數(shù)學(xué)分析選講教案-1

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1、《數(shù)學(xué)分析選講》教案1 授課時(shí)間 2005 年9月12日第3周星期一 第 四 大節(jié) 授課地點(diǎn) 6402 實(shí)到人數(shù) 117 授課題目 函數(shù)的概念與性質(zhì)、實(shí)數(shù)理論 授課專業(yè) 班級(jí) 信息與計(jì)算科學(xué) 教學(xué)目的 與 教學(xué)要求 1. 掌握函數(shù)的概念、性質(zhì)和運(yùn)算的方法。 2. 理解實(shí)數(shù)理論的完備性,并會(huì)熟練運(yùn)用,證明有關(guān)問題,. 主 要 內(nèi) 容 1、各種符號(hào),函數(shù)的概念,幾類重要函數(shù),函數(shù)的性質(zhì), 定理1.1 Contor閉區(qū)間套定理,定理1.2 (Bolzano --Weierstrass定理)任何的有界數(shù)列必有收斂子列(列緊性),定理1. 3 (完備性

2、定理) 數(shù)列收斂的充要條件是它為基本數(shù)列。定理1.4 (單調(diào)收斂定理) 單調(diào)有界數(shù)列必收斂。定理1.5 (確界存在定理)上有界的數(shù)集必有上確界;下有界的數(shù)集必有下確界。定理 1.6 (Heine-Borel有限覆蓋定理) 重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn):函數(shù)的性質(zhì)和實(shí)數(shù)理論。 難點(diǎn):實(shí)數(shù)理論 教學(xué)方法 手段(教具) 討論法,傳統(tǒng)教學(xué)方法與使用多媒體相結(jié)合 參考資料 數(shù)學(xué)分析,高等數(shù)學(xué),2005年數(shù)學(xué)研究生考題 2006年高等數(shù)學(xué)考試測(cè)試題 課后作業(yè)與 思考題 作業(yè)1.2.3.4.5.6 思考題:六個(gè)實(shí)數(shù)完備性定理的相互證明。 教學(xué)后記 講稿部分

3、 教學(xué)過程 時(shí)間分配 第一講:函數(shù)的概念與性質(zhì),實(shí)數(shù)理論 一、函數(shù)的概念與性質(zhì) (一)常用符號(hào) N, Z, R, (二) 函數(shù)的概念 1. 函數(shù)的定義 2. 幾個(gè)重要函數(shù) l 分段函數(shù) l 符號(hào)函數(shù) l Dirichlet 函數(shù) l Rinmann 函數(shù) 3. 初等函數(shù) 4. 周期函數(shù) 5.奇偶函數(shù)  6. 復(fù)合函數(shù) 7. 反函數(shù) (三) 函數(shù)的性質(zhì) l 有界性 l 周期性 l 奇偶性 l 單調(diào)性 20m 第 1 頁(yè) 共 頁(yè) 講稿部分 教學(xué)過程 時(shí)間分配

4、, 求 = , 求 設(shè) = 由數(shù)學(xué)歸納法 證明 為R上的有界函數(shù)。 二、實(shí)數(shù)完備性定理 在研究數(shù)列極限以前,我們要討論一下極限存在的環(huán)境問題。它是數(shù)學(xué)分析的另一個(gè)基礎(chǔ):實(shí)數(shù)系和它的完備性。所謂完備性,實(shí)質(zhì)上就是對(duì)極限運(yùn)算的“封閉性”。正因?yàn)閷?shí)數(shù)系有完備性(或連續(xù)統(tǒng)),所以在實(shí)數(shù)系中討論極限問題時(shí)才沒有后顧之憂。 定理1.1 Contor閉區(qū)間套定理, 定理1.2 (Bolzano --Weierstrass定理)任何的有界數(shù)列必有收斂子列(列緊性)。 定理1. 3 (完備性

5、定理) 數(shù)列收斂的充要條件是它為基本數(shù)列。 20m 第 2 頁(yè) 共 頁(yè) 講稿部分 教學(xué)過程 時(shí)間分配 定理1.4 (單調(diào)收斂定理) 單調(diào)有界數(shù)列必收斂。 定理1.5 (確界存在定理)上有界的數(shù)集必有上確界;下有界的數(shù)集必有下確界。 定理 1.6 (Heine-Borel有限覆蓋定理) 三、概念辨析與問題證明 1、 區(qū)間套與有限覆蓋定理的應(yīng)用 區(qū)間套定理通常用于將函數(shù)在某一閉區(qū)間上成立的性質(zhì)歸結(jié)為在某點(diǎn)鄰域的性質(zhì),體現(xiàn)了整體收縮為局部的特點(diǎn)。他所證明的結(jié)論涉及到某一點(diǎn)的問題,例如,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性問題,有界數(shù)列存在收斂子列問題等。 而有限覆蓋定理得

