2019-2020年高中數(shù)學 第一章 解三角形 正弦定理教案 新人教A版必修5.doc

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2019-2020年高中數(shù)學 第一章 解三角形 正弦定理教案 新人教A版必修5 1．1．1正弦定理 ●教學目標 知識與技能：通過對任意三角形邊長和角度關系的探索，掌握正弦定理的內容及其證明方法；會運用正弦定理與三角形內角和定理解斜三角形的兩類基本問題。 過程與方法：讓學生從已有的幾何知識出發(fā),共同探究在任意三角形中，邊與其對角的關系，引導學生通過觀察，推導，比較，由特殊到一般歸納出正弦定理，并進行定理基本應用的實踐操作。 情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；培養(yǎng)學生合情推理探索數(shù)學規(guī)律的數(shù)學思思想能力，通過三角形函數(shù)、正弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的聯(lián)系來體現(xiàn)事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。 ●教學重點 正弦定理的探索和證明及其基本應用。 ●教學難點 已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時判斷解的個數(shù)。 ●教學過程 Ⅰ.課題導入 如圖1．1-1，固定ABC的邊CB及B，使邊AC繞著頂點C轉動。 A 思考：C的大小與它的對邊AB的長度之間有怎樣的數(shù)量關系？ 顯然，邊AB的長度隨著其對角C的大小的增大而增大。能否 用一個等式把這種關系精確地表示出來？ C B Ⅱ.講授新課 [探索研究] (圖1．1-1) 在初中，我們已學過如何解直角三角形，下面就首先來探討直角三角形中，角與邊的等式關系。如圖1．1-2，在RtABC中，設BC=a,AC=b,AB=c, 根據(jù)銳角三角函數(shù)中正弦函數(shù)的定義，有，，又, A 則 b c 從而在直角三角形ABC中， C a B (圖1．1-2) 思考：那么對于任意的三角形，以上關系式是否仍然成立？ （由學生討論、分析） 可分為銳角三角形和鈍角三角形兩種情況： 如圖1．1-3，當ABC是銳角三角形時，設邊AB上的高是CD，根據(jù)任意角三角函數(shù)的定義，有CD=,則， C 同理可得， b a 從而 A c B (圖1．1-3) 思考：是否可以用其它方法證明這一等式？由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。 （證法二）：過點A作， C 由向量的加法可得 則 A B ∴ ∴，即 同理，過點C作，可得 從而 類似可推出，當ABC是鈍角三角形時，以上關系式仍然成立。（由學生課后自己推導） 從上面的研探過程，可得以下定理 正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即 [理解定理] （1）正弦定理說明同一三角形中，邊與其對角的正弦成正比，且比例系數(shù)為同一正數(shù)，即存在正數(shù)k使，，； （2）等價于，， 從而知正弦定理的基本作用為： ①已知三角形的任意兩角及其一邊可以求其他邊，如； ②已知三角形的任意兩邊與其中一邊的對角可以求其他角的正弦值，如。 一般地，已知三角形的某些邊和角，求其他的邊和角的過程叫作解三角形。 [例題分析] 例1．在中，已知，，cm，解三角形。 解：根據(jù)三角形內角和定理， ； 根據(jù)正弦定理， ； 根據(jù)正弦定理， 評述：對于解三角形中的復雜運算可使用計算器。 例2．在中，已知cm，cm，，解三角形（角度精確到，邊長精確到1cm）。 解：根據(jù)正弦定理， 因為＜＜，所以，或 ⑴ 當時， ， ⑵ 當時， ， 評述：應注意已知兩邊和其中一邊的對角解三角形時，可能有兩解的情形。 [補充練習]已知ABC中，，求 （答案：1：2：3） Ⅳ.課時小結（由學生歸納總結） （1）定理的表示形式：； 或，， （2）正弦定理的應用范圍： ①已知兩角和任一邊，求其它兩邊及一角； ②已知兩邊和其中一邊對角，求另一邊的對角。 課題: 1.1.2余弦定理 ●教學目標 知識與技能：掌握余弦定理的兩種表示形式及證明余弦定理的向量方法，并會運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題。 過程與方法：利用向量的數(shù)量積推出余弦定理及其推論，并通過實踐演算掌握運用余弦定理解決兩類基本的解三角形問題 情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生在方程思想指導下處理解三角形問題的運算能力；通過三角函數(shù)、余弦定理、向量的數(shù)量積等知識間的關系，來理解事物之間的普遍聯(lián)系與辯證統(tǒng)一。 ●教學重點 余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程及其基本應用； ●教學難點 勾股定理在余弦定理的發(fā)現(xiàn)和證明過程中的作用。 ●教學過程 Ⅰ.課題導入 C 如圖1．1-4，在ABC中，設BC=a,AC=b,AB=c, 已知a,b和C，求邊c b a A c B (圖1．1-4) Ⅱ.講授新課 [探索研究] 聯(lián)系已經(jīng)學過的知識和方法，可用什么途徑來解決這個問題？ 用正弦定理試求，發(fā)現(xiàn)因A、B均未知，所以較難求邊c。 由于涉及邊長問題，從而可以考慮用向量來研究這個問題。 A 如圖1．1-5，設，，，那么，則 C B 從而 (圖1．1-5) 同理可證 于是得到以下定理 余弦定理：三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍。即 思考：這個式子中有幾個量？從方程的角度看已知其中三個量，可以求出第四個量，能否由三邊求出一角？ （由學生推出）從余弦定理，又可得到以下推論： [理解定理] 從而知余弦定理及其推論的基本作用為： ①已知三角形的任意兩邊及它們的夾角就可以求出第三邊； ②已知三角形的三條邊就可以求出其它角。 思考：勾股定理指出了直角三角形中三邊平方之間的關系，余弦定理則指出了一般三角形中三邊平方之間的關系，如何看這兩個定理之間的關系？ （由學生總結）若ABC中，C=，則，這時 由此可知余弦定理是勾股定理的推廣，勾股定理是余弦定理的特例。 [例題分析] 例1．在ABC中，已知，，，求b及A ⑴解：∵ =cos = = ∴ 求可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： ⑵解法一：∵cos ∴ 解法二：∵sin 又∵＞ ＜ ∴＜，即＜＜ ∴ 評述：解法二應注意確定A的取值范圍。 例2．在ABC中，已知，，，解三角形 （見課本第8頁例4，可由學生通過閱讀進行理解） 解：由余弦定理的推論得： cos ； cos ； [補充練習]在ABC中，若，求角A（答案：A=120） Ⅳ.課時小結 （1）余弦定理是任何三角形邊角之間存在的共同規(guī)律，勾股定理是余弦定理的特例； （2）余弦定理的應用范圍：①．已知三邊求三角；②．已知兩邊及它們的夾角，求第三邊。 課題: 1．1．3解三角形的進一步討論 ●教學目標 知識與技能：掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應用。 過程與方法：通過引導學生分析，解答三個典型例子，使學生學會綜合運用正、余弦定理，三角函數(shù)公式及三角形有關性質求解三角形問題。 情感態(tài)度與價值觀：通過正、余弦定理，在解三角形問題時溝通了三角形的有關性質和三角函數(shù)的關系，反映了事物之間的必然聯(lián)系及一定條件下相互轉化的可能，從而從本質上反映了事物之間的內在聯(lián)系。 ●教學重點 在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形； 三角形各種類型的判定方法；三角形面積定理的應用。 ●教學難點 正、余弦定理與三角形的有關性質的綜合運用。 ●教學過程 Ⅰ.課題導入 [創(chuàng)設情景] 思考：在ABC中，已知，，，解三角形。 從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，在某些條件下會出現(xiàn)無解的情形。下面進一步來研究這種情形下解三角形的問題。 Ⅱ.講授新課 [探索研究] 例1．在ABC中，已知，討論三角形解的情況 分析：先由可進一步求出B； 則 從而 1．當A為鈍角或直角時，必須才能有且只有一解；否則無解。 2．當A為銳角時， 如果≥，那么只有一解； 如果，那么可以分下面三種情況來討論： （1）若，則有兩解； （2）若，則只有一解； （3）若，則無解。 評述：注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當A為銳角且 時，有兩解；其它情況時則只有一解或無解。 [隨堂練習1] （1）在ABC中，已知，，，試判斷此三角形的解的情況。 （2）在ABC中，若，，，則符合題意的b的值有_____個。 （3）在ABC中，，，，如果利用正弦定理解三角形有兩解，求x的取值范圍。 （答案：（1）有兩解；（2）0；（3）） 例2．在ABC中，已知，，，判斷ABC的類型。 分析：由余弦定理可知 （注意：） 解：，即， ∴。 [隨堂練習2] （1）在ABC中，已知，判斷ABC的類型。 （2）已知ABC滿足條件，判斷ABC的類型。 （答案：（1）；（2）ABC是等腰或直角三角形） 例3．在ABC中，，，面積為，求的值 分析：可利用三角形面積定理以及正弦定理 解：由得， 則=3，即， 從而 Ⅲ.