2019-2020年高考數學一輪復習1.3充要條件與反證法教案.doc

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2019-2020年高考數學一輪復習1.3充要條件與反證法教案 ●知識梳理 1.充分條件：如果pq，則p叫q的充分條件，原命題（或逆否命題）成立，命題中的條件是充分的，也可稱q是p的必要條件. 2.必要條件：如果qp，則p叫q的必要條件，逆命題（或否命題）成立，命題中的條件為必要的，也可稱q是p的充分條件. 3.充要條件：如果既有pq，又有qp，記作pq，則p叫做q的充分必要條件，簡稱充要條件，原命題和逆命題（或逆否命題和否命題）都成立，命題中的條件是充要的. 4.反證法：當直接證明有困難時，常用反證法. ●點擊雙基 1.ac2＞bc2是a＞b成立的 A.充分而不必要條件 B.充要條件 C.必要而不充分條件 D.既不充分也不必要條件 解析：a＞bac2＞bc2，如c=0. 答案：A 2.（xx年湖北，理4）已知a、b、c為非零的平面向量.甲：ab=ac，乙：b=c，則 A.甲是乙的充分條件但不是必要條件 B.甲是乙的必要條件但不是充分條件 C.甲是乙的充要條件 D.甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件 解析：命題甲:ab=aca（b－c）=0a=0或b=c. 命題乙:b=c，因而乙甲，但甲乙. 故甲是乙的必要條件但不是充分條件. 答案：B 3.（xx年浙江，8）在△ABC中，“A＞30”是“sinA＞”的 A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件 C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件 解析：在△ABC中，A＞300＜sinA＜1sinA＞，sinA＞30＜A＜150 A＞30.∴“A＞30”是“sinA＞”的必要不充分條件. 答案：B 4.若條件p:a＞4，q:5＜a＜6，則p是q的______________. 解析：a＞45＜a＜6，如a=7雖然滿足a＞4，但顯然a不滿足5＜a＜6. 答案：必要不充分條件 5.（xx年春季上海，16）若a、b、c是常數，則“a＞0且b2－4ac＜0”是“對任意x∈R，有ax2+bx+c＞0”的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析：若a＞0且b2－4ac＜0，則對任意x∈R，有ax2+bx+c＞0，反之，則不一定成立.如a=0，b=0且c＞0時，也有對任意x∈R，有ax2+bx+c＞0.因此應選A. 答案：A ●典例剖析 【例1】 使不等式2x2－5x－3≥0成立的一個充分而不必要條件是 A.x＜0 B.x≥0 C.x∈{－1，3，5} D.x≤－或x≥3 剖析：∵2x2－5x－3≥0成立的充要條件是x≤－或x≥3，∴對于A當x=－時2x2－5x－3≥0.同理其他也可用特殊值驗證. 答案：C 【例2】 求證：關于x的方程ax2+bx+c=0有一根為1的充分必要條件是a+b+c=0. 證明：（1）必要性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，則a+b+c=0”. ∵x=1是方程的根，將x=1代入方程，得a12+b1+c=0，即a+b+c=0. （2）充分性，即“若a+b+c=0，則x=1是方程ax2+bx+c=0的根”. 把x=1代入方程的左邊，得a12+b1+c=a+b+c.∵a+b+c=0，∴x=1是方程的根. 綜合（1）（2）知命題成立. 深化拓展 求ax2+2x+1=0（a≠0）至少有一負根的充要條件. 證明：必要性： （1）方程有一正根和一負根，等價于 a＜0. （2）方程有兩負根，等價于 0＜a≤1. 綜上可知，原方程至少有一負根的必要條件是a＜0或0＜a≤1. 充分性：由以上推理的可逆性，知當a＜0時方程有異號兩根；當0＜a≤1時，方程有兩負根.故a＜0或0＜a≤1是方程ax2+2x+1=0至少有一負根的充分條件. 答案：a＜0或0＜a≤1. 【例3】 下列說法對不對?如果不對，分析錯誤的原因. （1）x2＝x＋2是x=x2的充分條件； （2）x2＝x＋2是x=x2的必要條件. 解：（1）x2=x+2是x=x2的充分條件是指x2=x+2x=x2. 但這里“”不成立，因為x=－1時，“”左邊為真，但右邊為假.得出錯誤結論的原因可能是應用了錯誤的推理：x2=x+2x=x2=x. 這里推理的第一步是錯誤的（請同學補充說明具體錯在哪里）. （2）x2=x+2是x=x2的必要條件是指x=x2x2=x+2. 但這里“”不成立，因為x=0時，“”左邊為真，但右邊為假.得出錯誤結論的原因可能是用了錯誤的推理:x=x2=xx+2=x2. 這里推理的第一步是錯誤的（請同學補充說明具體錯在哪里）. 評述：此題的解答比較注重邏輯推理.事實上，也可以從真值集合方面來分析：x2=x+2的真值集合是{－1，2}，x=x2的真值集合是{0，2}，{－1，2}{0，2}，而{0，2} {－1，2}，所以（1）（2）兩個結論都不對. ●闖關訓練 夯實基礎 1.