2019-2020年高二數(shù)學上冊 7.5《數(shù)學歸納法的應用》教案 滬教版.doc

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2019-2020年高二數(shù)學上冊 7.5《數(shù)學歸納法的應用》教案 滬教版 一、教學內(nèi)容分析 1． 本小節(jié)的重點是用數(shù)學歸納法證明等式、證明數(shù)或式的整除.教學時應對書寫與表達提出嚴格的要求.尤其是在證明數(shù)或式的整除性時，更要注意說理清楚，并以此作為培養(yǎng)學生邏輯推理能力的一個抓手. 2． 本小節(jié)的難點是用數(shù)學歸納法證明數(shù)或式的整除性.突破難點的關鍵是在授課時要重點分析“補項法”的證明思路：通過補項為運用歸納假設創(chuàng)造條件.不要讓學生單純機械地模仿.另外還常用作差方法，通過相減后，證明差能被某數(shù)（或某式）整除,再利用歸納假設可得當n=k+1時命題成立. 二、教學目標設計 1．會用數(shù)學歸納法證明等式； 2．會用數(shù)學歸納法證明數(shù)或式的整除； 3．進一步掌握數(shù)學歸納法的證明步驟與數(shù)學歸納法的實質. 三、教學重點及難點： 用數(shù)學歸納法證明等式、證明數(shù)或式的整除. 四、教學流程設計 運用與深化(例題解析、鞏固練習、課后習題) 數(shù)式整除 實例引入 等式證明 復習回顧 五、教學過程設計 1．復習回顧： 用數(shù)學歸納法證明命題的兩個步驟，是缺一不可的.如果只完成步驟（i）而缺少步驟（ii）不能說明命題對從n0開始的一切正整數(shù)n都成立. 如+1，當n=0、1、2、3、4時都是素數(shù)，而n=5時，+1=6416700417不是素數(shù). 同樣只有步驟（ii）而缺少步驟（i），步驟（ii）的歸納假設就沒有根據(jù)，遞推就沒有基礎，就可能得出不正確的結論. 如2+4+6+…+2k=k2+k+a（a為任何數(shù)） 2．講授新課: 用數(shù)學歸納證明等式 例1:用數(shù)學歸納法證明:14+27+310+…+n（3n+1）=n（n+1）2 例2：用數(shù)學歸納法證明：12+22+32+…+n2=n（n+1）（2n+1）. [說明]上述兩例師生共同討論完成.完成兩例討論后向學生指出： (1)由于證明當n=k+1等式成立時，需證明的結論形式是已知的，只要將原等式中的n換成k+1即得，因此學生在證明過程中，證明步驟必須完整，不能跳步驟；（2）有些等式證明題在證明當n=k+1正確時，需用恒等變形，技巧較高，對基礎較差的學生來說完成很困難，這時可通過左、右邊的多項式乘法來完成. 如 求證：… （nN*）. 證明： （1） 當n=1時，左邊=1，右邊=1（4-1）=1等式成立. （2） 假設當n=k（kN*）時等式成立，即, 則n=k+1時， 又 即等式成立. 由（1）（2）知，等式對任何nN*都成立. (3) 用數(shù)學歸納法證明恒等式成立時，在逆推過程中應注意等式左右的項數(shù)的變化.由當n=k到n=k+1時項數(shù)的增加量可能多于一項，各項也因n的變化而變化,因此要根據(jù)等式的特點仔細分析項數(shù)及各項的變化情況. 例如：求證： （*）. 例3 （補充）在1與9之間插入2n-1個正數(shù)數(shù)，使1，，9成等比數(shù)列，在1與9之間又插入2n-1個正數(shù)，使1，，9成等差數(shù)列.設，, （1） 求、 （2） 設，是否存在最大自然數(shù)m，使對于nN*都有被m整除，試說明理由. 解：（1） （2） 當n=1時，=64 當n=2時，=320=564 當n=3時，=3664 由此猜想：最大自然數(shù)m=64 用數(shù)學歸納法證明上述猜想： 1.當n=1時，猜想顯然成立; 2.假設當n=k（kN*）時成立，即能被64整除， 則當n=k+1時， 由歸納假設知能被64整除，又也能被64整除，所以也能被64整除. 由1、2知，能被64整除（nN*）. 又因為，所以存在最大自然數(shù)64，使能被64整除（nN*）. [說明]本例是較難的數(shù)列與數(shù)學歸納法的綜合題.在第（1）小題的解題過程中充分利用了等差、等比數(shù)列的性質，起到了對等差、等比數(shù)列知識的復習作用.