2019-2020年高中數(shù)學特征值與特征向量教學案蘇教版選修4.doc
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2019-2020年高中數(shù)學特征值與特征向量教學案蘇教版選修4 1.設矩陣A=,對于實數(shù)λ,若存在一個非零向量α使Aα=λα,則λ稱為A的一個特征值,而α稱為A的屬于特征值λ的一個特征向量. 2.設α是矩陣A的屬于特征值λ的一個特征向量,則有: (1)kα(k≠0)也是矩陣A的屬于特征值λ的特征向量. (2)Anα=λnα(n∈N*). 3.多項式f(λ)=稱為矩陣A=的特征多項式,方程f(λ)=0稱為矩陣A的特征方程. 4.給定矩陣A=,求A的特征向量和特征值一般步驟為: (1)首先求出特征方程f(λ)=0的兩個根λ1、λ2即為矩陣A的特征值. (2)分別將λ1、λ2代入齊次線性方程組 分別求出與之相應的兩組非零解α1、α2即為相應的特征向量. 特征值、特征向量的概念 [例1] 給定矩陣M=,N=及向量e1=,e2=.求證: (1)M和N互為逆矩陣; (2)e1和e2都是M的特征向量. [思路點撥] (1)只需證明MN=NM=E即可;(2)只需證明Me1=λe1,Me2=λe2即可. [精解詳析] (1)因為MN= =, NM= =, 所以M和N互為逆矩陣. (2)向量e1= 在M的作用下,其象與其保持共線,即 ==, 向量e2=在M的作用下,其象與其保持共線,即 =, 所以e1和e2都是M的特征向量. 1.設A是可逆的二階矩陣,求證:若λ是A的特征值,則是A-1的特征值. 證明:∵Aα=λα,∴A-1(Aα)=A-1(λα), ∴α=A-1(λα)=λ(A-1α), ∴A-1α=α.∴是A-1的特征值. 2.若向量是矩陣的一個特征向量,求m的值. 解:由題意知是齊次方程組的一組解,即解之得 故m的值為12. 特征值和特征向量的求法 [例2] 求矩陣A=的特征值與相應特征值的一個特征向量. [思路點撥] 先求特征多項式,令特征多項式為0求出特征值,再求相應特征向量. [精解詳析] 矩陣A的特征多項式為 =λ2--=λ2-1. 令λ2-1=0,解得矩陣A的特征值為λ1=1,λ2=-1. 當λ1=1時,代入齊次線性方程組得 即3x-y=0,令x=1,則y=. 所以X1=是矩陣A的屬于特征值λ1=1的一個特征向量. 當λ2=-1時,代入齊次線性方程組得 即x+y=0,令x=3,則y=-. 所以X2=是矩陣A的屬于特征值λ2=-1的一個特征向量. 已知矩陣A=,求它的特征值和特征向量可以分成以下兩步: (1)求出矩陣A的特征多項式等于零的全部根,它們就是矩陣A的全部特征值. (2)對于每個特征值λ0,解齊次線性方程組,其所有非零解就是屬于λ0的特征向量. 3.已知矩陣A=,求A的特征值及其對應的所有特征向量. 解:由f(x)= =(λ-3)(λ-2)-20 =λ2-5λ-14=0 得矩陣A的特征值為λ1=7,λ2=-2. 當λ1=7時,由方程組得α1=. 故矩陣A屬于特征值λ=7的所有特征向量為(k≠0). 當x2=-2時,由方程組得α2=. 故矩陣A屬于特征值λ=-2的所有特征向量為(k≠0). 4.矩陣A=的特征值為-1,2,求m,n的值. 解:f(λ)==(λ-3)(λ-n)-2m =λ2-(3+n)λ+3n-2m, 據(jù)題意可知方程(關于λ的)λ2-(3+n)λ+3n-2m=0的兩個根為-1,2; ∴∴ 由特征值和特征向量求矩陣 [例3] 已知二階矩陣A的屬于特征值-1的一個特征向量為,屬于特征值3的一個特征向量為,求矩陣A. [思路點撥] 利用矩陣,特征向量及特征值滿足的關系式構建方程組,通過解方程組求得矩陣的所有元素即可. [精解詳析] 設A=, 由題意知 =, =, 即解得∴A=. 解此類問題可利用待定系數(shù)法,首先設出待求矩陣的元素,再利用矩陣A、特征向量ξ及特征值λ間滿足Aξ=λξ構建方程組,最后通過解方程組求出矩陣的所有元素. 5.已知矩陣A有特征值λ1=8及對應的特征向量α1=,并有特征值λ2=2及對應的特征向量α2=,試確定矩陣A. 解:不妨設矩陣A=,a,b,c,d均為實數(shù).由題意則有 =8及 =2, 即解得即矩陣A=. 