整式的乘除 教材分析

整式的乘除 教材分析 浙版新教材第5章整式的乘除是在七年級（上）第四章代數(shù)式學(xué)習的基礎(chǔ)上，結(jié)合初一學(xué)生已有的生活經(jīng)驗，引入同底數(shù)冪的乘、除法則，冪的乘方和積的乘方法則等實現(xiàn)由整式的加減運算到整式的乘除運算的過渡，使學(xué)生思維品質(zhì)提升到一個更高的層面，實現(xiàn)學(xué)生思維活動的一個質(zhì)的飛躍。同時，它又為以后學(xué)習因式分解、分式及解方程等內(nèi)容作準備。因此這一章在整個初中代數(shù)中起著承上啟下的作用。 根據(jù)新課程標準，本章的內(nèi)容有所減少，教學(xué)要求有所降低。與原教材相比，在“整式的乘法”部分，多項式的乘法僅指一次式相乘，刪掉了二次及二次以上多項式相乘的內(nèi)容，只在C組習題中保留了少量的簡單的這方面內(nèi)容的題目；在“乘法公式”部分，只保留平方差公式與完全平方公式，并由直接運用公式不超過三次降低為兩次，刪去了立方和與立方差公式及其相關(guān)內(nèi)容；在“整式的除法”部分，刪掉了關(guān)于多項式除以多項式的內(nèi)容。 本章教學(xué)內(nèi)容在知識學(xué)習上各部分知識之間的聯(lián)系如下：從上面可以看出，本章內(nèi)容有兩個突出的特點，一個是內(nèi)容聯(lián)系緊密，另一個是以運算為主。本章內(nèi)容緊緊圍繞整式的乘除運算，分層遞進，層層深入。全章重點是整式的乘除運算，包括運用乘法公式進行運算，關(guān)鍵是單項式的乘除運算，而正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)是基礎(chǔ)。 本章教學(xué)目標1. 經(jīng)歷探索整式運算法則的過程，理解整式運算的算理，進一步發(fā)展觀察、歸納、類比、概括等能力，發(fā)展有條理的思考及語言表達能力。2. 了解整式指數(shù)冪的意義和正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，掌握同底數(shù)冪的乘、除法則，以及冪的乘方和積的乘方法則，并能進行簡單的混合運算。3.掌握整式乘除的運算法則，會進行簡單的整式加、減、乘、除混合運算，并能解決實際問題（其中多項式相乘僅限于一次式相乘，整式的除法只要求到多項式除以單項式且結(jié)果是整式）。4. 會推導(dǎo)乘法公式 ：(a+b)(a-b)=a2-b2；(ab) 2 =a 22 a b+ b 2，了解公式的幾何背景，并能進行簡單的計算。5. 在解決問題的過程中了解數(shù)學(xué)的價值，發(fā)展“用數(shù)學(xué)”的信心。以及感受推理過程的意義和必要性。 本章教學(xué)重點1.在實際問題中，使學(xué)生經(jīng)歷探索冪的運算性質(zhì)和整式的運算法則的過程，發(fā)展推理能力和有條理的表達能力；2. 理解整式乘、除法運算的算理，體會乘法分配律的作用和轉(zhuǎn)化的思想，發(fā)展有條理的思考及表達能力；3. 會推導(dǎo)平方差公式和完全平方公式，并能運用公式進行簡單的計算。 本章教學(xué)難點1. 了解整式指數(shù)冪的意義和正整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)，理解冪的乘、除、乘方法則、積的乘方法則的推導(dǎo)過程。2. 了解平方差公式、完全平方公式的幾何背景3. 在解決問題的過程中了解數(shù)學(xué)的價值，發(fā)展“用數(shù)學(xué)”的信心。 本章設(shè)計思路1、為了達到上述教學(xué)目標教材設(shè)置了大量的實際背景，一方面在實際問題情境中產(chǎn)生了計算整式乘除的需要，是讓學(xué)生體會學(xué)習整式的一些有關(guān)運算的必要性，另一方面在學(xué)習完整式的加減后本身也具有必須向乘除運算這一高級運算發(fā)展。使學(xué)生經(jīng)歷實際問題“符號化”的過程，培養(yǎng)符號感。