普通物理學教程力學課后答案高等教育出版社第七章 剛體力學習題解答

第7章剛體力學 第七章剛體力學習題解答7.1.2 汽車發(fā)動機的轉速在12s內由1200rev/min增加到3000rev/min.假設轉動是勻加速轉動，求角加速度。在此時間內，發(fā)動機轉了多少轉？解：對應的轉數(shù)=7.1.3 某發(fā)動機飛輪在時間間隔t內的角位移為。求t時刻的角速度和角加速度。解：7.1.4 半徑為0.1m的圓盤在鉛直平面內轉動，在圓盤平面內建立o-xy坐標系，原點在軸上，x和y軸沿水平和鉛直向上的方向。邊緣上一點A當t=0時恰好在x軸上，該點的角坐標滿足=1.2t+t2 (:rad,t:s)。t=0時，自t=0開始轉45時，轉過90時，A點的速度和加速度在x和y軸上的投影。 解： t=0時，=/4時,由=1.2t+t2,求得t=0.47s,=1.2+2t=2.14rad/s=/2時,由=1.2t+t2,求得t=0.7895s,=1.2+2t=2.78rad/s7.1.5 鋼制爐門由兩個各長1.5m的平行臂AB和CD支承，以角速率=10rad/s逆時針轉動，求臂與鉛直成45時門中心G的速度和加速度。解：因爐門在鉛直面內作平動，所以門中心G的速度、加速度與B點或D點相同，而B、D兩點作勻速圓周運動,因此，方向指向右下方，與水平方向成45；，方向指向右上方，與水平方向成457.1.6 收割機撥禾輪上面通常裝4到 6個壓板，撥禾輪一邊旋轉，一邊隨收割機前進。壓板轉到下方才發(fā)揮作用，一方面把農作物壓向切割器，一方面把切下來 的作物鋪放在收割臺上，因此要求壓板運動到下方時相對于作物的速度與收割機前進方向相反。已知收割機前進速率為1.2m/s，撥禾輪直徑1.5m，轉速22rev/min,求壓板運動到最低點擠壓作物的速度。解：撥禾輪的運動是平面運動，其上任一點的速度等于撥禾輪輪心C隨收割機前進的平動速度加上撥禾輪繞輪心轉動的速度。壓板運動到最低點時，其轉動速度方向與收割機前進速度方向相反，壓板相對地面（即農作物）的速度負號表示壓板擠壓作物的速度方向與收割機前進方向相反。7.1.7飛機沿水平方向飛行，螺旋槳尖端所在半徑為150cm，發(fā)動機轉速2000rev/min. 槳尖相對于飛機的線速率等于多少？若飛機以250km/h的速率飛行，計算槳尖相對地面速度的大小，并定性說明槳尖的軌跡。解：槳尖相對飛機的速度： 槳尖相對地面的速度：，飛機相對地面的速度與螺旋槳相對飛機的速度總是垂直的，所以，顯然，槳尖相對地面的運動軌跡為螺旋線7.1.8桑塔納汽車時速為166km/h，車輪滾動半徑為0.26m，發(fā)動機轉速與驅動輪轉速比為0.909, 問發(fā)動機轉速為每分多少轉？解：設車輪半徑為R=0.26m，發(fā)動機轉速為n1, 驅動輪轉速為n2, 汽車速度為v=166km/h。顯然，汽車前進的速度就是驅動輪邊緣的線速度，所以：7.2.2 在下面兩種情況下求直圓錐體的總質量和質心位置。圓錐體為勻質；密度為h的函數(shù)：=0（1-h/L）,0為正常數(shù)。解：建立圖示坐標o-x,據(jù)對稱性分析，質心必在x軸上,在x坐標處取一厚為dx的質元 dm=r2dx，r/a=x/L，r=ax/L dm=a2x2dx/L2 圓錐體為勻質，即為常數(shù)，總質量：質心：總質量：質心：7.2.3 長度為L的勻質桿，令其豎直地立于光滑的桌面上，然后放開手，由于桿不可能絕對沿鉛直方向，故隨即到下。