2019-2020年高中數(shù)學(xué) 統(tǒng)計(jì) 板塊四 統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的數(shù)字特征完整講義（學(xué)生版）.doc

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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 統(tǒng)計(jì) 板塊四 統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的數(shù)字特征完整講義（學(xué)生版） 知識(shí)內(nèi)容 一．隨機(jī)抽樣 1．隨機(jī)抽樣：滿足每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)是均等的抽樣，共有三種經(jīng)常采用的隨機(jī)抽樣方法： ⑴簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣：從元素個(gè)數(shù)為的總體中不放回地抽取容量為的樣本，如果每一次抽取時(shí)總體中的各個(gè)個(gè)體有相同的可能性被抽到，這種抽樣方法叫做簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣． 抽出辦法：①抽簽法：用紙片或小球分別標(biāo)號(hào)后抽簽的方法． ②隨機(jī)數(shù)表法：隨機(jī)數(shù)表是使用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)的應(yīng)用程序生成隨機(jī)數(shù)的功能生成的一張數(shù)表．表中每一位置出現(xiàn)各個(gè)數(shù)字的可能性相同． 隨機(jī)數(shù)表法是對(duì)樣本進(jìn)行編號(hào)后，按照一定的規(guī)律從隨機(jī)數(shù)表中讀數(shù)，并取出相應(yīng)的樣本的方法． 簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是最簡(jiǎn)單、最基本的抽樣方法． ⑵系統(tǒng)抽樣：將總體分成均衡的若干部分，然后按照預(yù)先制定的規(guī)則，從每一部分抽取一個(gè)個(gè)體，得到所需要的樣本的抽樣方法． 抽出辦法：從元素個(gè)數(shù)為的總體中抽取容量為的樣本，如果總體容量能被樣本容量整除，設(shè)，先對(duì)總體進(jìn)行編號(hào)，號(hào)碼從到，再從數(shù)字到中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)作為起始數(shù)，然后順次抽取第個(gè)數(shù)，這樣就得到容量為的樣本．如果總體容量不能被樣本容量整除，可隨機(jī)地從總體中剔除余數(shù)，然后再按系統(tǒng)抽樣方法進(jìn)行抽樣． 系統(tǒng)抽樣適用于大規(guī)模的抽樣調(diào)查，由于抽樣間隔相等，又被稱為等距抽樣． ⑶分層抽樣：當(dāng)總體有明顯差別的幾部分組成時(shí)，要反映總體情況，常采用分層抽樣，使總體中各個(gè)個(gè)體按某種特征分成若干個(gè)互不重疊的幾部分，每一部分叫做層，在各層中按層在總體中所占比例進(jìn)行簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣，這種抽樣方法叫做分層抽樣． 分層抽樣的樣本具有較強(qiáng)的代表性，而且各層抽樣時(shí)，可靈活選用不同的抽樣方法，應(yīng)用廣泛． 2．簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣必須具備下列特點(diǎn)： ⑴簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣要求被抽取的樣本的總體個(gè)數(shù)是有限的． ⑵簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本數(shù)小于等于樣本總體的個(gè)數(shù)． ⑶簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本是從總體中逐個(gè)抽取的． ⑷簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣是一種不放回的抽樣． ⑸簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的每個(gè)個(gè)體入樣的可能性均為． 