2、在本章的引例、例題和課后練習中共引用有關(guān)天體行星、以及航天技術(shù)等內(nèi)容的材料達11處，通過豐富的實例，以“問題情境數(shù)學(xué)模型求解模型”為主要線索呈現(xiàn)整式及其運算的內(nèi)容，注重從問題情境中尋求數(shù)量關(guān)系，運用符號進行表示的過程，形成冪的運算性質(zhì)及整式的乘除運算法則。使學(xué)生感受到了數(shù)學(xué)的價值和學(xué)習的必要性，發(fā)展“用數(shù)學(xué)”的信心。3、教材幾乎為每一種整式運算都設(shè)置了具體的探索活動，以“觀察歸納-類比概括”為主要線索呈現(xiàn)運算法則的探索過程，在探索活動中體會整式運算的規(guī)律，把握其算理。注重學(xué)生推理能力和表達能力的培養(yǎng)。4、通過設(shè)置恰當數(shù)量和難度的符號運算，注重整式運算每一步的算理，要求學(xué)生說明運算的根據(jù)，重視冪的意義、乘法分配律等的作用，滲透轉(zhuǎn)化、類比等思想，促進學(xué)生對算理的理解和基本運算技能的掌握。 5、滲透數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想是數(shù)學(xué)中一個非常重要的基本思想，它在一定程度上反映了數(shù)學(xué)的本質(zhì)。數(shù)與形的有機結(jié)合，實際上就是抽象與直觀的結(jié)合。在以運算為主的“整式的乘除”一章中，抽象的運算公式、性質(zhì)和法則借助于圖形，就可以直觀地反映它們的含義，揭示它們的本質(zhì)，便于學(xué)生理解，增強記憶效果。比如介紹單項式與多項式相乘的運算法則時，利用寬都是m，長分別是a、b、c的三個長方形，組成一個寬為m、長為a+b+c的長方形，并且這個長方形的面積等于前三個長方形的面積之和，從而直觀地解釋了運算法則m(a+b+c)=ma+mb+mc。再如在處理多項式的乘法法則以及完全平方公式時，都滲透了數(shù)形結(jié)合的思想。6、滲透集合與對應(yīng)的思想。集合作為數(shù)學(xué)的基本語言，可以簡潔明了地表述數(shù)學(xué)概念，準確、簡捷地進行數(shù)學(xué)推理。集合與對應(yīng)的思想是中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要思想，是建立函數(shù)概念的基礎(chǔ)，而函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，因此盡早滲透集合與對應(yīng)的思想是必要的。本章在這方面作了積極的努力。例如，在整式除法的P143練習第3題，就滲透了集合與對應(yīng)的思想，給出了一些代數(shù)式，需要用對應(yīng)的方法添上對應(yīng)的元素。7、滲透分類的思想。合理的分類可以使知識條理化，便于從整體掌握知識。分類思想是指把被研究的數(shù)學(xué)問題視為一個整體，然后根據(jù)一定的劃分標準，將整體分為幾個部分，通過對這幾部分的研究，達到對整體的認識。分類思想也是中學(xué)數(shù)學(xué)中一種重要的思想，本章教材中給予了充分重視。比如在同底數(shù)冪的除法法則aman=am-n中，教科書首先討論了mn的情況，并將結(jié)論用方框加以強調(diào)，作為正整數(shù)指數(shù)冪的一條性質(zhì)要求學(xué)生掌握和熟練應(yīng)用，接著又討論了m=n的情況，得出關(guān)于0指數(shù)冪的規(guī)定，最后又討論了mn的情況，給出負整數(shù)指數(shù)冪的概念，為以后把正整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)推廣到整數(shù)及有理數(shù)范圍打下基礎(chǔ)。 8、注意發(fā)揮三種數(shù)學(xué)語言的功能。本章注意充分發(fā)揮文字語言、符號語言、圖形語言這三種數(shù)學(xué)語言的功能，根據(jù)內(nèi)容的具體特點，將三種語言有機地結(jié)合起來。