課堂練習 （1）在ABC中，若，，且此三角形的面積，求角C （2）在ABC中，其三邊分別為a、b、c，且三角形的面積，求角C （答案：（1）或；（2）） Ⅳ.課時小結 （1）在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形； （2）三角形各種類型的判定方法； （3）三角形面積定理的應用。 課題: 2.2解三角形應用舉例 第一課時 ●教學目標 知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關測量距離的實際問題，了解常用的測量相關術語 過程與方法：首先通過巧妙的設疑，順利地引導新課，為以后的幾節(jié)課做良好鋪墊。其次結合學生的實際情況，采用“提出問題——引發(fā)思考——探索猜想——總結規(guī)律——反饋訓練”的教學過程，根據(jù)大綱要求以及教學內容之間的內在關系，鋪開例題，設計變式，同時通過多媒體、圖形觀察等直觀演示，幫助學生掌握解法，能夠類比解決實際問題。對于例2這樣的開放性題目要鼓勵學生討論，開放多種思路，引導學生發(fā)現(xiàn)問題并進行適當?shù)闹更c和矯正 情感態(tài)度與價值觀：激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣,并體會數(shù)學的應用價值；同時培養(yǎng)學生運用圖形、數(shù)學符號表達題意和應用轉化思想解決數(shù)學問題的能力 ●教學重點 實際問題中抽象出一個或幾個三角形，然后逐個解決三角形，得到實際問題的解 ●教學難點 根據(jù)題意建立數(shù)學模型，畫出示意圖 ●教學過程 Ⅰ.課題導入 1、[復習舊知] 復習提問什么是正弦定理、余弦定理以及它們可以解決哪些類型的三角形？ 2、[設置情境] 請學生回答完后再提問：前面引言第一章“解三角形”中，我們遇到這么一個問題，“遙不可及的月亮離我們地球究竟有多遠呢？”在古代，天文學家沒有先進的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個奧秘的呢？我們知道，對于未知的距離、高度等，存在著許多可供選擇的測量方案，比如可以應用全等三角形、相似三角形的方法，或借助解直角三角形等等不同的方法，但由于在實際測量問題的真實背景下，某些方法會不能實施。如因為沒有足夠的空間，不能用全等三角形的方法來測量，所以，有些方法會有局限性。于是上面介紹的問題是用以前的方法所不能解決的。今天我們開始學習正弦定理、余弦定理在科學實踐中的重要應用，首先研究如何測量距離。 Ⅱ.講授新課 （1）解決實際測量問題的過程一般要充分認真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的條件和所求轉換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學模型來求解 [例題講解] (2)例1、如圖，設A、B兩點在河的兩岸，要測量兩點之間的距離，測量者在A的同側，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離是55m，BAC=，ACB=。求A、B兩點的距離(精確到0.1m) 啟發(fā)提問1：ABC中，根據(jù)已知的邊和對應角，運用哪個定理比較適當？ 啟發(fā)提問2：運用該定理解題還需要那些邊和角呢？請學生回答。 分析：這是一道關于測量從一個可到達的點到一個不可到達的點之間的距離的問題，題目條件告訴了邊AB的對角，AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內角和定理很容易根據(jù)兩個已知角算出AC的對角，應用正弦定理算出AB邊。 解：根據(jù)正弦定理，得 = AB = = = = ≈ 65.7(m) 答:A、B兩點間的距離為65.7米 變式練習：兩燈塔A、B與海洋觀察站C的距離都等于a km,燈塔A在觀察站C的北偏東30，燈塔B在觀察站C南偏東60，則A、B之間的距離為多少？ 老師指導學生畫圖，建立數(shù)學模型。 解略：a km 例2、如圖，A、B兩點都在河的對岸（不可到達），設計一種測量A、B兩點間距離的方法。 分析：這是例1的變式題，研究的是兩個不可到達的點之間的距離測量問題。首先需要構造三角形，所以需要確定C、D兩點。根據(jù)正弦定理中已知三角形的任意兩個內角與一邊既可求出另兩邊的方法，分別求出AC和BC，再利用余弦定理可以計算出AB的距離。 解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，測得CD=a，并且在C、D兩點分別測得BCA=， ACD=，CDB=，BDA =，在ADC和BDC中，應用正弦定理得 AC = = BC = = 計算出AC和BC后，再在ABC中，應用余弦定理計算出AB兩點間的距離 AB = 分組討論：還沒有其它的方法呢？師生一起對不同方法進行對比、分析。 