓錐的體積公式計算． 解答： 解：設(shè)圓錐的底面半徑為R， ∵側(cè)面展開圖的中心角為，∴π4=2πR， ∴R=1，圓錐的高為=， ∴圓錐的體積V=π12=． 故選：A． 點評： 本題考查了圓錐的體積公式及圓錐的側(cè)面展開圖，解答的關(guān)鍵是利用圓錐的底面半徑，高，母線構(gòu)成直角三角形求得圓錐的高． 7．（5分）以直線x﹣2y=0和x+2y﹣4=0的交點為圓心，且過點（2，0）的圓的方程為（） A． （x﹣2）2+（y﹣1）2=1 B． （x+2）2+（y+1）2=1 C． （x﹣2）2+（y﹣1）2=2 D． （x+2）2+（y+1）2=2 考點： 直線與圓相交的性質(zhì)． 專題： 計算題；直線與圓． 分析： 求出直線的交點坐標(biāo)，然后求出圓的半徑，即可求出圓的方程． 解答： 解：由題意，直線x﹣2y=0和x+2y﹣4=0聯(lián)立，解得x=2，y=1， ∴兩條直線的交點為：（2，1）． 所求圓的半徑為：1， ∴所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：（x﹣2）2+（y﹣1）2=1． 故選：A． 點評： 本題考查圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的求法，求出圓的圓心與半徑是解題的關(guān)鍵． 8．（5分）對于直線m、n和平面α，下面命題中的真命題是（） A． 如果m?α，n?α，m、n是異面直線，那么n∥α B． 如果m?α，n?α，m、n是異面直線，那么n與α相交 C． 如果m?α，n∥α，m、n共面，那么m∥n D． 如果m∥α，n∥α，m、n共面，那么m∥n 考點： 四種命題的真假關(guān)系；空間中直線與直線之間的位置關(guān)系；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系． 分析： 根據(jù)空間中直線與直線之間的位置關(guān)系和空間中直線與平面之間的位置關(guān)系及其性質(zhì)對A、B、C、D四個選項進(jìn)行一一判斷，從而進(jìn)行求解． 解答： 解：A、∵m?α，n?α，m、n是異面直線，若n⊥m，則n⊥α，故A錯誤； B、∵m?α，n?α，m、n是異面直線，可知n與α也可以平行，故B錯誤； C、∵m?α，n∥α，m、n共面，?m∥n，故C正確； D、∵m∥α，n∥α，m、n共面，可知m與n也可以垂直，故D錯誤； 故選C． 點評： 此題是一道立體幾何題，主要考查直線與直線之間的位置關(guān)系：相交與平行；空間中直線與平面之間的位置關(guān)系：平行或相交，比較基礎(chǔ)． 9．（5分）已知雙曲線﹣=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線與拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線分別交于O、A、B三點，O為坐標(biāo)原點．若雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為，則p=（） A． 1 B． C． 2 D． 3 考點： 雙曲線的簡單性質(zhì)． 專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： 求出雙曲線的漸近線方程與拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程，進(jìn)而求出A，B兩點的坐標(biāo)，再由雙曲線的離心率為2，△AOB的面積為，列出方程，由此方程求出p的值． 解答： 解：∵雙曲線， ∴雙曲線的漸近線方程是y=x 又拋物線y2=2px（p＞0）的準(zhǔn)線方程是x=﹣， 故A，B兩點的縱坐標(biāo)分別是y=，雙曲線的離心率為2，所以， ∴則， A，B兩點的縱坐標(biāo)分別是y==， 又，△AOB的面積為，x軸是角AOB的角平分線 ∴，得p=2． 故選C． 點評： 本題考查圓錐曲線的共同特征，解題的關(guān)鍵是求出雙曲線的漸近線方程，解出A，B兩點的坐標(biāo)，列出三角形的面積與離心率的關(guān)系也是本題的解題關(guān)鍵，有一定的運算量，做題時要嚴(yán)謹(jǐn)，防運算出錯． 