比如教材在介紹單項式與多項式相乘（P119-120）以及多項式與多項式相乘（P123）的法則時，先通過計算，得出用符號語言表達的法則，然后又用圖形語言加以解釋，最后用文字語言加以概括和總結(jié)。再如，P126平方差公式，教材首先給出公式的符號表示，然后用文字語言進一步說明，最后用圖形語言給出直觀解釋。P128完全平方公式先利用圖形語言，在使用符號語言，最后用文字語言。三種語言的有機結(jié)合，有利于學(xué)生理解和掌握知識，提高學(xué)生學(xué)習數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力。 本章評價建議1. 注重對學(xué)生從具體問題中抽象出數(shù)量關(guān)系以及探索運算法則等過程的評價?？梢詮囊韵聝蓚€方面來進行：一是學(xué)生在具體活動中的投入程度能否積極，主動地從事各項活動，向同伴解釋自己的想法，聽取他們的建議和意見等。二是學(xué)生在活動中的水平是否能通過獨立思考抽象出數(shù)量關(guān)系或探索運算法則，能否有條理地表達自己的活動過程，是否有獨立的解決問題的想法，是否能反思自己的活動過程并提出一些新的問題等。2. 對知識技能的評價應(yīng)關(guān)注學(xué)生對整式運算法則的理解和運用，以及學(xué)生基本運算技能的形成。對知識技能的評價應(yīng)當更多地關(guān)注對其本身意義的理解和在新情境中的應(yīng)用，而不僅僅是記憶和使用的熟練程度，代數(shù)知識的學(xué)習應(yīng)“淡化形式、注重實質(zhì)”，避免“背黑體字”和“摳字眼”，評價時一定要避免出現(xiàn)，是否能背運算法則等非本質(zhì)的問題，而將重點放在對有關(guān)內(nèi)容的理解和運用上來。課時安排 本章教材的編排上可分為四個單元，共七個小節(jié)，教學(xué)時間約為17課時，建議分配如下：第一單元 5.1同底數(shù)冪的乘法 4課時第二單元 5.25.3整式的乘法 3課時第三單元 5.45.5乘法公式 3課時第四單元 5.65.7整式的除法 4課時復(fù)習測試 2課時課題學(xué)習 1課時教學(xué)中應(yīng)注意的問題1、準確把握教學(xué)要求 為減輕學(xué)生負擔，培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力，新課標對于那些對后續(xù)學(xué)習意義不大、學(xué)得很早但用得很晚，以及過繁過難的內(nèi)容進行了刪減或降低要求。教學(xué)中要注意準確把握教學(xué)要求，避免將刪掉或降低難度的內(nèi)容重新揀回。在內(nèi)容減少、要求降低，但課時不變的情況下，組織課堂教學(xué)要逐漸由以教師傳授知識為主轉(zhuǎn)變?yōu)橐詫W(xué)生的主動探索學(xué)習為主，留給學(xué)生足夠的時間，讓學(xué)生進行充分的討論與探究，發(fā)展學(xué)生的合作能力和創(chuàng)新精神。 2、合理配置問題 本章主要學(xué)習正整數(shù)指數(shù)冪運算性質(zhì)與整式乘除的運算法則，以運算為主是本章的一個特點，因此本章是培養(yǎng)學(xué)生正確使用公式、性質(zhì)、法則進行運算，提高運算能力的很好的素材。教學(xué)時要讓學(xué)生做一定量的習題，使學(xué)生不僅能夠根據(jù)這些運算公式、性質(zhì)和法則進行正確的運算，而且能夠理解運算的算理，合理安排運算順序，尋找簡捷的運算途徑。但習題量要適當，難度要適中，題目要有針對性，避免過多的機械性重復(fù)訓(xùn)練和偏題、難題、怪題，對公式、性質(zhì)、法則等的應(yīng)用，切忌死記硬背、生搬硬套，真正提高學(xué)生的運算能力。3、探究法則的形成過程可能帶來的問題教學(xué)時間不夠，根據(jù)新課程標準的要求，重視過程的學(xué)習，因此，教學(xué)不必過分拘泥于教學(xué)內(nèi)容的完成。各單元具體教學(xué)建議：第一單元 同底數(shù)冪的乘法教學(xué)建議：1.冪的性質(zhì)運算是本章學(xué)習的起點，也是后續(xù)整式乘除運算學(xué)習的基礎(chǔ)，它的掌握程度直接關(guān)系到本章是否能較順利的學(xué)習。