2019-2020年高中數學 10.1《分類計數原理與分步計數原理》備課資料 舊人教版必修.doc

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2019-2020年高中數學 10.1《分類計數原理與分步計數原理》備課資料 舊人教版必修 運用乘法原理解決問題時，首先要搞清完成的是怎樣的“一件事”，其次要正確地決定按什么來分步、分為哪幾步，然后為每一步的方法.只有把這件事的每一步都完成，這件事才能算完成.以下例題主要對問題中描述的是怎樣“一件事”及如何分步進行分析，以便于合理正確地運用乘法原理解決問題. ［例1］（1）4名同學選報跑步、跳高、跳遠三個項目，每人報一項，共有多少種報名方法？ （2）4名同學爭奪跑步、跳高、跳遠三項冠軍，共有多少種可能的結果？ 分析：（1）要完成的是“4名同學每人從三個項目中選一項報名”這件事，因為每人必報一項，四人都報完才算完成，于是按人分步，且分為四步，又每人可在三項中選一項，選法為3種，所以共有3３３３=81種報名方法. （2）完成的是“三個項目冠軍的獲取”這件事，因為每項冠軍只能有一人獲得，三項冠軍都有得主，這件事才算完成，于是應以“確定三項冠軍得主”為線索進行分步.而每項冠軍是四人中的某一人，有4種可能情況，于是共有4４４=43=64種可能的情況. 答案：(1)81;(2)64. ［例2］乘積（a1+a2+a3)(b1+b2+b3+b4)(c1+c2+c3+c4+c5)展開后共有多少項？ 分析：因為展開后的每一項為第一個括號中的一個，第二個括號中的一個與第三個括號中的一個的乘積，所以應分三步：m1=3,m2=4,m3=5,于是展開后共有m1m2m3=3４５=60項. 答案：60項 ［例3］有4部車床，需加工3個不同的零件，其不同的安排方法有 A.34 B.43 C.A D.44 分析：事件為“加工3個零件”，每個零件都加工完這件事就算完成，應以“每個零件”為分步標準，共3步，而每個零件能在四部機床中的任一臺上加工，所以有4種方法， 于是安排方法有4４４=43=64種. 答案：B ［例4］5名同學去聽同時進行的4個課外知識講座，每個同學可自由選擇，則不同的選擇種數是 A.54 B.45 C.5４３２ D. 分析：因為5名同學都去聽講座，這件事才能完成，所以應以同學進行分步，又因為講座是同時進行的，每個同學只能選擇其中一個講座來聽，于是有4種選擇. 當完成時共有4４４４４=45種不同選法. 答案：B ［例5］集合M={1，2，3}的子集共有 A.8 B.7 C.6 D.5 分析：此題事件為：從集合M中選取部分元素組成子集，因此就以元素為對象進行分步.而M中每個元素有選中與不選兩種情況，于是子集的個數應為22２=23=8個. 答案：A 說明：此題可推廣到有n個元素的集合M，其子集個數為2n. ［例6］設集合A={1,2,3,4},B={5,6,7},則從A到B的所有不同映射的個數是 A.81 B.64 C.12 D.以上都不正確 分析：因映射為從A到B，所以A中每一個元素在B中應有一元素與之對應，也就是A中所有元素在B種都有象，因此應按A中元素分為4步，而對于A中每一元素，可與B中任一元素對應，于是不同對應個數應為3３３３=81. 答案：A ●備課資料 一、基本原理在高考中的體現 ［例1］（xx年高考）某賽季足球比賽的計分規(guī)則是：勝一場，得3分；平一場，得1分；負一場，得0分.一球隊打完15場，積33分.若不考慮順序，該隊勝、負、平的情況共有________種. A.5 B.4 C.3 D.6 分析：此題運用分類計數原理. 勝 負 平 積分 11 4 0 33 10 2 3 30+3 9 0 6 27+6 由上述分類可得，該隊勝、負、平的情況共有3種，故選C. ［例2］（xx年高考）如圖，小圓圈表示網絡的結點，結點之間的連線表示它們有網線相連.連線標注的數字表示該段網線單位時間為可以通過的最大信息量.現從結點A向結點B傳遞信息，信息可以分開沿不同的路線同時傳遞，則單位時間內傳遞的最大信息量是 A.20 B.24 C.26 D.19 分析：網絡中，信息的傳輸要通過結點和網線，在單位時間內，所能傳輸的信息量，受其容量和流量的制約.解答本題要抓住結點的分流（或合流作用），以及網絡支路的信息流量. 解法一：依題意，每個信息由A傳遞到B都要經過兩個中間結點，由網絡圖可知： 由A送出的信息量最大值為12+12=24. 