2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 6.5 數(shù)列的綜合應(yīng)用教案 理 新人教A版.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 6.5 數(shù)列的綜合應(yīng)用教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　函數(shù)與數(shù)列的綜合問(wèn)題 【例1】已知f(x)＝logax(a＞0且a≠1)，設(shè)f(a1)，f(a2)，…，f(an)(n∈N*)是首項(xiàng)為4，公差為2的等差數(shù)列. (1)設(shè)a是常數(shù)，求證：{an}成等比數(shù)列； (2)若bn＝anf(an)，{bn}的前n項(xiàng)和是Sn，當(dāng)a＝時(shí)，求Sn. 【解析】(1)f(an)＝4＋(n－1)2＝2n＋2，即logaan＝2n＋2，所以an＝a2n＋2， 所以＝＝a2(n≥2)為定值，所以{an}為等比數(shù)列. (2)bn＝anf(an)＝a2n＋2logaa2n＋2＝(2n＋2)a2n＋2， 當(dāng)a＝時(shí)，bn＝(2n＋2) ()2n＋2＝(n＋1) 2n＋2， Sn＝223＋324＋425＋…＋(n＋1) 2n＋2， 2Sn＝224＋325＋…＋n2n＋2＋(n＋1)2n＋3， 兩式相減得 －Sn＝223＋24＋25＋…＋2n＋2－(n＋1)2n＋3＝16＋－(n＋1)2n＋3， 所以Sn＝n2n＋3. 【點(diǎn)撥】本例是數(shù)列與函數(shù)綜合的基本題型之一，特征是以函數(shù)為載體構(gòu)建數(shù)列的遞推關(guān)系，通過(guò)由函數(shù)的解析式獲知數(shù)列的通項(xiàng)公式，從而問(wèn)題得到求解. 【變式訓(xùn)練1】設(shè)函數(shù)f(x)＝xm＋ax的導(dǎo)函數(shù)f′(x)＝2x＋1，則數(shù)列{}(n∈N*)的前n項(xiàng)和是(　　) A. B. C. D. 【解析】由f′(x)＝mxm－1＋a＝2x＋1得m＝2，a＝1. 所以f(x)＝x2＋x，則＝＝－. 所以Sn＝1－＋－＋－＋…＋－＝1－＝.故選C. 題型二　數(shù)列模型實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題 【例2】某縣位于沙漠地帶，人與自然長(zhǎng)期進(jìn)行著頑強(qiáng)的斗爭(zhēng)，到xx年底全縣的綠化率已達(dá)30%，從xx年開(kāi)始，每年將出現(xiàn)這樣的局面：原有沙漠面積的16%將被綠化，與此同時(shí)，由于各種原因，原有綠化面積的4%又被沙化. (1)設(shè)全縣面積為1,xx年底綠化面積為a1＝，經(jīng)過(guò)n年綠化面積為an＋1，求證：an＋1＝an＋； (2)至少需要多少年(取整數(shù))的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到60%？ 【解析】(1)證明：由已知可得an確定后，an＋1可表示為an＋1＝an(1－4%)＋(1－an)16%， 即an＋1＝80%an＋16%＝an＋. (2)由an＋1＝an＋有，an＋1－＝(an－)， 又a1－＝－≠0，所以an＋1－＝－()n，即an＋1＝－()n， 若an＋1≥，則有－()n≥，即()n－1≤，(n－1)lg ≤－lg 2， (n－1)(2lg 2－lg 5)≤－lg 2，即(n－1)(3lg 2－1)≤－lg 2， 所以n≥1＋＞4，n∈N*， 所以n取最小整數(shù)為5，故至少需要經(jīng)過(guò)5年的努力，才能使全縣的綠化率達(dá)到60%. 【點(diǎn)撥】解決此類(lèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是如何把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，通過(guò)反復(fù)讀題，列出有關(guān)信息，轉(zhuǎn)化為數(shù)列的有關(guān)問(wèn)題. 