（xx年重慶，7）已知p是r的充分不必要條件，s是r的必要條件，q是s的必要條件，那么p是q成立的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析：依題意有pr，rs，sq，∴prsq.但由于rp，∴qp. 答案：A 2.（xx年北京高考題）“cos2α=－”是“α=kπ+，k∈Z”的 A.必要不充分條件 B.充分不必要條件 C.充分必要條件 D.既不充分又不必要條件 解析：cos2α=－2α=2kπα=kπ. 答案：A 3.（xx年海淀區(qū)第一學期期末練習）在△ABC中，“A＞B”是“cosA＜cosB”的 A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件 解析：在△ABC中，A＞BcosA＜cosB（余弦函數單調性）. 答案：C 4.命題A：兩曲線F（x，y）＝0和G（x，y）=0相交于點P（x0，y0），命題B：曲線F（x，y）+λG（x，y）＝0（λ為常數）過點P（x0，y0），則A是B的__________條件. 答案：充分不必要 5.（xx年北京，5）函數f（x）=x2－2ax－3在區(qū)間［1，2］上存在反函數的充分必要條件是 A.a∈（－∞，1］ B.a∈［2，+∞） C.α∈［1，2］ D.a∈（－∞，1］∪［2，+∞） 解析：∵f（x）=x2－2ax－3的對稱軸為x=a，∴y=f（x）在［1，2］上存在反函數的充要條件為［1，2］（－∞，a］或［1，2］［a，+∞），即a≥2或a≤1. 答案：D 6.已知數列{an}的前n項和Sn=pn+q（p≠0且p≠1），求數列{an}成等比數列的充要條件. 分析：先根據前n項和公式，導出使{an}為等比數列的必要條件，再證明其充分條件. 解：當n=1時，a1=S1=p+q； 當n≥2時，an=Sn－Sn－1=（p－1）pn－1. 由于p≠0，p≠1，∴當n≥2時，{an}是等比數列.要使{an}（n∈N*）是等比數列，則=p，即（p－1）p=p（p+q），∴q=－1，即{an}是等比數列的必要條件是p≠0且p≠1且q=－1. 再證充分性： 當p≠0且p≠1且q=－1時，Sn=pn－1， an=（p－1）pn－1，=p（n≥2）， ∴{an}是等比數列. 培養(yǎng)能力 7.（xx年湖南，9）設集合U=｛（x，y）｜x∈R，y∈R｝，A=｛（x，y）|2x－y+m＞0｝，B=｛（x，y）|x+y－n≤0｝，那么點P（2，3）∈A∩（UB）的充要條件是 A.m＞－1，n＜5 B.m＜－1，n＜5 C.m＞－1，n＞5 D.m＜－1，n＞5 解析：∵UB=｛（x，y）｜n＜x+y｝，將P（2，3）分別代入集合A、B取交集即可.∴選A. 答案：A 8.已知關于x的一元二次方程mx2－4x+4=0， ① x2－4mx+4m2－4m－5=0. ② 求使方程①②都有實根的充要條件. 解：方程①有實數根的充要條件是Δ1=（－4）2－16m≥0，即m≤1； 方程②有實數根的充要條件是Δ2=（4m）2－4（4m2－4m－5）≥0，即m≥－. ∴方程①②都有實數根的充要條件是－≤m≤1. 9.已知a、b、c是互不相等的非零實數. 求證：三個方程ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0至少有一個方程有兩個相異實根. 證明：反證法： 假設三個方程中都沒有兩個相異實根， 則Δ1=4b2－4ac≤0，Δ2=4c2－4ab≤0，Δ3=4a2－4bc≤0. 相加有a2－2ab+b2+b2－2bc+c2+c2－2ac+a2≤0， （a－b）2+（b－c）2+（c－a）2≤0. ① 由題意a、b、c互不相等，∴①式不能成立. ∴假設不成立，即三個方程中至少有一個方程有兩個相異實根. 探究創(chuàng)新 10.若x、y、z均為實數，且a=x2－2y+，b=y2－2z+，c=z2－2x+，則a、b、c中是否至少有一個大于零？請說明理由. 解：假設a、b、c都不大于0，即a≤0，b≤0，c≤0，則a+b+c≤0. 而a+b+c=x2－2y++y2－2z++z2－2x+=（x－1）2+（y－1）2+（z－1）2+π－3， ∵π－3＞0，且無論x、y、z為何實數，（x－1）2+（y－1）2+（z－1）2≥0， ∴a+b+c＞0.這與a+b+c≤0矛盾.因此，a、b、c中至少有一個大于0. ●思悟小結 1.要注意一些常用的“結論否定形式”，如“至少有一個”“至多有一個”“都是”的否定形式是“一個也沒有”“至少有兩個”“不都是”. 2.證明充要性要從充分性、必要性兩個方面來證明. ●教師下載中心 教學點睛 1.掌握常用反證法證題的題型，如含有“至少有一個”“至多有一個”等字眼多用反證法. 2.強調反證法的第一步，要與否命題分清. 3.要證明充要性應從充分性、必要性兩個方面來證. 拓展題例 【例題】 指出下列命題中，p是q的什么條件. （1）p:0＜x＜3，q:|x－1|＜2； （2）p:（x－2）（x－3）=0，q:x=2； （3）p:c=0，q:拋物線y=ax2+bx+c過原點. 解：（1）p:0＜x＜3，q:－1＜x＜3. p是q的充分但不必要條件. （2）pq，qp.p是q的必要但不充分條件. （3）p是q的充要條件. 評述：依集合的觀點看，若AB，則A是B的充分條件，B是A的必要條件；若A=B，則A是B的充要條件.