求桿子的上端點運動的軌跡（選定坐標系，并求出軌跡的方程式）。解：設桿在o-xy平面內運動。因桿 在運動過程中，只受豎直向上的支承力和豎直向下的重力的作用，在水平方向不受外力作用，vcx=0,acx=0，即質心C無水平方向的移動，只能逆著y軸作加速直線運動，直到倒在桌面上。 取桿的上端點的坐標為x,y，勻質桿的質心在其幾何中心，由圖示的任一瞬間的幾何關系可知：4x2+y2=L2(x0,y0)7.3.1 用積分法證明：質量為m常為l的勻質細桿對通過中心且與桿垂直的軸線的轉動慣量等于；用積分法證明：質量為m半徑為R的勻質薄圓盤對通過中心且在盤面內的軸線的轉動慣量等于證明：取圖示坐標，在坐標x處取一線元，它對y軸的轉動慣量為：，xydxl/2-l/2整個細桿對y軸的轉動慣量：在坐標x處取細桿狀質元，它對x軸的轉動慣量：整個圓盤對x軸的轉動慣量：為了能求出積分，作如下變換：代入上式：據(jù)三角函數(shù)公式：7.3.2 圖示實驗用的擺，l=0.92m,r=0.08m,ml=4.9kg,mr=24.5kg,近似認為圓形部分為勻質圓盤，長桿部分為勻質細桿。求對過懸點且與盤面垂直的軸線的轉動慣量。 解：擺對o軸的轉動慣量I等于桿對o軸的轉動慣量Il加上圓盤對o軸的轉動慣量Ir，即I=Il+Ir.根據(jù)平行軸定理7.3.3 在質量為M，半徑為R的勻質圓盤上挖出半徑為r的兩個圓孔，圓孔中心在半徑R的中點，求剩余部分對過大圓盤中心且與盤面垂直的軸線的轉動慣量。解：大圓盤對過圓盤中心o且與盤面垂直的軸線（以下簡稱o軸）的轉動慣量為 .由于對稱放置，兩個小圓盤對o軸的轉動慣量相等，設為I，圓盤質量的面密度=M/R2，根據(jù)平行軸定理，設挖去兩個小圓盤后，剩余部分對o軸的轉動慣量為I”7.3.5一轉動系統(tǒng)的轉動慣量為I=8.0kgm2，轉速為=41.9rad/s，兩制動閘瓦對輪的壓力都為392N，閘瓦與輪緣間的摩擦系數(shù)為=0.4，輪半徑為r=0.4m，問從開始制動到靜止需多長時間？解：由轉動定理：制動過程可視為勻減速轉動，7.3.6 勻質桿可繞支點o轉動，當與桿垂直的沖力作用某點A時，支點o對桿的作用力并不因此沖力之作用而發(fā)生變化，則A點稱為打擊中心。設桿長為L，求打擊中心與支點的距離。 解：建立圖示坐標o-xyz,z軸垂直紙面向外。據(jù)題意，桿受力及運動情況如圖所示。由質心運動定理： 由轉動定理； A F把代入中，可求得 7.3.7 現(xiàn)在用阿特伍德機測滑輪轉動慣量。用輕線且盡可能潤滑輪軸。兩端懸掛重物質量各為m1=0.46kg，m2=0.5kg，滑輪半徑為0.05m。自靜止始，釋放重物后并測得0.5s內m2下降了0.75m?；嗈D動慣量是多少？解： T2 T1 x o R a a y m1m2 m2g m1g T2 T1 隔離m2、m1及滑輪，受力及運動情況如圖所示。對m2、m1分別應用牛頓第二定律：對滑輪應用轉動定理： （3）質點m2作勻加速直線運動，由運動學公式：，由 、可求得 ,代入（3）中，可求得 ，代入數(shù)據(jù)：7.3.8斜面傾角為，位于斜面頂端的卷揚機鼓輪半徑為R，轉動慣量為I，受到驅動力矩，通過繩所牽動斜面上質量為m的物體，物體與斜面間的摩擦系數(shù)為，求重物上滑的加速度，繩與斜面平行，不計繩質量。