2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3.1 等比數(shù)列教案 新人教B版必修5 (I).doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 2.3.1 等比數(shù)列教案 新人教B版必修5 (I) 教學(xué)分析　　　　　 等比數(shù)列與等差數(shù)列在內(nèi)容上是完全平行的，包括定義、性質(zhì)、通項(xiàng)公式等，兩個(gè)數(shù)的等差(等比)中項(xiàng)、兩種數(shù)列在函數(shù)角度下的解釋等，因此在教學(xué)時(shí)要充分利用類比的方法，以便于弄清它們之間的聯(lián)系與區(qū)別． 等比數(shù)列是另一個(gè)簡單常見的數(shù)列，研究內(nèi)容可與等差數(shù)列類比，這是本節(jié)的中心思想方法．本節(jié)首先歸納出等比數(shù)列的定義，導(dǎo)出通項(xiàng)公式，進(jìn)而研究圖象，又給出等比中項(xiàng)的概念，最后是通項(xiàng)公式的應(yīng)用． 等比數(shù)列概念的引入，可按教材給出的幾個(gè)具體的例子，由學(xué)生概括這些數(shù)列的相同特征，從而得到等比數(shù)列的定義．也可將幾個(gè)等差數(shù)列和幾個(gè)等比數(shù)列混在一起給出，由學(xué)生將這些數(shù)列進(jìn)行分類，由此對比地概括等比數(shù)列的定義．根據(jù)定義讓學(xué)生分析等比數(shù)列的公比不為0，以及每一項(xiàng)均不為0的特性，加深對概念的理解．啟發(fā)學(xué)生用函數(shù)觀點(diǎn)認(rèn)識通項(xiàng)公式，由通項(xiàng)公式的結(jié)構(gòu)特征聯(lián)想到指數(shù)函數(shù)進(jìn)而畫出數(shù)列的圖象． 由于有了等差數(shù)列的研究經(jīng)驗(yàn)，等比數(shù)列的研究完全可以放手讓學(xué)生自己解決，充分利用類比思想，教師只需把握課堂的節(jié)奏，真正作為一節(jié)課的組織者、引導(dǎo)者出現(xiàn)，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用． 大量的數(shù)學(xué)思想方法滲透是本章的特色，如類比思想、歸納思想、數(shù)形結(jié)合思想、算法思想、方程思想、一般到特殊的思想等，在教學(xué)中要充分體現(xiàn)這些重要的數(shù)學(xué)思想方法，所有能力的體現(xiàn)最終歸結(jié)為數(shù)學(xué)思想方法的體現(xiàn)． 三維目標(biāo)　　　　　 1．通過實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念；探索并掌握等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、性質(zhì)，能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，提高數(shù)學(xué)建模能力；體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系． 2．通過現(xiàn)實(shí)生活中大量存在的數(shù)列模型，讓學(xué)生充分感受到數(shù)列是反映現(xiàn)實(shí)生活的模型，體會數(shù)學(xué)是豐富多彩的而不是枯燥無味的，達(dá)到提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣的目的． 3．通過對等比數(shù)列概念的歸納，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生嚴(yán)密的思維習(xí)慣和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度．體會探究過程中的主體作用及探究問題的方法，經(jīng)歷解決問題的全過程． 重點(diǎn)難點(diǎn)　　　　　 教學(xué)重點(diǎn)：掌握等比數(shù)列的定義；理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及推導(dǎo)． 教學(xué)難點(diǎn)：靈活應(yīng)用等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式解決相關(guān)問題，在具體問題中抽象出等比數(shù)列模型及掌握重要的數(shù)學(xué)思想方法． 課時(shí)安排　　　　　 2課時(shí) 教學(xué)過程 第1課時(shí) 導(dǎo)入新課　　　　　 思路1.(情境引入)將一張厚度為0.044 mm的白紙一次又一次地對折，如果對折1 000次(假設(shè)是可能的)，紙的厚度將是4.410296 m，相當(dāng)于約5.010292個(gè)珠穆朗瑪峰的高度和，這可能嗎？但是一位數(shù)學(xué)家曾經(jīng)說過：你如果能將一張報(bào)紙對折38次，我就能順著它在今天晚上爬上月球．將一張報(bào)紙對折會有那么大的厚度嗎？這就是我們今天要解決的問題，讓學(xué)生帶著這大大的疑問來展開新課． 思路2.(實(shí)例導(dǎo)入)先給出四個(gè)數(shù)列： 1,2,4,8,16，…… 1，－1,1，－1,1，…… －4,2，－1，…… 1,1,1,1,1，…… 由學(xué)生自己去探究這四個(gè)數(shù)列，每個(gè)數(shù)列相鄰兩項(xiàng)之間有什么關(guān)系？這四個(gè)數(shù)列有什么共同點(diǎn)？