變式訓練：若在河岸選取相距40米的C、D兩點，測得BCA=60，ACD=30，CDB=45，BDA =60 略解：將題中各已知量代入例2推出的公式，得AB=20 評注：可見，在研究三角形時，靈活根據(jù)兩個定理可以尋找到多種解決問題的方案，但有些過程較繁復，如何找到最優(yōu)的方法，最主要的還是分析兩個定理的特點，結合題目條件來選擇最佳的計算方式。 Ⅳ.課時小結 解斜三角形應用題的一般步驟： （1）分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖 （2）建模：根據(jù)已知條件與求解目標，把已知量與求解量盡量集中在有關的三角形中，建立一個解斜三角形的數(shù)學模型 （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學模型的解 （4）檢驗：檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解 課題: 2.2解三角形應用舉例第二課時 ●教學目標 知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關底部不可到達的物體高度測量的問題 過程與方法：本節(jié)課是解三角形應用舉例的延伸。采用啟發(fā)與嘗試的方法，讓學生在溫故知新中學會正確識圖、畫圖、想圖，幫助學生逐步構建知識框架。通過3道例題的安排和練習的訓練來鞏固深化解三角形實際問題的一般方法。教學形式要堅持引導——討論——歸納，目的不在于讓學生記住結論，更多的要養(yǎng)成良好的研究、探索習慣。作業(yè)設計思考題，提供學生更廣闊的思考空間 情感態(tài)度與價值觀：進一步培養(yǎng)學生學習數(shù)學、應用數(shù)學的意識及觀察、歸納、類比、概括的能力 ●教學重點 結合實際測量工具，解決生活中的測量高度問題 ●教學難點 能觀察較復雜的圖形，從中找到解決問題的關鍵條件 ●教學過程 Ⅰ.課題導入 提問：現(xiàn)實生活中,人們是怎樣測量底部不可到達的建筑物高度呢？又怎樣在水平飛行的飛機上測量飛機下方山頂?shù)暮０胃叨饶兀拷裉煳覀兙蛠砉餐接戇@方面的問題 Ⅱ.講授新課 [范例講解] 例1、AB是底部B不可到達的一個建筑物，A為建筑物的最高點，設計一種測量建筑物高度AB的方法。 分析：求AB長的關鍵是先求AE，在ACE中，如能求出C點到建筑物頂部A的距離CA，再測出由C點觀察A的仰角，就可以計算出AE的長。 解：選擇一條水平基線HG，使H、G、B三點在同一條直線上。由在H、G兩點用測角儀器測得A的仰角分別是、，CD = a，測角儀器的高是h，那么，在ACD中，根據(jù)正弦定理可得 AC = AB = AE + h = AC+ h = + h 例2、如圖，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角=54，在塔底C處測得A處的俯角=50。已知鐵塔BC部分的高為27.3 m,求出山高CD(精確到1 m) 師:根據(jù)已知條件,大家能設計出解題方案嗎？（給時間給學生討論思考）若在ABD中求CD，則關鍵需要求出哪條邊呢？ 生：需求出BD邊。 師：那如何求BD邊呢？ 生：可首先求出AB邊，再根據(jù)BAD=求得。 解:在ABC中, BCA=90+,ABC =90-,BAC=- ,BAD =.根據(jù)正弦定理, = 所以 AB == 解RtABD中,得 BD =ABsinBAD= 將測量數(shù)據(jù)代入上式,得 BD = = ≈177 (m) CD =BD -BC≈177-27.3=150(m) 答:山的高度約為150米. 師：有沒有別的解法呢？ 生：若在ACD中求CD，可先求出AC。 師：分析得很好，請大家接著思考如何求出AC？ 生：同理，在ABC中，根據(jù)正弦定理求得。（解題過程略） 例3、如圖,一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛,到A處時測得公路南側遠處一山頂D在東偏南15的方向上,行駛5km后到達B處,測得此山頂在東偏南25的方向上,仰角為8,求此山的高度CD. 師：欲求出CD，大家思考在哪個三角形中研究比較適合呢？ 生：在BCD中 師：在BCD中，已知BD或BC都可求出CD,根據(jù)條件,易計算出哪條邊的長？ 生：BC邊 解:在ABC中, A=15,C= 25-15=10,根據(jù)正弦定理, = , BC == ≈ 7.4524(km) CD=BCtanDBC≈BCtan8≈1047(m) 答:山的高度約為1047米 Ⅲ.課時小結 利用正弦定理和余弦定理來解題時，要學會審題及根據(jù)題意畫方位圖,要懂得從所給的背景資料中進行加工、抽取主要因素，進行適當?shù)暮喕? 