《數(shù)學(xué)分析選講教案-1》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《數(shù)學(xué)分析選講教案-1(16頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、《數(shù)學(xué)分析選講》教案1
授課時(shí)間
2005 年9月12日第3周星期一 第 四 大節(jié)
授課地點(diǎn)
6402
實(shí)到人數(shù)
117
授課題目
函數(shù)的概念與性質(zhì)、實(shí)數(shù)理論
授課專業(yè)
班級(jí)
信息與計(jì)算科學(xué)
教學(xué)目的
與
教學(xué)要求
1. 掌握函數(shù)的概念、性質(zhì)和運(yùn)算的方法。
2. 理解實(shí)數(shù)理論的完備性,并會(huì)熟練運(yùn)用,證明有關(guān)問題,.
主
要
內(nèi)
容
1、各種符號(hào),函數(shù)的概念,幾類重要函數(shù),函數(shù)的性質(zhì),
定理1.1 Contor閉區(qū)間套定理,定理1.2 (Bolzano --Weierstrass定理)任何的有界數(shù)列必有收斂子列(列緊性),定理1. 3 (完備性
2、定理) 數(shù)列收斂的充要條件是它為基本數(shù)列。定理1.4 (單調(diào)收斂定理) 單調(diào)有界數(shù)列必收斂。定理1.5 (確界存在定理)上有界的數(shù)集必有上確界;下有界的數(shù)集必有下確界。定理 1.6 (Heine-Borel有限覆蓋定理)
重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn):函數(shù)的性質(zhì)和實(shí)數(shù)理論。
難點(diǎn):實(shí)數(shù)理論
教學(xué)方法
手段(教具)
討論法,傳統(tǒng)教學(xué)方法與使用多媒體相結(jié)合
參考資料
數(shù)學(xué)分析,高等數(shù)學(xué),2005年數(shù)學(xué)研究生考題
2006年高等數(shù)學(xué)考試測(cè)試題
課后作業(yè)與
思考題
作業(yè)1.2.3.4.5.6
思考題:六個(gè)實(shí)數(shù)完備性定理的相互證明。
教學(xué)后記
講稿部分
3、
教學(xué)過程
時(shí)間分配
第一講:函數(shù)的概念與性質(zhì),實(shí)數(shù)理論
一、函數(shù)的概念與性質(zhì)
(一)常用符號(hào) N, Z, R,
(二) 函數(shù)的概念
1. 函數(shù)的定義
2. 幾個(gè)重要函數(shù)
l 分段函數(shù)
l 符號(hào)函數(shù)
l Dirichlet 函數(shù)
l Rinmann 函數(shù)
3. 初等函數(shù) 4. 周期函數(shù) 5.奇偶函數(shù) 6. 復(fù)合函數(shù) 7. 反函數(shù)
(三) 函數(shù)的性質(zhì)
l 有界性
l 周期性
l 奇偶性
l 單調(diào)性
20m
第 1 頁(yè) 共 頁(yè)
講稿部分
教學(xué)過程
時(shí)間分配
4、, 求
=
, 求
設(shè) = 由數(shù)學(xué)歸納法
證明 為R上的有界函數(shù)。
二、實(shí)數(shù)完備性定理
在研究數(shù)列極限以前,我們要討論一下極限存在的環(huán)境問題。它是數(shù)學(xué)分析的另一個(gè)基礎(chǔ):實(shí)數(shù)系和它的完備性。所謂完備性,實(shí)質(zhì)上就是對(duì)極限運(yùn)算的“封閉性”。正因?yàn)閷?shí)數(shù)系有完備性(或連續(xù)統(tǒng)),所以在實(shí)數(shù)系中討論極限問題時(shí)才沒有后顧之憂。
定理1.1 Contor閉區(qū)間套定理,
定理1.2 (Bolzano --Weierstrass定理)任何的有界數(shù)列必有收斂子列(列緊性)。
定理1. 3 (完備性
5、定理) 數(shù)列收斂的充要條件是它為基本數(shù)列。
20m
第 2 頁(yè) 共 頁(yè)
講稿部分
教學(xué)過程
時(shí)間分配
定理1.4 (單調(diào)收斂定理) 單調(diào)有界數(shù)列必收斂。