讓學(xué)生觀察這些數(shù)列與上節(jié)課學(xué)習(xí)的等差數(shù)列有什么不同？由此引入新課． 推進(jìn)新課　　　　　 (1)回憶等差數(shù)列的概念及等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法. (2)閱讀課本本節(jié)內(nèi)容的①②③3個(gè)背景實(shí)例，領(lǐng)會三個(gè)實(shí)例所傳達(dá)的思想，寫出由3個(gè)實(shí)例所得到的數(shù)列. (3)觀察數(shù)列①②③，它們有什么共同的特征？你能再舉出2個(gè)與其特征相同的數(shù)列嗎？ (4)類比等差數(shù)列的定義，怎樣用恰當(dāng)?shù)恼Z言給出等比數(shù)列的定義？ (5)類比等差中項(xiàng)的概念，你能說出什么是等比中項(xiàng)嗎？它與等差中項(xiàng)有什么不同？ (6)你能舉出既是等差數(shù)列又是等比數(shù)列的例子嗎？ (7)類比等差數(shù)列通項(xiàng)公式的推導(dǎo)過程，你能推導(dǎo)出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式嗎？ (8)類比等差數(shù)列通項(xiàng)公式與一次函數(shù)的關(guān)系，你能說明等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系嗎？ 活動：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶等差數(shù)列概念的學(xué)習(xí)過程，指導(dǎo)學(xué)生閱讀并分析教科書中給出的3個(gè)實(shí)例． 引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)列①②③的共同特點(diǎn)： 對于數(shù)列①，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于2； 對于數(shù)列②，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于3； 對于數(shù)列③，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于－. 也就是說，這些數(shù)列有一個(gè)共同的特點(diǎn)：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與前一項(xiàng)的比都等于同一常數(shù)，這里仍是后項(xiàng)比前項(xiàng)，而不是前項(xiàng)比后項(xiàng)，具有這樣特點(diǎn)的數(shù)列我們稱之為等比數(shù)列．讓學(xué)生類比等差數(shù)列給出等比數(shù)列的定義： 一般地，如果一個(gè)數(shù)列，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列． 這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，公比通常用字母q表示，顯然q≠0，上面的三個(gè)數(shù)列都是等比數(shù)列，公比依次是2,3，－. ①給出等比數(shù)列的定義后，讓學(xué)生嘗試用遞推公式描述等比數(shù)列的定義，即a1＝a，an＋1＝anq(n＝1,2,3，…)． ②再讓學(xué)生思考既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列的數(shù)列存在嗎？學(xué)生思考后很快會舉出1,1,1，…既是等比數(shù)列也是等差數(shù)列，其公比為1，公差為0. 教師可再提出：常數(shù)列都是等比數(shù)列嗎？讓學(xué)生充分討論后可得出0,0,0，…是常數(shù)列，但不是等比數(shù)列． ③至此，學(xué)生已經(jīng)清晰了等比數(shù)列的概念，比如，從等比數(shù)列定義知，等比數(shù)列中的任意一項(xiàng)不為零，公比可以為正，可以為負(fù)，但不能為0. ④類比等差中項(xiàng)的概念，我們可得出等比中項(xiàng)的概念：如果三個(gè)數(shù)x，G，y組成等比數(shù)列，則G叫做x和y的等比中項(xiàng)．如果G是x和y的等比中項(xiàng)，那么＝，即G2＝xy，G＝.因此同號的兩個(gè)數(shù)的等比中項(xiàng)有兩個(gè)，它們互為相反數(shù)，一個(gè)正數(shù)和一個(gè)負(fù)數(shù)沒有等比中項(xiàng)．顯然，在一個(gè)等比數(shù)列中，從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)；反之，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)(有窮數(shù)列的末項(xiàng)除外)都是它的前一項(xiàng)與后一項(xiàng)的等比中項(xiàng)，那么這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列． 課件演示：不完全歸納法得到等差數(shù)列通項(xiàng)公式的過程： a2＝a1＋d， a3＝a2＋d＝(a1＋d)＋d＝a1＋2d， a4＝a3＋d＝(a1＋2d)＋d＝a1＋3d， …… 歸納得到an＝a1＋(n－1)d. 類比這個(gè)過程，可得等比數(shù)列通項(xiàng)公式的歸納過程如下： a2＝a1q， a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2， a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3， …… 歸納得到an＝a1qn－1. 