2019-2020年高中數(shù)學選修1-1橢圓的簡單幾何性質(zhì)教案.doc

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2019-2020年高中數(shù)學選修1-1橢圓的簡單幾何性質(zhì)教案 （一）教學目標 　　掌握橢圓的范圍、對稱性、頂點、離心率這四個幾何性質(zhì)，掌握標準方程中 、 以及 、 的幾何意義， 、 、 、 之間的相互關系，明確怎樣用代數(shù)的方法研究曲線的幾何性質(zhì)． （二）教學過程 【復習引入】 由學生口述，教師板書： 問題1．橢圓的標準方程是怎樣的？ 問題2．在直角坐標系內(nèi)，關于 軸、 軸、原點對稱的點的坐標之間有什么關系？ 【探索研究】 1．橢圓的幾何性質(zhì) 　　根據(jù)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形，是解析幾何的基本問題之一．根據(jù)曲線的條件列出方程．如果說是解析幾何的手段，那么根據(jù)曲線的方程研究曲線的性質(zhì)、畫圖、就可以說是解析幾何的目的． 　　下面我們根據(jù)橢圓的標準方程 來研究橢圓的幾何性質(zhì)． 　?。?）范圍 　　引導學生從標準方程 ，得出不等式 ， ，即 ， ．這說明橢圓的直線 和直線 所圍成的矩形里（如圖），注意結合圖形講解，并指出描點畫圖時，就不能取范圍以外的點． 　　（2）對稱性 　　先讓學生閱讀教材中橢圓的幾何性質(zhì)2． 　　設問：為什么“把 換成 ，或把 換 ，或把 、 同時換成 、 時，方程解不變．則圖形關于 軸、 軸或原點對稱”呢？ 　　事實上，在曲線方程里，如果把 換成 ，而方程不變，那么當點 在曲線上時，點 關于 軸的對稱點 也在曲線上，所以曲線關于 軸對稱．類似地可以證明其他兩個命題． 　　同時應向?qū)W生指出：如果曲線具有關于 軸對稱，關于 軸對稱和關于原點對稱中的任意兩種，那么它一定具有另一種對稱． 　　最后強調(diào)： 軸、 軸是橢圓的對稱軸．原點是橢圓的對稱中心即橢圓中心．進而說明橢圓的中心是焦點連線的中點，對稱軸是焦點的連線及其中垂線與坐標系無關．因而是曲線的固有性質(zhì)． 　?。?）頂點 　　引導學生從橢圓的標準方程 分析它與 軸、 軸的交點，只須令 得 ，點 、 是橢圓與 軸的兩個交點；令 得 ，點 、 是橢圓與 軸的兩個交點．應該強調(diào)：橢圓有四個頂點 、 、 、 ． 　　同時還需指出： 　?。?）線段 和 分別叫做橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于 和 ； 　?。?） 、 的幾何意義： 是橢圓長半軸的長， 是橢圓短半軸的長． 　?。?）橢圓的頂點即是橢圓與對稱軸的交點，一般二次曲線的頂點即是曲線與其對稱軸的交點． 　　這時教師可作如下小結：由橢圓的范圍，對稱性和頂點，再進行描點畫圖，只須描出較少的點，就可以得到較正確的圖形． 　?。?）離心率 　　由于離心率的概念比較抽象，教師可直接給出離心率的定義： 　　橢圓的焦距與長軸長的比 ，叫做橢圓的離心率． 　　先分析離心率 的取值范圍： 　　∵ ， ∴ ． 　　再結合圖表分析離心率的大小對橢圓形狀的影響： 　?。?）當 趨近于1時， 趨近于 ，從而 越小，因此橢圓越扁平： 　?。?）當 趨近于0時， 趨近于0，從而 趨近于 ，因此橢圓越接近于圓． 【例題分析】 　　例1 求橢圓 的長軸和短軸的長、離心率、焦點和頂點的坐標，并用描點法畫出它的圖形． 　　分析：只要化為橢圓的標準方程即可求解． 　　