2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識(shí)精要 14.平面向量教案 新人教A版.doc
2019-2020年高中數(shù)學(xué)知識(shí)精要 14.平面向量教案 新人教A版1、向量有關(guān)概念:(1)向量的概念:既有大小又有方向的量,注意向量和數(shù)量的區(qū)別。向量常用有向線段來(lái)表示,注意不能說(shuō)向量就是有向線段,為什么?(向量可以平移)。如已知A(1,2),B(4,2),則把向量按向量(1,3)平移后得到的向量是_(答:(3,0)(2)零向量:長(zhǎng)度為0的向量叫零向量,記作:,注意零向量的方向是任意的;(3)單位向量:給定一個(gè)非零向量,與同向且長(zhǎng)度為1的向量叫向量的單位向量. 的單位向量是;(4)相等向量:長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量叫相等向量,相等向量有傳遞性;(5)平行向量(也叫共線向量):如果向量的基線互相平行或重合則稱(chēng)這些向量共線或平行,記作:,規(guī)定零向量和任何向量平行。提醒:相等向量一定是共線向量,但共線向量不一定相等;兩個(gè)向量平行與與兩條直線平行是不同的兩個(gè)概念:兩個(gè)平行向量的基線平行或重合, 但兩條直線平行不包含兩條直線重合;平行向量無(wú)傳遞性?。ㄒ?yàn)橛?;三點(diǎn)共線共線;(6)相反向量:長(zhǎng)度相等方向相反的向量叫做相反向量。的相反向量是。如下列命題:(1)若,則。(2)兩個(gè)向量相等的充要條件是它們的起點(diǎn)相同,終點(diǎn)相同。(3)若,則是平行四邊形。(4)若是平行四邊形,則。(5)若,則。(6)若,則。其中正確的是_(答:(4)(5)2、向量的表示方法:(1)幾何表示法:用帶箭頭的有向線段表示,如,注意起點(diǎn)在前,終點(diǎn)在后;(2)符號(hào)表示法:用一個(gè)小寫(xiě)的英文字母來(lái)表示,如,等;(3)坐標(biāo)表示法:在平面內(nèi)建立直角坐標(biāo)系,以與軸、軸方向相同的兩個(gè)單位向量,為基底,則平面內(nèi)的任一向量可表示為,稱(chēng)為向量的坐標(biāo),叫做向量的坐標(biāo)表示。如果向量的起點(diǎn)在原點(diǎn),那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)相同。提醒:向量的起點(diǎn)不在原點(diǎn),那么向量的坐標(biāo)與向量的終點(diǎn)坐標(biāo)就不相同. 如(04年上海卷.文6)已知點(diǎn)A(-1,5)和向量,若,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 . (5,4)3.平面向量的基本定理:如果e1和e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量,那么對(duì)該平面內(nèi)的任一向量a,有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)、,使a=e1e2,e1、e2稱(chēng)為一組基底.注:這為我們用向量解決問(wèn)題提供了一種方向:把參與的向量用一組基底表示出來(lái),使其關(guān)系容易溝通如(1)若,則_(答:);(2)下列向量組中,能作為平面內(nèi)所有向量基底的是 A. B. C. D. (答:B);(3)已知分別是的邊上的中線,且,則可用向量表示為_(kāi)(答:);(4)已知中,點(diǎn)在邊上,且,則的值是_(答:0)4、實(shí)數(shù)與向量的積:實(shí)數(shù)與向量的積是一個(gè)向量,記作,它的長(zhǎng)度和方向規(guī)定如下:當(dāng)>0時(shí),的方向與的方向相同,當(dāng)<0時(shí),的方向與的方向相反,當(dāng)0時(shí),注意:0。5、平面向量的數(shù)量積:(1)兩個(gè)向量的夾角:對(duì)于非零向量,作,稱(chēng)為向量,的夾角,當(dāng)0時(shí),同向,當(dāng)時(shí),反向,當(dāng)時(shí),垂直。提醒:(1)向量的夾角要求這兩個(gè)向量同起點(diǎn).(2)角的問(wèn)題(如三角形內(nèi)角)可轉(zhuǎn)化為向量的夾角來(lái)解.