2019-2020年高一數學 等差數列的前n項和 第六課時 第三章.doc

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2019-2020年高一數學 等差數列的前n項和 第六課時 第三章 ●課 題 3.3.2 等差數列的前n項和(二) ●教學目標 （一）教學知識點 等差數列的前n項和公式Sn=. （二）能力訓練要求 1.進一步熟練掌握等差數列的通項公式和前n項和公式. 2.了解等差數列的一些性質，并會用它們解決一些相關問題. （三）德育滲透目標 提高學生的應用意識. ●教學重點 熟練掌握等差數列的求和公式. ●教學難點 靈活應用求和公式解決問題. ●教學方法 講練結合法 結合具體例子講解分析問題，解決問題的方法，從而提高學生分析問題，解決問題的能力. ●教具準備 幻燈片兩張 第一張：記作3.3.2 A ［例1］求集合M={m｜m=7n,n∈N*,且m＜100}的元素個數，并求這些元素的和. ［例2］已知一個等差數列的前10項的和是310，前20項的和是1220，由此可以確定求其前n項和的公式嗎? 第二張：記作3.3.2 B ［例3］已知數列{an}是等差數列，Sn是其前n項和. 求證：S6,S12－S6,S18－S12成等差數列，設其k∈N*,Sk,S2k－Sk,S3k－S2k成等差數列嗎? ●教學過程 Ⅰ.復習回顧 ［師］請同學們回顧一下等差數列的通項公式及前n項和公式. ［生］通項公式：an=a1+(n－1)d,求和公式：Sn= Ⅱ.講授新課 （打出幻燈片3.3.2 A） 下面結合這些例子，來看如何應用上述知識解決一些相關問題. ［例1］ 分析：滿足條件的n的取值個數即為集合M的元素個數，這些元素若按從小到大排列，則是一等差數列. 解：由m＜100,得7n＜100,即n＜=14 所以滿足上面不等式的正整數n共有14個，即集合M中的元素共有14個，將它們從小到大可列出，得：7，72，73，74，…714，即：7，14，21，28，…98 這個數列是等差數列，記為{an},其中a1=7,a14=98，n=14 則S14==735 答：集合M中共有14個元素，它們和等于735. 這一例題表明，在小于100的正整數中共有14個數是7的倍數，它們的和是735. ［例2］分析：將已知條件代入等差數列前n項和的公式后，可得到兩個關于a1與d的關系，然后確定a1與d，從而得到所求前n項和的公式. 解：由題意知S10=310,S20=1220, 將它們代入公式Sn=na1+d，得到 解這個關于a1與d的方程組，得到a1=4，d=6 所以Sn=4n+6=3n2+n 這就是說，已知S10與S20，可以確定這個數列的前n項和的公式，這個公式是Sn=3n2+n. 下面，同學們再來思考這樣一個問題：（打出幻燈片3.3.2 B） ［生］仔細分析題意，解決問題. 解：設{an}的首項是a1,公差為d，則S3=a1+a2+a3 S6－S3=a4+a5+a6=(a1+3d)+(a2+3d)+(a3+3d)=(a1+a2+a3)+9d=S3+9d S9－S6=a7+a8+a9=(a4+3d)+(a5+3d)+(a6+3d)=(a4+a5+a6)+9d=(S6－S3)+9d=S3+18d ∴S3,S6－S3,S9－S6成等差數列. 同理可得Sk,S2k－Sk,S3k－S2k成等差數列. Sk=a1+a2+…+ak (S2k－Sk)=ak+1+ak+2+…+a2k=(a1+kd)+(a2+kd)+…+(ak+kd)=(a1+a2+…+ak)+k2d=Sk+k2d (S3k－S2k)=a2k+1+a2k+2+…+a3k=(ak+1+kd)+(ak+2+kd)+…+(a2k+kd)=(ak+1+ak+2+…+a2k)+k2d=(S2k－Sk)+k2d ∴Sk,S2k－Sk,S3k－S2k是以Sk為首項，k2d為公差的等差數列. Ⅲ.課堂練習 ［生］(板演)課本P120練習4，5，6 4.求集合M={m|m=2n－1,n∈N*,且m＜60}的元素個數，并求這些元素的和. 解：由2n－1＜60,得n＜,又∵n∈N* ∴滿足不等式n＜的正整數一共有30個. 即：集合M中一共有30個元素，可列為：1，3，5，7，9，…，59，組成一個以a1=1,a30=59,n=30的等差數列. ∵Sn=, ∴S30==900. 答案：集合M中一共有30個元素，其和為900. 評述：要注意看清所有的條件. 5.在小于100的正整數中共有多少個數能被3除余2？這些數的和是多少？ 分析：滿足條件的數屬于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,m∈N*＝ 解：分析題意可得滿足條件的數屬于集合，M={m|m=3n+2,m＜100,n∈N*} 由3n+2＜100,得n＜32,且m∈N*, ∴n可取0，1，2，3，…，32. 即：在小于100的正整數中共有33個數能被3除余2. 把這些數從小到大排列出來就是：2，5，8，…，98. 它們可組成一個以a1=2,d=3,a33=98,n=33的等差數列. 由Sn=,得S33==1650. 答案：在小于100的正整數中共有33個數能被3除余2，這些數的和是1650. 6.一個等差數列前4項的和是24，前5項的和與前2項的和的差是27，求這個等差數列的通項公式. 分析：將已知條件轉化為數學語言，然后再解. 解：根據題意，得S4=24,S5－S2=27 則設等差數列首項為a1,公差為d, 即： 解之得： ∴an=3+2(n－1)=2n+1. Ⅳ.課時小結 通過本節(jié)學習，要能靈活應用等差數列的通項公式和前n項和公式解決一些相關問題.另外，需注意一重要結論：若一數列為等差數列，則Sk,S2k－Sk,S3k－S2k也成等差數列. Ⅴ.課后作業(yè) （一）課本P120習題3.3 4，6，8 （二）1.預習內容：課本P126～P127 2.預習提綱： （1）什么是等比數列?（2）等比數列的通項公式?（3）等比數列的通項公式的推導過程及推導思路？ ●板書設計 3.3.2 等差數列的前n項和(二) 例1 例2 例3 復習回顧 an=a1+(n－1)d 公式Sn= =na1+