10．（5分）過雙曲線的右焦點F2向其一條漸近線作垂線l，垂足為P，l與另一條漸近線交于Q點，若，則雙曲線的離心率為（） A． 2 B． 3 C． 4 D． 6 考點： 雙曲線的簡單性質(zhì)． 專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： 利用相互垂直的直線的斜率之間的關(guān)系可得直線PF2的斜率，即可得到直線方程，直線方程分別與漸近線方程聯(lián)立即可得出點P，Q的坐標(biāo)，再利用向量共線即可得出a，b，c的關(guān)系，利用離心率計算公式即可． 解答： 解：如圖所示， ∵PF2⊥OP，∴PF2的斜率為． ∴直線PF2的直線方程為． 聯(lián)立解得．∴P． 聯(lián)立，解得． ∴Q． ∴=，=． ∵，∴c2=4a2． ∴=2． 故選A． 點評： 本題考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、相互垂直的直線相交問題、向量的運算等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，屬于中檔題． 二、填空題.（共5小題，每小題5分，共25分） 11．（5分）已知某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)面積是20π． 考點： 由三視圖求面積、體積． 專題： 計算題；空間位置關(guān)系與距離． 分析： 由已知中的三視圖可得該幾何體是一個底面半徑為2，高為5的圓柱，代入圓柱的側(cè)面積公式，可得答案． 解答： 解：由已知可得該幾何體為圓柱 且圓柱的底面直徑為4，高h(yuǎn)=5 即圓柱的底面半徑r=2 故該幾何體的側(cè)面積S=2πrh=20π． 故答案為：20π． 點評： 本題考查的知識點是由三視圖求面積，其中根據(jù)已知中的三視圖分析出幾何體的形狀及底面半徑，高等幾何量是解答的關(guān)鍵． 12．（5分）已知球的體積為，則球的大圓面積是4π． 考點： 球的體積和表面積． 專題： 空間位置關(guān)系與距離． 分析： 運用體積公式求解半徑，再運用圓的面積公式求解． 解答： 解：∵球的體積為， ∴R=2， ∴球的大圓面積是πR2=4π 故答案為：4π 點評： 本題考查了球的體積公式，面積公式，屬于計算題． 13．（5分）設(shè)M為圓（x﹣5）2+（y﹣3）2=9上的點，則M點到直線3x+4y﹣2=0的最短距離為2． 考點： 直線與圓的位置關(guān)系；點到直線的距離公式． 專題： 直線與圓． 分析： 利用點到直線的距離公式求出圓心M到直線3x+4y﹣2=0的距離d，減去半徑即可得到最短距離． 解答： 解：由圓（x﹣5）2+（y﹣3）2=9，得到圓心M（5，3），半徑r=3， ∵圓心M到直線3x+4y﹣2=0的距離d==5， ∴M點到直線3x+4y﹣2=0的最短距離為5﹣3=2． 故答案為：2 點評： 此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，以及點到直線的距離公式，根據(jù)題意得出d﹣r為最短距離是解本題的關(guān)鍵． 14．（5分）一長方體的各頂點均在同一個球面上，且一個頂點上的三條棱長分別為1，，3，則這個球的表面積為16π． 考點： 球的體積和表面積． 專題： 計算題；空間位置關(guān)系與距離． 分析： 求出長方體的對角線的長，就是外接球的直徑，然后求出球的表面積． 解答： 解：由題意可知長方體的對角線的長，就是外接球的直徑， 所以球的直徑：=4，所以外接球的半徑為：2． 所以這個球的表面積：4π22=16π． 故答案為：16π． 點評： 本題考查球內(nèi)接多面體，球的體積和表面積的求法，考查計算能力． 15．（5分）已知雙曲線=1的右焦點為F，P是雙曲線右支上任意一點，定點M（6，2），則3|PM|+|PF|的最小值是13． 考點： 雙曲線的簡單性質(zhì)． 專題： 圓錐曲線中的最值與范圍問題． 