平面向量數(shù)量積導(dǎo)學(xué)案(3課時(shí))

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1、 11 平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義導(dǎo)學(xué)案（1） 學(xué)習(xí)目標(biāo): 1、利用物理中功的概念了解平面向量數(shù)量積的物理背景，理解向量的數(shù)量積概念及幾何 意義；能夠運(yùn)用這一概念求兩個(gè)向量的數(shù)量積，并能根據(jù)條件逆用等式求向量的夾角; 2、掌握由定義得到的數(shù)量積的 5條重要性質(zhì)，并能運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的判斷和運(yùn)算； 3、了解用平面向量數(shù)量積可以處理有關(guān)長(zhǎng)度、角度和垂直的問題，培養(yǎng)學(xué)生的應(yīng)用意識(shí) 學(xué)習(xí)過程 一、課前準(zhǔn)備 復(fù)習(xí)： 1、向量加法和減法運(yùn)算的兩個(gè)法則是 和 . 2、向量數(shù)乘運(yùn)算的定義是 . 思考：通過前面的學(xué)習(xí)我們知道向量的運(yùn)算有向量的加法、減法、數(shù)乘，那么向

2、量與向量 能否“相乘”呢？ 二、新課導(dǎo)學(xué) 探究1:如下圖，如果一個(gè)物體在力 F的作用下產(chǎn)生位移 s,那么力F 所做的功W=,其中方是 ^ 思考：這個(gè)公式的有什么特點(diǎn)？請(qǐng)完成下列填空： f （力）是 量；s （位移）是 量；a是； w（功）是 量； 結(jié)論：功是一個(gè)標(biāo)量，功是力與位移兩個(gè)向量的大小及其夾角余弦的乘積 啟示：能否把“功”看成是力與位移這兩個(gè)向量的一種運(yùn)算的結(jié)果呢？ 新知1 ：向量的數(shù)量積（或內(nèi)積）的定義 已知兩個(gè)非零向量 a和b ,我們把 數(shù)量a|b cosB叫做a和b的數(shù)量積（或內(nèi)積），記 b cosH.其中日是a和b的夾角（0 w 。w兀） 作a b ,即

3、 說明：①記法“ a ? b”中間的“ ? ”不可以省略，也不可以用“ x ”代替。 ② 兩個(gè)非零向量夾角的概念：非零向量 a與b ,作OA = a , OB = b , 則/aob =。（ow。w兀）叫a與b的夾角（兩向量必須是 同起點(diǎn)的） 特別地：當(dāng)。=o時(shí)，a與b同向；當(dāng)。=兀時(shí)，a與b反向； 當(dāng)。=工時(shí)，a與b垂直，記al b ； 2 ③“規(guī)定”：零向量與任何向量的數(shù)量積為零，即 0，a=0。 探究2：向量的數(shù)量積運(yùn)算與線性運(yùn)算的結(jié)果有什么不同？影響數(shù)量積大小因素有哪些？ 期望學(xué)生回答：線性運(yùn)算的結(jié)果是向量；數(shù)量積的結(jié)果則是數(shù)，這個(gè)數(shù)值的大小不僅和向 量a與b的模有關(guān)

4、，還和它們的夾角有關(guān)。這個(gè)數(shù)的符號(hào)由 cos6的符號(hào)所決定 學(xué)生討論，完成下表： e的范圍 0 < 9 <90 8=90 0

5、 作圖： / N 1 （2）向量的數(shù)量積的幾何意義：數(shù)量積a ? b等于a的長(zhǎng)度? a ?與b在a的方向上的投 影I b I cos 0f的乘積。 新知3：由定義得到的數(shù)量積的結(jié)論 設(shè)a和b都是非零向量，日是a與b的夾角，則 ⑴當(dāng)a與b垂直時(shí)，日二90,即a_Lbu a b =； 1f 1 4 4 ⑵當(dāng)a與b同向時(shí)，日二0，a b=； - 4 4 當(dāng)a與b反向時(shí)，日=180, a b=； ⑶當(dāng) a=b,即 a a=,或 a =； /八 a b ⑷ cos -I =: 口 |a||b| ⑸因?yàn)閏os耳＜1 ,所以a b a||b| . 三、典型例題 例i已知a[