但經過第一個結點分流時，能通過的信息量最多為（5+6）+12=23， 再經過第二個結點分流到達B的信息量最多只能是3+4+6+6=19. 故所求最大信息量為19. 解法二：由結點A向結點B傳遞的信息，可由不同的4條支路通過，依所設網絡圖，由上至下四條支路所能傳遞的最大信息量依次是3，4，6，6，由于滿足3+4≤12,6+6≤12, 因此，雖然由A出發(fā)時，開始只有2個支路，也不妨礙信息的通過，所以由A到B，在單位時間內傳遞的最大信息量是3+4+6+6=19. 答案：D ［例3］（xx年高考題）某電腦用戶計劃使用不超過500元的資金購買單價分別為60元、70元的單片軟件和盒裝磁盤，根據需要，軟件至少買3片，磁盤至少買2盒，則不同的選購方式共有________種. A.5 B.6 C.7 D.8 分析：本題主要考查運用數學知識分析和解決簡單應用問題的能力，問題的背景是購買時額定資金的分配方式，要求在處理問題時懂得合理的科學分類，并準確進行計數，不重 不漏. 解法一：將購買x件軟件與y件磁盤所需資金列寫成下表（表中的金額以不大于500元為限，且x≥3,y≥2） x y 3 4 5 6 2 320 380 440 500 3 390 450 4 460 由上表可知不同的選購方式為7種. 解法二：設所購買的軟件數為x，磁盤數為y，依題意可知：x,y都是整數，且應滿足下列各式： 問題轉化為求該不等式組的整數解組個數. 不等式組等價于 當y=2時，得3≤x≤6, 所以x的值為3、4、5或6; 當y=3時，得3≤x≤4; 所以x為3、4； 當y=4時，得3≤x≤3. 所以x=3. 當y=5時，得3≤x≤,無解. 綜合得原方程組共有7組整數解. 答案：C ［例4］（xx年高考題）在一塊并排10壟的田地中，選擇2壟分別種植A、B兩種作物，每種作物種植一壟.為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不小于6壟，則不同的選壟方法有______種.（結果用數字作答） 分析：本題是一道排列組合的應用題，主要考查基本原理的靈活運用以及基本的計數 技能. 解法一：用表示種上作物的地壟，○表示沒有種上作物的地壟，則合乎題意的不同用地方式可畫圖如下： ○○○○○○○○ ○○○○○○○○ ○○○○○○○○ ○○○○○○○○ ○○○○○○○○ ○○○○○○○○ 共有6種，對于每種用地方式，地壟上所種的兩種作物可以互換位置，即有兩種不同的種植方式.應用分步計數原理，共有62=12種不同選壟方法. 解法二：將10壟地順次編號為0，1，2，…，9，依題意，種植作物的2壟地的序號x和y應滿足|x-y|≥7, 為計算方便，不妨設x＞y,即得x-y≥7, 式中x、y的取值范圍是數集{0，1，2，…，9}. 所以7≤y+7≤x≤9. 因此，y只能取值為0，1，2. 當y=0時，7≤x≤9, 即x只能取7，8，9； 當y=1時，8≤x≤9, 即x只能取8，9; 當y=2時，9≤x≤9, 即x只能取值9. 所以，不等式的解共6組，每一組解（x,y)對應著一種取壟方式，而每一種取壟方式種上不同兩種作物的方法共有2種，故應用分步計數原理得不同的選壟方法數為62=12種. 解法三：轉化插空法. 把空的6壟地看作一個整體，A、B兩種作物可在其余4壟地上種植，共有如下6種情形：A種1壟，B種2，3，4壟；A種2壟，B種3，4壟；A種3壟，B種4壟.同理B與A位置可交換，再將6壟空地插入，一種插法. 故不同取壟方法為62=12種. 答案：12 二、參考練習 1.自然數2520有多少個正約數? 分析：先考慮2520的分解. ∵2520=2332５７, 分四步完成： 第一步：取20,21,22,23有4種； 第二步：取30,31,32有3種； 第三步：取50,51有2種； 第四步：取70,71有2種. 由分步計數原理，共有4３２２=48個正約數. 2.從1，2，3，4，7，9中任取不相同的兩個數，分別作為對數的底數和真數，能得到多少個不同的對數值？ 分析：注意到1不能為底數，底數為1的對數為0，以2，3，4，7，9中任取兩個不同數為真數、底數，可有54個值，但log23=log49,log24=log39,log32=log94,log42=log93, 所以不同對數值共有54-4+1=17(個）. 答案：17個.