2019-2020年高考數(shù)學總復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第9講 函數(shù)模型及其應用.doc

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2019-2020年高考數(shù)學總復習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第9講 函數(shù)模型及其應用 最新考綱　1.了解指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)以及冪函數(shù)的增長特征，知道直線上升、指數(shù)增長、對數(shù)增長等不同函數(shù)類型增長的含義；2.了解函數(shù)模型(如指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)、分段函數(shù)等在社會生活中普遍使用的函數(shù)模型)的廣泛應用． 知 識 梳 理 幾類函數(shù)模型及其增長差異 (1)幾類函數(shù)模型 函數(shù)模型 函數(shù)解析式 一次函數(shù)型 f(x)＝ax＋b(a，b為常數(shù)，a≠0) 反比例函數(shù)型 f(x)＝＋b(k，b為常數(shù)且k≠0) 二次函數(shù)模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c為常數(shù)，a≠0) 指數(shù)函數(shù)型 f(x)＝bax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a＞0且a≠1) 對數(shù)函數(shù)型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c為常數(shù)，b≠0，a＞0且a≠1) 冪函數(shù)型 f(x)＝axn＋b(a，b為常數(shù)，a≠0) (2)指數(shù)、對數(shù)、冪函數(shù)模型性質(zhì)比較 函數(shù) 性質(zhì)　　 Y＝ax(a＞1) y＝logax(a＞1) y＝xn(n＞0) 在(0，＋∞) 上的增減性 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 單調(diào)遞增 增長速度 越來越快 越來越慢 相對平穩(wěn) 圖象的變化 隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與y軸平行 隨x的增大逐漸表現(xiàn)為與x軸平行 隨n值變化而各有不同 值的比較 存在一個x0，當x＞x0時，有l(wèi)ogax＜xn＜ax 診 斷 自 測 1．判斷正誤(在括號內(nèi)打“√”或“”)　精彩PPT展示 (1)函數(shù)y＝2x的函數(shù)值比y＝x2的函數(shù)值大．() (2)“指數(shù)爆炸”是指數(shù)型函數(shù)y＝abx＋c(a≠0，b＞0，b≠1)增長速度越來越快的形象比喻．() (3)冪函數(shù)增長比直線增長更快．() (4)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，當x∈(4，＋∞)時，恒有h(x)＜f(x)＜g(x)．(√) 2．小明騎車上學，開始時勻速行駛，途中因交通堵塞停留了一段時間后，為了趕時間加快速度行駛，與以上事件吻合得最好的圖象是(　　) 解析　小明勻速運動時，所得圖象為一條直線，且距離學校越來越近，排除A.因交通堵塞停留了一段時間，與學校的距離不變，排除D.后來為了趕時間加快速度行駛，排除B.故選C. 答案　C 3．(xx深圳模擬)用長度為24的材料圍一矩形場地，中間加兩道隔墻，要使矩形的面積最大，則隔墻的長度為(　　) A．3 B．4 C．6 D．12 解析　設隔墻的長為x(0＜x＜6)，矩形面積為y，則y＝x＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，∴當x＝3時，y最大． 答案　A 4．某種病毒經(jīng)30分鐘繁殖為原來的2倍，且知病毒的繁殖規(guī)律為y＝ekt(其中k為常數(shù)，t表示時間，單位：小時，y表示病毒個數(shù))，則k＝________，經(jīng)過5小時，1 個病毒能繁殖為________個． 解析　當t＝0.5時，y＝2，∴2＝ek，∴k＝2ln 2， ∴y＝e2tln 2，當t＝5時，y＝e10ln 2＝210＝1 024. 答案　2ln 2　1 024 5．