3．系統(tǒng)抽樣時(shí)，當(dāng)總體個(gè)數(shù)恰好是樣本容量的整數(shù)倍時(shí)，??； 若不是整數(shù)時(shí)，先從總體中隨機(jī)地剔除幾個(gè)個(gè)體，使得總體中剩余的個(gè)體數(shù)能被樣本容量整除．因?yàn)槊總€(gè)個(gè)體被剔除的機(jī)會(huì)相等，因而整個(gè)抽樣過程中每個(gè)個(gè)體被抽取的機(jī)會(huì)仍然相等，為． 二．頻率直方圖 列出樣本數(shù)據(jù)的頻率分布表和頻率分布直方圖的步驟： ①計(jì)算極差：找出數(shù)據(jù)的最大值與最小值，計(jì)算它們的差； ②決定組距與組數(shù)：取組距，用決定組數(shù)； ③決定分點(diǎn)：決定起點(diǎn)，進(jìn)行分組； ④列頻率分布直方圖：對(duì)落入各小組的數(shù)據(jù)累計(jì)，算出各小數(shù)的頻數(shù)，除以樣本容量，得到各小組的頻率． ⑤繪制頻率分布直方圖：以數(shù)據(jù)的值為橫坐標(biāo)，以的值為縱坐標(biāo)繪制直方圖， 知小長方形的面積＝組距＝頻率． 頻率分布折線圖：將頻率分布直方圖各個(gè)長方形上邊的中點(diǎn)用線段連接起來，就得到頻率分布折線圖，一般把折線圖畫成與橫軸相連，所以橫軸左右兩端點(diǎn)沒有實(shí)際意義． 總體密度曲線：樣本容量不斷增大時(shí)，所分組數(shù)不斷增加，分組的組距不斷縮小，頻率分布直方圖可以用一條光滑曲線來描繪，這條光滑曲線就叫做總體密度曲線．總體密度曲線精確地反映了一個(gè)總體在各個(gè)區(qū)域內(nèi)取值的規(guī)律． 三．莖葉圖 制作莖葉圖的步驟： ①將數(shù)據(jù)分為“莖”、“葉”兩部分； ②將最大莖與最小莖之間的數(shù)字按大小順序排成一列，并畫上豎線作為分隔線； ③將各個(gè)數(shù)據(jù)的“葉”在分界線的一側(cè)對(duì)應(yīng)莖處同行列出． 四．統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)的數(shù)字特征 用樣本平均數(shù)估計(jì)總體平均數(shù)；用樣本標(biāo)準(zhǔn)差估計(jì)總體標(biāo)準(zhǔn)差． 數(shù)據(jù)的離散程序可以用極差、方差或標(biāo)準(zhǔn)差來描述． 極差又叫全距，是一組數(shù)據(jù)的最大值和最小值之差，反映一組數(shù)據(jù)的變動(dòng)幅度； 樣本方差描述了一組數(shù)據(jù)平均數(shù)波動(dòng)的大小，樣本的標(biāo)準(zhǔn)差是方差的算術(shù)平方根． 一般地，設(shè)樣本的元素為樣本的平均數(shù)為， 定義樣本方差為， 樣本標(biāo)準(zhǔn)差 簡(jiǎn)化公式：． 五．獨(dú)立性檢驗(yàn) 1．兩個(gè)變量之間的關(guān)系； 常見的有兩類：一類是確定性的函數(shù)關(guān)系；另一類是變量間存在關(guān)系，但又不具備函數(shù)關(guān)系所要求的確定性，它們的關(guān)系是帶有一定隨機(jī)性的．當(dāng)一個(gè)變量取值一定時(shí)，另一個(gè)變量的取值帶有一定隨機(jī)性的兩個(gè)變量之間的關(guān)系叫做相關(guān)關(guān)系． 2．散點(diǎn)圖：將樣本中的個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)描在平面直角坐標(biāo)系中，就得到了散點(diǎn)圖． 散點(diǎn)圖形象地反映了各個(gè)數(shù)據(jù)的密切程度，根據(jù)散點(diǎn)圖的分布趨勢(shì)可以直觀地判斷分析兩個(gè)變量的關(guān)系． 3．