(2)平面向量的數(shù)量積:如果兩個(gè)非零向量,它們的夾角為,我們把數(shù)量叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積或點(diǎn)積),記作:,即。規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積是0,注意數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù),不再是一個(gè)向量。如(1)ABC中,則_(答:9);(2)已知,與的夾角為,則等于_(答:1);(3)已知,則等于_(答:);(4)已知是兩個(gè)非零向量,且,則的夾角為_(kāi)(答:)(3)在上的投影為,它是一個(gè)實(shí)數(shù),但不一定大于0。如已知,且,則向量在向量上的投影為_(kāi)(答:)(4)的幾何意義:數(shù)量積等于的模與在上的投影的積。(5)向量數(shù)量積的性質(zhì):設(shè)兩個(gè)非零向量,其夾角為,則:;當(dāng),同向時(shí),特別地,;當(dāng)與反向時(shí),;當(dāng)為銳角時(shí),0,且不同向,是為銳角的必要非充分條件;當(dāng)為鈍角時(shí),0,且不反向,是為鈍角的必要非充分條件; 提醒:(1)若則為銳角或者0角若則為鈍角或者角.(2)|可以用來(lái)證明/.非零向量,夾角的計(jì)算公式:;。如(1)已知,如果與的夾角為銳角,則的取值范圍是_(答:或且); (2)已知的面積為,且,若,則夾角的取值范圍是_(答:);(3) 答案:(4)(04年全國(guó)卷二.理9)已知平面上直線l的方向向量點(diǎn)和在l上的射影分別是O和A,則,其中=(D ).ABC2D2(5)設(shè)平面上有四個(gè)互異的點(diǎn) A、B、C、D,已知?jiǎng)tABC 的形狀是(B)A .直角三角形 B. 等腰三角形C .等腰直角三角形 D .等邊三角形(6)已知與之間有關(guān)系式,用表示;求的最小值,并求此時(shí)與的夾角的大?。ù穑?;最小值為,)6、向量的運(yùn)算:(1)幾何運(yùn)算:向量加法:利用“平行四邊形法則”進(jìn)行,但“平行四邊形法則”只適用于不共線的向量,如此之外,向量加法還可利用“三角形法則”:設(shè),那么向量叫做與的和,即;提醒:平行四邊形法則要求參與加法的兩個(gè)向量的起點(diǎn)相同,三角形法則要求參與加法的兩個(gè)向量的首尾相接.可推廣到(據(jù)此,可根據(jù)需要在一個(gè)向量的兩個(gè)端點(diǎn)之間任意插點(diǎn))向量的減法:用“三角形法則”:設(shè),由減向量的終點(diǎn)指向被減向量的終點(diǎn)。注意:此處減向量與被減向量的起點(diǎn)相同,指向被減向量(用向量的減法來(lái)引進(jìn)新的起點(diǎn)或者消去不必要的起點(diǎn))。向量加減運(yùn)算的運(yùn)算結(jié)果非0,在移項(xiàng)時(shí)要注意.容易得出:|+|如(1)化簡(jiǎn):_;_;_(答:;);(2)若正方形的邊長(zhǎng)為1,則_(答:);(3)若O是所在平面內(nèi)一點(diǎn),且滿足,則的形狀為_(kāi)(答:直角三角形);(4)若為的邊的中點(diǎn),所在平面內(nèi)有一點(diǎn),滿足,設(shè),則的值為_(kāi)(答:2);(5)若點(diǎn)是的外心,且,則的內(nèi)角為_(kāi)(答:);(6)(04年全國(guó)卷二.文9)已知向量、滿足:|=1,|=2,|=2,則|=( D ). A1 B C D(7)已知ABC 的三個(gè)頂點(diǎn) A、B、C 及平面內(nèi)一點(diǎn) P 滿足,則點(diǎn) P 與ABC 的關(guān)系為( D )A .P 在 ABC 內(nèi)部 B. P 在 ABC 外部C .P 在 AB 邊所在直線上 D. P 是 AC 邊的一個(gè)三等分點(diǎn)(2)坐標(biāo)運(yùn)算:設(shè),則:向量的加減法運(yùn)算:,。如(1)已知點(diǎn),若,則當(dāng)_時(shí),點(diǎn)P在第一、三象限的角平分線上(答:);(2)已知,則 (答:或);(3)已知作用在點(diǎn)的三個(gè)力,則合力的終點(diǎn)坐標(biāo)是 (答:(9,1)實(shí)數(shù)與向量的積:。