解：把已知方程化成標準方程是 　　 　　這里 ， ，∴ ． 　　因此，橢圓的長軸和短軸的長分別是 和 ，離心率 ，兩個焦點分別是 和 ，橢圓的四個頂點是 、 、 、 ． 　　（前一部分請一位學生板演，教師予以糾正，后一部分教師講解，以引起學生重視．）步驟如下： 　　①列表：將已知方程變形為 ， 　　根據(jù)　 ， 　　在 的范圍內(nèi)算出幾個點的坐標 ． 0 1 2 3 4 5 4 3.9 3.7 3.2 2.4 0 ②描點作圖：先描點畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對稱性就可以畫出整個橢圓（如圖）． 　　例2 求適合下列條件的橢圓的標準方程 　?。?）經(jīng)過點 ， ； 　?。?）長軸長等于20，離心率等于 ． 　　解：由橢圓的幾何性質(zhì)可知， 、 分別是橢圓長軸和短軸的一個端點，于是得 ， ．又因為長軸在 軸上，所以所求橢圓的標準方程為 ． 　?。?）由已知得 ， ∴ ， ∴ ． 　　由于橢圓的焦點可能在 軸上，也可能在 軸上，所以所求橢圓的標準方程為 或 ． （三）隨堂練習 　 （四）總結提煉 方程 圖形 范圍 ， ， 對稱性 關于 軸、 軸、坐標原點對稱 關于 軸、 軸、坐標原點對稱 頂點 ， <, /SUB> ， ， ， 離心率 （五）布置作業(yè) （六）板書設計 8.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)（一） （一）復習提問 問題1 問題2 （二）橢圓的幾何性質(zhì) 1． 2． 3． 4． （三）例題與練習 例1 例2 練習 （四）小結 一）教學目標 　　進一步掌握橢圓的幾何性質(zhì)，掌握橢圓的第二定義，能應用橢圓的第二定義解決橢圓的有關問題，明確橢圓的第一定義與橢圓的第二定義是等價的，可以互相推出． （二）教學過程 【復習引入】 　　前一節(jié)學習了橢圓的幾何性質(zhì)，哪一位同學回答： 　　問題1．橢圓有哪些幾何性質(zhì)？ 　　問題2．什么叫做橢圓的離心率？ 　　以上兩個問題學生的回答應該不會有大的問題．教師可進一步提出問題：離心率的幾何意義是什么呢？讓我們先來看一個問題． 　　點 與定點 的距離和它到定直線 的距離的比是常數(shù) （ ），求點 的軌跡． 【探索研究】 橢圓的第二定義． （按求軌跡方程的步驟，學生回答，教師板演．） 　　解：設 是點 直線 的距離，根據(jù)題意，如圖所求軌跡就是集合 　　由此得 ． 　　將上式兩邊平方，并化簡得 　　設 ，就可化成 　　這是橢圓的標準方程，所以點 的軌跡是長軸長為 ，短軸長為 的橢圓． 　　由此可知，當點 與一個定點的距離和它到一條定直線的距離的比是常數(shù) 時，這個點的軌跡是橢圓，一般稱為橢圓的第二定義，定點是橢圓的焦點，定直線叫做橢圓的準線，常數(shù) 是橢圓的離心率． 　　對于橢圓 ，相應于焦點 的準線方程是 ．根據(jù)橢圓的對稱性，相應于焦點 的準線方程是 ，所以橢圓有兩條準線． 　　可見橢圓的離心率就是橢圓上一點到焦點的距離與到相應準線距離的比，這就是離心率的幾何意義． 至此教師可列出下表，由學生歸納． 圖形 相同點 長軸長 短軸長 離心率 不同點 方程 焦點 、 、 頂點 、 、 、 、 準線 【例題分析】 　　例1 求橢圓 的長軸與短軸的長、焦點坐標、頂點坐標、離心率和準線方程．可請一位學生演板，教師糾正，答案為 　　 ， ，焦點 ，頂點 ， ， ，準線方程 ． 　　例2 已知橢圓 上一點 到其左、右焦點距離的比為1：3，求 點到兩條準線的距離． 