分析： 先根據(jù)雙曲線方程求得a，b，進(jìn)而求得c，則雙曲線的離心率和右準(zhǔn)線方程可得，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的第二定義可知|MP|=e?d，進(jìn)而推斷出當(dāng)MA垂直于右準(zhǔn)線時，d+|PM|取得最小值進(jìn)而推斷3|PM|+|PF|的最小值． 解答： 解：由題意可知，a=，b=2，c=3， ∴e=，右準(zhǔn)線方程為x=，且點P在雙曲線右支上， 則|PF|=e?d=d（d為點P到右準(zhǔn)線的距離）． ∴3|PM|+|PF|=3（d+|PA|）， 當(dāng)PM垂直于右準(zhǔn)線時， d+|MA|取得最小值，最小值為6﹣=， 故3|MF|+|MA|的最小值為13． 故答案為：13 點評： 本題主要考查了雙曲線的性質(zhì)．考查了學(xué)生數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化和化歸的數(shù)學(xué)思想． 三、解答題：本大題共6小題，共75分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟，并把解答寫在答題卷相應(yīng)的位置上． 16．（13分）如圖直三棱柱ABC﹣A1B1C1，CA=CB，E、F、M分別是棱CC1、AB、BB1中點． （1）求證：平面AEB1∥平面CFM； （2）求證：CF⊥BA1． 考點： 直線與平面垂直的性質(zhì)；平面與平面平行的判定． 專題： 證明題；空間位置關(guān)系與距離． 分析： （1）利用平面與平面平行的判定定理可得結(jié)論； （2）證明CF⊥平面ABB1A1，即可證明CF⊥BA1． 解答： 證明：（1）∵B1M∥CE，且B1M=CE， ∴四邊形CEB1M是平行四邊形， ∴CE∥EB1 又∵FM∥AB1， CF∩FM=M，EB1∩AB1=B1， ∴平面AEB1∥平面CFM； （2）直三棱柱ABC﹣A1B1C1，BB1⊥平面ABC， ∴BB1⊥CF， ∵AC=BC，AF=FB， ∴CF⊥AB，BB1∩AB=B， ∴CF⊥平面ABB1A1， ∴CF⊥BA1． 點評： 本題考查平面與平面平行的判定定理，考查線面垂直的判定，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題． 17．（13分）已知命題p：方程=1表示焦點在y軸上的橢圓；命題q：m2﹣15m＜0，若p∧q為假命題，p∨q為真命題，求m的取值范圍． 考點： 橢圓的簡單性質(zhì)；復(fù)合命題的真假． 專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： 根據(jù)題意求出命題p、q為真時m的范圍，由p∨q為真，p∧q為假得p真q假，或p假q真，進(jìn)而求出答案即可． 解答： 解：命題p為真命題時， 將方程改寫為， 只有當(dāng)1﹣m＞2m＞0，即時，方程表示的曲線是焦點在y軸上的橢圓， 若命題q為真命題時， 0＜m＜15， ∵p∧q為假命題，p∨q為真命題， ∴p，q中有一真一假； 當(dāng)p真q假時，無解； 當(dāng)p假q真時，，解得 綜上：m的取值范圍為 點評： 解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握命題真假的判定方法，由復(fù)合命題的真假判斷出簡單命題的真假結(jié)合有關(guān)的基礎(chǔ)知識進(jìn)行判斷解題即可． 18．（13分）如圖，直線l：y=x+b與拋物線C：x2=4y相切于點A． （Ⅰ）求實數(shù)b的值； （Ⅱ）求以點A為圓心，且與拋物線C的準(zhǔn)線相切的圓的方程． 考點： 圓與圓錐曲線的綜合． 專題： 綜合題． 分析： （I）由，得：x2﹣4x﹣4b=0，由直線l與拋物線C相切，知△=（﹣4）2﹣4（﹣4b）=0，由此能求出實數(shù)b的值． （II）由b=﹣1，得x2﹣4x+4=0，解得x=2，代入拋物線方程x2=4y，得點A的坐標(biāo)為（2，1），因為圓A與拋物線C的準(zhǔn)線相切，所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準(zhǔn)線y=﹣1的距離，由此能求出圓A的方程． 