6.給定的矩陣A=,B=. (1)求A的特征值λ1,λ2及對應的特征向量α1,α2; (2)求A4B. 解:(1)設A的一個特征值為λ,由題意知 =0, 即(λ-2)(λ-3)=0, ∴λ1=2,λ2=3. 當λ1=2時,由 =2,得A屬于特征值2的特征向量α1=; 當λ2=3時,由 =3,得A屬于特征值3的特征向量α2=. (2)由于B==+=α1+α2, 故A4B=A4(α1+α2) =24α1+34α2 =16α1+81α2 =+ =. 1.已知矩陣M=的一個特征值為3,求其另一個特征值. 解:矩陣M的特征多項式為f(λ)= =(λ-1)(λ-x)-4. 由特征值為3,可解得x=1. 因為(λ-1)(λ-1)-4=0,得λ2=-1. 所以矩陣M的另一個特征值為-1. 2.設二階矩陣M=,其中m,n是實數(shù)且向量是矩陣M的屬于特征值λ=1的一個特征向量,試找出適合條件的一個矩陣M. 解:由題意知 =, 故=. ∴2m+n=1,取m=0,n=1, 則M=為適合條件的一個矩陣. 3.已知矩陣M=,向量α=,求M4α. 解:矩陣M的特征值滿足方程 =(λ-8)(λ+3)-5(-6)=λ2-5λ+6=0, 解得矩陣M的兩個特征值λ1=2,λ2=3. 分別將λ1=2,λ2=3代入方程組 =λ, 可求得它們對應的特征向量分別可取為α1=,α2=. 顯然α1,α2不共線, 又因為α==+2=α1+2α2, 因此,M4α=M4(α1+2α2)=M4α1+2(M4α2)=λα1+2λα2=24+234=. 4.對任意實數(shù)x,矩陣總存在特征向量,求m的取值范圍. 解:由題意知,對任意實數(shù)x, 矩陣總存在特征向量, 設λ為矩陣的一個特征值, 則f(λ)==(λ-x)(λ-3)-(-2-m)(m-3). 令f(λ)=0,由題意知(λ-x)(λ-3)-(-2-m)(m-3)=0對任意實數(shù)x恒成立, ∴Δ=(3+x)2-12x+4(m+2)(3-m)≥0恒成立, 即(x-3)2+4(m+2)(3-m)≥0恒成立. 由x的任意性可知4(m+2)(3-m)≥0恒成立, ∴-2≤m≤3. 5.已知二階矩陣M有兩個特征值:λ1=8,λ2=2,其中λ1對應的一個特征向量e1=,λ2對應的一個特征向量e2=,求M. 解:設M=,則 =8, 且 =2. ∴且 ∴a=6,b=2,c=4,d=4. ∴M=. 6.已知矩陣M=,向量α=,β=. (1)求向量2α+3β在矩陣M表示的變換作用下的象; (2)試問向量=是矩陣M的特征向量嗎?為什么? 解:(1)因為2α+3β=2+3=, 所以M(2α+3β)= =, 所以向量2α+3β在矩陣 M表示的變換作用下的象為. (2)向量=不是矩陣M的特征向量.理由如下: M= =,向量與向量=不共線,所以向量=不是矩陣M的特征向量. 7.已知矩陣A對應的變換是先將某平面圖形上的點的橫坐標保持不變,縱坐標變?yōu)樵瓉淼?倍,再將所得圖形繞原點按順時針方向旋轉90. (1)求矩陣A及A的逆矩陣B; (2)已知矩陣M=,求M的特征值和特征向量; (3)若α=在矩陣B的作用下變換為β,求M4β. 解:(1)A= =. B=A-1=. (2)設M的特征值為λ,則由條件,得=0, 即(λ-3)(λ-4)-6=λ2-7λ+6=0. 解得λ1=1,λ2=6. 當λ1=1時,由 =, 得M屬于1的特征向量為α1=; 當λ2=6時,由 =6, 得M屬于6的特征向量為α2=. (3)由Bα=β,得β= =, 設=mα1+nα2=m+n =, 則由 解得 所以β=-α1+2α2. 所以M4β=M4(-α1+2α2)=-M4α1+2M4α2 =-+264= =. 8.已知矩陣A=的特征多項式為f(λ)= λ2-λ+. (1)求a,d的值; (2)若α=,且Aα=λα,求λ的值. 解:(1)由題意,得f(λ)= =(λ-a)(λ-d)=λ2-(a+d)λ+ad =λ2-λ+, 即所以或 (2)由(1),得A=,于是由 =λ,得λ=,或A=,于是由 =λ,得λ=1. 故若A=,則λ=;若A=,則λ=1.- 配套講稿:
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