6、作用與區(qū)間套定理相反,它是把函數(shù)在每點(diǎn)某鄰域的性質(zhì)拓展為函數(shù)在閉區(qū)間上所共有的性質(zhì)。例如函數(shù)在閉區(qū)間上逐點(diǎn)連續(xù)推出函數(shù)在閉區(qū)間上一致連續(xù)。 區(qū)間套與有限覆蓋定理是同一事物的兩個(gè)方面,可以相互轉(zhuǎn)化,從反證法的觀點(diǎn)來看,局部點(diǎn)的反面變成了整體,,反之亦然。 若函數(shù) 在上有定義恒取正值, = 則在[a, b] 上必有正的下界。 2 聚點(diǎn)與聚點(diǎn)定理 是的聚點(diǎn), 聚點(diǎn)是對(duì)數(shù)集而言,極限是對(duì)數(shù)列而言。聚點(diǎn)不一定是極限點(diǎn),極限點(diǎn)也不一定是聚點(diǎn)。當(dāng)收斂數(shù)列有無窮項(xiàng)相異時(shí),則極限點(diǎn)比為聚點(diǎn)。 ,不是的聚點(diǎn),但數(shù)列有極限。

7、有聚點(diǎn)但不是沒有極限點(diǎn) 20m 第 3 頁(yè) 共 頁(yè) 講稿部分 教學(xué)過程 時(shí)間分配 聚點(diǎn)的等價(jià)定義:是的聚點(diǎn),以下三個(gè)定義等價(jià): I 含有的無窮多個(gè)點(diǎn) II 含有內(nèi)至少一個(gè)點(diǎn) III 使得 3.確界原理應(yīng)用舉例 設(shè)函數(shù) 在上單調(diào)遞增,且 證明 使得 : 由, E非空有上界,必有上確界 欲證 單增 是的一個(gè)上界,所以 (1) 又單增, 得到 即 (2) 由(1)(2)知道 3. 致密性定理應(yīng)用舉例 設(shè)函數(shù), 且有唯一最值點(diǎn), 若 且 證明 :

8、 為有界數(shù)列,有收斂的子列記作 20m 第 4 頁(yè) 共 頁(yè) 講稿部分 教學(xué)過程 時(shí)間分配 并記 顯然 再由 這與為的唯一最值點(diǎn)矛盾。 4.多種方法證明 設(shè)函數(shù) 在上只有第一類間斷點(diǎn)(可以有無窮多個(gè)),證明 在上有界 1.:(致密性定理)反證,若在上無界,存在,可找出,有界,必有收斂的子列 時(shí)在上無界。 小結(jié):掌握函數(shù)的各種性質(zhì),理解初等函數(shù)的概念及復(fù)合運(yùn)算。 20m 第 5頁(yè) 共 頁(yè) 講稿部分 教學(xué)過程 時(shí)間分配 作業(yè)題 1 , 求 2

9、試證 不是周期函數(shù) 3 證明 每一點(diǎn)都有有限值,但每一點(diǎn)的鄰域內(nèi)函數(shù)無界。 4 證明是滿足不等式 一切正有理數(shù)的下確界。 5 已知在每一點(diǎn)極限存在,證明在上有界 6.設(shè)函數(shù) 且有界,,=在至多有有限實(shí)根,證明存在 35m 第 6 頁(yè) 共 頁(yè) 《數(shù)學(xué)分析選講》教案2 授課時(shí)間 2005 年9月14日第3周星期三 第二 大節(jié) 授課地點(diǎn) 6403 實(shí)到人數(shù) 117 授課題目 數(shù)列極限,實(shí)數(shù)理論 授課專業(yè) 班級(jí) 信息與計(jì)算科學(xué) 教學(xué)目的 與 教學(xué)要求 1 掌握數(shù)列的概念、性質(zhì)和運(yùn)算的方法。