課題: 2.2解三角形應用舉例 第三課時 ●教學目標 知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些有關計算角度的實際問題 過程與方法：本節(jié)課是在學習了相關內容后的第三節(jié)課，學生已經(jīng)對解法有了基本的了解，這節(jié)課應通過綜合訓練強化學生的相應能力。除了安排課本上的例1，還針對性地選擇了既具典型性有具啟發(fā)性的2道例題，強調知識的傳授更重能力的滲透。課堂中要充分體現(xiàn)學生的主體地位，重過程，重討論，教師通過導疑、導思讓學生有效、積極、主動地參與到探究問題的過程中來，逐步讓學生自主發(fā)現(xiàn)規(guī)律，舉一反三。 情感態(tài)度與價值觀：培養(yǎng)學生提出問題、正確分析問題、獨立解決問題的能力，并在教學過程中激發(fā)學生的探索精神。 ●教學重點 能根據(jù)正弦定理、余弦定理的特點找到已知條件和所求角的關系 ●教學難點 靈活運用正弦定理和余弦定理解關于角度的問題 ●教學過程 Ⅰ.課題導入 [創(chuàng)設情境] 提問：前面我們學習了如何測量距離和高度，這些實際上都可轉化已知三角形的一些邊和角求其余邊的問題。然而在實際的航海生活中,人們又會遇到新的問題，在浩瀚無垠的海面上如何確保輪船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我們接著探討這方面的測量問題。 Ⅱ.講授新課[范例講解] 例1、如圖，一艘海輪從A出發(fā)，沿北偏東75的方向航行67.5 n mile后到達海島B,然后從B出發(fā),沿北偏東32的方向航行54.0 n mile后達到海島C.如果下次航行直接從A出發(fā)到達C,此船應該沿怎樣的方向航行,需要航行多少距離?(角度精確到0.1,距離精確到0.01n mile) 學生看圖思考并講述解題思路 教師根據(jù)學生的回答歸納分析：首先根據(jù)三角形的內角和定理求出AC邊所對的角ABC，即可用余弦定理算出AC邊，再根據(jù)正弦定理算出AC邊和AB邊的夾角CAB。 解：在ABC中，ABC=180- 75+ 32=137，根據(jù)余弦定理， AC= = ≈113.15 根據(jù)正弦定理, = sinCAB = = ≈0.3255, 所以 CAB =19.0, 75- CAB =56.0 答:此船應該沿北偏東56.1的方向航行,需要航行113.15n mile 例2、在某點B處測得建筑物AE的頂端A的仰角為，沿BE方向前進30m，至點C處測得頂端A的仰角為2，再繼續(xù)前進10m至D點，測得頂端A的仰角為4，求的大小和建筑物AE的高。 教師先引導和鼓勵學生積極思考解題方法，讓學生動手練習，請三位同學用三種不同方法板演，然后教師補充講評。 解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD中， AC=BC=30， AD=DC=10， ADC =180-4， = 。 因為 sin4=2sin2cos2 cos2=,得 2=30 =15， 在RtADE中，AE=ADsin60=15 答：所求角為15，建筑物高度為15m 解法二：（設方程來求解）設DE= x，AE=h 在 RtACE中,(10+ x) + h=30 在 RtADE中,x+h=(10) 兩式相減，得x=5,h=15 在 RtACE中,tan2== 2=30,=15 答：所求角為15，建筑物高度為15m 解法三：（用倍角公式求解）設建筑物高為AE=8，由題意，得 BAC=， CAD=2， AC = BC =30m , AD = CD =10m 在RtACE中，sin2= --------- ① 在RtADE中，sin4=, --------- ② ②① 得 cos2=,2=30,=15，AE=ADsin60=15 答：所求角為15，建筑物高度為15m 例3、某巡邏艇在A處發(fā)現(xiàn)北偏東45相距9海里的C處有一艘走私船，正沿南偏東75的方向以10海里/小時的速度向我海岸行駛，巡邏艇立即以14海里/小時的速度沿著直線方向追去，問巡邏艇應該沿什么方向去追？需要多少時間才追趕上該走私船？ 師：你能根據(jù)題意畫出方位圖？教師啟發(fā)學生做圖建立數(shù)學模型 分析：這道題的關鍵是計算出三角形的各邊，即需要引入時間這個參變量。 解：如圖，設該巡邏艇沿AB方向經(jīng)過x小時后在B處追上走私船，則CB=10x, AB=14x,AC=9, ACB=+= (14x) = 9+ (10x) -2910xcos 化簡得32x-30x-27=0，即x=,或x=-(舍去) 所以BC = 10x =15,AB =14x =21, 又因為sinBAC === BAC =38,或BAC =141（鈍角不合題意，舍去）， 38+=83 答：巡邏艇應該沿北偏東83方向去追，經(jīng)過1.4小時才追趕上該走私船. 評注：在求解三角形中，我們可以根據(jù)正弦函數(shù)的定義得到兩個解，但作為有關現(xiàn)實生活的應用題，必須檢驗上述所求的解是否符合實際意義，從而得出實際問題的解 Ⅲ.