如果當(dāng)一個(gè)變量的值變大時(shí)，另一個(gè)變量的值也在變大，則這種相關(guān)稱為正相關(guān)；此時(shí)，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)在從左下角到右上角的區(qū)域． 反之，一個(gè)變量的值變大時(shí)，另一個(gè)變量的值由大變小，這種相關(guān)稱為負(fù)相關(guān)．此時(shí)，散點(diǎn)圖中的點(diǎn)在從左上角到右下角的區(qū)域． 散點(diǎn)圖可以判斷兩個(gè)變量之間有沒有相關(guān)關(guān)系． 4．統(tǒng)計(jì)假設(shè)：如果事件與獨(dú)立，這時(shí)應(yīng)該有，用字母表示此式，即，稱之為統(tǒng)計(jì)假設(shè)． 5．（讀作“卡方”）統(tǒng)計(jì)量： 統(tǒng)計(jì)學(xué)中有一個(gè)非常有用的統(tǒng)計(jì)量，它的表達(dá)式為，用它的大小可以用來決定是否拒絕原來的統(tǒng)計(jì)假設(shè)．如果的值較大，就拒絕，即認(rèn)為與是有關(guān)的． 統(tǒng)計(jì)量的兩個(gè)臨界值：、；當(dāng)時(shí)，有的把握說事件與有關(guān)；當(dāng)時(shí)，有的把握說事件與有關(guān)；當(dāng)時(shí)，認(rèn)為事件與是無關(guān)的． 獨(dú)立性檢驗(yàn)的基本思想與反證法類似，由結(jié)論不成立時(shí)推出有利于結(jié)論成立的小概率事件發(fā)生，而小概率事件在一次試驗(yàn)中通常是不會(huì)發(fā)生的，所以認(rèn)為結(jié)論在很大程度上是成立的． 1．獨(dú)立性檢驗(yàn)的步驟：統(tǒng)計(jì)假設(shè)：；列出聯(lián)表；計(jì)算統(tǒng)計(jì)量；查對(duì)臨界值表，作出判斷． 2．幾個(gè)臨界值：． 聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)： 如果對(duì)于某個(gè)群體有兩種狀態(tài)，對(duì)于每種狀態(tài)又有兩個(gè)情況，這樣排成一張的表，如下： 狀態(tài) 狀態(tài) 合計(jì) 狀態(tài) 狀態(tài) 如果有調(diào)查得來的四個(gè)數(shù)據(jù)，并希望根據(jù)這樣的個(gè)數(shù)據(jù)來檢驗(yàn)上述的兩種狀態(tài)與是否有關(guān)，就稱之為聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn)． 六．回歸分析 1．回歸分析：對(duì)于具有相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法叫做回歸分析，即回歸分析就是尋找相關(guān)關(guān)系中這種非確定關(guān)系的某種確定性． 回歸直線：如果散點(diǎn)圖中的各點(diǎn)都大致分布在一條直線附近，就稱這兩個(gè)變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做回歸直線． 2．最小二乘法： 記回歸直線方程為：，稱為變量對(duì)變量的回歸直線方程，其中叫做回歸系數(shù)． 是為了區(qū)分的實(shí)際值，當(dāng)取值時(shí)，變量的相應(yīng)觀察值為，而直線上對(duì)應(yīng)于的縱坐標(biāo)是． 設(shè)的一組觀察值為，，且回歸直線方程為， 當(dāng)取值時(shí)，的相應(yīng)觀察值為，差刻畫了實(shí)際觀察值與回歸直線上相應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)之間的偏離程度，稱這些值為離差． 我們希望這個(gè)離差構(gòu)成的總離差越小越好，這樣才能使所找的直線很貼近已知點(diǎn)． 記，回歸直線就是所有直線中取最小值的那條． 這種使“離差平方和為最小”的方法，叫做最小二乘法． 用最小二乘法求回歸系數(shù)有如下的公式： ，，其中上方加“”，表示是由觀察值按最小二乘法求得的回歸系數(shù)． 3．線性回歸模型：將用于估計(jì)值的線性函數(shù)作為確定性函數(shù)；的實(shí)際值與估計(jì)值之間的誤差記為，稱之為隨機(jī)誤差；將稱為線性回歸模型． 