2019-2020年高中數(shù)學(xué)《1.3 算法案例》教案1 新人教A版必修3.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué)《1.3 算法案例》教案1 新人教A版必修3 教學(xué)分析 在學(xué)生學(xué)習(xí)了算法的初步知識(shí)，理解了表示算法的算法步驟、程序框圖和程序三種不同方式以后，再結(jié)合典型算法案例，讓學(xué)生經(jīng)歷設(shè)計(jì)算法解決問(wèn)題的全過(guò)程，體驗(yàn)算法在解決問(wèn)題中的重要作用，體會(huì)算法的基本思想，提高邏輯思維能力，發(fā)展有條理地思考與數(shù)學(xué)表達(dá)能力. 三維目標(biāo) 1．理解算法案例的算法步驟和程序框圖. 2．引導(dǎo)學(xué)生得出自己設(shè)計(jì)的算法程序. 3. 體會(huì)算法的基本思想，提高邏輯思維能力，發(fā)展有條理地思考與數(shù)學(xué)表達(dá)能力. 重點(diǎn)難點(diǎn) 教學(xué)重點(diǎn)：引導(dǎo)學(xué)生得出自己設(shè)計(jì)的算法步驟、程序框圖和算法程序. 教學(xué)難點(diǎn)：體會(huì)算法的基本思想，提高邏輯思維能力，發(fā)展有條理地思考與數(shù)學(xué)表達(dá)能力. 課時(shí)安排 3課時(shí) 教學(xué)過(guò)程 第1課時(shí) 案例1 輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù) 導(dǎo)入新課 思路1（情境導(dǎo)入） 大家喜歡打乒乓球吧，由于東、西方文化及身體條件的不同，西方人喜歡橫握拍打球，東方人喜歡直握拍打球，對(duì)于同一個(gè)問(wèn)題，東、西方人處理問(wèn)題方式是有所不同的.在小學(xué)，我們學(xué)過(guò)求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的方法：先用兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來(lái). 當(dāng)兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)較大時(shí)（如8 251與6 105），使用上述方法求最大公約數(shù)就比較困難.下面我們介紹兩種不同的算法——輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù),由此可以體會(huì)東、西方文化的差異. 思路2（直接導(dǎo)入） 前面我們學(xué)習(xí)了算法步驟、程序框圖和算法語(yǔ)句.今天我們將通過(guò)輾轉(zhuǎn)相除法與更相減損術(shù)來(lái)進(jìn)一步體會(huì)算法的思想. 推進(jìn)新課 新知探究 提出問(wèn)題 （1）怎樣用短除法求最大公約數(shù)？ （2）怎樣用窮舉法（也叫枚舉法）求最大公約數(shù)？ （3）怎樣用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)？ （4）怎樣用更相減損術(shù)求最大公約數(shù)？ 討論結(jié)果： （1）短除法 求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的步驟：先用兩個(gè)數(shù)公有的質(zhì)因數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商是兩個(gè)互質(zhì)數(shù)為止，然后把所有的除數(shù)連乘起來(lái). （2）窮舉法（也叫枚舉法） 窮舉法求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的解題步驟：從兩個(gè)數(shù)中較小數(shù)開(kāi)始由大到小列舉，直到找到公約數(shù)立即中斷列舉，得到的公約數(shù)便是最大公約數(shù). （3）輾轉(zhuǎn)相除法 輾轉(zhuǎn)相除法求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，其算法步驟可以描述如下： 第一步，給定兩個(gè)正整數(shù)m，n. 第二步，求余數(shù)r：計(jì)算m除以n，將所得余數(shù)存放到變量r中. 第三步，更新被除數(shù)和余數(shù)：m=n，n=r. 第四步，判斷余數(shù)r是否為0.若余數(shù)為0，則輸出結(jié)果；否則轉(zhuǎn)向第二步繼續(xù)循環(huán)執(zhí)行. 如此循環(huán)，直到得到結(jié)果為止. 這種算法是由歐幾里得在公元前300年左右首先提出的，因而又叫歐幾里得算法. （4）更相減損術(shù) 我國(guó)早期也有解決求最大公約數(shù)問(wèn)題的算法，就是更相減損術(shù). 《九章算術(shù)》是中國(guó)古代的數(shù)學(xué)專著，其中的“更相減損術(shù)”也可以用來(lái)求兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)，即“可半者半之，不可半者，副置分母、子之?dāng)?shù)，以少減多，更相減損，求其等也.