解：隔離鼓輪與重物，受力分析如圖，其中T為繩中張力，f=N為摩擦力，重物上滑加速度與鼓輪角加速度的關系為a=R對重物應用牛二定律：T- N- mgsin=ma, N=mgcos，代入前式，得 T- mgcos- mgsin=ma 對鼓輪應用轉動定理：mgTNfaT- TR=I=Ia/R 由聯(lián)立，可求得重物上滑的加速度：m1,m2hr7.3.9利用圖中所示裝置測一輪盤的轉動慣量，懸線和軸的垂直距離為r，為減小因不計軸承摩擦力矩而產生的誤差，先懸掛質量較小的重物m1，從距地面高度為h處由靜止開始下落，落地時間為t1，然后懸掛質量較大的重物m2，同樣自高度h處下落，所需時間為t2，根據(jù)這些數(shù)據(jù)確定輪盤的轉動慣量，近似認為兩種情況下摩擦力矩相等。TTmgafr解：隔離輪盤與重物，受力及運動情況如圖示：f為摩擦力矩，T為繩中張力，a=r對輪盤應用轉動定理：，兩式相減，得：對重物應用牛頓二定律：，兩式相減，可得：，代入中，可得：由運動學公式：，將角加速度代入中，得：7.4.1 扇形裝置如圖，可繞光滑的鉛直軸線o轉動，其轉動慣量為I.裝置的一端有槽，槽內有彈簧，槽的中心軸線與轉軸垂直距離為r。在槽內裝有一小球，質量為m，開始時用細線固定，使彈簧處于壓縮狀態(tài)。現(xiàn)在燃火柴燒斷細線，小球以速度v0彈出。求轉動裝置的反沖角速度。在彈射過程中，由小球和轉動裝置構成的系統(tǒng)動能守恒否？總機械能守恒否？為什么？解：取小球、轉動裝置構成的物體系為研究對象。在彈射過程中，物體系相對豎直軸o未受外力距作用，故物體系對轉軸o的角動量守恒，規(guī)定順時方向為正，有 在彈射過程中，物體系動能不 守恒，因彈力做正功使動能增加；總機械能守恒，因為只有保守內力（彈力）做功。7.4.2 質量為2.97kg，長為1.0m的勻質等截面細桿可繞水平光滑的軸線o轉動，最初桿靜止于鉛直方向。一彈片質量為10g，以水平速度200m/s射出并嵌入桿的下端，和桿一起運動，求桿的最大擺角. o 解：將子彈、桿構成的物體系作為研究對象，整個過程可分為兩個階段研究：第一階段，子彈與桿發(fā)生完全非彈性碰撞，獲得共同的角速度，此過程時間極短，可認為桿原地未動。由于在此過程中，外力矩為零， 因此角動量守恒，第二階段，子彈與桿以共同的初角速度擺動到最大角度，由于在此過程中，只有重力做功，所以物體系的機械能守恒，物體系原來的動能等于重力勢能的增量： =30347.4.3一質量為m1，速度為v1的子彈沿水平面擊中并嵌入一質量為m2=99m1，長度為L的棒的端點，速度v1與棒垂直，棒原來靜止于光滑的水平面上，子彈擊中棒后共同運動，求棒和子彈繞垂直與平面的軸的角速度等于多少？OCAm2,Lv1m1解：以地為參考系，把子彈和棒看作一個物體系，棒嵌入子彈后作平面運動，可視為隨質心C的平動和繞質心C的轉動，繞質心C轉動的角速度即為所求。據(jù)質心定義: ，據(jù)角動量守恒：7.5.1 10m高的煙囪因底部損壞而倒下來，求其上端到達地面時的線速度，設傾倒時，底部未移動，可近似認為煙囪為勻質桿。