定理1.5 (確界存在定理)上有界的數(shù)集必有上確界;下有界的數(shù)集必有下確界。
定理 1.6 (Heine-Borel有限覆蓋定理)
三、概念辨析與問題證明
1、 區(qū)間套與有限覆蓋定理的應(yīng)用
區(qū)間套定理通常用于將函數(shù)在某一閉區(qū)間上成立的性質(zhì)歸結(jié)為在某點(diǎn)鄰域的性質(zhì),體現(xiàn)了整體收縮為局部的特點(diǎn)。他所證明的結(jié)論涉及到某一點(diǎn)的問題,例如,閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)存在性問題,有界數(shù)列存在收斂子列問題等。
而有限覆蓋定理得
6、作用與區(qū)間套定理相反,它是把函數(shù)在每點(diǎn)某鄰域的性質(zhì)拓展為函數(shù)在閉區(qū)間上所共有的性質(zhì)。例如函數(shù)在閉區(qū)間上逐點(diǎn)連續(xù)推出函數(shù)在閉區(qū)間上一致連續(xù)。 區(qū)間套與有限覆蓋定理是同一事物的兩個(gè)方面,可以相互轉(zhuǎn)化,從反證法的觀點(diǎn)來看,局部點(diǎn)的反面變成了整體,,反之亦然。
若函數(shù) 在上有定義恒取正值,
= 則在[a, b] 上必有正的下界。
2 聚點(diǎn)與聚點(diǎn)定理
是的聚點(diǎn),
聚點(diǎn)是對(duì)數(shù)集而言,極限是對(duì)數(shù)列而言。聚點(diǎn)不一定是極限點(diǎn),極限點(diǎn)也不一定是聚點(diǎn)。當(dāng)收斂數(shù)列有無窮項(xiàng)相異時(shí),則極限點(diǎn)比為聚點(diǎn)。
,不是的聚點(diǎn),但數(shù)列有極限。
7、有聚點(diǎn)但不是沒有極限點(diǎn)
20m
第 3 頁(yè) 共 頁(yè)
講稿部分
教學(xué)過程
時(shí)間分配
聚點(diǎn)的等價(jià)定義:是的聚點(diǎn),以下三個(gè)定義等價(jià):
I 含有的無窮多個(gè)點(diǎn)
II 含有內(nèi)至少一個(gè)點(diǎn)
III 使得
3.確界原理應(yīng)用舉例
設(shè)函數(shù) 在上單調(diào)遞增,且
證明 使得
: 由, E非空有上界,必有上確界 欲證
單增
是的一個(gè)上界,所以 (1)
又單增,
得到 即 (2)
由(1)(2)知道
3. 致密性定理應(yīng)用舉例
設(shè)函數(shù), 且有唯一最值點(diǎn), 若
且 證明
:
8、 為有界數(shù)列,有收斂的子列記作
20m
第 4 頁(yè) 共 頁(yè)
講稿部分
教學(xué)過程
時(shí)間分配
并記 顯然 再由
這與為的唯一最值點(diǎn)矛盾。
4.多種方法證明
設(shè)函數(shù) 在上只有第一類間斷點(diǎn)(可以有無窮多個(gè)),證明
在上有界
1.:(致密性定理)反證,若在上無界,存在,可找出,有界,必有收斂的子列
時(shí)在上無界。
小結(jié):掌握函數(shù)的各種性質(zhì),理解初等函數(shù)的概念及復(fù)合運(yùn)算。
20m
第 5頁(yè) 共 頁(yè)
講稿部分
教學(xué)過程
時(shí)間分配
作業(yè)題
1 , 求
2
9、試證 不是周期函數(shù)
3 證明 每一點(diǎn)都有有限值,但每一點(diǎn)的鄰域內(nèi)函數(shù)無界。
4 證明是滿足不等式 一切正有理數(shù)的下確界。
5 已知在每一點(diǎn)極限存在,證明在上有界
6.設(shè)函數(shù) 且有界,,=在至多有有限實(shí)根,證明存在
35m
第 6 頁(yè) 共 頁(yè)
《數(shù)學(xué)分析選講》教案2
授課時(shí)間
2005 年9月14日第3周星期三 第二 大節(jié)
授課地點(diǎn)
6403
實(shí)到人數(shù)
117
授課題目
數(shù)列極限,實(shí)數(shù)理論
授課專業(yè)
班級(jí)
信息與計(jì)算科學(xué)
教學(xué)目的
與
教學(xué)要求
1 掌握數(shù)列的概念、性質(zhì)和運(yùn)算的方法。
10、2.掌握數(shù)列收斂的判別方法,并會(huì)熟練運(yùn)用,證明有關(guān)問題,.