可在學生練習后請一位學生回答．解答如下： 　　由橢圓標準方程可知 　　 ， ，∴ ， ． 　　由于 ， ． 　　∴ ， ． 　　設 到左準線與右準線的距離分別為 與 ，根據(jù)橢圓的第二定義，有 ∴ ， ． 　　即 到左準線的距離為 ，到右準線的距離為 ． 　　例3 已知橢圓 內(nèi)有一點 ， 是橢圓的右焦點，在橢圓上有一點 ，使 的值最小，求 的坐標．（如圖） 　　分析：若設 ，求出 ，再計算最小值是很繁的．由于 是橢圓上一點到焦點的距離，由此聯(lián)想到橢圓的第二定義，它與到相應準線的距離有關．故有如下解法． 　　解：設 在右準線 上的射影為 ． 由橢圓方程可知 　　 ， 　 ， ． 　　根據(jù)橢圓的第二定義，有 　　即 ． 　　∴ ． 　　顯然，當 、 、 三點共線時， 有最小值． 　　過 作準線的垂線 ． 　　由方程組 解得 ． 　　即 的坐標為 ． （四）總結提煉 　　1．列出橢圓的幾何意義．（投影展示上表）． 　　2．通過橢圓的第二定義，可進一步了解橢圓的離心率的幾何意義，它反映橢圓的圓扁程度，決定著橢圓的形狀．兩準線間的距離為 是不變量． （五）布置作業(yè) （六）板書設計 8.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)（二） （一）復習提問 問題1 問題2 （二）橢圓的第二定義 （三）例題與練習 例1 例2 例3 學生練習 （四）小結 橢圓的簡單幾何性質(zhì)（第三課時） （一）教學目標 　　1．能利用橢圓中的基本量 、 、 、 熟練地求橢圓的標準方程． 　　2．掌握橢圓的參數(shù)方程，會用參數(shù)方程解一些簡單的問題． （二）教學過程 【復習引入】 由一位學生回答，教師板書列表或用投影儀給出． 問題1．橢圓有哪些幾何性質(zhì)？ 問題2．確定橢圓的標準方程需要幾個條件？ 　　通過對橢圓標準方程的討論，研究了橢圓的幾何性質(zhì)，必須掌握標準方程中 、 和 、 的幾何意義以及 、 、 、 之間的相互關系，這樣就可以由橢圓的幾何性質(zhì)確定它的標準方程． 【例題分析】 　　例1 求中心在原點，過點 ，一條準線方程為 的橢圓方程． 　　分析：根據(jù)準線方程可知橢圓的焦點在 軸上，由于思路不同有兩種不同的解法，可讓學生練習后，教師再歸納小結，解法如下： 　　解法一：設橢圓方程為 ． 　　∵點 在橢圓上 　　∴ 即 ① 　　又∵一條準線方程是 　　∴ ② 　　將①、②代入 ，得 　　 整理得 　　解得 或 ． 　　分別代入①得 或 ． 　　故所求橢圓方程為 或 ． 　　解法二：設橢圓的右焦點為 ，點 到橢圓右準線的距離為 ，由橢圓的第二定義得 ，即 ． ① 　　又由準線方程為 ． ② 　　將②代入①，整理得 　　解得 或 ． 　　代入②及 得 或 　　故所求橢圓的方程為 或 ． 　　例2 如圖，以原點心圓心，分別以 、 為半徑作兩個圓，點 是大圓半徑 與小圓的交點，過點 作 ，垂足為 ，過點 作 ，垂足為 ，求當半徑 繞點 旋轉(zhuǎn)時點 的軌跡的參數(shù)方程． 　　解：設點 的坐標為 ， 是以 為始邊， 為終邊的正角． 　　取 為參數(shù)，那么 　　即 　　這就是所求點 的軌跡的參數(shù)方程． 　　消去參數(shù) 后得到 ，由此可知，點 的軌跡是橢圓． 　　點評：這道題還給出了橢圓的一種畫法，按照這種方法，在已知橢圓的長、短軸長的情況下，給出離心角 的一個值，就可以畫出橢圓上的一個對應點，利用幾何畫板畫橢圓都用此法． 　　