解：設煙囪質量為m，高為h，質心高度hC=h/2，對轉軸的轉動慣量，倒在地面上時的角速度為由機械能守恒：上端點到達地面時的線速度：ABB Ao7.5.2 用四根質量各為m長度各為l的勻質細桿制成正方形框架，可繞其中一邊的中點在豎直平面內轉動，支點o是光滑的。最初，框架處于靜止且AB邊沿豎直方向，釋放后向下擺動，求當AB邊達到水平時，框架質心的線速度vc及框架作用于支點的壓力N.解：先求出正方形框架對支點o的轉動慣量： Ep=0設AB邊達到水平位置時，框架的角速度為，據(jù)機械能守恒定律： AB邊在水平位置時，框架所受到的向上的支撐力N和向下的重力W的作用線均通過支點o，對o軸的力矩為零，據(jù)轉動定理，框架的角加速度為零，ac=2l/2=6g/7，方向向上。規(guī)定向上方向為正，對框架應用質心運動定理：據(jù)牛頓第三定律，支點受到的壓力，大小等于N，方向向下。7.5.3由長為l，質量為m的勻質細桿組成正方形框架，其中一角連于水平光滑轉軸O，轉軸與框架所在平面垂直，最初，對角線OP處于水平，然后從靜止開始向下自由擺動，求OP對角線與水平成45時P點的速度，并求此時框架對支點的作用力。解：先求出框架對O軸的轉動慣量：據(jù)平行軸定理，OPCn4mgN設對角線OP轉過45后框架的角速度為，且勢能為零，由機械能守恒：設支點O對框架的作用力為N，由定軸轉動定理：= I，質心的法向加速度 在方向應用質心運動定理：，在方向應用質心運動定理：，設與-方向夾角為，7.5.4 質量為m長為l的勻質桿，其B端放在桌上，A端用手支住，使桿成水平。突然釋放A端，在此瞬時，求：桿質心的加速度，桿B端所受的力。解：以支點B為轉軸，應用轉動定理：，質心加速度 ，方向向下。 設桿B端受的力為N，對桿應用質心運動定理：Ny=0，Nx - mg = - m ac , Nx = m(g ac) = mg/4 N = mg/4，方向向上。7.5.5 下面是勻質圓柱體在水平地面上作無滑滾動的幾種情況，求地面對圓柱體的靜摩擦力f.沿圓柱體上緣作用一水平拉力F,柱體作加速滾動。水平拉力F通過圓柱體中心軸線，柱體作加速滾動。不受任何主動力的拉動或推動，柱體作勻速滾動。在主動力偶矩的驅動下加速滾動，設柱體半徑為R。解：規(guī)定前進方向和順時針方向為正方向。假設靜摩擦力方向向后，其余受力情況如圖所所示。對每種情況，都可以根據(jù)質心定理、繞質心軸的轉動定理和只滾不滑條件，建立三個方程求解。 可求得f = - F/3,負號說明靜摩擦力方向與假設方向相反，應向前。 可求得f = F/3,正號說明靜摩擦力方向與假設方向相同，向后。 ac = 0 , f = 0,求得 負號說明靜摩擦力方向與假設方向相反，應向前。7.5.6 板的質量為M，受水平力F的作用，沿水平面運動，板與平面間的摩擦系數(shù)為.在板上放一半徑為R質量為M2的實心圓柱，此圓柱只滾動不滑動。求板的加速度。解：隔離圓柱，其受力及運動情況如圖所示，其中ac為質心對地的加速度，為相對質心的角加速度，f2、N2分別為板施加給 圓柱的靜摩擦力和壓力。 由質心定理： 對質心應用轉動定理： 隔離木板，其受力及運動情況如圖所示， 其中a為板對地的加速度，f1、N1分別為水平 面施加給板的滑動摩擦力和壓力。 