2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 10.5 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)教案 理 新人教A版.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 10.5 直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)教案 理 新人教A版 典例精析 題型一　面面垂直的判定與性質(zhì) 【例1】 平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與平面α、β所成的角分別為和，求AB與α，β的交線l所成的角的大小. 【解析】過(guò)A、B分別作AA′⊥l，BB′⊥l，垂足分別為A′、B′，則AA′⊥β，BB′⊥α. 連接A′B，AB′，則∠ABA′＝，∠BAB′＝. 設(shè)AB＝1，則AA′＝，AB′＝，BB′＝，所以A′B′＝. 過(guò)B作BC∥l且BC＝，連接A′C、AC，則∠ABC為AB與l所成的角， 因?yàn)锳′B′BC，且B′B⊥A′B′，所以A′B′BC為矩形，所以A′C⊥BC. 又因?yàn)锳A′⊥BC，AA′∩A′C＝A′，所以BC⊥平面AA′C，所以AC⊥BC. 在Rt△ACB中，cos∠ABC＝＝， 所以∠ABC＝，即AB與l所成的角為. 【點(diǎn)撥】此題關(guān)鍵是根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，構(gòu)造直角三角形. 【變式訓(xùn)練1】如圖一所示，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面為正方形，O1、O分別為上、下底面的中心，且A1在底面ABCD內(nèi)的射影是O. 求證：平面O1DC⊥平面ABCD. 【證明】要證明平面O1DC與平面ABCD垂直，考慮到圖中已知平面ABCD的垂線A1O，因而設(shè)法在平面O1DC中找出A1O的平行線. 如圖二所示，連接AC，BD，A1C1，則O為AC、BD的交點(diǎn)，O1為A1C1、B1D1的交點(diǎn). 由棱柱的性質(zhì)知：A1O1∥OC，且A1O1＝OC， 所以四邊形A1OCO1為平行四邊形，所以A1O∥O1C. 又A1O⊥平面ABCD，所以O(shè)1C⊥平面ABCD， 又O1C?平面O1DC，所以平面O1DC⊥平面ABCD. 題型二　線面垂直的判定與性質(zhì) 【例2】 Rt△ABC所在平面外一點(diǎn)S滿足SA＝SB＝SC，D為斜邊AC的中點(diǎn). (1)求證：SD⊥平面ABC； (2)若AB＝BC，求證：BD⊥平面SAC. 【證明】(1)設(shè)E是AB的中點(diǎn). 因?yàn)镈是AC的中點(diǎn). 所以DE∥BC，又BC⊥AB，所以DE⊥AB. 因?yàn)镾A＝SB，所以SE⊥AB，又SE∩DE＝E，所以AB⊥平面SDE， 而SD?平面SDE，所以AB⊥SD， 又SA＝SC，D為AC的中點(diǎn)，所以SD⊥AC. 而AB∩AC＝A，所以SD⊥平面ABC. (2)若AB＝BC，則BD⊥AC. 又由(1)知，SD⊥平面ABC，所以SD⊥BD，而SD∩AC＝D， 所以BD⊥平面SAC. 【點(diǎn)撥】證明直線與平面垂直，關(guān)鍵在于證明直線與平面內(nèi)的兩相交直線垂直. 【變式訓(xùn)練2】如圖，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90，BC1⊥AC，則C1在上底面ABC上的射影H必在(　　) A.直線AB上 B.直線BC上 C.直線AC上 D.△ABC內(nèi)部 【解析】選A. 題型三　折疊問(wèn)題 【例3】 在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45，∠BAD＝90，將△ABD沿對(duì)角線BD折起，記折起后點(diǎn)A的位置為P，且使平面PBD⊥平面BCD，如圖所示： (1)求證：平面PBC⊥平面PDC； (2)在折疊前的四邊形ABCD中，作AE⊥BD于E，過(guò)E作EF⊥BC于F，求折疊后的圖形中∠PFE的正切值. 【解析】(1)折疊前，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BAD＝90，所以△ABD為等腰直角三角形. 又因?yàn)椤螧CD＝45，所以∠BDC＝90. 折疊后，因?yàn)槠矫鍼BD⊥平面BCD，CD⊥BD， 所以CD⊥平面PBD，又因?yàn)镻B?平面PBD，所以CD⊥PB. 又因?yàn)镻B⊥PD，PD∩CD＝D，所以PB⊥平面PDC， 又PB?平面PBC，故平面PBC⊥平面PDC. (2)AE⊥BD，EF⊥BC，折疊后的這些位置關(guān)系不變，所以PE⊥BD， 又平面PBD⊥平面BCD，所以PE⊥平面BCD，所以PE⊥EF， 設(shè)AB＝AD＝a，則BD＝a，所以PE＝a＝BE， 在Rt△BEF中，EF＝BEsin 45＝a＝a. 在Rt△PFE中，tan∠PFE＝＝＝. 【點(diǎn)撥】翻折與展開(kāi)是一個(gè)問(wèn)題的兩個(gè)方面，不論是翻折還是展開(kāi)，均要注意平面圖形與立體圖形各個(gè)對(duì)應(yīng)元素的相對(duì)變化，元素間的大小與位置關(guān)系.一般而言，在翻折過(guò)程中， 處在同一個(gè)半平面內(nèi)的元素是不變的，弄清這一點(diǎn)是解決這類問(wèn)題的關(guān)鍵. 【變式訓(xùn)練3】如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB＝60，AB＝2，AD＝4.將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD. (1)求證：AB⊥DE； (2)求三棱錐E－ABD的側(cè)面積. 【解析】(1)證明：在△ABD中， 因?yàn)锳B＝2，AD＝4，∠DAB＝60， 所以BD＝＝2. 所以AB2＋BD2＝AD2，所以AB⊥BD. 又因?yàn)槠矫鍱BD⊥平面ABD，平面EBD∩平面ABD＝BD，AB?平面ABD， 所以AB⊥平面EBD. 因?yàn)镈E?平面EBD，所以AB⊥DE. (2)由(1)知AB⊥BD. 因?yàn)镃D∥AB，所以CD⊥BD. 從而DE⊥BD. 在Rt△DBE中，因?yàn)镈B＝2，DE＝DC＝AB＝2， 所以S△BDE＝DBDE＝2. 又因?yàn)锳B⊥平面EBD，BE?平面EBD，所以AB⊥BE. 因?yàn)锽E＝BC＝AD＝4，所以S△ABE＝ABBE＝4. 因?yàn)镈E⊥BD，平面EBD⊥平面ABD，所以ED⊥平面ABD， 而AD?平面ABD，所以ED⊥AD，所以S△ADE＝ADDE＝4. 綜上，三棱錐E-ABD的側(cè)面積S=8+2. 總結(jié)提高 垂直關(guān)系是空間元素間的重要位置關(guān)系之一，是立體幾何中的重點(diǎn)，也是歷年來(lái)高考考查的點(diǎn).解此類題的關(guān)鍵是三種垂直關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化.