這樣做可以幫助學(xué)生體會歸納推理對于發(fā)現(xiàn)新的數(shù)學(xué)結(jié)論的作用．這個(gè)結(jié)論的正確性可用后面的數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行嚴(yán)格證明，現(xiàn)在我們先承認(rèn)它． 下面我們再類比等差數(shù)列，探究推導(dǎo)等比數(shù)列通項(xiàng)公式的其他方法： ∵{an}是等比數(shù)列， ∴＝q，＝q，＝q，…，＝q. 把以上n－1個(gè)等式兩邊分別乘到一起，即疊乘，則可得到 ＝qn－1， 于是得到an＝a1qn－1. 對于通項(xiàng)公式，教師引導(dǎo)學(xué)生明確這樣幾點(diǎn)： (1)不要把公式錯(cuò)誤地寫成an＝a1qn. (2)對公比q，要和等差數(shù)列的公差一樣，強(qiáng)調(diào)“從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比”，不要把相鄰兩項(xiàng)的比的次序顛倒，且公比q可以為正，可以為負(fù)，但不能為0. (3)在等比數(shù)列a，aq，aq2，aq3，…中，當(dāng)a＝0時(shí)，一切項(xiàng)都等于0；當(dāng)q＝0時(shí)，第二項(xiàng)以后的項(xiàng)都等于0，這不符合等比數(shù)列的定義．因此等比數(shù)列的首項(xiàng)和公比都不能為0. (4)類比等差數(shù)列中d＞0，d＜0時(shí)的情況，若q＞0，則相鄰兩項(xiàng)符號同號，若q＜0，則各項(xiàng)符號異號；若q＝1，則等比數(shù)列為非零常數(shù)列；若q＝－1，則為如2，－2,2，－2，…這樣的數(shù)列；若|q|＜1，則數(shù)列各項(xiàng)的絕對值遞減． 最后讓學(xué)生完成下表，從定義、通項(xiàng)公式比較等差數(shù)列、等比數(shù)列的異同，加深概念的理解． 等差數(shù)列 等比數(shù)列 定義 從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的差都是同一個(gè)常數(shù) 從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它前一項(xiàng)的比都是同一個(gè)常數(shù) 首項(xiàng)、公差(公比)取值有無限制 沒有任何限制 首項(xiàng)、公比都不能為0 通項(xiàng)公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1 討論結(jié)果：(1)～(3)略． (4)等比數(shù)列定義：如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比都等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等比數(shù)列． (5)并不是所有的兩個(gè)數(shù)都有等比中項(xiàng)． (6)除0外的常數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列． (7)(8)略． 例1由下面等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，求首項(xiàng)與公比． (1)an＝2n； (2)an＝10n. 活動：本例的目的是讓學(xué)生熟悉等比數(shù)列的概念及通項(xiàng)公式，可由學(xué)生口答或互相提問． 解：(1)an＝22n－1， ∴a1＝2，q＝2. (2)∵an＝1010n－1， ∴a1＝10＝，q＝10. 點(diǎn)評：可通過通項(xiàng)公式直接求首項(xiàng)，再求公比．如(1)中，a1＝21＝2，a2＝22＝4，∴q＝2. 變式訓(xùn)練 　設(shè)a1，a2，a3，a4成等比數(shù)列，其公比為2，則的值為(　　) A. B. C. D．1 答案：A 解析：由題意，知a2＝a1q＝2a1，a3＝a1q2＝4a1，a4＝a1q3＝8a1， ∴＝＝. 例2(教材本節(jié)例3) 活動：本例是等比數(shù)列通項(xiàng)公式的靈活運(yùn)用，可讓學(xué)生自己完成． 點(diǎn)評：解完本例后，啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生觀察a5，a10，a15，a20的規(guī)律． 變式訓(xùn)練 　已知{an}為等比數(shù)列，a3＝2，a2＋a4＝，求{an}的通項(xiàng)公式． 解：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則q≠0. ∵a2＝＝，a4＝a3q＝2q， ∴＋2q＝. 解得q1＝，q2＝3. 當(dāng)q＝時(shí)，a1＝18. ∴an＝18()n－1＝＝233－n. 當(dāng)q＝3時(shí)，a1＝， ∴an＝3n－1＝23n－3. 例3已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1. (1)求證：數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列； (2)求an的表達(dá)式． 活動：教師引導(dǎo)學(xué)生觀察，數(shù)列{an}不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，要求an的表達(dá)式，通過轉(zhuǎn)化{an＋1}是等比數(shù)列來求解． 