2019-2020年高二數(shù)學(xué)上 7.5 曲線的方程(二)優(yōu)秀教案.doc
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2019-2020年高二數(shù)學(xué)上 7.5 曲線的方程(二)優(yōu)秀教案 教學(xué)目的: 1.了解什么叫軌跡,并能根據(jù)所給的條件,選擇恰當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系求曲線的軌跡方程,畫出方程所表示的曲線 2.在形成概念的過程中,培養(yǎng)分析、抽象和概括等思維能力,掌握形數(shù)結(jié)合、函數(shù)與方程、化歸與轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想,以及坐標(biāo)法、待定系數(shù)法等常用的數(shù)學(xué)方法 3.培養(yǎng)學(xué)生實(shí)事求是、合情推理、合作交流及獨(dú)立思考等良好的個(gè)性品質(zhì),以及主動(dòng)參與、勇于探索、敢于創(chuàng)新的精神 教學(xué)重點(diǎn):求曲線方程的方法、步驟. 教學(xué)難點(diǎn):定義中規(guī)定兩個(gè)關(guān)系(純粹性和完備性) 授課類型:新授課 課時(shí)安排:1課時(shí) 教 具:多媒體、實(shí)物投影儀 教法分析: 第一課時(shí)概念強(qiáng)、思維量大、例題習(xí)題不多使用啟發(fā)方法符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律 第二、第三課時(shí)規(guī)律性強(qiáng),題目多,可結(jié)合實(shí)際靈活采用教學(xué)方法.在探索一般性解題方法時(shí),可采用發(fā)現(xiàn)法教學(xué),在方法的應(yīng)用及拓廣時(shí),可采用歸納法;在訓(xùn)練與反饋部分,則主要采用講練結(jié)合法進(jìn)行 教學(xué)過程: 一、復(fù)習(xí)引入: 1.“曲線的方程”、“方程的曲線”的定義: 在直角坐標(biāo)系中,如果某曲線C上的點(diǎn)與一個(gè)二元方程的實(shí)數(shù)解建立了如下關(guān)系: (1)曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是這個(gè)方程的解;(純粹性) (2)以這個(gè)方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn).(完備性) 那么,這個(gè)方程叫做曲線的方程;這條曲線叫做方程的曲線 2.定義的理解:在領(lǐng)會(huì)定義時(shí),要牢記關(guān)系(1)、(2)兩者缺一不可,它們都是“曲線的方程”和“方程的曲線”的必要條件.兩者滿足了,“曲線的方程”和“方程的曲線”才具備充分性.只有符合關(guān)系(1)、(2),才能將曲線的研究轉(zhuǎn)化為方程來研究,即幾何問題的研究轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題.這種“以數(shù)論形”的思想是解析幾何的基本思想和基本方法 二、講解新課: 1. 坐標(biāo)法 在笛卡爾以前,人們對(duì)代數(shù)方程已經(jīng)有了一定的研究,但是對(duì)于二元方程的研究較少,因?yàn)榇蠹艺J(rèn)識(shí)到二元方程的解都是不確定的 對(duì)于這種“不定方程”,除了有少數(shù)人研究它的整數(shù)解以外,大多數(shù)人都認(rèn)為研究它是沒有意義的,是不必要的。笛卡爾卻對(duì)對(duì)這個(gè)“沒有意義的課題”賦予了新的生命,他沒有把看成是未知數(shù),而是創(chuàng)造性地把看成是變量(從此,變量引入了數(shù)學(xué)),讓連續(xù)地變,則對(duì)每一個(gè)確定的的值,一般來說都可以從方程算出相應(yīng)的值(這就是函數(shù)思想的萌芽) 然后,他把這些點(diǎn)的集合便構(gòu)成了一條曲線C 由這樣得出的曲線C和方程有非常密切的關(guān)系:曲線上每一個(gè)點(diǎn)的一對(duì)坐標(biāo)都是方程的一個(gè)實(shí)數(shù)解;反之,方程的每一個(gè)實(shí)數(shù)解對(duì)應(yīng)的點(diǎn)都在曲線上 這就是說,曲線上的點(diǎn)集和方程的實(shí)數(shù)解集具有一一對(duì)應(yīng)的關(guān)系 這個(gè)“一一對(duì)應(yīng)”的關(guān)系導(dǎo)致了曲線的研究也可以轉(zhuǎn)化成對(duì)曲線的研究 這種通過研究方程的性質(zhì),間接地來研究曲線性質(zhì)的方法叫做坐標(biāo)法(就是借助于坐標(biāo)系研究幾何圖形的方法) 根據(jù)幾何圖形的特點(diǎn),可以建立不同的坐標(biāo)系 最常用的坐標(biāo)系是直角坐標(biāo)系和極坐標(biāo)。