應用牛頓第二定律（或質心定理）： 圓柱在木板上只滾不滑的條件是：a = ac +R (6) (圓柱與板接觸點對地的加速度等于質心加速度加上繞質心轉動的加速度，即ac+R，它必須等于木板對地的加速度a,才能只滾不滑)將（2）代入（4）求得：N1=(M+M2)g；由（1）（3）可解得，2ac=R 與（6）聯(lián)立，可求得，ac=a/3, 代入（1）中，f2 = a M2 /3；將N1、f2代入（5）中，有7.5.7 在水平桌面上放置一質量為m的線軸，內徑為b，外徑為R,其繞中心軸轉動慣量為mR2/3,線軸和地面之間的靜摩擦系數(shù)為。線軸受一水平拉力F,如圖所示。使線軸在桌面上保持無滑滾動之F最大值是多少？若F和水平方向成角，試證，cosb/R時，線軸向前滾；cosb/R時，線軸向后滾動。解：可將（1）看作（2）的特殊情況。建立圖示坐標，z軸垂直紙面 向外，為角量的正方向。根據(jù)靜摩擦 力的性質，可知其方向與F水平分量方向相反。設線軸質心的加速度為a，繞質心的角加速度為。由質心定理：由轉動定理： 只滾不滑：a+R=0 (4) 由,聯(lián)立，可求得： F為水平拉力時，即 . 若，即線軸向前滾； 若，即線軸向后滾。7.5.9 一質量為m,半徑為r的均質實心小球沿圓弧形導軌自靜止開始無滑滾下，圓弧形導軌在鉛直面內，半徑為R。最初，小球質心與圓環(huán)中心同高度。求小球運動到最低點時的速率以及它作用于導軌的正壓力。解：設小球運動到最低點時，其質心速度為v，繞質心轉動的角速度為，由機械能守恒，有只滾不滑條件：=v/r,代入上式，可求得 在最低點應用質心運動定理： ，作用于導軌的正壓力與此等大，方向向下。7.6.1 汽車在水平路面上勻速行駛，后面牽引旅行拖車，假設拖車僅對汽車施以水平向后的拉力F.汽車重W,其重心與后軸垂直距離為a,前后軸距離為l，h表示力F與地面的距離。問汽車前后論所受地面支持力與無拖車時有無區(qū)別？試計算之。l解：隔離汽車，受力情況如圖所示（摩擦力沒 C F有畫出，因與此題無關）。 h 在豎直方向應用力平 N1 W a N2 衡方程：以前輪為支點，由力矩平衡方程，由（2）解得：將N2代入(1)中得：令F=0，即得到無拖車時前后輪的支持力N1和N2。顯然，有拖車時，前輪支持力減小，后輪支持力增大。lmgMgNo7.6.3 電梯高2.2m，其質心在中央，懸線亦在中央。另有負載5010kg，其重心離電梯中垂線相距0.5m。問當電梯勻速上升時，光滑導軌對電梯的作用力，不計摩擦（電梯僅在四角處受導軌作用力）；當電梯以加速度0.05m/s2上升時，力如何？ 解：以o為軸,據(jù)力矩平衡條件：設電梯的加速度為a，以電梯為參考系，負載除受重力外，還受慣性力作用f*=ma,方向向下, 據(jù)力矩平衡條件：xzrNC(m1+m2)g7.7.1環(huán)形框架質量為0.20kg，上面裝有質量為1.20kg的回轉儀，框架下端置于光滑的球形槽內，回轉儀既自傳又旋進，框架僅隨回轉儀的轉動而繞鉛直軸轉動，回轉儀自身重心以及它連同框架的重心均在C點，C點與轉動軸線的垂直距離為r=0.02m，回轉儀繞自轉軸的轉動慣量為4.810-4kgm2,自轉角速度為120rad/s. 求旋進角速度；求支架球形槽對支架的總支承力。解：根據(jù)旋進與自旋的關系式：把回轉儀與支架當作一個系統(tǒng)，設球形槽對支架的支承力為N，整個裝置的質心C相對豎直軸做勻速圓周運動，由質心運動定理：與豎直軸夾角