課時小結 解三角形的應用題時，通常會遇到兩種情況：（1）已知量與未知量全部集中在一個三角形中，依次利用正弦定理或余弦定理解之。（2）已知量與未知量涉及兩個或幾個三角形，這時需要選擇條件足夠的三角形優(yōu)先研究，再逐步在其余的三角形中求出問題的解。 課題: 2.2解三角形應用舉例 ●教學目標 知識與技能：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法進一步解決有關三角形的問題, 掌握三角形的面積公式的簡單推導和應用 過程與方法：本節(jié)課補充了三角形新的面積公式，巧妙設疑，引導學生證明，同時總結出該公式的特點，循序漸進地具體運用于相關的題型。另外本節(jié)課的證明題體現(xiàn)了前面所學知識的生動運用，教師要放手讓學生摸索，使學生在具體的論證中靈活把握正弦定理和余弦定理的特點，能不拘一格，一題多解。只要學生自行掌握了兩定理的特點，就能很快開闊思維，有利地進一步突破難點。 情感態(tài)度與價值觀：讓學生進一步鞏固所學的知識，加深對所學定理的理解，提高創(chuàng)新能力；進一步培養(yǎng)學生研究和發(fā)現(xiàn)能力，讓學生在探究中體驗愉悅的成功體驗 ●教學重點 推導三角形的面積公式并解決簡單的相關題目 ●教學難點 利用正弦定理、余弦定理來求證簡單的證明題 ●教學過程 Ⅰ.課題導入 [創(chuàng)設情境] 師：以前我們就已經(jīng)接觸過了三角形的面積公式，今天我們來學習它的另一個表達公式。在 ABC中，邊BC、CA、AB上的高分別記為h、h、h，那么它們如何用已知邊和角表示？ 生：h=bsinC=csinB h=csinA=asinC h=asinB=bsinaA 師：根據(jù)以前學過的三角形面積公式S=ah,應用以上求出的高的公式如h=bsinC代入，可以推導出下面的三角形面積公式，S=absinC，大家能推出其它的幾個公式嗎？ 生：同理可得，S=bcsinA, S=acsinB 師：除了知道某條邊和該邊上的高可求出三角形的面積外，知道哪些條件也可求出三角形的面積呢？ 生：如能知道三角形的任意兩邊以及它們夾角的正弦即可求解 Ⅱ.講授新課 [范例講解] 例1、在ABC中，根據(jù)下列條件，求三角形的面積S（精確到0.1cm） （1）已知a=14.8cm,c=23.5cm,B=148.5; （2）已知B=62.7,C=65.8,b=3.16cm; （3）已知三邊的長分別為a=41.4cm,b=27.3cm,c=38.7cm 分析：這是一道在不同已知條件下求三角形的面積的問題，與解三角形問題有密切的關系，我們可以應用解三角形面積的知識，觀察已知什么，尚缺什么？求出需要的元素，就可以求出三角形的面積。 解：（1）應用S=acsinB，得 S=14.823.5sin148.5≈90.9(cm) (2)根據(jù)正弦定理， = c = S = bcsinA = b A = 180-(B + C)= 180-(62.7+ 65.8)=51.5 S = 3.16≈4.0(cm) (3)根據(jù)余弦定理的推論，得 cosB = = ≈0.7697 sinB = ≈≈0.6384 應用S=acsinB，得 S ≈41.438.70.6384≈511.4(cm) 例2、如圖,在某市進行城市環(huán)境建設中,要把一個三角形的區(qū)域改造成室內公園,經(jīng)過測量得到這個三角形區(qū)域的三條邊長分別為68m,88m,127m,這個區(qū)域的面積是多少？（精確到0.1cm）？ 師：你能把這一實際問題化歸為一道數(shù)學題目嗎？ 生：本題可轉化為已知三角形的三邊，求角的問題，再利用三角形的面積公式求解。 由學生解答，老師巡視并對學生解答進行講評小結。 解：設a=68m,b=88m,c=127m,根據(jù)余弦定理的推論， cosB= =≈0.7532 sinB=0.6578 應用S=acsinB S ≈681270.6578≈2840.38(m) 答：這個區(qū)域的面積是2840.38m。 例3、在ABC中，求證： （1） （2）++=2（bccosA+cacosB+abcosC） 分析：這是一道關于三角形邊角關系恒等式的證明問題，觀察式子左右兩邊的特點，聯(lián)想到用正弦定理來證明 證明：（1）根據(jù)正弦定理，可設 = = = k 顯然 k0，所以 左邊= ==右邊 （2）根據(jù)余弦定理的推論， 右邊=2(bc+ca+ab) =(b+c- a)+(c+a-b)+(a+b-c) =a+b+c=左邊 變式練習1：已知在ABC中，B=30,b=6,c=6,求a及ABC的面積S 提示：解有關已知兩邊和其中一邊對角的問題，注重分情況討論解的個數(shù)。 答案：a=6,S=9;a=12,S=18 變式練習2：判斷滿足下列條件的三角形形狀， （1） acosA = bcosB （2） sinC = 提示：利用正弦定理或余弦定理，“化邊為角”或“化角為邊” （1） 師：大家嘗試分別用兩個定理進行證明。 