在目前的中學(xué)階段只采用了直角坐標(biāo)系 2.解析幾何的創(chuàng)立意義及其基本問題 在數(shù)學(xué)中,用坐標(biāo)法研究幾何圖形的知識(shí)形成的一門學(xué)科,叫解析幾何 它是一門用代數(shù)方法研究幾何問題的數(shù)學(xué)學(xué)科,產(chǎn)生于十七世紀(jì)初期,法國(guó)數(shù)學(xué)家笛卡爾是解析幾何的奠基人 另一位法國(guó)數(shù)學(xué)家費(fèi)馬也是解析幾何學(xué)的創(chuàng)立者 他們創(chuàng)立解析幾何,在數(shù)學(xué)史上具有劃時(shí)代的意義:一是在數(shù)學(xué)中首次引入了變量的概念,二是把數(shù)與形緊密地聯(lián)系起來了 解析幾何的創(chuàng)立是近代數(shù)學(xué)開端的標(biāo)志,為數(shù)學(xué)的應(yīng)用開辟了廣闊的領(lǐng)域 3.平面解析幾何研究的主要問題 根據(jù)已知條件求出表示平面曲線的方程;通過方程,研究平面曲線的性質(zhì) 本節(jié)主要通過例題的形式學(xué)習(xí)第一個(gè)問題,即如何求曲線的方程 小結(jié)時(shí)總結(jié)出求簡(jiǎn)單的曲線方程的一般步驟 4.求簡(jiǎn)單的曲線方程的一般步驟: (1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系,用有序?qū)崝?shù)對(duì)表示曲線上任意一點(diǎn)M的坐標(biāo); (2)寫出適合條件P的點(diǎn)M的集合; (3)用坐標(biāo)表示條件P(M),列出方程; (4)化方程為最簡(jiǎn)形式; (5)證明以化簡(jiǎn)后的方程的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都是曲線上的點(diǎn) 三、講解范例:選題意圖:考查求軌跡方程的基本方法 例1、設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是 (-1, -1)、(3,7),求線 段AB的垂直平分線方程 . M A B 解:設(shè)M(x,y)是 線段AB的垂直平分線上任意一點(diǎn),也就是點(diǎn)M屬于集合P={M||MA|=|MB|}由兩點(diǎn)間距離公式,點(diǎn)M所適合的條件 可表示為: 將上式兩邊平方,整理得 x+2y-7=0 (1) 證明:方程(1)是線段AB的垂直平分線的方程 1、由求解過程知,垂直平分線上點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程的解. 2、設(shè)(x1,y1)是方程(1)的解, x1+2y1-7=0 ,x1=7-2y1 點(diǎn)M到A、B的距離分別是|MA|= ,|MB|= ∴|MA|=|MB|,即M在線段AB的垂直平分線上 由(1)(2)知方程(1)是線段AB的垂直平分線的方程 例2 點(diǎn)M到兩條互相垂直的直線的距離相等,求點(diǎn)M的軌跡方程. 解:取已知兩條互相垂直的直線為坐標(biāo)軸,建立直角坐標(biāo)系,如圖所示,設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為,點(diǎn)M的軌跡就是到坐標(biāo)軸的距離相等的點(diǎn)的集合 P={M||MR|=|MQ|}, 其中Q、R分別是點(diǎn)M到x軸、y軸的垂線的垂足 因?yàn)辄c(diǎn)M到x軸、y軸的距離分別是它的縱坐標(biāo)和橫坐標(biāo)的絕對(duì)值,所以條件|MR|=|MQ|可寫成||=||即=0 ① 下面證明①是所求軌跡的方程 (1)由求方程的過程可知,曲線上的點(diǎn)的坐標(biāo)都是方程①的解; (2) 設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是方程①的解,那么=0,即 ||=||,而||、||正是點(diǎn)到縱軸、橫軸的距離,因此點(diǎn)到這兩條直線的距離相等,點(diǎn)是曲線上的點(diǎn) 由(1)(2)可知,方程①是所求軌跡的方程,圖形如圖所示. 點(diǎn)評(píng):建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系能使求軌跡方程的過程較簡(jiǎn)單.