6、=5, b =4, a和b的夾角為120，求a b ? 變式1 ：右a _Lb ,求a，b. 4 4 4 變式 2 ： a // b ,求 a b. ■+ ■+ 4 4 4 4 變式3：已知a =5, b=4, a b =-10,求a與b的夾角日. 變式4：已知a =5 , b =4, a b =-10 ,求向量a在向量b的方向上的投影 例2.判斷下列命題的真假，并說明理由 . ⑴在MBC中，若羨羨＞0 ,則AABC是銳角三角形； ⑵ MBC為直角三角形，則 AB BC =0. 特別注意：在兩向量的夾角定義中，兩向量必須是同起點(diǎn)的，范圍是0W 。w兀 四、總結(jié)提升 1

7、.向量數(shù)量積的定義及幾何意義； 2 .由定義推出的數(shù)量積的相應(yīng)結(jié)論 . 3 .在兩向量的夾角定義中，兩向量必須是同起點(diǎn)的，范圍是OW 0W兀 五當(dāng)堂檢測(cè)： 1 .在平行四邊形 ABCD中，AB=4, BC=2,2BAD =120叱則黑，AD為（ ） A.4 B.-4 C.8 D.-8 2 .設(shè)a =12, b =9, a b=-54j2,則a與b的夾角日為（） A. 451 B. 135； C. 601D. 120: 3 .已知 MBC , AB =a ,品=1,當(dāng) 3 b =0 時(shí)，MBC 為（ ） A.鈍角三角形 B.直角三角形 C.銳角三角形 D.等腰三角形 4 .已

8、知平面內(nèi)三個(gè)點(diǎn) A（0,皿）B（3,3）C（1,—1 ）,則向量AB與BC 的夾角為（ ） A. 0 B. 90」C. 60；| D. 180： 5 .已知a =3 , b =5,且a -b=12,則向量a在向量b的方向上的投影為 . 6 .已知b=3, a在b方向上的投影為z,則ab=； 2 42 4 7.已知向量a滿足a =8 ,則a = . 六、課后作業(yè) 1 .已知a =6, b =4, a與b的夾角為30」， TH *2 *2 求：⑴a b ；⑵a ；⑶b . 2、已知a1 =12 , b =9 , 2 3 = -5472，求a與b的夾角日. 3、已知a〔=6,e

9、為單位向量，當(dāng) a, e之間夾角分別為 45,90，,135”時(shí)，畫圖表示a在e方 向上的投影，并求其值. 4.若四邊形ABCD滿足AB+CDl = 0,且^^ ,BC =0 ,則四邊形 ABCD是（ ）. A.平行四邊形 B.矩形 C.菱形 D.正方形 4 T T 6、在 MBC 中，a =5,b=8,C =60 ,求 BC CA 課題2 . 4.1平面向量的數(shù)量積的物理背景及其含義導(dǎo)學(xué)案（2） 學(xué)習(xí)目標(biāo)： 1、掌握向量數(shù)量積的運(yùn)算律，并能熟練運(yùn)用向量數(shù)量積的運(yùn)算律進(jìn)行相關(guān)的判斷和運(yùn)算； 2、體會(huì)類比的數(shù)學(xué)思想和方法，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生抽象概括、推理論證的能力。 學(xué)習(xí)過程：