生1：（余弦定理）得 a=b c= 根據(jù)邊的關系易得是等腰三角形或直角三角形 生2：（正弦定理）得 sinAcosA=sinBcosB, sin2A=sin2B, 2A=2B, A=B 根據(jù)邊的關系易得是等腰三角形 師：根據(jù)該同學的做法，得到的只有一種情況，而第一位同學的做法有兩種，請大家思考，誰的正確呢？ 生：第一位同學的正確。第二位同學遺漏了另一種情況，因為sin2A=sin2B,有可能推出2A與2B兩個角互補，即2A+2B=180，A+B=90 (2)（解略）直角三角形 Ⅲ.課時小結 利用正弦定理或余弦定理將已知條件轉化為只含邊的式子或只含角的三角函數(shù)式，然后化簡并考察邊或角的關系，從而確定三角形的形狀。特別是有些條件既可用正弦定理也可用余弦定理甚至可以兩者混用。 第二章數(shù)列 課題: 2.1數(shù)列的概念與簡單表示法（第1課時） ●教學目標 知識與技能：理解數(shù)列及其有關概念，了解數(shù)列和函數(shù)之間的關系；了解數(shù)列的通項公式，并會用通項公式寫出數(shù)列的任意一項；對于比較簡單的數(shù)列，會根據(jù)其前幾項寫出它的個通項公式。 過程與方法：通過對一列數(shù)的觀察、歸納，寫出符合條件的一個通項公式，培養(yǎng)學生的觀察能力和抽象概括能力． 情感態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)課的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高數(shù)學學習的興趣。 ●教學重點 數(shù)列及其有關概念，通項公式及其應用 ●教學難點 根據(jù)一些數(shù)列的前幾項抽象、歸納數(shù)列的通項公式 ●教學過程 Ⅰ.課題導入 三角形數(shù)：1，3，6，10，… 正方形數(shù)：1，4，9，16，25，… Ⅱ.講授新課 ⒈ 數(shù)列的定義：按一定次序排列的一列數(shù)叫做數(shù)列. 注意：⑴數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列； ⑵定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復出現(xiàn). ⒉ 數(shù)列的項：數(shù)列中的每一個數(shù)都叫做這個數(shù)列的項. 各項依次叫做這個數(shù)列的第1項（或首項），第2項，…，第n 項，…. 例如，上述例子均是數(shù)列，其中①中，“4”是這個數(shù)列的第1項（或首項），“9”是這個數(shù)列中的第6項. ⒊數(shù)列的一般形式：，或簡記為，其中是數(shù)列的第n項 結合上述例子，幫助學生理解數(shù)列及項的定義. ②中，這是一個數(shù)列，它的首項是“1”，“”是這個數(shù)列的第“3”項，等等 下面我們再來看這些數(shù)列的每一項與這一項的序號是否有一定的對應關系？這一關系可否用一個公式表示？（引導學生進一步理解數(shù)列與項的定義，從而發(fā)現(xiàn)數(shù)列的通項公式）對于上面的數(shù)列②，第一項與這一項的序號有這樣的對應關系： 項 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 序號 1 2 3 4 5 這個數(shù)的第一項與這一項的序號可用一個公式：來表示其對應關系 即：只要依次用1，2，3…代替公式中的n，就可以求出該數(shù)列相應的各項 結合上述其他例子，練習找其對應關系 ⒋ 數(shù)列的通項公式：如果數(shù)列的第n項與n之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式. 注意：⑴并不是所有數(shù)列都能寫出其通項公式，如上述數(shù)列④； ⑵一個數(shù)列的通項公式有時是不唯一的，如數(shù)列：1，0，1，0，1，0，…它的通項公式可以是，也可以是. ⑶數(shù)列通項公式的作用：①求數(shù)列中任意一項；②檢驗某數(shù)是否是該數(shù)列中的一項. 數(shù)列的通項公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第 項，又是這個數(shù)列中所有各項的一般表示．通項公式反映了一個數(shù)列項與項數(shù)的函數(shù)關系，給了數(shù)列的通項公式，這個數(shù)列便確定了，代入項數(shù)就可求出數(shù)列的每一項． 5.數(shù)列與函數(shù)的關系 數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*（或它的有限子集{1，2，3，…，n}）為定義域的函數(shù)，當自變量從小到大依次取值時對應的一列函數(shù)值。 