2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3數(shù)學(xué)歸納法教案 新人教A版選修2-2.doc

2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3數(shù)學(xué)歸納法教案 新人教A版選修2-2教學(xué)建議1.教材分析數(shù)學(xué)歸納法是一種直接證明的方法,僅適用于與正整數(shù)有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的證明.本節(jié)通過(guò)類(lèi)比多米諾骨牌游戲,得出數(shù)學(xué)歸納法的兩個(gè)步驟,然后通過(guò)兩個(gè)例題介紹數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用.重點(diǎn):數(shù)學(xué)歸納法的原理及應(yīng)用.難點(diǎn):數(shù)學(xué)歸納法的思想實(shí)質(zhì)及在歸納推理中發(fā)現(xiàn)具體問(wèn)題的遞推關(guān)系.2.主要問(wèn)題及教學(xué)建議(1)關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法所證結(jié)論的正確性.建議教師就歸納推理的幾種情形介紹一下.不完全歸納:只考察了部分對(duì)象,結(jié)論不一定正確.完全歸納(枚舉法):考察了問(wèn)題所涉及的所有對(duì)象,結(jié)論一定正確.數(shù)學(xué)歸納法:通過(guò)有限個(gè)步驟的推理,證明了n取無(wú)限多個(gè)正整數(shù)時(shí)的情形,本質(zhì)上相當(dāng)于完全歸納,結(jié)論是正確的.(2)對(duì)于假設(shè)的使用.建議教師通過(guò)具體例子,說(shuō)明證明過(guò)程中不用假設(shè)也能證出某些題目,但不是數(shù)學(xué)歸納法證明,也就不必再按數(shù)學(xué)歸納法的步驟進(jìn)行.備選習(xí)題1.證明:如果x是實(shí)數(shù),且x>-1,x0,n為大于1的自然數(shù),那么(1+x)n>1+nx.證明:(1)當(dāng)n=2時(shí),左邊=(1+x)2=1+2x+x2,右邊=1+2x,因?yàn)閤0,所以不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)不等式成立,即(1+x)k>1+kx.那么當(dāng)n=k+1時(shí),左邊=(1+x)k+1=(1+x)k(1+x),因?yàn)閤>-1,所以(1+x)k(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx2>1+(k+1)x.所以當(dāng)n=k+1時(shí),不等式成立.由(1)(2)及數(shù)學(xué)歸納法可知所證不等式成立.2.用數(shù)學(xué)歸納法證明62n-1+1(nN*)能被7整除.證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),62-1+1=7,能被7整除.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(kN*,k1)時(shí),62k-1+1能被7整除.那么當(dāng)n=k+1時(shí),62(k+1)-1+1=62k-1+2+1=36(62k-1+1)-35.62k-1+1能被7整除,35也能被7整除,當(dāng)n=k+1時(shí),62(k+1)-1+1能被7整除.由(1)(2)知命題成立.3.試比較2n與n2(n5,nN*)的大小.解:當(dāng)n=5時(shí),25>52,即2n>n2.當(dāng)n=6時(shí),26>62,即2n>n2;猜想:當(dāng)n5,nN*時(shí),2n>n2.下面用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想成立:(1)當(dāng)n=5時(shí),猜想成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k5,kN*)時(shí)猜想成立,即2k>k2,那么,當(dāng)n=k+1時(shí),2k+1=22k>2k2=k2+k2>k2+(2k+1)=(k+1)2,即當(dāng)n=k+1也成立.根據(jù)(1)和(2),可知當(dāng)n5時(shí),2n>n2對(duì)任何nN*都成立(n5).