【變式訓(xùn)練2】規(guī)定一機(jī)器狗每秒鐘只能前進(jìn)或后退一步，現(xiàn)程序設(shè)計(jì)師讓機(jī)器狗以“前進(jìn)3步，然后再后退2步”的規(guī)律進(jìn)行移動(dòng).如果將此機(jī)器狗放在數(shù)軸的原點(diǎn)，面向正方向，以1步的距離為1單位長(zhǎng)移動(dòng)，令P(n)表示第n秒時(shí)機(jī)器狗所在的位置坐標(biāo)，且P(0)＝0，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是(　　) A.P(2 006)＝402 B.P(2 007)＝403 C.P(2 008)＝404 D.P(2 009)＝405 【解析】考查數(shù)列的應(yīng)用.構(gòu)造數(shù)列{Pn}，由題知P(0)＝0，P(5)＝1，P(10)＝2，P(15)＝3.所以P(2 005)＝401，P(2 006)＝401＋1＝402，P(2 007)＝401＋1＋1＝403，P(2 008)＝401＋ 3＝404，P(2 009)＝404－1＝403.故D錯(cuò). 題型三　數(shù)列中的探索性問(wèn)題 【例3】{an}，{bn}為兩個(gè)數(shù)列，點(diǎn)M(1,2)，An(2，an)，Bn(，)為直角坐標(biāo)平面上的點(diǎn). (1)對(duì)n∈N*，若點(diǎn)M，An，Bn在同一直線(xiàn)上，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{bn}滿(mǎn)足log2Cn＝，其中{Cn}是第三項(xiàng)為8，公比為4的等比數(shù)列，求證：點(diǎn)列(1，b1)，(2，b2)，…，(n，bn)在同一直線(xiàn)上，并求此直線(xiàn)方程. 【解析】(1)由＝，得an＝2n. (2)由已知有Cn＝22n－3，由log2Cn的表達(dá)式可知： 2(b1＋2b2＋…＋nbn)＝n(n＋1)(2n－3)，① 所以2[b1＋2b2＋…＋(n－1)bn－1]＝(n－1)n(2n－5).② ①－②得bn＝3n－4，所以{bn}為等差數(shù)列. 故點(diǎn)列(1，b1)，(2，b2)，…，(n，bn)共線(xiàn)，直線(xiàn)方程為y＝3x－4. 【變式訓(xùn)練3】已知等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1及公差d都是整數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*).若a1＞1，a4＞3，S3≤9，則通項(xiàng)公式an＝　　　　. 【解析】本題考查二元一次不等式的整數(shù)解以及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式. 由a1＞1，a4＞3，S3≤9得 令x＝a1，y＝d得 在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出可行域如圖所示.符合要求的整數(shù)點(diǎn)只有(2,1)，即a1＝2，d＝1.所以an＝2＋n－1＝n＋1.故答案填n＋1. 總結(jié)提高 1.數(shù)列模型應(yīng)用問(wèn)題的求解策略 (1)認(rèn)真審題，準(zhǔn)確理解題意； (2)依據(jù)問(wèn)題情境，構(gòu)造等差、等比數(shù)列，然后應(yīng)用通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式以及性質(zhì)求解，或通過(guò)探索、歸納構(gòu)造遞推數(shù)列求解； (3)驗(yàn)證、反思結(jié)果與實(shí)際是否相符. 2.數(shù)列綜合問(wèn)題的求解策略 (1)數(shù)列與函數(shù)綜合問(wèn)題或應(yīng)用數(shù)學(xué)思想解決數(shù)列問(wèn)題，或以函數(shù)為載體構(gòu)造數(shù)列，應(yīng)用數(shù)列的知識(shí)求解； (2)數(shù)列的幾何型綜合問(wèn)題，探究幾何性質(zhì)和規(guī)律特征建立數(shù)列的遞推關(guān)系式，然后求解問(wèn)題.