10、一、課前準(zhǔn)備 復(fù)習(xí)： 1、設(shè)兩向量 a,b的夾角為 H ,則日w；且當(dāng) 日=時(shí)，a//b ； 4 4 當(dāng) e =時(shí)，a _Lb. 4 4 4 4 2、已知兩個(gè)非零向量 a和b ,把數(shù)量 叫做向量a與b的數(shù)量積， 記作，即 ; 4 4 ■> 4 4 3、向量a在b方向上的投影是 ； a b的幾何意義為：數(shù)量積a七等于a的長(zhǎng)度 a與b在a方向上的投影 的乘積. r - 4 4 4、設(shè)a和b都是非零向量， 8是a與b的夾角，則 ①當(dāng)a與b垂直時(shí)，9 =90s,即a _Lb^ a b = ②當(dāng)a與b同向時(shí)，日=0「a b=； 當(dāng)a與b反向時(shí)，1 =180 , a b=

11、; ③當(dāng) a =b ,即 a a=,或 a1 =； ④cosi= ⑤因?yàn)閏os9| <1 ,所以a鼻 a lb . 二、新課導(dǎo)學(xué) 探究1：我們學(xué)過了實(shí)數(shù)乘法的哪些運(yùn)算律？學(xué)習(xí)了向量數(shù)量積后，這些運(yùn)算律對(duì)向量是 否也適用？（學(xué)生猜想并給出解釋說明，錯(cuò)誤的說明理由） 探究2：你能推導(dǎo)向量數(shù)量積運(yùn)算律 （a+b ）c=a c+b，c嗎? （師生共同完成） 新知1 ：已知向量a,b,c和實(shí)數(shù)九，則 ⑴ a b =b a ⑵ a b = ■ a b =a b ⑶ a b c = a c b c 證明：⑴交換律 設(shè)a, b夾角為e,則a ■ b = | a|| b|cos日，b ■

12、 a = | b|| a|cos 6 ? a b = b a (2)數(shù)乘結(jié)合律：(, a) b = ■ (a b) = a( 1 b) 證：若 2 0,(九a) b =九| a|| b|cos 日， 九(a b) =X| a|| b|cos 日，a(九b) =X | a|| b|cos 6, 若,< 0, ( 1 a) b =| a|| b|cos(二”)=一生|a|| b|( -cos 力=■ | a|| b|cos 二(a b) =| a|| b|cos j a ( 1 b) =| a|| b|cos(二-力= -1| a|| b|( -cos u) = | | a||

13、 b|cos 口 三、典型例題 2 O O O O 例 1、 我們知道，對(duì)任思 a, b 匚 R,恒有（a +b ） =a +2ab + b , （a +b a -b）=a -b 對(duì)任意向量a,b ,是否也有下面類似的結(jié)論？ -14 2 -12 4 442 j -I 2 22 22 ⑴（a +b ） =a +2a b +b ； ⑵（a +b ）\a-b ）=a -b . 例2、 已知a =6, b=4, a與b的夾角為60’，求： 4一 叱、 ^444 4 4 ⑴ a b ;⑵ a -b ；⑶（a +2b ） {a -3b ）； （4） a + b . 例3、已知a=3

14、,b=4,且a與b不共線，k為何值時(shí)，向量t + kb與a—kb互相垂直？ 課堂練習(xí) 判斷正誤，并簡(jiǎn)要說明理由 ①a - 0 = 0；②0,a=o；③0 0-7B = BA； ④ I a - b I = I a | | b I ; ⑤若a w 0,則對(duì)任一非零b有a ? b w o；⑥a?b=o,則a與b中至少有一個(gè)為0 ； ⑦對(duì)任意向量a , b , c都有（a.b）C = a（b.C）； ⑧a與b是兩個(gè)單位向量，則 a 2 = b 2 ；⑨若a b = b c則a = c 解：上述8個(gè)命題中只有③⑧正確； 對(duì)于①：兩個(gè)向量的數(shù)量積是一個(gè)實(shí)數(shù)，應(yīng)有 0 ? a