以等數(shù)約之.”翻譯為現(xiàn)代語(yǔ)言如下： 第一步，任意給定兩個(gè)正整數(shù)，判斷它們是否都是偶數(shù)，若是，用2約簡(jiǎn)；若不是，執(zhí)行第二步. 第二步，以較大的數(shù)減去較小的數(shù)，接著把所得的差與較小的數(shù)比較，并以大數(shù)減小數(shù)，繼續(xù)這個(gè)操作，直到所得的數(shù)相等為止，則這個(gè)數(shù)（等數(shù)）或這個(gè)數(shù)與約簡(jiǎn)的數(shù)的乘積就是所求的最大公約數(shù). 應(yīng)用示例 例1 用輾轉(zhuǎn)相除法求8 251與6 105的最大公約數(shù),寫出算法分析，畫出程序框圖，寫出算法程序. 解：用兩數(shù)中較大的數(shù)除以較小的數(shù)，求得商和余數(shù)：8 251=6 1051+2 146. 由此可得，6 105與2 146的公約數(shù)也是8 251與6 105的公約數(shù)，反過(guò)來(lái)，8 251與6 105的公約數(shù)也是6 105與2 146的公約數(shù)，所以它們的最大公約數(shù)相等. 對(duì)6 105與2 146重復(fù)上述步驟：6 105=2 1462+1 813. 同理，2 146與1 813的最大公約數(shù)也是6 105與2 146的最大公約數(shù).繼續(xù)重復(fù)上述步驟： 2 146=1 8131+333， 1 813=3335+148， 333=1482+37， 148=374. 最后的除數(shù)37是148和37的最大公約數(shù)，也就是8 251與6 105的最大公約數(shù). 這就是輾轉(zhuǎn)相除法.由除法的性質(zhì)可以知道，對(duì)于任意兩個(gè)正整數(shù)，上述除法步驟總可以在有限步之后完成，從而總可以用輾轉(zhuǎn)相除法求出兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù). 算法分析：從上面的例子可以看出，輾轉(zhuǎn)相除法中包含重復(fù)操作的步驟，因此可以用循環(huán)結(jié)構(gòu)來(lái)構(gòu)造算法. 算法步驟如下： 第一步，給定兩個(gè)正整數(shù)m，n. 第二步，計(jì)算m除以n所得的余數(shù)為r. 第三步，m=n，n=r. 第四步，若r=0，則m，n的最大公約數(shù)等于m；否則，返回第二步. 程序框圖如下圖： 程序： INPUT m,n DO r=m MOD n m=n n=r LOOP UNTIL r=0 PRINT m END 點(diǎn)評(píng)：從教學(xué)實(shí)踐看，有些學(xué)生不能理解算法中的轉(zhuǎn)化過(guò)程，例如：求8 251與6 105的最大公約數(shù),為什么可以轉(zhuǎn)化為求6 105與2 146的公約數(shù).因?yàn)? 251=6 1051+2 146， 可以化為8 251-6 1051=2 164，所以公約數(shù)能夠整除等式兩邊的數(shù)，即6 105與2 146的公約數(shù)也是8 251與6 105的公約數(shù). 變式訓(xùn)練 你能用當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)構(gòu)造算法，求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)嗎？試畫出程序框圖和程序. 解：當(dāng)型循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖如下圖： 程序： INPUT m，n r=1 WHILE r＞0 r=m MOD n m=n n=r WEND PRINT m END 例2 用更相減損術(shù)求98與63的最大公約數(shù). 解：由于63不是偶數(shù)，把98和63以大數(shù)減小數(shù)，并輾轉(zhuǎn)相減，如下圖所示. 98-63=35 63-35=28 35-28=7 28-7=21 21-7=14 14-7=7 所以，98和63的最大公約數(shù)等于7. 點(diǎn)評(píng)：更相減損術(shù)與輾轉(zhuǎn)相除法的比較：盡管兩種算法分別于東、西方古代數(shù)學(xué)名著，但是二者的算理卻是相似的，有異曲同工之妙．主要區(qū)別在于輾轉(zhuǎn)相除法進(jìn)行的是除法運(yùn)算，即輾轉(zhuǎn)相除；而更相減損術(shù)進(jìn)行的是減法運(yùn)算，即輾轉(zhuǎn)相減，但是實(shí)質(zhì)都是一個(gè)不斷的遞歸過(guò)程． 變式訓(xùn)練 用輾轉(zhuǎn)相除法或者更相減損術(shù)求三個(gè)數(shù)324,243,135的最大公約數(shù). 解：324=2431＋81， 243=813＋0， 則324與243的最大公約數(shù)為81. 又135=811＋54，81=541＋27， 54=272＋0， 則 81 與 135的最大公約數(shù)為27. 所以,三個(gè)數(shù)324、243、135的最大公約數(shù)為27. 另法：324－243=81,243－81=162,162－81=81，則324與243的最大公約數(shù)為81. 