解：(1)證明：∵an＋1＝2an＋1，∴an＋1＋1＝2(an＋1)． ∵a1＝1，故a1＋1≠0，則有＝2. ∴{an＋1}是等比數(shù)列． (2)由(1)知{an＋1}是以a1＋1＝2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列， ∴an＋1＝22n－1，即an＝2n－1. 點(diǎn)評：教師引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解后反思．如本題(1)，不能忽視對an＋1≠0的說明，因?yàn)樵诘缺葦?shù)列{an}中，an≠0，且公比q≠0，否則解題會出現(xiàn)漏洞． 變式訓(xùn)練 　已知數(shù)列{lgan}是等差數(shù)列，求證：{an}是等比數(shù)列． 證明：∵{lgan}是等差數(shù)列，設(shè)公差為d， 則lgan＋1－lgan＝d，即＝10d(常數(shù))． ∴{an}是等比數(shù)列． 1．已知等比數(shù)列{an}滿足a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，則a7等于(　　) A．64 B．81 C．128 D．243 2．在等比數(shù)列中，已知首項(xiàng)為，末項(xiàng)為，公比為，則項(xiàng)數(shù)為(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案： 1．A　解析：由a1＋a2＝3，a2＋a3＝6，知q＝2，a1＝1. 所以a7＝a1q6＝64. 2．B　解析：設(shè)等比數(shù)列為{an}． 又∵a1＝，q＝，an＝，∴qn－1＝，即()n－1＝. ∴n－1＝3，n＝4，即項(xiàng)數(shù)為4. 1．讓學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容：等比數(shù)列的概念和等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)及簡單的應(yīng)用，等比數(shù)列的證明方法．可讓學(xué)生對比小結(jié)等差數(shù)列與等比數(shù)列的知識，對比各自性質(zhì)的異同，讓學(xué)生用列表的形式給出． 2．教師點(diǎn)出，通過本節(jié)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，在掌握知識的同時(shí)，我們還學(xué)到了探究新問題的方法，提高了我們解決問題的能力，進(jìn)一步明確了學(xué)習(xí)必須經(jīng)歷探究問題全過程的意義，必須領(lǐng)悟凝練數(shù)學(xué)思想方法． 課本習(xí)題2—3 A組1；習(xí)題2—3 B組1. 設(shè)計(jì)感想 本教案設(shè)計(jì)將類比思想貫穿整節(jié)課始終，等差數(shù)列和等比數(shù)列具有極其相似的特點(diǎn)，比較它們的結(jié)構(gòu)和運(yùn)算性質(zhì)，運(yùn)用類比的方法，可使很多相關(guān)性質(zhì)得以類比和遷移；讓學(xué)生體會到：有些看似陌生的知識并不都是高不可攀的事情，通過我們的努力，也可以做一些看似數(shù)學(xué)家才能完成的事． 本教案設(shè)計(jì)加強(qiáng)了實(shí)際背景的教學(xué)，等比數(shù)列有著非常廣泛的實(shí)際應(yīng)用：如產(chǎn)品規(guī)格設(shè)計(jì)的問題；儲蓄，分期付款的有關(guān)計(jì)算等等．教學(xué)時(shí)不是簡單地告訴學(xué)生等比數(shù)列的定義及通項(xiàng)公式的內(nèi)容，而是通過實(shí)際問題創(chuàng)設(shè)一些數(shù)學(xué)情境，讓學(xué)生自己去發(fā)現(xiàn)，去探索其意義． 本教案設(shè)計(jì)突出了數(shù)學(xué)思維的訓(xùn)練，數(shù)學(xué)是思維的體操，是培養(yǎng)學(xué)生分析問題，解決問題的能力及創(chuàng)造能力的載體．新課程倡導(dǎo)強(qiáng)調(diào)過程，強(qiáng)調(diào)學(xué)生探索新知識的經(jīng)歷和獲得新知的體驗(yàn)，不再讓教學(xué)脫離學(xué)生的內(nèi)心感受，必須讓學(xué)生追求過程的體驗(yàn)，學(xué)生的思維能力就是在這種過程的體驗(yàn)中逐漸提高的． (設(shè)計(jì)者：張曉君) 第2課時(shí) 導(dǎo)入新課　　　　　 思路1：(類比導(dǎo)入)等差數(shù)列具有豐富而重要的性質(zhì)，通過復(fù)習(xí)等差數(shù)列的性質(zhì)，由學(xué)生猜想并證明等比數(shù)列的性質(zhì)．這樣既復(fù)習(xí)了舊知識，同時(shí)又讓學(xué)生經(jīng)歷了知識的發(fā)現(xiàn)過程，這種引入符合新課程理念． 思路2：讓學(xué)生先完成本節(jié)的思考與討論及探索與研究，借助學(xué)生的探究，師生共同歸納出相關(guān)性質(zhì)，自然地引入新課．(這種從課本上的練習(xí)題入手的方法，其好處是：直截了當(dāng)，節(jié)省課堂時(shí)間，教師也比較輕松，只是學(xué)生的思維活動層次較第一種弱一些，但也是一種不錯(cuò)的導(dǎo)入選擇) 推進(jìn)新課　　　　　 (1)回憶上節(jié)課等比數(shù)列的概念，等比中項(xiàng)、通項(xiàng)公式的概念. (2)回憶怎樣證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列？ (3)類比等差數(shù)列的圖象與一次函數(shù)的圖象之間的關(guān)系，探究等比數(shù)列的圖象與指數(shù)函數(shù)的圖象之間的關(guān)系. (4)類比等差數(shù)列的性質(zhì)，你能探究出等比數(shù)列有哪些重要結(jié)論？ 活動：教師引導(dǎo)學(xué)生對上一節(jié)課的探究做一簡要回顧，借以熟悉等比數(shù)列的有關(guān)概念，為進(jìn)一步探究做好必要的準(zhǔn)備，然后讓學(xué)生借助信息技術(shù)或用描點(diǎn)作圖畫出課本“探究”中(2)(3)要求的圖象(如圖)，說說通項(xiàng)公式為an＝2n－1的數(shù)列的圖象和函數(shù)y＝2x－1的圖象的關(guān)系．然后交流、討論，歸納出二者之間的關(guān)系．事實(shí)上，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可整理為an＝qn，而y＝qx(q≠1)是一個(gè)不為零的常數(shù)與指數(shù)函數(shù)qx的乘積．從圖象上看，表示數(shù)列{qn}中的各項(xiàng)的點(diǎn)是函數(shù)y＝qx的圖象上的孤立點(diǎn)． 和等差數(shù)列一樣，等比數(shù)列中蘊(yùn)涵著許多重要的性質(zhì)，類比等差數(shù)列的探究方法，教師與學(xué)生一起探究． 就任一等差數(shù)列{an}，計(jì)算a7＋a10，a8＋a9和a10＋a40，a20＋a30，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？從等差數(shù)列和函數(shù)之間的聯(lián)系的角度來分析這個(gè)問題，在等比數(shù)列中會有怎樣的類似結(jié)論？ 在等差數(shù)列{an}中，我們已經(jīng)探究了，若m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq，那么我們可以類比猜想：對于等比數(shù)列{an}，若m＋n＝p＋s(m、n、p、s∈N*)，則aman＝apas.讓學(xué)生對此給出證明． 證明：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 則有aman＝a1qm－1a1qn－1＝aqm＋n－2，apas＝a1qp－1a1qs－1＝aqp＋s－2， ∵m＋n＝p＋s，∴有aman＝apas. 經(jīng)過這個(gè)證明過程，我們得到了等比數(shù)列的一個(gè)重要性質(zhì)，即等比數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋s(m，n，p，s∈N*)，則有aman＝apas. 結(jié)合等比中項(xiàng)，我們很容易有這樣的結(jié)論： (1)與首末兩項(xiàng)等距離的兩項(xiàng)之積等于首末兩項(xiàng)的積； (2)與某一項(xiàng)距離相等的兩項(xiàng)之積等于這一項(xiàng)的平方． 結(jié)合上節(jié)學(xué)習(xí)的內(nèi)容，教師與學(xué)生一起探究歸納可得到等比數(shù)列以下重要結(jié)論： 1．等比數(shù)列的判斷方法 (1)an＝an－1q(n≥2，q是不等于零的常數(shù)，an－1≠0){an}是等比數(shù)列． (2)a＝an－1an＋1(n≥2，an－1，an，an＋1≠0){an}是等比數(shù)列． (3)an＝cqn(c、q均是不為零的常數(shù)){an}是等比數(shù)列． 2．主要性質(zhì) (1)當(dāng)q＞1，a1＞0或0＜q＜1，a1＜0時(shí)，{an}是遞增數(shù)列；當(dāng)q＞1，a＜0或0＜q＜1，a1＞0時(shí)，{an}是遞減數(shù)列，當(dāng)q＝1時(shí)，{an}是常數(shù)列；當(dāng)q＜0時(shí)，{an}是擺動數(shù)列． (2)an＝amqn－m(m、n∈N*)． (3)當(dāng)m＋n＝p＋q(m、n、p、q∈N*)時(shí)，有aman＝apaq. (4)當(dāng)數(shù)列{an}是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列時(shí)，數(shù)列{lgan}是公差為lgq的等差數(shù)列． (5)數(shù)列{an}中，公比q≠1，則連續(xù)取相鄰兩項(xiàng)的和(或差)構(gòu)成公比為q的等比數(shù)列． 學(xué)習(xí)等比數(shù)列時(shí)，時(shí)刻與等差數(shù)列進(jìn)行對比，學(xué)會用類比、方程的思想解決問題． 討論結(jié)果：(1)讓學(xué)生默寫． (2)有3種證明方法，比較常用的方法是：a＝an－1an＋1(n≥2，an－1，an，an＋1≠0){an}是等比數(shù)列． (3)等比數(shù)列的通項(xiàng)公式是關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)． (4)最常用的是活動中的第3個(gè)性質(zhì)． 例1一個(gè)等比數(shù)列的第3項(xiàng)和第4項(xiàng)分別是12和18，求它的第1項(xiàng)和第2項(xiàng)． 活動：本例是課本上例題3，由題意知a3＝12，a4＝18，求a1，a2.和等差數(shù)列一樣，這是屬于基本量運(yùn)算的題目，其基本量為a1，q.教師引導(dǎo)學(xué)生探究，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式列出方程組，求得通項(xiàng)公式，再由通項(xiàng)公式求得數(shù)列的任意項(xiàng)．