2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時(shí)提升練67 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用 理 新人教版.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 課時(shí)提升練67 數(shù)學(xué)歸納法及其應(yīng)用 理 新人教版 一、選擇題 1．(xx德州模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明“1＋2＋22＋…＋2n＋2＝2n＋3－1”，在驗(yàn)證n＝1時(shí)，左邊計(jì)算所得的式子為(　　) A．1　　　　　　　 B．1＋2 C．1＋2＋22 D．1＋2＋22＋23 【解析】　當(dāng)n＝1時(shí)，左邊＝1＋2＋22＋23. 【答案】　D 2．用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n12…(2n－1)(n∈N＋)”時(shí)，從“n＝k到n＝k＋1”時(shí)，左邊應(yīng)增添的式子是(　　) A．2k＋1 B．2k＋3 C．2(2k＋1) D．2(2k＋3) 【解析】　當(dāng)n＝k時(shí)，等式左端＝(k＋1)(k＋2)…(k＋k) 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，等式左端＝(k＋2)(k＋3)…(k＋k)(k＋k＋1)(k＋1＋k＋1) 故從“n＝k”到“n＝k＋1”時(shí)，左邊應(yīng)增添式子2(2k＋1)． 【答案】　C 3．平面內(nèi)有n條直線(xiàn)，最多可將平面分成f(n)個(gè)區(qū)域，則f(n)的表達(dá)式為(　　) A．n＋1 B．2n C. D．n2＋n＋1 【解析】　1條直線(xiàn)將平面分成1＋1個(gè)區(qū)域；2條直線(xiàn)最多可將平面分成1＋(1＋2)＝4個(gè)區(qū)域；3條直線(xiàn)最多可將平面分成1＋(1＋2＋3)＝7個(gè)區(qū)域；……；n條直線(xiàn)最多可將平面分成1＋(1＋2＋3＋…＋n)＝1＋＝區(qū)域，選C. 【答案】　C 4．(xx瀏陽(yáng)模擬)用數(shù)學(xué)歸納法證明命題“當(dāng)n是正奇數(shù)時(shí)，xn＋yn能被x＋y整除”，在第二步時(shí)，正確的證法是(　　) A．假設(shè)n＝k(k∈N＋)，證明n＝k＋1命題成立 B．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋1命題成立 C．假設(shè)n＝2k＋1(k∈N＋)，證明n＝k＋1命題成立 D．假設(shè)n＝k(k是正奇數(shù))，證明n＝k＋2命題成立 【解析】　相鄰兩個(gè)正奇數(shù)相差2，故D選項(xiàng)正確． 【答案】　D 5．某個(gè)命題與自然數(shù)n有關(guān)，若n＝k(k∈N*)時(shí)命題成立，那么可推得當(dāng)n＝k＋1時(shí)該命題也成立，現(xiàn)已知n＝5時(shí)，該命題不成立，那么可以推得(　　) A．n＝6時(shí)該命題不成立 B．n＝6時(shí)該命題成立 C．n＝4時(shí)該命題不成立 D．n＝4時(shí)該命題成立 【解析】　結(jié)合命題間的關(guān)系可知，當(dāng)n＝k＋1時(shí)命題不成立，則n＝k時(shí)命題也不成立．故選C. 【答案】　C 6．(xx安慶模擬)已知1＋23＋332＋433＋…＋n3n－1＝3n(na－b)＋c對(duì)一切n∈N*都成立，則a、b、c的值為(　　) A．a(chǎn)＝，b＝c＝ B．a(chǎn)＝b＝c＝ C．a(chǎn)＝0，b＝c＝ D．不存在這樣的a、b、c 【解析】　由于該等式對(duì)一切n∈N*都成立， 不妨取n＝1,2,3，則有 解得a＝，b＝c＝. 【答案】　A 二、填空題 7．用數(shù)學(xué)歸納法證明1＋＋＋…＋＜n(n∈N，且n＞1)，第一步要證的不等式是________． 【解析】　∵n＞1且n∈N， ∴當(dāng)n＝2時(shí)，1＋＋＜2. 【答案】　1＋＋＜2 8．在數(shù)列{an}中，a1＝，且Sn＝n(2n－1)an，通過(guò)求a2，a3，a4，猜想an的表達(dá)式為_(kāi)_______． 【解析】　由a1＝，Sn＝n(2n－1)an求得a2＝＝，a3＝＝，a4＝＝. 猜想an＝. 【答案】　an＝ 9．凸n多邊形有f(n)條對(duì)角線(xiàn)．則凸(n＋1)邊形的對(duì)角線(xiàn)的條數(shù)f(n＋1)與f(n)的遞推關(guān)系式為_(kāi)_______． 【解析】　f(n＋1)＝f(n)＋(n－2)＋1＝f(n)＋n－1. 【答案】　f(n＋1)＝f(n)＋n－1 三、解答題 10．用數(shù)學(xué)歸納法證明：對(duì)一切大于1的自然數(shù)，不等式…＞均成立． 【證明】　①當(dāng)n＝2時(shí)，左邊＝1＋＝，右邊＝. ∵左邊＞右邊，∴不等式成立． ②假設(shè)當(dāng)n＝k(k≥2，且k∈N*)時(shí)不等式成立． 即…＞. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)， …＞＝＝＞＝＝. ∴當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 由①②知，對(duì)于一切大于1的自然數(shù)n，不等式都成立． 11．(xx大連模擬)若不等式＋＋…＋＞對(duì)一切正整數(shù)n都成立，猜想正整數(shù)a的最大值，并證明結(jié)論． 【解】　當(dāng)n＝1時(shí)，＋＋＞， 即＞，所以a＜26，而a是正整數(shù)． 所以取a＝25. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ＋＋…＋＞. ①當(dāng)n＝1時(shí)，已證： ②假設(shè)當(dāng)n＝k時(shí)，不等式成立，即＋＋…＋＞. 則當(dāng)n＝k＋1時(shí)，有＋＋…＋ ＝＋＋…＋＋＋＋－ ＞＋. 因?yàn)椋剑? 所以＋－＞0. 所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，不等式也成立． 由①②知，對(duì)一切正整數(shù)n， 都有＋＋…＋＞， 所以a的最大值等于25. 12．是否存在正整數(shù)m使得f(n)＝(2n＋7)3n＋9對(duì)任意自然數(shù)n都能被m整除？若存在，求出最大的m的值，并證明你的結(jié)論；若不存在，說(shuō)明理由． 【解】　由f(n)＝(2n＋7)3n＋9得， f(1)＝36，f(2)＝336，f(3)＝1036，f(4)＝3436，由此猜想：m＝36. 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當(dāng)n＝1時(shí)，顯然成立； ②假設(shè)n＝k時(shí)，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k＋7)3k＋9能被36整除； 當(dāng)n＝k＋1時(shí)，[2(k＋1)＋7]3k＋1＋9＝(2k＋7)3k＋1＋27－27＋23k＋1＋9 ＝3[(2k＋7)3k＋9]＋18(3k－1－1)， 由于3k－1－1是2的倍數(shù)，故18(3k－1－1)能被36整除，所以當(dāng)n＝k＋1時(shí)，f(k＋1)也能被36整除． 由①②可知對(duì)一切正整數(shù)n都有f(n)＝(2n＋7)3n＋9能被36整除，m的最大值為36.