10、2.掌握數(shù)列收斂的判別方法,并會(huì)熟練運(yùn)用,證明有關(guān)問題,. 主 要 內(nèi) 容 1、數(shù)列極限概念、 性質(zhì),唯一性、有界性、包號(hào)性、保序性、 迫斂性。(Bolzano --Weierstrass定理)任何的有界數(shù)列必有收斂子列(列緊性),柯西基本列。 2、 收斂數(shù)列判別 單調(diào)收斂定理、 單調(diào)有界數(shù)列必收斂。海因定理。Stolz 定理,壓縮影響原理 3、 判別法應(yīng)用及運(yùn)算技巧 重點(diǎn)與難點(diǎn) 重點(diǎn):各種判別法。 難點(diǎn):運(yùn)算技巧 教學(xué)方法 手段(教具) 討論法,傳統(tǒng)教學(xué)方法與使用多媒體相結(jié)合 參考資料 數(shù)學(xué)分析,高等數(shù)學(xué),2005年數(shù)學(xué)研究生考題 2006年高等數(shù)學(xué)考試測(cè)

11、試題 課后作業(yè)與 思考題 作業(yè)1.2.3.4.5.6 思考題:各種判別法相互關(guān)系。 教學(xué)后記 講稿部分 教學(xué)過程 時(shí)間分配 第二講 數(shù)列的極限 數(shù)學(xué)分析的最根本的概念是極限。數(shù)學(xué)分析所有的概念都基于極限。如數(shù)列極限,函數(shù)極限,連續(xù),導(dǎo)數(shù),積分等的定義都是某種類型的極限。 (一)基本概念和定理 1. 性質(zhì) 唯一性,有界性,保號(hào)性,保序性迫斂性 2. 四則運(yùn)算 3. 幾個(gè)公式 4常用收斂判別方法 (1)Cauchy Principl

12、e, (2)單調(diào)有界定理,(3)兩面夾定理, (4)Stolz定理。 (5)壓縮映像原理,(6)定積分法 5 三個(gè)不等式 (1)Bernulli Inequality (2) Schwarz Inequality (3)AG Inequality 20m 第 1頁(yè) 共 頁(yè) 講稿部分不 教學(xué)過程 時(shí)間分配 (二)應(yīng)用舉例  用Cauchy Principle證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散。  用單調(diào)有界定理證明     

13、   證明                單調(diào)遞減 下確界為零 設(shè)為兩正實(shí)數(shù), 證明 收斂,并有相同的極限。 20m 第 2頁(yè) 共 頁(yè) 講稿部分 教學(xué)過程 時(shí)間分配 (三) 壓縮映像原理 1.壓縮數(shù)列 2.壓縮函數(shù) 3 有界變差數(shù)列 20m 第 3頁(yè) 共 頁(yè) 講稿部分 教學(xué)過程 時(shí)間分配 有界變差數(shù)列,壓縮數(shù)列均收斂 先證有界變差數(shù)列收斂 單調(diào)地遞增有上界 故收斂

14、 收斂 再證壓縮數(shù)列收斂 ++ 2.壓縮函數(shù) 壓縮函數(shù)列應(yīng)用 設(shè) 證明 20m 第 4頁(yè) 共 頁(yè) 講稿部分 教學(xué)過程 時(shí)間分配 此題證明有理數(shù)逼近無理數(shù)。 為壓縮數(shù)列 (四)Stolz 定理 1. 如果 單調(diào)遞增趨于正無窮, 2應(yīng)用舉例 1 (算術(shù)平均收斂公式)設(shè) 證明 2 3 (五)運(yùn)用定積分求極限 1 求 () 20m 第 5頁(yè) 共 頁(yè) 講稿部分 教學(xué)過程 時(shí)間分配 2

15、 3 (六)運(yùn)用級(jí)數(shù)收的必要條件證明極限為零 1 證明 2 (七)運(yùn)用海因定理求極限 1 令 20m 第 6頁(yè) 共 頁(yè) 講稿部分 教學(xué)過程 時(shí)間分配 小結(jié): 本次課主要掌握數(shù)列極限的各種收斂定理,判別方法,以及求極限的各種技巧,要多做練習(xí),達(dá)到熟能生巧,融會(huì)貫通。 作業(yè)2 1.設(shè) 求 2. 證明 3 若 證明 4 求 5求 6 已知 求 20m 第 7頁(yè) 共 頁(yè)

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