這個(gè)過程可以幫助學(xué)生再次體會通項(xiàng)公式的作用及其與方程之間的聯(lián)系． 解：設(shè)這個(gè)等比數(shù)列的第1項(xiàng)是a1，公比是q，那么a1q2＝12，① a1q3＝18.② ②①，得q＝，③ 把③代入①，得a1＝. 因此，a2＝a1q＝＝8. 答：這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)和第2項(xiàng)分別是與8. 點(diǎn)評：通過本題讓學(xué)生體會方程思想． 變式訓(xùn)練 　在等比數(shù)列{an}中，a5a7＝6，a2＋a10＝5，則等于(　　) A．－或－ B. C. D.或 答案：D 解析：∵a5a7＝a2a10，由 得或 ∴＝＝或＝. 例2(1)在等比數(shù)列{an}中，已知a1＝5，a9a10＝100，求a18； (2)在等比數(shù)列{bn}中，b4＝3，求該數(shù)列前七項(xiàng)之積； (3)在等比數(shù)列{an}中，a2＝－2，a5＝54，求a8. 活動：本例三個(gè)小題屬基本概念題，讓學(xué)生合作交流完成，充分讓學(xué)生思考探究，展示將問題與所學(xué)的性質(zhì)聯(lián)系到一起的思維過程． 解：(1)∵a1a18＝a9a10，∴a18＝＝＝20. (2)b1b2b3b4b5b6b7＝(b1b7)(b2b6)(b3b5)b4. ∵b＝b1b7＝b2b6＝b3b5，∴前七項(xiàng)之積為(32)33＝37＝2 187. (3)∵a5是a2與a8的等比中項(xiàng)，∴542＝a8(－2)．∴a8＝－1 458. 另解：a8＝a5q3＝a5＝54＝－1 458. 點(diǎn)評：通過本例，讓學(xué)生熟悉公式，善于聯(lián)想，善于將解題過程簡化． 變式訓(xùn)練 　已知等比數(shù)列{an}中，a1＋a3＝15，且a1＋a2＋a3＋a4＝45. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝11－log2，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q. 由題意得解得q＝2，a1＝3， ∴an＝32n－1. (2)由(1)得a2n＋1＝322n，∴bn＝11－log2＝11－2n. ∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為9，公差為－2的等差數(shù)列． 從而Sn＝＝－n2＋10n. 例3三個(gè)正數(shù)成等差數(shù)列，它們的和等于15，如果它們分別加上1,3,9，就成為等比數(shù)列，求此三個(gè)數(shù)． 活動：教師引導(dǎo)學(xué)生分析題意，因?yàn)樗笕齻€(gè)數(shù)成等差數(shù)列，它們的和已知，故可設(shè)這三個(gè)數(shù)為a－d，a，a＋d，再根據(jù)已知條件尋找關(guān)于a、d的兩個(gè)方程，通過解方程組即可獲解． 解：設(shè)所求三個(gè)數(shù)為a－d，a，a＋d， 則由題設(shè)得 解此方程組，得a＝5，d＝2.∴所求三個(gè)數(shù)為3,5,7. 點(diǎn)評：此類問題要注意設(shè)未知數(shù)的技巧．若設(shè)所求三個(gè)數(shù)為a，b，c，則列出三個(gè)方程求解，運(yùn)算過程將過于繁雜．因此在計(jì)算過程中，應(yīng)盡可能地少設(shè)未知數(shù)． 例4根據(jù)下圖中的框圖，寫出所打印數(shù)列的前5項(xiàng)，并建立數(shù)列的遞推公式，這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列嗎？ 活動：本題是給出數(shù)列的前幾項(xiàng)要求寫出數(shù)列的遞推公式．這種題型難度較大．但本題用程序框圖給出了數(shù)列的前5項(xiàng)，而遞推公式就包含在程序框圖中，這就大大降低了題目的難度．教學(xué)時(shí)教師可引導(dǎo)學(xué)生回顧程序框圖，引導(dǎo)學(xué)生思考如何判斷一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列． 解：若將打印出來的數(shù)依次記為a1(即A)，a2，a3，…， 可知a1＝1，a2＝a1，a3＝a2. 于是，可得遞推公式 由于＝， 因此，這個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列． 其通項(xiàng)公式是an＝()n－1. 點(diǎn)評：通過本題讓學(xué)生明確，要證明一個(gè)數(shù)列是等比數(shù)列，只需證明對于任意正整數(shù)n，是一個(gè)常數(shù)即可，同時(shí)也再一次體會到能夠用框圖中的循環(huán)結(jié)構(gòu)來描述數(shù)列． 1．已知等比數(shù)列{an}中，a1＋a2＋a3＝7，a1a2a3＝8，求an. 2．某種放射性物質(zhì)不斷變化為其他物質(zhì)，每經(jīng)過一年，剩留的這種物質(zhì)是原來的84%，這種物質(zhì)的半衰期為多長？(精確到1年) 答案： 1．解：∵a1a3＝a，∴a1a2a3＝a＝8.∴a2＝2. 從而 解之，得或 當(dāng)a1＝1時(shí)，q＝2，當(dāng)a1＝4時(shí)，q＝. ∴an＝2n－1或an＝4()n－1＝23－n(n∈N*)． 點(diǎn)評：本例解答中易產(chǎn)生的錯(cuò)誤是在求得a1＝1，a3＝4或a1＝4，a3＝1后，由a3＝a1q2分別得出q＝2或q＝.