2019-2020年高中數學 排列與組合 版塊三 基本計數原理的綜合應用完整講義（學生版）.doc

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2019-2020年高中數學 排列與組合 版塊三 基本計數原理的綜合應用完整講義（學生版） 知識內容 1．基本計數原理 ⑴加法原理 分類計數原理：做一件事，完成它有類辦法，在第一類辦法中有種不同的方法，在第二類辦法中有種方法，……，在第類辦法中有種不同的方法．那么完成這件事共有種不同的方法．又稱加法原理． ⑵乘法原理 分步計數原理：做一件事，完成它需要分成個子步驟，做第一個步驟有種不同的方法，做第二個步驟有種不同方法，……，做第個步驟有種不同的方法．那么完成這件事共有種不同的方法．又稱乘法原理． ⑶加法原理與乘法原理的綜合運用 如果完成一件事的各種方法是相互獨立的，那么計算完成這件事的方法數時，使用分類計數原理．如果完成一件事的各個步驟是相互聯系的，即各個步驟都必須完成，這件事才告完成，那么計算完成這件事的方法數時，使用分步計數原理． 分類計數原理、分步計數原理是推導排列數、組合數公式的理論基礎，也是求解排列、組合問題的基本思想方法，這兩個原理十分重要必須認真學好，并正確地靈活加以應用． 2． 排列與組合 ⑴排列：一般地，從個不同的元素中任取個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從個不同元素中取出個元素的一個排列．（其中被取的對象叫做元素） 排列數：從個不同的元素中取出個元素的所有排列的個數，叫做從個不同元素中取出個元素的排列數，用符號表示． 排列數公式：，，并且． 全排列：一般地，個不同元素全部取出的一個排列，叫做個不同元素的一個全排列． 的階乘：正整數由到的連乘積，叫作的階乘，用表示．規(guī)定：． ⑵組合：一般地，從個不同元素中，任意取出個元素并成一組，叫做從個元素中任取個元素的一個組合． 組合數：從個不同元素中，任意取出個元素的所有組合的個數，叫做從個不同元素中，任意取出個元素的組合數，用符號表示． 組合數公式：，，并且． 組合數的兩個性質：性質1：；性質2：．（規(guī)定） ⑶排列組合綜合問題 解排列組合問題，首先要用好兩個計數原理和排列組合的定義，即首先弄清是分類還是分步，是排列還是組合，同時要掌握一些常見類型的排列組合問題的解法： 1．特殊元素、特殊位置優(yōu)先法 元素優(yōu)先法：先考慮有限制條件的元素的要求，再考慮其他元素； 位置優(yōu)先法：先考慮有限制條件的位置的要求，再考慮其他位置； 2．分類分步法：對于較復雜的排列組合問題，常需要分類討論或分步計算，一定要做到分類明確，層次清楚，不重不漏． 3．排除法，從總體中排除不符合條件的方法數，這是一種間接解題的方法． 4．捆綁法：某些元素必相鄰的排列，可以先將相鄰的元素“捆成一個”元素，與其它元素進行排列，然后再給那“一捆元素”內部排列． 5．插空法：某些元素不相鄰的排列，可以先排其它元素，再讓不相鄰的元素插空． 6．插板法：個相同元素，分成組，每組至少一個的分組問題——把個元素排成一排，從個空中選個空，各插一個隔板，有． 7．分組、分配法：分組問題（分成幾堆，無序）．有等分、不等分、部分等分之別．一般地平均分成堆（組），必須除以！，如果有堆（組）元素個數相等，必須除以！ 8．錯位法：編號為1至的個小球放入編號為1到的個盒子里，每個盒子放一個小球，要求小球與盒子的編號都不同，這種排列稱為錯位排列，特別當，3，4，5時的錯位數各為1，2，9，44．關于5、6、7個元素的錯位排列的計算，可以用剔除法轉化為2個、3個、4個元素的錯位排列的問題． 1．排列與組合應用題，主要考查有附加條件的應用問題，解決此類問題通常有三種途徑： ①元素分析法：以元素為主，應先滿足特殊元素的要求，再考慮其他元素； ②位置分析法：以位置為主考慮，即先滿足特殊位置的要求，再考慮其他位置； ③間接法：先不考慮附加條件，計算出排列或組合數，再減去不符合要求的排列數或組合數． 