解答： 解：（I）由，消去y得：x2﹣4x﹣4b=0①， 因為直線l與拋物線C相切， 所以△=（﹣4）2﹣4（﹣4b）=0， 解得b=﹣1； （II）由（I）可知b=﹣1， 把b=﹣1代入①得：x2﹣4x+4=0， 解得x=2，代入拋物線方程x2=4y，得y=1， 故點A的坐標(biāo)為（2，1）， 因為圓A與拋物線C的準(zhǔn)線相切，所以圓A的半徑r等于圓心A到拋物線的準(zhǔn)線y=﹣1的距離， 即r=|1﹣（﹣1）|=2， 所以圓A的方程為：（x﹣2）2+（y﹣1）2=4． 點評： 本題考查圓錐曲線的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的合理運用． 19．（12分）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，橢圓=1（a＞b＞0）的離心率為，過橢圓焦點F作弦AB．當(dāng)直線AB斜率為0時，弦AB長4． （1）求橢圓的方程； （2）若|AB|=．求直線AB的方程． 考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題． 專題： 圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程． 分析： （1）由題意知，2a=4，又a2=b2+c2，聯(lián)立即可解出． （2）設(shè)直線AB的方程為y=k（x﹣1），將直線AB方程代入橢圓方程中并整理得（3﹣4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0， 利用根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式即可得出． 解答： 解：（1）由題意知，2a=4， 又a2=b2+c2，解得：， ∴橢圓方程為：． （2）設(shè)直線AB的方程為y=k（x﹣1）， 將直線AB方程代入橢圓方程中并整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4k2﹣12=0， 則， ∴． 解得k=2， ∴直線AB方程為2x﹣y﹣2=0或2x+y﹣2=0． 點評： 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、弦長公式，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題． 20．（12分）已知四棱錐G﹣ABCD，四邊形ABCD是長為2a的正方形，DA⊥平面ABG，且GA=GB，BH⊥平面CAG，垂足為H，且H在直線CG上． （1）求證：平面AGD⊥平面BGC； （2）求三棱錐D﹣ACG的體積； （3）求三棱錐D﹣ACG的內(nèi)切球半徑． 考點： 平面與平面垂直的判定；球的體積和表面積． 專題： 綜合題；空間位置關(guān)系與距離． 分析： （1）過點B作平面AGC的垂線，垂足H在CG上，由ABCD是正方形，面ABCD⊥面ABG，由面面垂直的性質(zhì)可得BC⊥面ABG，則BC⊥AG，又由BH⊥面AGC得BH⊥AG，由線面垂直的判定定理可得AG⊥面AGD后，可由面面垂直的判定定理得到面AGD⊥面BGC （2）△ABG中AG⊥BG且AG=BG，取AB中點E，連接GE，則GE⊥AB，利用等積法可得三棱錐D﹣ACG的體積； （3）利用等體積求三棱錐D﹣ACG的內(nèi)切球半徑． 解答： （1）證明：過點B作平面AGC的垂線，垂足H在CG上，則 ∵ABCD是正方形， ∴BC⊥AB， ∵面ABCD⊥面ABG， ∴BC⊥面ABG， ∵AG?面ABG， ∴BC⊥AG， 又BH⊥面AGC， ∴BH⊥AG， 又∵BC∩BH=B， ∴AG⊥面AGD， ∴面AGD⊥面BGC； （2）解：由（1）知AG⊥面BGC， ∴AG⊥BG， 又AG=BG， ∴△ABG是等腰Rt△，取AB中點E，連接GE，則GE⊥AB ∴GE⊥面ABCD ∴VD﹣ACG=VG﹣ACD=GE?S△ACD=??2a?