產(chǎn)生隨機(jī)誤差的主要原因有： ①所用的確定性函數(shù)不恰當(dāng)即模型近似引起的誤差； ②忽略了某些因素的影響，通常這些影響都比較??； ③由于測(cè)量工具等原因，存在觀測(cè)誤差． 4．線性回歸系數(shù)的最佳估計(jì)值： 利用最小二乘法可以得到的計(jì)算公式為 ，，其中， 由此得到的直線就稱為回歸直線，此直線方程即為線性回歸方程．其中，分別為，的估計(jì)值，稱為回歸截距，稱為回歸系數(shù)，稱為回歸值． 5．相關(guān)系數(shù)： 6．相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)： ⑴； ⑵越接近于1，的線性相關(guān)程度越強(qiáng)； ⑶越接近于0，的線性相關(guān)程度越弱． 可見，一條回歸直線有多大的預(yù)測(cè)功能，和變量間的相關(guān)系數(shù)密切相關(guān)． 7．轉(zhuǎn)化思想： 根據(jù)專業(yè)知識(shí)或散點(diǎn)圖，對(duì)某些特殊的非線性關(guān)系，選擇適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q，把非線性方程轉(zhuǎn)化為線性回歸方程，從而確定未知參數(shù)． 8．一些備案 ①回歸（regression）一詞的來歷：“回歸”這個(gè)詞英國統(tǒng)計(jì)學(xué)家Francils Galton提出來的．1889年，他在研究祖先與后代的身高之間的關(guān)系時(shí)發(fā)現(xiàn)，身材較高的父母，他們的孩子也較高，但這些孩子的平均身高并沒有他們父母的平均身高高；身材較矮的父母，他們的孩子也較矮，但這些孩子的平均身高卻比他們父母的平均身高高．Galton把這種后代的身高向中間值靠近的趨勢(shì)稱為“回歸現(xiàn)象”．后來，人們把由一個(gè)變量的變化去推測(cè)另一個(gè)變量的變化的方法稱為回歸分析． ②回歸系數(shù)的推導(dǎo)過程： ， 把上式看成的二次函數(shù)，的系數(shù)， 因此當(dāng)時(shí)取最小值． 同理，把的展開式按的降冪排列，看成的二次函數(shù)，當(dāng)時(shí)取最小值． 解得：，， 其中，是樣本平均數(shù)． 9． 對(duì)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行相關(guān)性檢驗(yàn)的步驟： ①提出統(tǒng)計(jì)假設(shè)：變量不具有線性相關(guān)關(guān)系； ②如果以的把握作出推斷，那么可以根據(jù)與（是樣本容量）在相關(guān)性檢驗(yàn)的臨界值表中查出一個(gè)的臨界值（其中稱為檢驗(yàn)水平）； ③計(jì)算樣本相關(guān)系數(shù)； ④作出統(tǒng)計(jì)推斷：若，則否定，表明有的把握認(rèn)為變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系；若，則沒有理由拒絕，即就目前數(shù)據(jù)而言，沒有充分理由認(rèn)為變量與之間具有線性相關(guān)關(guān)系． 說明： ⑴對(duì)相關(guān)系數(shù)進(jìn)行顯著性檢驗(yàn)，一般取檢驗(yàn)水平，即可靠程度為． ⑵這里的指的是線性相關(guān)系數(shù)，的絕對(duì)值很小，只是說明線性相關(guān)程度低，不一定不相關(guān)，可能是非線性相關(guān)的某種關(guān)系． ⑶這里的是對(duì)抽樣數(shù)據(jù)而言的．有時(shí)即使，兩者也不一定是線性相關(guān)的．故在統(tǒng)計(jì)分析時(shí)，不能就數(shù)據(jù)論數(shù)據(jù)，要結(jié)合實(shí)際情況進(jìn)行合理解釋． 典例分析 題型一．?dāng)?shù)字特征的計(jì)算 【例1】 （xx海淀二模） 某校高中年級(jí)開設(shè)了豐富多彩的校本課程，甲、乙兩班各隨機(jī)抽取了5名學(xué)生的學(xué)分，用莖葉圖表示（如右圖）．，分別表示甲、乙兩班各自5名學(xué)生學(xué)分的標(biāo)準(zhǔn)差，則 ．（填“”、“”或“”） 【例2】 （xx崇文二模） 甲、乙、丙三名射擊運(yùn)動(dòng)員在某次測(cè)試中各射擊20次，三人的測(cè)試成績(jī)?nèi)缦卤? 