15、=o； -4 對(duì)于②：應(yīng)有o ? a = 0 ； 對(duì)于④：由數(shù)量積定義有I a ? b | a I - I b | ? | cos 9 | < | a | | b | , a - b | = | a|| b | ； 這里。是a與b的夾角，只有。=o或。=兀時(shí)，才有| 對(duì)于⑤：若非零向量 a、b垂直，有a - b = o ； 對(duì)于⑥：由a ? b =?？芍猘 b可以都非零； 對(duì)于⑦：若a與C共線，記a=入C. 則 a ? b =（入 C）? b = x （C? b）=入（b .C）, .1. （ a - b ） , C = x （b.C）C=（b.C）入 C

16、=（b.C） a 若a與C不共線，則（a.b）Cw（b.C）a,這是因?yàn)樽蠖耸桥cC共線的向量，而 右端是與a共線的向量，而一般 a與C不共線. 對(duì)于⑨：已知實(shí)數(shù) a、b、c（bM）,則ab=bc=a=c.但是a b = b，C* a 二 C 如右圖：a b = | a|| b |cos p = | b||OA| , b C = | b || c |cos a = | b ||OA| = ab=bC 但 a#c 評(píng)述：這一類型題，要求學(xué)生確實(shí)把握好數(shù)量積的定義、性質(zhì)、運(yùn) 上土二 Cj b . 算律. 四、總結(jié)提升 1、向量數(shù)量積的運(yùn)算律及其應(yīng)用： (；，a b - ■ a b

17、 = a 1 b三 R 4一 ■彳 ①交換律成立：a b =b3②對(duì)實(shí)數(shù)的結(jié)合律成立: ③分配律成立：a-b c=a c-b c 特別注意：（i）結(jié)合律不成立：即一般的（a?b）c#a（b-c）； （2）消去律不成立：即一般的 a,b=bc a = c - - * （3）a ? b = o,則a與b中至少有一個(gè)為0是錯(cuò)誤結(jié)論 2、課本中的結(jié)論: T T T T I? ? a b i ia -b = a -b ■j 2 2 4 4 4 42 *2 4 (a +b ) =a +2a b +b = a +2a 2 2 ~ a a -2a 3 2 2 ■b+b 可直接應(yīng)

18、用 美過自我評(píng)價(jià)：你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為（ ） A. 很好B. 較好C. 一般D. 較差 五、當(dāng)堂檢測(cè)： 1 .若a,b,c為任意向量，mwR,則下列等式不一定成立的是（ ） A. a b】qc=ai.b c B. a b c=ac bc 廿& 4 C. m a b = ma mb D. a b c = a b c 2.已知a =6, a與b的夾角為60 ,且（a +2b ）《a -3b ）=—72，則b為（ A. 16 B. 6 C. 5 D. 4 4 4 4 4 3 .已知a =1, b =應(yīng)，且（a —b ）與a垂直，則a與b的夾角為（ ） A. 601 B.

19、 301 C. 135： D. 451 ,+ Hi W 4 “ 4^2 4 . a =3,H =4 ,且 a 與 b 的夾角為 150 ,則（a +b ）= . 5 .已知 a =21b =5,a b=—3,則？+b=, a _b =. 六、課后作業(yè) 1、已知a =3, b|=4,且a與b的夾角e=150：,求： 小 4 1G 唾? ,、d J 2 ,、? J /J - ⑴ a b ;⑵ a -b ；⑶（a +b ）；；⑷ a +b ； （5） （a +2b ），（a -3b ） 2、已知 a1 =2 , b =5 , a b =-3，求 a +b , a -b1 ; ,1

20、4 4 4 4 4 4 3、已知 a =4 , b =3, （2a—3bM2a+b ）=61 ,求 a與 b的夾角8及 a + b 值 、、 i dTwdd" 4 .設(shè)m,n是兩個(gè)單位向量，其夾角為 60,,求向量a =2m+ n與b =2n -3m的夾角. 5 .已知 a] =7,b =4,a +b| =9 ,求 a -b1. 6 .已知a, b是非零向量，且滿足 （a—2b），a, （b —2a） _L b ,求a與b的夾角. 課題2 . 4.2平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示、模、夾角導(dǎo)學(xué)案 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.掌握平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示方法及其變式（夾角公式） ； 2、熟練掌握向

