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2019-2020年高中數(shù)學(xué) 模塊綜合測試 新人教A版必修4
一、選擇題(每小題5分，共60分)
1．若α，β的終邊關(guān)于y軸對稱，則下列等式正確的是( )
A．sinα＝sinβ B．cosα＝cosβ
C．tanα＝tanβ D．sinα＝cosβ
解析：因為α，β的終邊關(guān)于y軸對稱，所以β＝2kπ＋π－α，k∈Z，sinβ＝sin(2kπ＋π－α)＝sinα.
答案：A
2．已知sinα＝，則cos(π－2α)等于( )
A．－ B．－
C. D.
解析：cos(π－2α)＝－cos2α＝－(1－2sin2α)＝2sin2α－1＝2－1＝－.
答案：B
3．設(shè)θ是第二象限角，則點P(sin(cosθ)，cos(cosθ))在( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
解析：θ是第二象限角，－1
0，故選B.
答案：B
4．對于函數(shù)f(x)＝2sinxcosx，下列選項中正確的是( )
A．f(x)在上是遞增的
B．f(x)的圖象關(guān)于原點對稱
C．f(x)的最小正周期為2π
D．f(x)的最大值為2
解析：f(x)＝2sinxcosx＝sin2x，它在(，)上是遞減的，圖象關(guān)于原點對稱，最小正周期是π，最大值為1，故B是正確的．
答案：B
5．已知?ABCD中，＝(－3,7)，＝(4,3)，對角線AC、BD交于點O，則的坐標為( )
A. B.
C. D.
解析：由＋＝(－3,7)＋(4,3)＝(1,10)．
∵＋＝.∴＝(1,10)．
∴＝－＝.故應(yīng)選C.
答案：C
6．已知向量a，b均為單位向量，它們的夾角為60，則|a－3b|等于( )
A. B.
C. D．4
解析：|a－3b|2＝a2－6ab＋9b2＝1－3＋9＝7，則
|a－3b|＝.
答案：A
7．要得到函數(shù)y＝3cos的圖象，可以將函數(shù)y＝3sin2x的圖象( )
A．沿x軸向左平移個單位
B．沿x軸向右平移個單位
C．沿x軸向左平移個單位
D．沿x軸向右平移個單位
解析：y＝3sin2x＝3cos＝3cos，
要得到y(tǒng)＝3cos的圖象，
常將y＝3cos的圖象，向左平移得
y＝3cos＝3cos的圖象，
∴選A.
答案：A
8．已知向量a的同向的單位向量為a0＝(－，)，若向量a的起點坐標為(1，－2)，模為4，則a的終點坐標是( )
A．(－5,2－2)
B．(1－2，4)
C．(－5,2－2)或(7，－2－2)
D．(1－2，4)或(1＋2，－6)
解析：設(shè)a的終點B的坐標為(x，y)，則a＝(x－1，y＋2)．又a＝4a0＝(－6,2)，∴B(－5,2－2)．
答案：A
9．在△ABC中，若sinBsinC＝cos2，則此三角形為( )
A．等邊三角形 B．等腰三角形
C．直角三角形 D．等腰直角三角形
解析：由sinBsinC＝cos2＝?2sinBsinC＝1＋cosA?2sinBsinC＝1＋cos[π－(B＋C)]＝1－cos(B＋C)，∴cos(B－C)＝1，∴B－C＝0，∴B＝C.
答案：B
10．已知sin(α－β)＝，cos(α＋β)＝－，且α－β∈(，π)，α＋β∈(，π)，則cos2β的值為( )
A．1 B．－1
C. D．－
解析：由題意知cos(α－β)＝－，sin(α＋β)＝，
所以cos2β＝cos[α＋β－(α－β)]
＝cos(α＋β)cos(α－β)＋sin(α＋β)sin(α－β)
＝(－)(－)＋＝.
答案：C
11．若α∈(0，π)，且cosα＋sinα＝－，則cos2α＝( )
A. B．
C．－ D.
解析：(cosα＋sinα)2＝，sinαcosα＝－，
故sinα>0，cosα<0，
所以cosα－sinα＝－
＝－，cos2α＝cos2α－sin2α
＝(cosα＋sinα)(cosα－sinα)
＝－(－)＝.
答案：A
12．函數(shù)f(x)＝的最大值為( )
A．－－1 B.
C. D.
解析：設(shè)sinx＋cosx＝t，則t∈[－，]，
sinxcosx＝，
∴f(x)＝μ(t)＝＝(t≠－1)，
∴μ(t)max＝.
答案：B
二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分，把答案填在題中橫線上)
13．若函數(shù)f(x)＝asin2x＋btanx＋1，且f(－3)＝5，則f(π＋3)＝________.
解析：顯然T＝π，f(π＋3)＝f(3)．
F(x)＝f(x)－1＝asin2x＋btanx為奇函數(shù)，
則F(－3)＝f(－3)－1＝4，F(xiàn)(3)＝f(3)－1＝－4，f(3)＝－3.