：，這個性質(zhì)在數(shù)學(xué)上是非常重要的，它體現(xiàn)了冪函數(shù)的本質(zhì)特征。教學(xué)中教師要通過大量的特例讓學(xué)生感受一般，鼓勵學(xué)生用自己的語言描述在同底數(shù)冪運算過程中底數(shù)、指數(shù)發(fā)生了怎樣的變化？反復(fù)體會冪運算的意義。同時，注意算法的多樣性，只要正確就要鼓勵，但也要注意學(xué)生可能出現(xiàn)的錯誤，剖析原因，切實把握冪的運算意義。另外，冪的乘法的運算的學(xué)習與同底數(shù)冪的除法運算在教學(xué)設(shè)計與學(xué)習方法上具有較強的類比性，因此意義重大，故單獨作為一個單元。2.給出冪的性質(zhì)運算一般的推導(dǎo)過程，同時要讓學(xué)生感受到推導(dǎo)的意義和必要性。因為學(xué)生以前所經(jīng)歷的得出規(guī)律的過程，基本上用歸納的方法，他們對推導(dǎo)的意義和必要性會感到困惑。要向?qū)W生說明，前面的歸納過程幫助我們發(fā)現(xiàn)規(guī)律，但不能說明規(guī)律對所有情況都正確，所以要給出一般的推理說明。在這過程中，底數(shù)和指數(shù)都應(yīng)當用字母表示，只有這樣的推導(dǎo)過程才具有一般意義。3、教學(xué)設(shè)計要遵循著本分知識形成的特點：特例計算建立猜想符號表示一般證明形成法則。建議教師在學(xué)生得出法則后有意識的引導(dǎo)學(xué)生對學(xué)習方法以及探究過程的回顧。3.開展好“合作學(xué)習”這樣活動形式，教師首先必須要明確新知的發(fā)現(xiàn)探究法則的過程比單純記憶法則要重要得多。讓學(xué)生在探索冪的運算性質(zhì)時，可以按照：確定內(nèi)容、自主探究、組內(nèi)交流、記錄整理、全班展示基本環(huán)節(jié)開展，真正達到有爭議，有發(fā)現(xiàn)，有創(chuàng)新而不是流于形式，走過場。第二單元 整式的乘法教學(xué)建議：(1)教學(xué)中一定要通過實際情境讓學(xué)生體會學(xué)習整式乘法的必要性；鼓勵學(xué)生運用乘法交換律、結(jié)合律和同底數(shù)冪的運算性質(zhì)等知識探索單項式乘以單項式的運算法則，鼓勵學(xué)生運用乘法分配律、同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)說明單項式乘以多項式以及多項式乘以多項式運算結(jié)果的合理性。（2）單項式的乘法又是單項式與多項式相乘及多項式乘法的基礎(chǔ)，無論是單項式乘多項式還是多項式乘多項式，都必須轉(zhuǎn)化為單項式的乘法來計算，因此學(xué)好單項式的乘法是學(xué)好本單元的一個關(guān)鍵。初學(xué)時一定要讓學(xué)生明白其算理，體會乘法適合交換律和同底數(shù)冪的運算性質(zhì)在其中起了關(guān)鍵的作用。 (3)教學(xué)中要重視學(xué)生對算理的理解，使學(xué)生體會重要的數(shù)學(xué)思想方法轉(zhuǎn)化，而不必要求學(xué)生背誦法則。評價建議：過程性：關(guān)注學(xué)生在探索運算法則過程中所表現(xiàn)出的積極性及對乘法的幾個運算律和同底數(shù)冪的乘法性質(zhì)的掌握程度；關(guān)注學(xué)生是否清晰、有條理地與同伴交流。知識性：是否能熟練進行整式乘法運算。第三單元 乘法公式 乘法公式應(yīng)用非常廣泛，一方面可以簡化計算，另一方面也是以后學(xué)習因式分解等內(nèi)容的重要基礎(chǔ)。乘法公式也是本章的重點之一，教學(xué)時要注意引導(dǎo)學(xué)生仔細觀察分析公式的結(jié)構(gòu)特征，掌握公式的實質(zhì)，讓學(xué)生在欣賞數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)美的同時，體會數(shù)學(xué)公式的優(yōu)越性。