例3 已知橢圓 ，（ ， ， 為參數(shù)）上的點 ，求： 　　（1） 、 的取值范圍； 　?。?） 的取值范圍． 　　解：（1）∵ ， ， 　　∴ ， ． 　　∴ ， 為所求范圍． 　?。?）∴ 　　 ． 　?。ㄆ渲?為第一象限角，且 ）． 　　而 ． 　　∴ ， 　　即 這所求． 　　例4 把參數(shù)方程 （ 為參數(shù)）．寫成普通方程，并求出離心率． 　　解：由參數(shù)方程得 　　平方相加得 為所求普通方程． 　　∵ ， ， 　　∴ ． 　　∴橢圓的離心率 ． （三）隨堂練習 　　1．焦點在 軸上的橢圓上一點 到兩準線間的距離之和為36，到兩焦點的距離分別為9和15的橢圓的標準方程為______________． 　　2．參數(shù)方程 （ 為參數(shù)）表示的曲線的焦點坐標是______________． 　　3．橢圓 （ 為參數(shù)）的離心率為_________________． 答案：1． 2． ， 3． （四）總結提煉 　　1．求曲線方程的基本程序是 　　若已知條件涉及到焦點，準線方程式時，往往利用定義求解較簡便． 　　2．橢圓的參數(shù)方程 （ 為參數(shù)）中， 表明 、 分別是橢圓的長軸、短軸長，且焦點在 軸上，參數(shù) 的幾何意義是橢圓的離心角，利用橢圓的參數(shù)方程求 的最值較方便． （五）布置作業(yè) 　　1．已知橢圓中心在原點，一個焦點是 ，點 在橢圓上，則點 到與 相應準線的距離為（ ） 　　A． B． C． D． 　　2．橢圓 的左焦點為 ， ， 是兩個頂點，如果 到直線 的距離等于 ，那么橢圓的離心率等于（ ） 　　A． B． C． D． 　　4．橢圓 （ 為參數(shù)）的兩準線間距離為_______________． 　　5．已知橢圓的一條準線方程是 ，且過點 ，求橢圓的標準方程． 　　6．求橢圓 的內(nèi)接矩形面積的最大值． 答案：1．A 2．C 3．D 4． 5． 7．設 是橢圓上的任一點，則 （ 為參數(shù)） 內(nèi)接矩形面積 ∴ ． （六）板書設計 8.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)（三） 一、復習引入 二、例題分析 例1 例2 例3 例4 練習 總結 橢圓的簡單幾何性質(zhì) （第四課時） （一）教學目標 　　1．能推導并掌握橢圓的焦半徑公式，能利用焦半徑公式解決有關與焦點距離有關的問題． 　　2．能利用橢圓的有關知識解決實際應用問題． 　　3．能綜合利用橢圓的有關知識，解決最值問題及參數(shù)的取值范圍問題． （二）教學過程 【復習引入】 　　1．利用投影儀顯示橢圓的定義，標準方程及其幾何性質(zhì)（見第二課時）． 　　2．求橢圓上到焦點距離的最大值與最小值． 【探索研究】 　　為研究上述問題，可先解決例1，教師出示問題． 　　例1 求證：橢圓 上任一點 與焦點所連兩條線段的長分別為 ． 分析：由距離公式和橢圓定義可以有兩種證法，先由一位學生演板，教師最后予以補充． 證法一：設橢圓的左、右焦點分別為 ． ，則 ∵ ， ∴ ． ∴ ． 又 ， ∴ 故得證． 證法二：設 到左右準線的距離分別為 ， ，由橢圓的第二定義有 ， 又 ， ∴ ． 又 ， ∴ ． 故得證． 說明： 、 叫做橢圓的焦半徑．利用焦半徑公式在橢圓的有關計算、證明中，能大大簡化相應的計算．至此可解決開始提出的問題． ∵ ， ， ∴ ， ． ∴ ． 即橢圓上焦點的距離最大值為 ，最小值為 ，最大值與最小值點即是橢圓長軸上的頂點． 例2 如圖，我國發(fā)射的第一顆人造地球衛(wèi)星的運行軌道是以地心（地球中心） 為一個焦點的橢圓．