21、量垂直的兩種形式的等價(jià)條件； 3.理解模長(zhǎng)公式與解析幾何中兩點(diǎn)之間距離公式的一致性 ^ 學(xué)習(xí)過程 A，jni. ?? H ■■ 一、課前準(zhǔn)備 復(fù)習(xí)： 1、設(shè)兩向量 a,b的夾角為0 ,則日w；且當(dāng) 日=時(shí)，a//b ; 當(dāng) 9 = 時(shí)，a _Lb. 2、已知兩個(gè)非零向量a和b,把數(shù)量 叫做向量a與b的數(shù)量積， 記作，即 ; 4 4 4 4 4 4 4 3、向量a在b方向上的投影是 ； a b的幾何意義為：數(shù)量積a，b等于a的長(zhǎng)度 a與b在a方向上的投影 的乘積. 4、設(shè)a和b都是非零向量，日是a與b的夾角，則 ①當(dāng)a與b垂直時(shí)，日=90",即a_Lbu a b=

22、— ? , 廿— ②當(dāng)a與b同向時(shí)，6=0, a b =; T r 4 4 當(dāng)a與b反向時(shí)，0=180 , a b=; ③當(dāng) a =b ,即 a a=,或 a =； ④ COST1 = ⑤因?yàn)镃OS0| <1 ,所以 5、向量數(shù)量積的運(yùn)算率： ⑴向量數(shù)量積的交換律： ⑵（，a 卜b == ⑶向量的數(shù)量積的分配律： 2 2 2 -j T t -i ⑷(a +b ) =. (a +b ) (a _b 尸. 二、新課導(dǎo)學(xué) 探究1 ：平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 已知兩個(gè)非零向量 ：=缶，乂)b = (x2,y2 ),怎1^用a與b的坐標(biāo)表示3 3呢？ 思考1：設(shè)i、j是

23、分別與x軸、y軸同向的兩個(gè)單位向量，若兩個(gè)非零向量 a=(x1,y1), 4 ? ? * * b = (x2,y2),則向量a與b用i、j分別如何表示？ 4 ? 4 ? 4 ? 思考2：對(duì)于上述向量i、j ,則i 2=, j 2 =, i j = 根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)， a b = 新知1：兩個(gè)向量的數(shù)量積等于它們對(duì)應(yīng)坐標(biāo)的乘積的和，即 g3 =x1x2 + y1y2]. 探究1：由平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示可以得到哪些結(jié)論呢？ 思考1：設(shè)向量a=(x,y),利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示，I a I = 思考2：如果表示向量a的有向線段的起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 (x1, y1),

24、(x2,y2),那么向 量a的坐標(biāo)如何表示？ I a I = 思考3：設(shè)向量a = (x1，必)，b = (x2, y2),若a，b ,則x1，y1，x2, y2之間的關(guān)系如何？ 反之成立嗎？ 思考4 ：設(shè)a、b是兩個(gè)非零向量，其夾角為 。，若a = (x1, y1), b = (x2, y2),那么 cos 0如何用坐標(biāo)表示？ 新知2： 4 4 2 彳 2 2 2 2 ⑴右 a =(x, y，則 a =x +y ，或 a = %?x + y . ? — T ； 2 2 ⑵右 A(x1,y1), B(x2,y2 )，則 AB =d—x1, y2 — y),則 AB

25、=｛色-x[)+必-y ). ? 葉 胃. ⑶若 a 二(%,弘)b=(x2，y2 ),則 a_Lbu xp2 +y〔y2=0. ⑷兩個(gè)非零向量a=(x1,y1)b=(x2,y2 a是a與b的夾角， 則 d 河二一 Jy1y2一 ab1 .x； y2、x； y2 三、典型例題 例1、(1)已知a =(々,4 )b=(5,2%求 丸b , a b及a,b之間夾角8余弦值. 4 4 4 44 44^4 444 ^4 (2)已知 a=(2,3 )b=(—2,4)c =(—1,-2 卜求a b, (a+b) (a-b) , a(b + c), (a+b)2 例2、已知A(1,2 ),