(人教A必修1P104例5改編)某桶裝水經(jīng)營部每天的房租、人員工資等固定成本為200元，每桶水的進價是5元，銷售單價與日均銷售量的關系如表所示： 銷售單價/元 6 7 8 9 10 11 12 日均銷售量/桶 480 440 400 360 320 280 240 請根據(jù)以上數(shù)據(jù)作出分析，這個經(jīng)營部為獲得最大利潤，定價應為________元． 解析　設在進價基礎上增加x元后，日均銷售利潤為y元， 日均銷售量為480－40(x－1)＝520－40x(桶)， 則y＝(520－40x)x－200＝－40x2＋520x－200,0＜x＜13. 當x＝6.5時，y有最大值．所以只需將銷售單價定為11.5元，就可獲得最大的利潤． 答案　11.5 考點一　二次函數(shù)模型 【例1】 A，B兩城相距100 km，在兩城之間距A城x(km)處建一核電站給A，B兩城供電，為保證城市安全，核電站距城市距離不得小于10 km.已知供電費用等于供電距離(km)的平方與供電量(億度)之積的0.25倍，若A城供電量為每月20億度，B城供電量為每月10億度． (1)求x的取值范圍； (2)把月供電總費用y表示成x的函數(shù)； (3)核電站建在距A城多遠，才能使供電總費用y最少？ 解　(1)x的取值范圍為10≤x≤90. (2)y＝5x2＋(100－x)2(10≤x≤90)． (3)因為y＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25 000＝2＋，所以當x＝時，ymin＝.故核電站建在距A城km處，能使供電總費用y最少． 規(guī)律方法　在建立二次函數(shù)模型解決實際問題中的最優(yōu)問題時，一定要注意自變量的取值范圍，需根據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸與函數(shù)定義域的位置關系討論求解． 【訓練1】 (xx武漢高三檢測)某汽車銷售公司在A，B兩地銷售同一種品牌的汽車，在A地的銷售利潤(單位：萬元)為y1＝4.1x－0.1x2，在B地的銷售利潤(單位：萬元)為y2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)，若該公司在兩地共銷售16輛該種品牌的汽車，則能獲得的最大利潤是(　　) A．10.5萬元 B．11萬元 C．43萬元 D．43.025萬元 解析　設公司在A地銷售該品牌的汽車x輛，則在B地銷售該品牌的汽車(16－x)輛，所以可得利潤y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1(x－)2＋0.1＋32.因為x∈[0,16]且x∈N，所以當x＝10或11時，總利潤取得最大值43萬元． 答案　C 考點二　指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)模型 【例2】 (xx青島模擬)世界人口在過去40年翻了一番，則每年人口平均增長率是(參考數(shù)據(jù)lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)(　　) A．1.5% B．1.6% C．1.7% D．1.8% 解析　設每年人口平均增長率為x，則(1＋x)40＝2，兩邊取以10為底的對數(shù)，則40 lg(1＋x)＝lg 2，所以lg(1＋x)＝≈0.007 5，所以100.007 5＝1＋x，得1＋x＝1.017，所以x＝1.7%. 答案　C 規(guī)律方法　在實際問題中，有關人口增長、銀行利率、細胞分裂等增長率問題常用指數(shù)函數(shù)模型表示．通?？梢员硎緸閥＝N(1＋p)x(其中N為基礎數(shù)，p為增長率，x為時間)的形式．解題時，往往用到對數(shù)運算，要注意與已知表格中給定的值對應求解． 【訓練2】 某位股民購進某支股票，在接下來的交易時間內(nèi)，他的這支股票先經(jīng)歷了n次漲停(每次上漲10%)，又經(jīng)歷了n次跌停(每次下跌10%)，則該股民這支股票的盈虧情況(不考慮其他費用)為(　　) A．略有盈利 B．略有虧損 C．沒有盈利也沒有虧損 D．無法判斷盈虧情況 解析　設該股民購這支股票的價格為a元，則經(jīng)歷n次漲停后的價格為a(1＋10%)n＝a1.1n元，經(jīng)歷n次跌停后的價格為a1.1n(1－10%)n＝a1.1n0.9n＝a(1.10.9)n＝0.99na＜a，故該股民這支股票略有虧損． 答案　B 考點三　分段函數(shù)模型 【例3】 某旅游景點預計xx年1月份起前x個月的旅游人數(shù)的和p(x)(單位：萬人)與x的關系近似地滿足p(x)＝x(x＋1)(39－2x)(x∈N*，且x≤12)．