已知它們近地點 （離地面最近的點）距地面439 ，遠地點 （離地面最）距地面2384 ，并且 、 、 在同一條直線上，地球半徑約6371 ，求衛(wèi)星運行的軌道方程（精確到1 ）． 分析：這是一個介紹橢圓在航天領域應用的例子，關鍵是理解近地點和遠地點與橢圓的關系．由于數(shù)字大，計算較繁，可教師講解． 解：如圖，建立直角坐標系，使點 、 、 在 軸上， 為橢圓的右焦點（記 為左焦點）． 因為橢圓的焦點在 軸上，所以設它的方程為 則 解得 ∴ ． 因此，衛(wèi)星的軌道方程是 ． 點評：由例1可知橢圓上到焦點的距離的最大和最小的點，恰是橢圓長軸的兩個端點，因而可知所有衛(wèi)星的近地點、遠地點、及軌道的焦點都在同一直線上． 例3 已知點 在圓 上移動，點 在橢圓 上移動，求 的最大值． 分析：要求 的最大值，只要考慮圓心到橢圓上的點的距離，而橢圓上的點是有范圍的．可在教師指導下學生完成，解答如下： 設橢圓上一點 ，又 ，于是 ． 而 ∴當 時， 有最大值5． 故 的最大值為6． 點評：橢圓中的最值問題常轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題． 例4 已知橢圓 與 軸的正半軸交于點 ， 是原點．若橢圓上存在一點 ，使 ，求橢圓離心率 的取值范圍． 分析：依題意 點的橫坐標 ，找到 與 、 的關系式．教師講解為好． 解：設 的坐標為 ，由 ，有 于是下面方程組的解為 的坐標 消去 整理得 ． 解得 或 ． 即為橢圓的右頂點 ∴ 即 ． 即 ，而 ， 故 ． （三）隨堂練習 1．如圖在 中， ， ，則以 為焦點， 、 分別是長、短軸端點的橢圓方程是______________． 2．設橢圓 上動點 到定點 的距離 最小值為1，求 的值． 答案：1． 2． （四）總結提煉 橢圓的焦半徑是橢圓的基礎問題，在解題中有其獨特的作用，橢圓的范圍在解決橢圓的元素的范圍及與其有關的最大值（最小值）問題時是很有效的方法． （五）布置作業(yè) 1．橢圓短半軸的長為1，離心率的最大值是 ，則長半軸長的取值范圍是___________． 2．若橢圓兩焦點為 ， ， 在橢圓上，且 的最大面積是12，則橢圓方程是_______________． 3．已知 是橢圓 的一個焦點， 是過其中心的一條弦，記 ，則 面積的最大值是（ ） A． B． C． D． 4．已知 是橢圓 上的任意一點，以過 的一條焦半徑為直徑作圓 ，以橢圓長軸為直徑作圓 ，則圓 與圓 的位置關系是（ ） A．內(nèi)切 B．內(nèi)含 C．相交 D．相離 5．設 是橢圓 上的任一點，求 點到橢圓兩焦點 、 距離之積的最大值與最大值，并求取得最大值與最小值時 點的坐標． 6．設橢圓的中心是坐標原點，長軸在 軸上，離心率 ，已知點 到這個橢圓上的點的最遠距離是 ，求這個橢圓方程，并求橢圓上到點 的距離等于 的點的坐標． 答案：1． 2． 3．D 4．A 5．設 則 ， ∵ ∴ 當 即 或 時， 最大，最大值為 ． 當 即 或 時， 最小，最小值為 ． 6．設所求橢圓方程是 依題意可得 ，其中 如果 ，則當 時， 有最大值，即 ． 由此得 ，與 矛盾． 因此必有 成立，于是當 時， 有最大值，即 ． 由此得 ， ，故所求橢圓方程為 ． 由 代入橢圓方程得點 和 到點 的距離都是 ． 注：本題也可設橢圓的參數(shù)方程是 ，其中 ， ，利用三角函數(shù)求解． （六）板書設計 8.2 橢圓的簡單幾何性質(zhì)（四） 1．知識要點 2．橢圓的焦半徑公式 3．例題分析 例1 例2 例3 例4 練習小結