本例也可以先將等差、等比數(shù)列的公差d、公比q用n表示，然后求出、（可讓學生完成），同時本例的第（2）小題既復習了用數(shù)學歸納法證明數(shù)式的整除性，又為進一步掌握歸納—猜測—論證的問題提供了保證，是否選用本題教師可根據(jù)學校學生的實際數(shù)學學習水平?jīng)Q定. 3.鞏固練習: 練習7.6(2)1,2,3 4．課后習題： 習題7.5 A組 習題7.5 B組 5.課堂小結: （1）本節(jié)中心內(nèi)容是數(shù)學歸納法的應用，數(shù)學歸納法適用的范圍是：證明某些與連續(xù)自然數(shù)有關的命題； （2）歸納法是一種由特殊到一般的推理方法，分類是完全歸納法和不完全歸納法二種，完全歸納法只局限于有限個元素，而不完全歸納法得出的結論不具有可靠性，必須用數(shù)學歸納法進行嚴格證明; 歸納法是有一系列特殊事例得出一邊結論的推理方法，它屬于歸納推理.而數(shù)學歸納法它是一種演繹推理方法，是一種證明命題的方法！因此，它不屬于“不完全歸納法”！甚至連“歸納法”都不是！ (3)學歸納法作為一種證明方法，它的基本思想是遞推(遞歸)思想，它的證明步驟必須是兩步，最后還要總結；數(shù)學歸納法證題的步驟： ①驗證P()成立. ②假設P(k)成立(k∈N*且k≥)，推證P(k+1)成立. 數(shù)學歸納法的核心，是在驗證P()正確的基礎上，證明P(n)的正確具有遞推性(n≥).第一步是遞推的基礎或起點，第二步是遞推的依據(jù).因此，兩步缺一不可，證明中，恰當?shù)剡\用歸納假設是關鍵. (4)本節(jié)課所涉及到的數(shù)學思想方法有：遞推思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想從這節(jié)課的學習中你有何感想？你能否體會到數(shù)學歸納法的魅力？ 六．教學設計說明 1．數(shù)學歸納法是一種用于證明與自然數(shù)n有關的命題的正確性的證明方法．它的操作步驟簡單、明確，教學重點應該是方法的應用．但是我們認為不能把教學過程當作方法的灌輸，技能的操練．對方法作簡單的灌輸，學生必然疑慮重重．為什么必須是二步呢？于是教師反復舉例，說明二步缺一不可．你怎么知道n=k時命題成立呢？教師又不得不作出解釋，可學生仍未完全接受．學完了數(shù)學歸納法的學生又往往有應該用時但想不起來的問題，等等．為此，我們設想強化數(shù)學歸納法產(chǎn)生過程的教學，把數(shù)學歸納法的產(chǎn)生寓于對歸納法的分析、認識當中，把數(shù)學歸納法的產(chǎn)生與不完全歸納法的完善結合起來．這樣不僅使學生可以看到數(shù)學歸納法產(chǎn)生的背景，從一開始就注意它的功能，為使用它打下良好的基礎，而且可以強化歸納思想的教學，這不僅是對中學數(shù)學中以演繹思想為主的教學的重要補充，也是引導學生發(fā)展創(chuàng)新能力的良機． 數(shù)學歸納法產(chǎn)生的過程分二個階段，第一階段從對歸納法的認識開始，到對不完全歸納法的認識，再到不完全歸納法可靠性的認識，直到怎么辦結束．第二階段是對策醞釀，從介紹遞推思想開始，到認識遞推思想，運用遞推思想，直到歸納出二個步驟結束． 把遞推思想的介紹、理解、運用放在主要位置，必然對理解數(shù)學歸納法的實質帶來指導意義，也是在教學過程中努力挖掘、滲透隱含于教學內(nèi)容中的數(shù)學思想的一種嘗試． 2．在教學方法上，這里運用了在教師指導下的師生共同討論、探索的方法．目的是在于加強學生對教學過程的參與程度．為了使這種參與有一定的智能度，教師應做好發(fā)動、組織、引導和點撥．學生的思維參與往往是從問題開始的，盡快提出適當?shù)膯栴}，并提出思維要求，讓學生盡快投入到思維活動中來，是十分重要的．這就要求教師把每節(jié)課的課題作出層次分明的分解，并選擇適當?shù)膯栴}，把課題的研究內(nèi)容落于問題中，在逐漸展開中，引導學生用已學的知識、方法予以解決，并獲得新的發(fā)展．本節(jié)課的教學設計也想在這方面作些研究． 3．理解數(shù)學歸納法中的遞推思想，還要注意其中第二步，證明n=k+1命題成立時必須用到n=k時命題成立這個條件． 即n=k+1時等式也成立． 這是不正確的．因為遞推思想要求的不是n=k，n=k+1時命題到底成立不成立，而是n=k時命題成立作為條件能否保證n=k+1時命題成立這個結論正確，即要求的這種邏輯關系是否成立．證明的主要部分應改為 以上理解不僅是正確認識數(shù)學歸納法的需要，也為第二步證明過程的設計指明了正確的思維方向．