已知第x個月的人均消費額q(x)(單位：元)與x的近似關系是q(x)＝ (1)寫出xx年第x個月的旅游人數(shù)f(x)(單位：人)與x的函數(shù)關系式； (2)試問xx年第幾個月旅游消費總額最大？最大月旅游消費總額為多少元？ 解　(1)當x＝1時，f(1)＝p(1)＝37， 當2≤x≤12，且x∈N*時， f(x)＝p(x)－p(x－1) ＝x(x＋1)(39－2x)－(x－1)x(41－2x)＝－3x2＋40x， 驗證x＝1也滿足此式， 所以f(x)＝－3x2＋40x(x∈N*，且1≤x≤12)． (2)第x個月旅游消費總額為 g(x)＝ 即g(x)＝ ①當1≤x≤6，且x∈N*時， g′(x)＝18x2－370x＋1 400， 令g′(x)＝0，解得x＝5或x＝(舍去)． 當1≤x＜5時，g′(x)＞0， 當5＜x≤6時，g′(x)＜0， ∴當x＝5時，g(x)max＝g(5)＝3 125(萬元)． ②當7≤x≤12，且x∈N*時，g(x)＝－480x＋6 400是減函數(shù)，∴當x＝7時，g(x)max＝g(7)＝3 040(萬元)． 綜上，xx年5月份的旅游消費總額最大，最大旅游消費總額為3 125萬元. 規(guī)律方法　(1)很多實際問題中，變量間的關系不能用一個關系式給出，這時就需要構建分段函數(shù)模型，如出租車的票價與路程的函數(shù)就是分段函數(shù)．(2)求函數(shù)最值常利用基本不等式法、導數(shù)法、函數(shù)的單調(diào)性等方法．在求分段函數(shù)的最值時，應先求每一段上的最值，然后比較得最大值、最小值． 【訓練3】 某建材商場國慶期間搞促銷活動，規(guī)定：顧客購物總金額不超過800元，不享受任何折扣，如果顧客購物總金額超過800元，則超過800元部分享受一定的折扣優(yōu)惠，按下表折扣分別累計計算. 可以享受折扣優(yōu)惠金額 折扣率 不超過500元的部分 5% 超過500元的部分 10% 某人在此商場購物總金額為x元，可以獲得的折扣金額為y元，則y關于x的解析式為 y＝ 若y＝30元，則他購物實際所付金額為________元． 解析　若x＝1 300元，則y＝5%(1 300－800)＝25(元)＜30(元)，因此x＞1 300. ∴由10%(x－1 300)＋25＝30，得x＝1 350(元)． 答案　1 350 [思想方法] 解函數(shù)應用問題的步驟(四步八字) (1)審題：弄清題意，分清條件和結(jié)論，理順數(shù)量關系，初步選擇數(shù)學模型； (2)建模：將自然語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，將文字語言轉(zhuǎn)化為符號語言，利用數(shù)學知識，建立相應的數(shù)學模型； (3)解模：求解數(shù)學模型，得出數(shù)學結(jié)論； (4)還原：將數(shù)學結(jié)論還原為實際問題的意義． 以上過程用框圖表示如下： [易錯防范] 1．解應用題思路的關鍵是審題，不僅要明白、理解問題講的是什么，還要特別注意一些關鍵的字眼(如“幾年后”與“第幾年后”)，學生常常由于讀題不謹慎而漏讀和錯讀，導致題目不會做或函數(shù)解析式寫錯，故建議復習時務必養(yǎng)成良好的審題習慣． 2．在解應用題建模后一定要注意定義域，建模的關鍵是注意尋找量與量之間的相互依賴關系． 3．解決完數(shù)學模型后，注意轉(zhuǎn)化為實際問題寫出總結(jié)答案. 基礎鞏固題組 (建議用時：40分鐘) 一、選擇題 1．下表是函數(shù)值y隨自變量x變化的一組數(shù)據(jù)，它最可能的函數(shù)模型是(　　) x 4 5 6 7 8 9 10 y 15 17 19 21 23 25 27 A．一次函數(shù)模型 B．冪函數(shù)模型 C．指數(shù)函數(shù)模型 D．對數(shù)函數(shù)模型 解析　根據(jù)已知數(shù)據(jù)可知，自變量每增加1函數(shù)值增加2，因此函數(shù)值的增量是均勻的，故為一次函數(shù)模型． 答案　A 2．(xx合肥調(diào)研)某工廠6年來生產(chǎn)某種產(chǎn)品的情況是：前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，后3年年產(chǎn)量保持不變，則該廠6年來這種產(chǎn)品的總產(chǎn)量C與時間t(年)的函數(shù)關系圖象正確的是(　　) 解析　前3年年產(chǎn)量的增長速度越來越快，說明呈高速增長，只有A，C圖象符合要求，而后3年年產(chǎn)量保持不變，故選A. 