求得an＝2n－1或an＝(－2)n－1或an＝4()n－1或an＝4(－)n－1.教師引導(dǎo)學(xué)生尋找產(chǎn)生這一錯(cuò)誤的原因是忽視了由于a2＝2，a1＞0，必有q＞0這一隱含條件． 2．解：設(shè)這種物質(zhì)最初的質(zhì)量是1，經(jīng)過n年，剩留量是an， 由條件可得，數(shù)列{an}是一個(gè)等比數(shù)列，其中a1＝0.84，q＝0.84. 設(shè)an＝0.5，則0.84n＝0.5. 兩邊取對數(shù)，得nlg0.84＝lg0.5， 用計(jì)算器算得n≈4. 答：這種物質(zhì)的半衰期大約為4年． 點(diǎn)評：本例是一道應(yīng)用題，反映的是等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量運(yùn)算問題．在解題過程中，用對數(shù)的知識解方程可以幫助學(xué)生回顧對數(shù)的性質(zhì)，本題重在讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)實(shí)際問題情境中數(shù)列的等比關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生從實(shí)際問題中抽象出數(shù)學(xué)模型的能力． 1．讓學(xué)生歸納總結(jié)本節(jié)學(xué)習(xí)內(nèi)容：等比數(shù)列的性質(zhì)，等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系．對比小結(jié)等差數(shù)列與等比數(shù)列的知識，對比各自性質(zhì)的異同．從函數(shù)的角度看，如果說等差數(shù)列可以與一次函數(shù)聯(lián)系起來，那么等比數(shù)列則可以與指數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來． 2．學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容應(yīng)注意等比數(shù)列定義的運(yùn)用，靈活選設(shè)未知數(shù)，注意總結(jié)常用解題技巧．有關(guān)本內(nèi)容的高考題主要體現(xiàn)在考查化歸能力、方程思想、分類討論思想以及數(shù)學(xué)建模能力上，并能用這些知識解決一些實(shí)際問題． 課本習(xí)題2—3 A組2、3、4. 設(shè)計(jì)感想 本教案設(shè)計(jì)突出了教學(xué)梯度．因?yàn)閺膶?shí)際教學(xué)來看，對這部分內(nèi)容的學(xué)習(xí)不少同學(xué)仍然是困難重重，從中折射出他們學(xué)習(xí)方式存在的問題，死記硬背仍然是公式學(xué)習(xí)的主要形式．在練習(xí)環(huán)節(jié)，不少學(xué)生只會做與課本例題完全一致的習(xí)題，如果稍加變式，就束手無策，反映出數(shù)學(xué)思維的僵化及簡單．但是訓(xùn)練學(xué)生的思維能力，提升學(xué)生的思維品質(zhì)，是數(shù)學(xué)教師直接面對的重要課題，也是提升教學(xué)效果的關(guān)鍵．因此在設(shè)計(jì)梯度方面注重了一題多解，這有助于學(xué)生思維的發(fā)散性及靈活性的培養(yǎng)，以及克服思維的僵化，變式教學(xué)又可以提升思維視野的廣度，題后反思有助于學(xué)生思維批判性品質(zhì)的提升． 本教案設(shè)計(jì)注重了教學(xué)過程的更優(yōu)化、更合理化，因?yàn)殚L期以來的課堂教學(xué)太過于重視結(jié)論，輕視過程．為了應(yīng)付考試，為了使公式、定理應(yīng)用達(dá)到所謂的熟能生巧，教學(xué)中不惜花大量的時(shí)間采用題海戰(zhàn)術(shù)來進(jìn)行強(qiáng)化．在概念公式的教學(xué)中往往采用的是“掐頭去尾燒中段”的方法，到頭來把學(xué)生強(qiáng)化成只會套用公式機(jī)械解題，這樣的學(xué)生面對新問題就會束手無策，更不利于今后的創(chuàng)新式高考． 本教案設(shè)計(jì)清晰了課堂教學(xué)的層次階段，本節(jié)課可以劃分為三個(gè)階段，第一階段是等比數(shù)列性質(zhì)的推得和理解過程；第二階段是等比數(shù)列性質(zhì)的歸納、理解和應(yīng)用的過程；第三階段是歸納小結(jié)．這三個(gè)階段自然是以第一、第二階段為主．這樣便于學(xué)生課堂推進(jìn)，也便于教師對整個(gè)課堂的宏觀調(diào)控． 備課資料 一、備用例題 例1.已知無窮數(shù)列10，10，10，…，10，…. 求證：(1)這個(gè)數(shù)列成等比數(shù)列； (2)這個(gè)數(shù)列中的任一項(xiàng)是它后面第五項(xiàng)的； (3)這個(gè)數(shù)列的任意兩項(xiàng)的積仍在這個(gè)數(shù)列中． 例2.設(shè)a，b，c，d均為非零實(shí)數(shù)，(a2＋b2)d2－2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0， 求證：a，b，c成等比數(shù)列且公比為d. 證法一：關(guān)于d的二次方程(a2＋b2)d2－2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0有實(shí)根， ∴Δ＝4b2(a＋c)2－4(a2＋b2)(b2＋c2)≥0.∴－4(b2－ac)2≥0.∴－(b2－ac)2≥0. 則必有b2－ac＝0，即b2＝ac，∴a，b，c成等比數(shù)列． 