135－81=54,81－54=27,54－27=27，則81與135的最大公約數(shù)為27. 所以，三個(gè)數(shù)324、243.135的最大公約數(shù)為27. 例3 （1）用輾轉(zhuǎn)相除法求123和48的最大公約數(shù). （2）用更相減損術(shù)求80和36的最大公約數(shù). 解：（1）輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù)的過(guò)程如下： 123＝248＋27， 48＝127＋21， 27＝121＋6， 21＝36＋3， 6＝23+0， 最后6能被3整除，得123和48的最大公約數(shù)為3. （2）我們將80作為大數(shù)，36作為小數(shù)，因?yàn)?0和36都是偶數(shù)，要除公因數(shù)2. 802=40，362=18. 40和18都是偶數(shù)，要除公因數(shù)2. 402=20，182=9. 下面來(lái)求20與9的最大公約數(shù)， 20－9=11， 11－9=2， 9－2=7， 7－2=5， 5－2=3， 3－2=1， 2－1=1， 可得80和36的最大公約數(shù)為221=4. 點(diǎn)評(píng)：對(duì)比兩種方法控制好算法的結(jié)束，輾轉(zhuǎn)相除法是到達(dá)余數(shù)為0，更相減損術(shù)是到達(dá)減數(shù)和差相等. 變式訓(xùn)練 分別用輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)求1 734，816的最大公約數(shù)． 解：輾轉(zhuǎn)相除法： 1 734=8162+102，816=1028（余0）， ∴1 734與816的最大公約數(shù)是102． 更相減損術(shù)：因?yàn)閮蓴?shù)皆為偶數(shù)，首先除以2得到867，408，再求867與408的最大公約數(shù)． 867-408=459， 459-408=51， 408-51=357， 357-51=306， 306-51=255， 255-51=204， 204-51=153， 153-51=102， 102-51=51. ∴1 734與816的最大公約數(shù)是512=102． 利用更相減損術(shù)可另解： 1 734－816＝918， 918－816＝102， 816－102＝714， 714－102＝612， 612－102＝510， 510－102＝408， 408－102＝306， 306－102＝204， 204－102＝102. ∴1 734與816的最大公約數(shù)是102． 知能訓(xùn)練 求319，377，116的最大公約數(shù)． 解：377=3191+58， 319=585+29， 58=292. ∴377與319的最大公約數(shù)為29，再求29與116的最大公約數(shù)． 116=294. ∴29與116的最大公約數(shù)為29. ∴377，319，116的最大公約數(shù)為29. 拓展提升 試寫出利用更相減損術(shù)求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)的程序． 解：更相減損術(shù)程序： INPUT “m，n=”；m，n WHILE m<>n IF m>n THEN ｍ＝m-n ELSE m=n-m END IF WEND PRINT m END 課堂小結(jié) （1）用輾轉(zhuǎn)相除法求最大公約數(shù). （2）用更相減損術(shù)求最大公約數(shù). 思想方法：遞歸思想. 作業(yè) 分別用輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)求261，319的最大公約數(shù). 分析：本題主要考查輾轉(zhuǎn)相除法和更相減損術(shù)及其應(yīng)用．使用輾轉(zhuǎn)相除法可依據(jù)m=nq+r，反復(fù)執(zhí)行，直到r=0為止；用更相減損術(shù)就是根據(jù)m-n=r，反復(fù)執(zhí)行，直到n=r為止． 解：輾轉(zhuǎn)相除法： 319=2611+58, 261=584+29, 58=292. ∴319與261的最大公約數(shù)是29． 更相減損術(shù)： 319-261=58, 261-58=203, 203-58=145, 145-58=87, 87-58=29, 58-29=29, ∴319與261的最大公約數(shù)是29． 設(shè)計(jì)感想 數(shù)學(xué)不僅是一門科學(xué)，也是一種文化，本節(jié)的引入從東、西方文化的不同開(kāi)始，逐步向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)文化.從知識(shí)方面主要學(xué)習(xí)用兩種方法求兩個(gè)正整數(shù)的最大公約數(shù)，從思想方法方面，主要學(xué)習(xí)遞歸思想.本節(jié)設(shè)置精彩例題，不僅讓學(xué)生學(xué)到知識(shí)，而且讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)算法的思想，培養(yǎng)學(xué)生的愛(ài)國(guó)主義情操．