（2a）2=； （3）解：記三棱錐內(nèi)切球的半徑為r，， △DCG中，DG=GC=a，DC=2a，S△DOG=， △ACG中，AC=2a，GC=a，AG=a，S△ACG=， △DAG中，DA=2a，AG=a，S△DAG=， △ADC中，S△DAC=2a2 由， 可得r=． 點評： 本題考查的知識點是平面與平面垂直的判定，三棱錐的體積，其中（1）要熟練掌握空間中線線垂直，線面垂直及面面垂直之間的相互轉(zhuǎn)化，屬于中檔題． 21．（12分）已知橢圓的兩焦點為，，離心率． （1）求此橢圓的方程； （2）設(shè)直線l：y=x+m，若l與此橢圓相交于P，Q兩點，且|PQ|等于橢圓的短軸長，求m的值； （3）以此橢圓的上頂點B為直角頂點作橢圓的內(nèi)接等腰直角三角形ABC，這樣的直角三角形是否存在？若存在，請說明有幾個；若不存在，請說明理由． 考點： 直線與圓錐曲線的綜合問題；橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程． 專題： 綜合題；壓軸題；數(shù)形結(jié)合；方程思想；轉(zhuǎn)化思想；綜合法． 分析： （1）求橢圓的方程即是求a，b兩參數(shù)的值，由題設(shè)條件橢圓的兩焦點為，，離心率求出a，b即可得到橢圓的方程． （2）本題中知道了直線l：y=x+m，若l與此橢圓相交于P，Q兩點，且|PQ|等于橢圓的短軸長，故可由弦長公式建立方程求出參數(shù)m的值．首先要將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，再利用弦長公式建立方程； （3）設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由題意可知，直角邊BA，BC不可能垂直或平行于x軸，故可設(shè)BA邊所在直線的方程為y=kx+1（不妨設(shè)k＜0），則BC邊所在直線的方程為，將此兩直線方程與橢圓的方程聯(lián)立，分別解出A，C兩點的坐標(biāo)，用坐標(biāo)表示出兩線段AB，BC的長度，由兩者相等建立方程求參數(shù)k，由解的個數(shù)判斷三角形的個數(shù)即可． 解答： 解：（1）設(shè)橢圓方程為（a＞b＞0），…（1分） 則，，…（2分）∴a=2，b2=a2﹣c2=1…（3分） ∴所求橢圓方程為．…（4分） （2）由，消去y，得5x2+8mx+4（m2﹣1）=0，…（6分） 則△=64m2﹣80（m2﹣1）＞0得m2＜5（*） 設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），則，，y1﹣y2=x1﹣x2，…（7分） …（9分） 解得.，滿足（*） ∴．…（10分） （3）設(shè)能構(gòu)成等腰直角三角形ABC，其中B（0，1），由題意可知，直角邊BA，BC不可能垂直 或平行于x軸，故可設(shè)BA邊所在直線的方程為y=kx+1（不妨設(shè)k＜0），則BC邊所在直線的方 程為，由，得A，…（11分） ∴，…（12分） 用代替上式中的k，得， 由|AB|=|BC|，得|k|（4+k2）=1+4k2，…（13分） ∵k＜0， ∴解得：k=﹣1或， 故存在三個內(nèi)接等腰直角三角形．…（14分） 點評： 本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，解題的關(guān)鍵是掌握直線與圓錐曲線位置關(guān)系中的相關(guān)的知識，如本題中求解的重點是弦長公式的熟練掌握運用，依據(jù)條件進(jìn)行正確轉(zhuǎn)化，分析出建立方程的依據(jù)很關(guān)鍵，如本題第二小題利用弦長公式建立方程求參數(shù)，第三小題中利用等腰三角形的性質(zhì)轉(zhuǎn)化為兩弦長AB與BC相等，由此關(guān)系得到斜率k所滿足的方程，將求解有幾個三角形的問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于k的方程有幾個根的問題，此類問題中正確轉(zhuǎn)化，充分利用等量關(guān)系是解題的重中之重．本題中轉(zhuǎn)化靈活，運算量大，且比較抽象，易出錯，做題時要嚴(yán)謹(jǐn)認(rèn)真．