答案　A 3．(xx北京東城期末)某企業(yè)投入100萬元購入一套設備，該設備每年的運轉(zhuǎn)費用是0.5萬元，此外每年都要花費一定的維護費，第一年的維護費為2萬元，由于設備老化，以后每年的維護費都比上一年增加2萬元．為使該設備年平均費用最低，該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為(　　) A．10 B．11 C．13 D．21 解析　設該企業(yè)需要更新設備的年數(shù)為x，設備年平均費用為y，則x年后的設備維護費用為2＋4＋…＋2x＝x(x＋1)，所以x年的平均費用為y＝＝x＋＋1.5，由基本不等式得y＝x＋＋1.5≥2 ＋1.5＝21.5，當且僅當x＝，即x＝10時取等號，所以選A. 答案　A 4．(xx孝感模擬)物價上漲是當前的主要話題，特別是菜價，我國某部門為盡快實現(xiàn)穩(wěn)定菜價，提出四種綠色運輸方案．據(jù)預測，這四種方案均能在規(guī)定的時間T內(nèi)完成預測的運輸任務Q0，各種方案的運輸總量Q與時間t的函數(shù)關系如圖所示，在這四種方案中，運輸效率(單位時間的運輸量)逐步提高的是(　　) 解析　由運輸效率(單位時間的運輸量)逐步提高得，曲線上的點的切線斜率應逐漸增大，故函數(shù)的圖象應一直是下凹的，故選B. 答案　B 5.某電信公司推出兩種手機收費方式：A種方式是月租20元，B種方式是月租0元．一個月的本地網(wǎng)內(nèi)打出電話時間t(分鐘)與打出電話費s(元)的函數(shù)關系如圖，當打出電話150分鐘時，這兩種方式電話費相差(　　) A．10元 B．20元 C．30元 D．元 解析　設A種方式對應的函數(shù)解析式為s＝k1t＋20， B種方式對應的函數(shù)解析式為s＝k2t， 當t＝100時，100k1＋20＝100k2，∴k2－k1＝， t＝150時，150k2－150k1－20＝150－20＝10. 答案　A 二、填空題 6.(xx江西六校聯(lián)考)A、B兩只船分別從在東西方向上相距145 km的甲乙兩地開出．A從甲地自東向西行駛．B從乙地自北向南行駛，A的速度是40 kmh，B的速度是 16 kmh，經(jīng)過________小時，AB間的距離最短． 解析　設經(jīng)過x h，A，B相距為y km， 則y＝(0≤x≤)，求得函數(shù)的最小值時x的值為. 答案　 7．(xx長春模擬)一個容器裝有細沙a cm3，細沙從容器底下一個細微的小孔慢慢地勻速漏出，t min 后剩余的細沙量為 y＝ae－bt(cm3)，經(jīng)過 8 min后發(fā)現(xiàn)容器內(nèi)還有一半的沙子，則再經(jīng)過________min，容器中的沙子只有開始時的八分之一． 解析　當t＝0時，y＝a，當t＝8時，y＝ae－8b＝a， ∴e－8b＝，容器中的沙子只有開始時的八分之一時， 即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b， 則t＝24，所以再經(jīng)過16 min. 答案　16 8.在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個面積最大的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長x為________m. 解析　設內(nèi)接矩形另一邊長為y，則由相似三角形性質(zhì)可得＝，解得y＝40－x，所以面積S＝x(40－x)＝－x2＋40x＝－(x－20)2＋400(0＜x＜40)，當x＝20時，Smax＝400. 答案　20 三、解答題 9．(xx鄭州模擬)某化工廠引進一條先進生產(chǎn)線生產(chǎn)某種化工產(chǎn)品，其生產(chǎn)的總成本y(萬元)與年產(chǎn)量x(噸)之間的函數(shù)關系式可以近似地表示為y＝－48x＋8 000，已知此生產(chǎn)線年產(chǎn)量最大為210噸． (1)求年產(chǎn)量為多少噸時，生產(chǎn)每噸產(chǎn)品的平均成本最低，并求最低成本； (2)若每噸產(chǎn)品平均出廠價為40萬元，那么當年產(chǎn)量為多少噸時，可以獲得最大利潤？最大利潤是多少？ 解　(1)每噸平均成本為(萬元)． 則＝＋－48≥2 －48＝32， 當且僅當＝，即x＝200時取等號． ∴年產(chǎn)量為200噸時，每噸平均成本最低為32萬元． (2)設年獲得總利潤為R(x)萬元． 