26、 B(2,3 ), C(—2,5 ),試判斷AABC的形狀，并給出證明。 變式：在4ABC中，AB=(1,1), AC =(2, k),且△ ABC的一個(gè)內(nèi)角為直角，求 k值。 小結(jié)：向量的數(shù)量積是否為零，是判斷相應(yīng)的兩條線段或直線是否垂直的重要方法之一 . ■ ^ ^444 例3、已知 a=(—3,—2), b=(T,k ),若(5a —b )(b—3a )= —55 ,試求 k 的值. 四、總結(jié)提升 1 .用坐標(biāo)表示向量的數(shù)量積，模，夾角等 . 什* 4 附v (1)若 a =(x〔，y[)，b =(x2,yz),則|a 匕=為*2 +丫7 ， M 2 0c ■

27、+ I r r (2)若 a =(x,y ,則 a =x +y ,或 a =Jx +y . ,、什， ? — T , 2 2 (3)右 A(x1，y1)，B(x2,y2 ),則 AB =x 2?[y 2 ) 1 )，則 AB =丫一為)十2—y1). ? 4 4 4 ⑷兩個(gè)非零向量a =(x,y1 1b =口2, y2 )日是a與b的夾角， 則 COST J^=—X2 y1y2 a b X12 y2 \ x2 y2 H~~4 )，則 a!buab= 0u *涇+丫1丫2 = 0 _ 4 H 2.兩向量垂直的兩種表不： 若a =x y，1bJ x 2,2 空另一自我

28、評(píng)價(jià)： 你完成本節(jié)導(dǎo)學(xué)案的情況為( A. 很好B. 較好C. 一般D. 較差 五、當(dāng)堂檢測(cè) 叫 叫 4 4 1 .已知a =(4,41b =(5,2,則a b等于( ) A. 23 B. 7 C. -23 D. -7 ■ 用 4 4 2 .若a=(Y4 ), b =(5,12),則a與b夾角的余弦為( ) A. 63 B.丑 C. .33 d -63 65 65 65 65 ■ ■ T 2 T ■ 3 .若 a=(<3 > b=(5,6 卜則 3a —4a b 等于( A. 23 B. 57 C. 63 D. 83 4 . a =(2,3), b =(-2,4 ),則(

29、a+b >{a—b 戶一 5.已知向量OA=(—1,2〉 OB=(3,m ),若 OA_l7B,則 m = 17 六、課后作業(yè) 1、 若 a 二( — 3 4) b =(5, A.23 B.7 C. —23 D. -7 2、 若 a 二( — 3 4) b =(5, 12),則a與b夾角的余弦值為( 1. 63 A. 一 65 33 B. 一 65 33 C. — — 65 D. 63 65 已知 a =(3,Y), b =(2,x), c =(2,y )，且 a// b , a _l_c ,求⑴ b -c ;⑵ b

30、、c 的夾角. 4、已知平面向量a =(1 , - 3), b =(4 , — 2),若九a+b與a垂直，== ； 2.已知點(diǎn)A(1,2劉B(4,—1 ),問能否在y軸上找到一點(diǎn)C ,使』ACB=90 ,若不能，說 明理由；若能，求C點(diǎn)坐標(biāo). 3、已知a=(4,3), b=(—1,2), m=a_>bn=2，+b,按下列條件求實(shí)數(shù)九的值. (i)mn； (2)m〃n ； (3)m=1n 4、已知四點(diǎn) A(1,0), B(5,—2), C(8,4卜D(4,6)求證：四邊形 ABCD是直角梯形. 5、已知a =(%2 )b =(—2,5 ),且a與b的夾角是鈍角，求 人的取值范圍。