若,則,即一個(gè)向量的坐標(biāo)等于表示這個(gè)向量的有向線段的終點(diǎn)坐標(biāo)減去起點(diǎn)坐標(biāo)。如設(shè),且,則C、D的坐標(biāo)分別是_(答:);平面向量數(shù)量積:。如已知向量(sinx,cosx), (sinx,sinx), (1,0)。(1)若x,求向量、的夾角;(2)若x,函數(shù)的最大值為,求的值(答:或);向量的模:。距離的求法:轉(zhuǎn)化為向量的數(shù)量積:=如已知均為單位向量,它們的夾角為,那么_(答:); 兩點(diǎn)間的距離:若,則。如如圖,在平面斜坐標(biāo)系中,平面上任一點(diǎn)P關(guān)于斜坐標(biāo)系的斜坐標(biāo)是這樣定義的:若,其中分別為與x軸、y軸同方向的單位向量,則P點(diǎn)斜坐標(biāo)為。(1)若點(diǎn)P的斜坐標(biāo)為(2,2),求P到O的距離PO;(2)求以O(shè)為圓心,1為半徑的圓在斜坐標(biāo)系中的方程。(答:(1)2;(2);7、向量的運(yùn)算律:(1)交換律:,;(2)結(jié)合律:,;(3)分配律:,。如下列命題中: ; ; ; 若,則或;若則;。其中正確的是_(答:)提醒:(1)向量運(yùn)算和實(shí)數(shù)運(yùn)算有類(lèi)似的地方也有區(qū)別:對(duì)于一個(gè)向量等式,可以移項(xiàng),兩邊平方、兩邊同乘以一個(gè)實(shí)數(shù),兩邊同時(shí)取模,兩邊同乘以一個(gè)向量,但不能兩邊同除以一個(gè)向量,即兩邊不能約去一個(gè)向量,切記兩向量不能相除(相約);(2)向量的“乘法”不滿足結(jié)合律,即,為什么?8、向量平行(共線)的充要條件:(1) 向量與非零向量共線的充要條件是有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù),使得b=實(shí)數(shù)是唯一存在的,當(dāng)與同向時(shí),>0;當(dāng)與異向時(shí),<0。|=|的大小由及的模確定。因此,當(dāng),確定時(shí),的符號(hào)與大小就確定了。這就是實(shí)數(shù)乘向量中的幾何意義。 (2) 若=(),b=(),則(3)如(1)若向量,當(dāng)_時(shí)與共線且方向相同(答:2);(2)已知,且,則x_(答:4);(3)設(shè),則k_時(shí),A,B,C共線(答:2或11)(04年上海卷.理6)已知點(diǎn),若向量與同向, =,則點(diǎn)B的坐標(biāo)為 .證明平行問(wèn)題通常是取得對(duì)應(yīng)的線段來(lái)構(gòu)造向量,然后證明向量平行9、向量垂直的充要條件: .特別地。如(1)已知,若,則 (答:);(2)以原點(diǎn)O和A(4,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角三角形OAB,則點(diǎn)B的坐標(biāo)是_ (答:(1,3)或(3,1);(3)已知向量,且,則的坐標(biāo)是_ (答:)(2)向量平移具有坐標(biāo)不變性,可別忘了?。∪纾?)按向量把平移到,則按向量把點(diǎn)平移到點(diǎn)_(答:(,);(2)函數(shù)的圖象按向量平移后,所得函數(shù)的解析式是,則_(答:)證明垂直問(wèn)題通常是取得對(duì)應(yīng)的線段來(lái)構(gòu)造向量,然后證明向量垂直10.向量中一些常用的結(jié)論:(1)一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量,要注意運(yùn)用;(2),特別地,當(dāng)同向或有;當(dāng)反向或有;當(dāng)不共線(這些和實(shí)數(shù)比較類(lèi)似).(3)在中,若,則其重心的坐標(biāo)為。如若ABC的三邊的中點(diǎn)分別為(2,1)、(-3,4)、(-1,-1),則ABC的重心的坐標(biāo)為_(kāi)(答:);為的重心,特別地為的重心;為的垂心;向量所在直線過(guò)的內(nèi)心(是的角平分線所在直線);的內(nèi)心;(3)向量中三終點(diǎn)共線存在實(shí)數(shù)使得且.如平面直角坐標(biāo)系中,為坐標(biāo)原點(diǎn),已知兩點(diǎn),若點(diǎn)滿足,其中且,則點(diǎn)的軌跡是_(答:直線AB)