答案：－3
14．已知e1，e2是夾角為的兩個單位向量，a＝e1－2e2，b＝ke1＋e2.若ab＝0，則實數(shù)k的值為________．
解析：由題意知：ab＝(e1－2e2)(ke1＋e2)＝0，即ke＋e1e2－2ke1e2－2e＝0，即k＋cos－2kcos－2＝0，化簡可求得k＝.
答案：
15．已知點P(cosα，sinα)在直線y＝2x上，則＝________.
解析：由點P(cosα，sinα)在直線y＝2x上可知，tanα＝2.
則＝
＝
＝＝－3.
答案：－3
16．給出下列四個命題：①函數(shù)y＝tanx的圖象關(guān)于點(kπ＋，0)(k∈Z)對稱；②函數(shù)f(x)＝sin|x|是最小正周期為π的周期函數(shù)；③設(shè)θ為第二象限的角，則tan>cos，且sin>cos；④函數(shù)y＝cos2x＋sinx的最小值為－1.
其中正確的命題是________．
解析：①由正切曲線，知點(kπ，0)，(kπ＋，0)是正切函數(shù)圖象的對稱中心，∴①對；
②f(x)＝sin|x|不是周期函數(shù)，②錯；
③∵θ∈(2kπ＋，2kπ＋π)，k∈Z，
∴∈(kπ＋，kπ＋)，k∈Z.
當k＝2n＋1，n∈Z時，sin0，ω>0，|φ|<π)的一段圖象如圖所示．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)求這個函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間．
解：(1)由圖象可知
A＝2，＝－(－)＝，
∴T＝π，ω＝2，
∴y＝2sin(2x＋φ)，將點(－，2)代入得
－＋φ＝2kπ＋，|φ|<π，∴φ＝π.
∴函數(shù)的解析式為y＝2sin(2x＋)．
(2)由2kπ－≤2x＋≤2kπ＋，
得kπ－≤x≤kπ－(k∈Z)．
∴函數(shù)y＝2sin(2x＋)的單調(diào)遞增區(qū)間為
[kπ－，kπ－](k∈Z)．
20．(12分)已知A、B、C為△ABC的三個內(nèi)角，a＝(sinB＋cosB，cosC)，b＝(sinC，sinB－cosB)．
(1)若ab＝0，求角A；
(2)若ab＝－，求tan2A.
解：(1)由已知ab＝0，
得(sinB＋cosB)sinC＋cosC(sinB－cosB)＝0，
化簡得sin(B＋C)－cos(B＋C)＝0，
即sinA＋cosA＝0，tanA＝－1，而A∈(0，π)，∴A＝π.
(2)ab＝－，即sin(B＋C)－cos(B＋C)＝－，
∴sinA＋cosA＝－①
平方得2sinAcosA＝－，
∵－<0，∴A∈(，π)，
sinA－cosA＝＝②
聯(lián)立①②得，sinA＝，cosA＝－，
∴tanA＝－，∴tan2A＝＝－.
21．(12分)已知向量a＝(cosx，－)，b＝(sinx，cos2x)，x∈R，設(shè)函數(shù)f(x)＝ab.
(1)求f(x)的最小正周期；
(2)求f(x)在[0，]上的最大值和最小值．
解：f(x)＝(cosx，－)(sinx，cos2x)
＝cosxsinx－cos2x
＝sin2x－cos2x
＝cossin2x－sincos2x
＝sin(2x－)．
(1)f(x)的最小正周期為T＝＝＝π，
即函數(shù)f(x)的最小正周期為π.
(2)∵0≤x≤，∴－≤2x－≤.
由正弦函數(shù)的性質(zhì)知，
當2x－＝，即x＝時，f(x)取得最大值1.
當2x－＝－，即x＝0時，f(x)取得最小值－，
因此，f(x)在[0，]上的最大值是1，最小值是－.
22．(12分)已知向量a＝(cosωx－sinωx，sinωx)，b＝(－cosωx－sinωx,2cosωx)，設(shè)函數(shù)f(x)＝ab＋λ(x∈R)的圖象關(guān)于直線x＝π對稱，其中ω，λ為常數(shù)，且ω∈(，1)
(1)求函數(shù)f(x)的最小正周期；
(2)若y＝f(x)的圖象經(jīng)過點(，0)求函數(shù)f(x)在區(qū)間上的取值范圍．
解：(1)因為f(x)＝sin2ωx－cos2ωx＋2sinωxcosωx＋λ
＝－cos2ωx＋sin2ωx＋λ
＝2sin(2ωx－)＋λ.
由直線x＝π是y＝f(x)圖象的一條對稱軸，
可得sin(2ωπ－)＝1，
所以2ωπ－＝kπ＋(k∈Z)，
即ω＝＋(k∈Z)．
又ω∈(，1)，k∈Z，所以k＝1，故ω＝.
所以f(x)的最小正周期是.
(2)由y＝f(x)的圖象過點(，0)，得f()＝0，
即λ＝－2sin(－)
＝－2sin＝－，
即λ＝－.
故f(x)＝2sin(x－)－，
由0≤x≤，有－≤x－≤，
所以－≤sin(x－)≤1，
得－1－≤2sin(x－)－≤2－，
故函數(shù)f(x)在[0，]上的取值范圍為[－1－，2－]．
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