則R(x)＝40x－y＝40x－＋48x－8 000 ＝－＋88x－8 000 ＝－(x－220)2＋1 680(0≤x≤210)． ∵R(x)在[0,210]上是增函數(shù)，∴x＝210時， R(x)有最大值為－(210－220)2＋1 680＝1 660. ∴年產(chǎn)量為210噸時，可獲得最大利潤1 660萬元． 10.在扶貧活動中，為了盡快脫貧(無債務)致富，企業(yè)甲將經(jīng)營狀況良好的某種消費品專賣店以5.8萬元的優(yōu)惠價格轉(zhuǎn)讓給了尚有5萬元無息貸款沒有償還的小型企業(yè)乙，并約定從該店經(jīng)營的利潤中，首先保證企業(yè)乙的全體職工每月最低生活費的開支3 600元后，逐步償還轉(zhuǎn)讓費(不計息)．在甲提供的資料中：①這種消費品的進價為每件14元；②該店月銷量Q(百件)與銷售價格P(元)的關系如圖所示；③每月需各種開支2 000元． (1)當商品的價格為每件多少元時，月利潤扣除職工最低生活費的余額最大？并求最大余額； (2)企業(yè)乙只依靠該店，最早可望在幾年后脫貧？ 解　設該店月利潤余額為L元， 則由題設得L＝Q(P－14)100－3 600－2 000， 由銷量圖易得Q＝ 代入①式得 L＝ (1)當14≤P≤20時，Lmax＝450元，此時P＝19.5元； 當20＜P≤26時，Lmax＝元，此時P＝元． 故當P＝19.5元時，月利潤余額最大，為450元． (2)設可在n年后脫貧， 依題意有12n450－50 000－58 000≥0，解得n≥20. 即最早可望在20年后脫貧． 能力提升題組 (建議用時：25分鐘) 11．為了預防信息泄露，保證信息的安全傳輸，在傳輸過程中都需要對文件加密，有一種為加密密鑰密碼系統(tǒng)(Private Key Cryptosystem)，其加密、解密原理為：發(fā)送方由明文→密文(加密)，接收方由密文→明文(解密)．現(xiàn)在加密密鑰為y＝kx3，如“4”通過加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，則解密后得到的明文是(　　) A. B． C．2 D． 解析　由題目可知加密密鑰y＝kx3是一個冪函數(shù)型，由已知可得，當x＝4時，y＝2，即2＝k43，解得k＝＝.故y＝x3，顯然令y＝，則＝x3，即x3＝，解得x＝. 答案　A 12.某廠有許多形狀為直角梯形的鐵皮邊角料，如圖，為降低消耗，開源節(jié)流，現(xiàn)要從這些邊角料上截取矩形鐵片(如圖中陰影部分)備用，當截取的矩形面積最大時，矩形兩邊長x，y應為(　　) A．x＝15，y＝12 B．x＝12，y＝15 C．x＝14，y＝10 D．x＝10，y＝14 解析　由三角形相似得＝.得x＝(24－y)， ∴S＝xy＝－(y－12)2＋180， ∴當y＝12時，S有最大值，此時x＝15. 答案　A 13．一個工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品每年需要固定投資100萬元，此外每生產(chǎn)1件該產(chǎn)品還需要增加投資1萬元，年產(chǎn)量為x(x∈N*)件．當x≤ 20時，年銷售總收入為(33x－x2)萬元；當x＞20時，年銷售總收入為260萬元．記該工廠生產(chǎn)并銷售這種產(chǎn)品所得的年利潤為y萬元，則y(萬元)與x(件)的函數(shù)關系式為________，該工廠的年產(chǎn)量為________件時，所得年利潤最大(年利潤＝年銷售總收入－年總投資)． 解析　當0＜x≤20時，y＝(33x－x2)－x－100＝－x2＋32x－100；當x＞20時，y＝260－100－x＝160－x. 故y＝(x∈N*)． 當0＜x≤20時，y＝－x2＋32x－100＝－(x－16)2＋156，x＝16時，ymax＝156.而當x＞20時，160－x＜140，故x＝16時取得最大年利潤． 答案　y＝(x∈N*)　16 14．已知某物體的溫度θ(單位：攝氏度)隨時間t(單位：分鐘)的變化規(guī)律：θ＝m2t＋21－t(t≥0，并且m＞0)． (1)如果m＝2，求經(jīng)過多少時間，物體的溫度為5攝氏度； (2)若物體的溫度總不低于2攝氏度，求m的取值范圍． 解　(1)若m＝2，則θ＝22t＋21－t＝2， 當θ＝5時，2t＋＝，令2t＝x≥1，則x＋＝， 即2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝(舍去)， 此時t＝1.所以經(jīng)過1分鐘，物體的溫度為5攝氏度． (2)物體的溫度總不低于2攝氏度，即θ≥2恒成立． 亦m2t＋≥2恒成立，亦即m≥2恒成立． 令＝x，則0＜x≤1，∴m≥2(x－x2)， 由于x－x2≤，∴m≥. 因此，當物體的溫度總不低于2攝氏度時，m的取值范圍是.