所求方程的形式較“整齊” 例3 設(shè)A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)是(1,0)、(-1,0),若,求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程 解:設(shè)M的坐標(biāo)為,M屬于集合P={M|}.由斜率公式,點(diǎn)M所適合的條件可表示為 , 整理后得 (≠1) 下面證明 (x≠1)是點(diǎn)M的軌跡方程 (1)由求方程的過程可知,M的坐標(biāo)都是方程 (x≠1)的解; (2)設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是方程 (x≠1)的解, 即, ∴ 由上述證明可知,方程 (x≠1)是點(diǎn)M的軌跡方程 說明:所求的方程后面應(yīng)加上條件x≠1 例4 已知一條曲線在軸的上方,它上面的每一個(gè)點(diǎn)到A(0,2)的距離減去它到軸的距離的差都是2,求這條曲線的方程 分析:這條曲線是到A點(diǎn)的距離與其到軸的距離的差是2的點(diǎn)的集合或軌跡的一部分 解:設(shè)點(diǎn)是曲線上任意一點(diǎn),MB⊥軸,垂足是B,那么點(diǎn)M屬于集合P={M||MA|-|MB|=2} 即 =2 整理得 , ∴ 因?yàn)榍€在軸的上方,所以y>0,雖然原點(diǎn)O的坐標(biāo)(0,0)是這個(gè)方程的解,但不屬于已知曲線,所以曲線的方程應(yīng)是: (≠0) 它的圖形是關(guān)于軸對(duì)稱的拋物線,但不包括拋物線的頂點(diǎn) 例5 在△ABC中,已知頂點(diǎn)A(1,1),B(3,6)且△ABC的面積等于3,求頂點(diǎn)的軌跡方程 解:設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,作H⊥AB于H,則動(dòng)點(diǎn)C屬于集合P={|}, ∵ ∴直線AB的方程是,即. ∴|CH|= 化簡(jiǎn),得|-3|=6,即-9=0或+3=0,這就是所求頂點(diǎn)的軌跡方程. 點(diǎn)評(píng):頂點(diǎn)的軌跡方程,就是定直線AB的距離等于的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程 例6 已知△ABC,,第三個(gè)頂點(diǎn)在曲線上移動(dòng),求△ABC的重心的軌跡方程 解:設(shè)△ABC的重心為,頂點(diǎn)的坐標(biāo)為,由重心坐標(biāo)公式得 代入得3 ,即為所求軌跡方程 說明:在這個(gè)問題中,動(dòng)點(diǎn)與點(diǎn)之間有關(guān)系,寫出與之間的坐標(biāo)關(guān)系,并用的坐標(biāo)表示的坐標(biāo),而后代入的坐標(biāo)所滿足的關(guān)系式化簡(jiǎn)整理即得所求,這種方法叫相關(guān)點(diǎn)法 四、課堂練習(xí): 1.求點(diǎn)P到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線+5=0的距離小1的點(diǎn)的軌跡方程 解:設(shè)P為所求軌跡上任意一點(diǎn), ∵點(diǎn)P到F的距離比它到直線+5=0的距離小1. 故點(diǎn)P到F(4,0)的距離與點(diǎn)P到直線+4=0的距離|PD|相等 ∴|PF|=|PD| ∴=|-(-4)| ∴ 2.過點(diǎn)P(2,4)作互相垂直的直線,,若交軸于A,交軸于B,求線段AB中點(diǎn)M的軌跡方程 解法一:設(shè)M為所求軌跡上任一點(diǎn), ∵M(jìn)為AB中點(diǎn),∴A(2,0),B(0,2), ∵⊥且,過點(diǎn)P(2,4),∴PA⊥PB ∴ ∵=(x≠1),= ∴ =-1 即 +2-5=0(≠1) 當(dāng)=1時(shí),A(2,0)、B(0,4),此時(shí)AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,2),它也滿足方程+2-5=0. ∴所求點(diǎn)M的軌跡方程為+2-5=0 解法二:連結(jié)PM. 設(shè)M,則A(2,0),B(0,2) ∵⊥,∴△PAB為直角三角形 ∴|PM|=|AB| 即 化簡(jiǎn):+2-5=0 ∴所求點(diǎn)M的軌跡方程為+2-5=0 五、小結(jié) :求簡(jiǎn)單的曲線方程的一般步驟 六、課后作業(yè): 七、板書設(shè)計(jì)(略) 八、課后記:- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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