甲的成績(jī) 環(huán)數(shù) 7 8 9 10 頻數(shù) 5 5 5 5 乙的成績(jī) 環(huán)數(shù) 7 8 9 10 頻數(shù) 6 4 4 6 丙的成績(jī) 環(huán)數(shù) 7 8 9 10 頻數(shù) 4 6 6 4 分別表示甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員這次測(cè)試成績(jī)的平均數(shù)，則的大小關(guān)系為 ；分別表示甲、乙、丙三名運(yùn)動(dòng)員這次測(cè)試成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差，則的大小關(guān)系為 ． 【例3】 個(gè)正數(shù)的平方和是，方差是，那么平均數(shù)為（ ） A．　　　　B．　　　　C．　　　　　 D． 【例4】 若個(gè)數(shù)的平均數(shù)是，個(gè)數(shù)的平均數(shù)是，則這個(gè)數(shù)的平均數(shù)是（ ） A． 　　B． 　　 C． 　　　 D． 【例5】 已知一組數(shù)據(jù)的方差是， 且，則這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)__________． 【例6】 求下列各組數(shù)據(jù)的方差與標(biāo)準(zhǔn)差（精確到），并分析由這些結(jié)果可得出什么更一般的結(jié)論． ⑴； ⑵； ⑶ 【例7】 （xx上海18） 在發(fā)生某公共衛(wèi)生事件期間，有專業(yè)機(jī)構(gòu)認(rèn)為該事件在一段時(shí)間內(nèi)沒有發(fā)生大規(guī)模群體感染的標(biāo)志為“連續(xù)天，每天新增疑似病例不超過人”．根據(jù)過去天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例數(shù)據(jù)，一定符合該標(biāo)志的是（ ） A．甲地：總體均為，中位數(shù)為 B．乙地：總體均值為，總體方差大于 C．丙地：中位數(shù)為，眾數(shù)為 D．丁地：總體均值為，總體方差為 【例8】 （xx四川卷文） 設(shè)矩形的長為，寬為，其比滿足，這種矩形給人以美感，稱為黃金矩形．黃金矩形常應(yīng)用于工藝品設(shè)計(jì)中．下面是某工藝品廠隨機(jī)抽取兩個(gè)批次的初加工矩形寬度與長度的比值樣本： 甲批次： 乙批次： 根據(jù)上述兩個(gè)樣本來估計(jì)兩個(gè)批次的總體平均數(shù)，與標(biāo)準(zhǔn)值比較，正確結(jié)論是 A．甲批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近 B．乙批次的總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值更接近 C．兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度相同 D．兩個(gè)批次總體平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)值接近程度不能確定 【例9】 （xx上海9） 已知總體的各個(gè)體的值由小到大依次為，且總體的中位數(shù)為，若要使該總體的方差最小，則、的取值分別是 ． 【例10】 （xx山東9） 從某項(xiàng)綜合能力測(cè)試中抽取人的成績(jī)，統(tǒng)計(jì)如表，則這人成績(jī)的標(biāo)準(zhǔn)差為（ ） 分?jǐn)?shù) 人數(shù) A． B． C．3 D． 【例11】 兩臺(tái)機(jī)床同時(shí)生產(chǎn)直徑為的零件，為了檢驗(yàn)產(chǎn)品質(zhì)量，質(zhì)量檢驗(yàn)員從兩臺(tái)機(jī)床的產(chǎn)品中各抽出件進(jìn)行測(cè)量，結(jié)果如下： 機(jī)床甲 機(jī)床乙 如果你是質(zhì)量檢驗(yàn)員，在得到上述數(shù)據(jù)后，你將通過怎樣的運(yùn)算來判斷哪臺(tái)機(jī)床生產(chǎn)的零件質(zhì)量更符合要求？