主
要
內(nèi)
容
1、數(shù)列極限概念、 性質(zhì),唯一性、有界性、包號(hào)性、保序性、
迫斂性。(Bolzano --Weierstrass定理)任何的有界數(shù)列必有收斂子列(列緊性),柯西基本列。
2、 收斂數(shù)列判別 單調(diào)收斂定理、 單調(diào)有界數(shù)列必收斂。海因定理。Stolz 定理,壓縮影響原理
3、 判別法應(yīng)用及運(yùn)算技巧
重點(diǎn)與難點(diǎn)
重點(diǎn):各種判別法。
難點(diǎn):運(yùn)算技巧
教學(xué)方法
手段(教具)
討論法,傳統(tǒng)教學(xué)方法與使用多媒體相結(jié)合
參考資料
數(shù)學(xué)分析,高等數(shù)學(xué),2005年數(shù)學(xué)研究生考題
2006年高等數(shù)學(xué)考試測(cè)
11、試題
課后作業(yè)與
思考題
作業(yè)1.2.3.4.5.6
思考題:各種判別法相互關(guān)系。
教學(xué)后記
講稿部分
教學(xué)過程
時(shí)間分配
第二講 數(shù)列的極限
數(shù)學(xué)分析的最根本的概念是極限。數(shù)學(xué)分析所有的概念都基于極限。如數(shù)列極限,函數(shù)極限,連續(xù),導(dǎo)數(shù),積分等的定義都是某種類型的極限。
(一)基本概念和定理
1. 性質(zhì) 唯一性,有界性,保號(hào)性,保序性迫斂性
2. 四則運(yùn)算
3. 幾個(gè)公式
4常用收斂判別方法
(1)Cauchy Principl
12、e, (2)單調(diào)有界定理,(3)兩面夾定理,
(4)Stolz定理。 (5)壓縮映像原理,(6)定積分法
5 三個(gè)不等式
(1)Bernulli Inequality
(2) Schwarz Inequality
(3)AG Inequality
20m
第 1頁(yè) 共 頁(yè)
講稿部分不
教學(xué)過程
時(shí)間分配
(二)應(yīng)用舉例
用Cauchy Principle證明調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散。
用單調(diào)有界定理證明
13、 證明
單調(diào)遞減 下確界為零
設(shè)為兩正實(shí)數(shù),
證明 收斂,并有相同的極限。
20m
第 2頁(yè) 共 頁(yè)
講稿部分
教學(xué)過程
時(shí)間分配
(三) 壓縮映像原理
1.壓縮數(shù)列
2.壓縮函數(shù)
3 有界變差數(shù)列
20m
第 3頁(yè) 共 頁(yè)
講稿部分
教學(xué)過程
時(shí)間分配
有界變差數(shù)列,壓縮數(shù)列均收斂
先證有界變差數(shù)列收斂
單調(diào)地遞增有上界 故收斂
14、
收斂
再證壓縮數(shù)列收斂
++
2.壓縮函數(shù)
壓縮函數(shù)列應(yīng)用
設(shè)
證明
20m
第 4頁(yè) 共 頁(yè)
講稿部分
教學(xué)過程
時(shí)間分配
此題證明有理數(shù)逼近無理數(shù)。
為壓縮數(shù)列
(四)Stolz 定理
1. 如果 單調(diào)遞增趨于正無窮,
2應(yīng)用舉例
1 (算術(shù)平均收斂公式)設(shè)
證明
2
3
(五)運(yùn)用定積分求極限
1 求 ()
20m
第 5頁(yè) 共 頁(yè)
講稿部分
教學(xué)過程
時(shí)間分配
2
15、
3
(六)運(yùn)用級(jí)數(shù)收的必要條件證明極限為零
1 證明
2
(七)運(yùn)用海因定理求極限
1
令
20m
第 6頁(yè) 共 頁(yè)
講稿部分
教學(xué)過程
時(shí)間分配
小結(jié):
本次課主要掌握數(shù)列極限的各種收斂定理,判別方法,以及求極限的各種技巧,要多做練習(xí),達(dá)到熟能生巧,融會(huì)貫通。
作業(yè)2
1.設(shè)
求
2. 證明
3 若 證明
4 求
5求
6 已知 求
20m
第 7頁(yè) 共 頁(yè)