（一）平方差公式教學(xué)建議：(1)對例1、例2中的教學(xué)，要幫助學(xué)生對照平方差公式找特點，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力； (2)對P126的“做一做”，要引導(dǎo)學(xué)生體會根據(jù)特例進行歸納、建立猜想、用符號表示并給出證明這一重要的數(shù)學(xué)探索過程，要讓學(xué)生體會符號運算對證明猜想的作用，同時引導(dǎo)學(xué)生體會“數(shù)形結(jié)合”思想的重要性。（3）對平方差公式可以作適當?shù)淖冃闻c分析：“兩數(shù)差與兩數(shù)和的積,” (ab)(ab)=a2 b2字母a,b可代表什么？（不出現(xiàn)a,b表示多項式的情況）公式兩邊符號特征口語化表達：“.等于相同項的平方減去相反項的平方”評價建議：過程性：(1)關(guān)注學(xué)生在探索平方差公式過程中的參與態(tài)度。(2)學(xué)生對例1、例2及P126的“做一做”，平方差公式幾何解釋的興趣。知識性：關(guān)注學(xué)生對符合平方差公式運用計算的多項式乘法觀察的敏銳性，能否熟練運用平方差公式進行簡單的計算。（二）完全平方公式教學(xué)建議：1、教學(xué)中，應(yīng)在討論的基礎(chǔ)上，從代數(shù)運算的角度運用多項式乘法法則，推導(dǎo)出公式(ab) 2 =a 22 a b+ b 22.關(guān)于公式(ab) 2 =a 22 a b+ b 2的獲得，要鼓勵學(xué)生自己探索，鼓勵學(xué)生算法的多樣化，學(xué)生既要可以按多項式的乘法的法則計算；也可以利用公式(ab) 2 =a 22 a b+ b 2來獲得結(jié)果。2、對公式的幾何解釋學(xué)生普遍感到困難，教師可以根據(jù)兩幅圖的變化過程制成動畫或操作演示。評價建議：過程性：(1)公式推導(dǎo)過程中關(guān)注學(xué)生對多項式乘法法則的掌握程度；(2)公式得出后關(guān)注學(xué)生對公式的理解；(3)對P130練習2關(guān)注學(xué)生算法的合理性及與同學(xué)進行交流的積極性。知識性：關(guān)注學(xué)生對符合完全平方公式計算的多項式乘法觀察的敏銳性，能否熟練運用完全平方公式進行簡單的計算。第四單元 整式的除法教學(xué)建議：1、由于乘除法互為逆運算，整式除法的運算可以轉(zhuǎn)化為整式的乘法來進行，因此整式乘法是整式除法的基礎(chǔ)。對于“整式的除法”這一單元來說，同底數(shù)冪的除法是單項式除以單項式的依據(jù)，而單項式除以單項式又是多項式除以單項式的基礎(chǔ)，因此學(xué)好單項式的除法是學(xué)好本單元內(nèi)容的關(guān)鍵。2、對于較小的數(shù)也可以用科學(xué)記數(shù)法來表示，這部分內(nèi)容是在“同底數(shù)冪的除法”一節(jié)中，在給出負整數(shù)指數(shù)冪的概念以后介紹的。0次冪的概念和負整數(shù)指數(shù)冪的概念，在同底數(shù)冪相除的運算性質(zhì)后很自然地引出，一方面可使學(xué)生對整數(shù)指數(shù)冪有一個整體了解，另一方面也為今后進一步學(xué)習整數(shù)指數(shù)冪及有理數(shù)指數(shù)冪的運算作準備?？紤]到學(xué)生的可接受性，這里僅限于要求學(xué)會用a10-n的形式表示一個數(shù)，而不介紹一般的負整數(shù)旨數(shù)冪的運算。3、整式的除法是以后學(xué)習公式及分式方程等的基礎(chǔ)，事實上，單項式除以單項式就是分式的約分，多項式除以單項式的法則就是用作為分母的單項式去除多項式分子中的每一項。4、教學(xué)中要提倡算法多樣化，讓學(xué)生說明每一步的理由 ，并鼓勵學(xué)生間的交流。對于多項式除以單項式，要鼓勵學(xué)生利用已經(jīng)學(xué)習過的內(nèi)容獨立地解決問題。評價建議：過程性：關(guān)注學(xué)生在探索整式除法運算法則過程中參與的積極性及學(xué)生對運算法則的理解程度。知識性：關(guān)注學(xué)生對整式除法法則的掌握程度及運用法則進行運算的熟練程度。