設(shè)公比為q，則b＝aq，c＝aq2，代入 (a2＋a2q2)d2－2aq(a＋aq2)d＋a2q2＋a2q4＝0. ∵(q2＋1)a2≠0，∴d2－2qd＋q2＝0，即d＝q≠0. 證法二：∵(a2＋b2)d2－2b(a＋c)d＋b2＋c2＝0， ∴(a2d2－2abd＋b2)＋(b2d2－2bcd＋c2)＝0. ∴(ad－b)2＋(bd－c)2＝0.∴ad＝b，且bd＝c. ∵a，b，c，d非零，∴＝＝d.∴a，b，c成等比數(shù)列且公比為d. 二、備用習(xí)題 1．公差不為0的等差數(shù)列第二、三、六項(xiàng)構(gòu)成等比數(shù)列，則公比為(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 2．設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比q＝2，且a1a2a3…a30＝230，則a3a6a9…a30等于(　　) A．210 B．220 C．216 D．215 3．各項(xiàng)為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，首項(xiàng)a1＝3，a1＋a2＋a3＝21，則a3＋a4＋a5等于 …… (　　) A．33 B．72 C．84 D．189 4．在和之間插入三個(gè)數(shù)，使這五個(gè)數(shù)成等比數(shù)列，則插入的三個(gè)數(shù)的乘積為__________． 5．在等比數(shù)列{an}中， (1)若a1＝256，a9＝1，求q和a12； (2)若a3a5＝18，a4a8＝72，求q. 6．已知{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，且a1＝b1＝c＞0，a2n＋1＝b2n＋1，比較an＋1與bn＋1的大?。? 參考答案： 1．答案：C 解析：設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為a1，公差為d，由題意，得a＝a2a6，(a1＋2d)2＝(a1＋d)(a1＋5d)． ∴d＝－2a1. 設(shè)等比數(shù)列的公比為q，則q＝＝3. 2．答案：B 解析：由a1a2a3a4…a30＝230，得 …＝230， ∴aaa…a＝(2q)30. ∴a3a6a9…a30＝220. 3．答案：C 解析：由a1＋a2＋a3＝a1＋a1q＋a1q2＝21，∴1＋q＋q2＝7. 解得q＝2，q＝－3(舍去)，∴a3＝a1q2＝34＝12. ∴a3＋a4＋a5＝a3(1＋q＋q2)＝127＝84. 4．答案：216 解析：設(shè)插入的三個(gè)數(shù)為a、b、c，則b2＝＝49＝ac， 所以b＝6，ac＝36，故abc＝216. 5．解：(1)∵a9＝a1q8，∴256q8＝1，即q＝. 當(dāng)q＝時(shí)，a12＝a1q11＝256＝； 當(dāng)q＝－時(shí)，a12＝a1q11＝256(－)11＝－. (2)a1q2a1q4＝18，即aq6＝18. 又a1q3a1q7＝72，即aq10＝72. 兩式相除得q4＝＝4，∴q＝. 6．解：由題意知c＋2nd＝cq2n，∴nd＝(q2n－1)． ∵an＋1－bn＋1＝c＋nd－cqn＝c＋(q2n－1)－cqn＝(qn－1)2≥0， ∴an＋1≥bn＋1. 三、斐波那契數(shù)列的奇妙性質(zhì) 我們看章頭圖中的斐波那契數(shù)列，它有一系列奇妙的性質(zhì)，現(xiàn)簡列以下幾條，供讀者欣賞． 1．從首項(xiàng)開始，我們依次計(jì)算每一項(xiàng)與它的后一項(xiàng)的比值，并精確到小數(shù)點(diǎn)后第四位： ＝1.000 0?。?.000 0 ＝1.500 0　＝1.666 7 ＝1.600 0?。?.625 0 ＝1.615 4　＝1.619 0 ＝1.617 6?。?.618 2 ＝1.618 0?。?.618 1 如果將這一工作不斷地繼續(xù)下去，這個(gè)比值將無限趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)位于1.618 0與1.618 1之間，它還能準(zhǔn)確地用黃金數(shù)表示出來． 2．我們在初中曾經(jīng)遇到過楊輝三角形，如下圖所示，楊輝三角形中虛線上的數(shù)的和恰好組成斐波那契數(shù)列： 3．在斐波那契數(shù)列中，請你驗(yàn)證下列簡單的性質(zhì)： 前n項(xiàng)和Sn＝an＋2－1， anan＋1－an－1an－2＝a2n－1(n≥3)， a＋a＝an－1(n≥2)， an－2an＝a－(－1)n(n≥3)． 據(jù)載首先是由19世紀(jì)法國數(shù)學(xué)家呂卡將級數(shù){Un}：1,1,2,3,5,8,13,21,34，…，Un＋1＝Un＋Un－1命名為斐波那契級數(shù)，它是一種特殊的線性遞歸數(shù)列，在數(shù)學(xué)的許多分支中有廣泛應(yīng)用.1680年意大利—法國學(xué)者卡西尼發(fā)現(xiàn)該級數(shù)的重要關(guān)系式Un＋1Un－1－U＝(－1)n.1730年法國數(shù)學(xué)家棣莫弗給出其通項(xiàng)表達(dá)式，19世紀(jì)初另一位法國數(shù)學(xué)家比內(nèi)首先證明了這一表達(dá)式Sn＝[()n－()n]，現(xiàn)在稱之為比內(nèi)公式． 世界上有關(guān)斐波那契數(shù)列的研究文獻(xiàn)多得驚人．斐波那契數(shù)列不僅是在初等數(shù)學(xué)中引人入勝，而且它的理論已經(jīng)廣泛應(yīng)用，特別是在數(shù)列、運(yùn)籌學(xué)及優(yōu)化理論方面為數(shù)學(xué)家們展開了一片施展才華的廣闊空間．