求解時應注意先把具體問題轉化或歸結為排列或組合問題；再通過分析確定運用分類計數原理還是分步計數原理；然后分析題目條件，避免“選取”時重復和遺漏；最后列出式子計算作答． 2．具體的解題策略有： ①對特殊元素進行優(yōu)先安排； ②理解題意后進行合理和準確分類，分類后要驗證是否不重不漏； ③對于抽出部分元素進行排列的問題一般是先選后排，以防出現重復； ④對于元素相鄰的條件，采取捆綁法；對于元素間隔排列的問題，采取插空法或隔板法； ⑤順序固定的問題用除法處理；分幾排的問題可以轉化為直排問題處理； ⑥對于正面考慮太復雜的問題，可以考慮反面． ⑦對于一些排列數與組合數的問題，需要構造模型． 典例分析 基本計數原理的綜合應用 【例1】 用，，，，排成無重復字的五位數，要求偶數字相鄰，奇數字也相鄰，則這樣的五位數的個數是_________．（用數字作答） 【例2】 若自然數使得作豎式加法均不產生進位現象．則稱為“可連數”．例如：是“可連數”，因不產生進位現象；不是“可連數”，因產生進位現象．那么，小于的“可連數”的個數為（ ） A． B． C． D． 【例3】 由正方體的8個頂點可確定多少個不同的平面？ 【例4】 如圖，一個地區(qū)分為5個行政區(qū)域，現給地圖著色，要求相鄰地區(qū)不得使用同一顏色，現有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有 種．（以數字作答） 【例5】 如圖，一環(huán)形花壇分成四塊，現有4種不同的花供選種，要求在每塊里種1種花，且相鄰的2塊種不同的花，則不同的種法總數為（ ） A．96 B．84 C．60 D．48 【例6】 某城市在中心廣場建造一個花圃，花圃分為6個部分（如圖）．現要栽種4種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同樣顏色的花，不同的栽種方法有 種．（以數字作答） 【例7】 分母是385的最簡真分數一共有多少個？并求它們的和． 【例8】 某人有4種顏色的燈泡（每種顏色的燈泡足夠多），要在如圖所示的6個點A、B、C、A1、B1、C1上各裝一個燈泡，要求同一條線段兩端的燈泡不同色，則每種顏色的燈泡都至少用一個的安裝方法共有 種（用數字作答） 【例9】 用，，，，，這個數字，可以組成_______個大于，小于的數字不重復的四位數． 【例10】 某通訊公司推出一組手機卡號碼，卡號的前七位數字固定，從“”到“”共個號碼．公司規(guī)定：凡卡號的后四位帶有數字“”或“”的一律作為“優(yōu)惠卡”，則這組號碼中“優(yōu)惠卡”的個數為（　?。? A． B． C． D． 【例11】 同室人各寫張賀年卡，先集中起來，然后每人從中各拿張別人送出的賀年卡，則張賀年卡不同的分配方式有（ ） A．種 B．種 C．種 D．種 【例12】 某班新年聯歡會原定的6個節(jié)目已排成節(jié)目單，開演前又增加了3個新節(jié)目，如果將這3個節(jié)目插入原節(jié)目單中，那么不同的插法種數為（ ） A． B． C． D． 【例13】 某班學生參加植樹節(jié)活動，苗圃中有甲、乙、丙3種不同的樹苗，從中取出5棵分別種植在排成一排的5個樹坑內，同種樹苗不能相鄰，且第一個樹坑和第5個樹坑只能種甲種樹苗的種法共（ ） A．15種 B．12種 C．9種 D．6種 【例14】 如圖所示，畫中的一朵花，有五片花瓣.現有四種不同顏色的畫筆可供選擇，規(guī)定每片花瓣都要涂色，且只涂一種顏色.若涂完的花中顏色相同的花瓣恰有三片，則不同涂法種數為 （用數字作答）. 【例15】 用到這個數字，可以組成沒有重復數字的三位偶數的個數為（ ） A． B． C． D． 【例16】 用紅、黃、藍三種顏色之一去涂圖中標號為的個小正方形（如圖），使得任意相鄰（有公共邊的）小正方形所涂顏色都不相同，且“、、”號數字涂相同的顏色，則符合條件的所有涂法共有（ ）種． A． B． C． D． 【例17】 足球比賽的計分規(guī)則是：勝一場得3分，平一場得1分，負一場得0分，那么一個隊打14場共得19分的情況有（ ） A．種 B．種 C．種 D．種