反過來，對于函數(shù)y=f(x),如果f(i)（i=1、2、3、4…）有意義，那么我們可以得到一個數(shù)列f(1)、 f(2)、 f(3)、 f(4)…，f(n)，… 6．數(shù)列的分類： 1）根據(jù)數(shù)列項數(shù)的多少分： 有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6。是有窮數(shù)列 無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列.例如數(shù)列1，2，3，4，5，6…是無窮數(shù)列 2）根據(jù)數(shù)列項的大小分： 遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都不小于它的前一項的數(shù)列。 遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都不大于它的前一項的數(shù)列。 常數(shù)數(shù)列：各項相等的數(shù)列。 擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列 觀察：課本P33的六組數(shù)列，哪些是遞增數(shù)列，遞減數(shù)列，常數(shù)數(shù)列，擺動數(shù)列？ [補充練習]：根據(jù)下面數(shù)列的前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式： (1) 3, 5, 9, 17, 33,……； (2) , , , , , ……； (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,……； (4) 1, 3, 3, 5, 5, 7, 7, 9, 9, ……； (5) 2, －6, 12, －20, 30, －42,……. 解：(1) ＝2n＋1； (2) ＝； (3) ＝； (4) 將數(shù)列變形為1＋0, 2＋1, 3＋0, 4＋1, 5＋0, 6＋1, 7＋0, 8＋1, ……, ∴＝n＋； (5) 將數(shù)列變形為12, －23, 34, －45, 56,……， ∴ ＝(－1)n(n＋1) Ⅳ.課時小結 本節(jié)課學習了以下內容：數(shù)列及有關定義，會根據(jù)通項公式求其任意一項，并會根據(jù)數(shù)列的前n項求一些簡單數(shù)列的通項公式。 課題: 2.1數(shù)列的概念與簡單表示法（第２課時） ●教學目標 知識與技能：了解數(shù)列的遞推公式，明確遞推公式與通項公式的異同；會根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項；理解數(shù)列的前n項和與的關系 過程與方法：經(jīng)歷數(shù)列知識的感受及理解運用的過程。 情感態(tài)度與價值觀：通過本節(jié)課的學習，體會數(shù)學來源于生活，提高數(shù)學學習的興趣。 ●教學重點 根據(jù)數(shù)列的遞推公式寫出數(shù)列的前幾項 ●教學難點 理解遞推公式與通項公式的關系 ●教學過程 Ⅰ.課題導入 [復習引入]數(shù)列及有關定義 Ⅱ.講授新課 數(shù)列的表示方法 1、 通項公式法 如果數(shù)列的第n項與序號之間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式。 如數(shù)列 的通項公式為 ； 　　 的通項公式為 ； 　　 的通項公式為 ； 2、 圖象法 啟發(fā)學生仿照函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形．具體方法是以項數(shù) 為橫坐標，相應的項 為縱坐標，即以 為坐標在平面直角坐標系中做出點（以前面提到的數(shù)列 為例，做出一個數(shù)列的圖象），所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標為正整數(shù)，所以這些點都在 軸的右側，而點的個數(shù)取決于數(shù)列的項數(shù)．從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項隨項數(shù)由小到大變化而變化的趨勢． 3、 遞推公式法 知識都來源于實踐，最后還要應用于生活用其來解決一些實際問題． 觀察鋼管堆放示意圖，尋其規(guī)律，建立數(shù)學模型． 模型一：自上而下： 第1層鋼管數(shù)為4；即：14＝1+3 第2層鋼管數(shù)為5；即：25＝2+3 第3層鋼管數(shù)為6；即：36＝3+3 第4層鋼管數(shù)為7；即：47＝4+3 第5層鋼管數(shù)為8；即：58＝5+3 第6層鋼管數(shù)為9；即：69＝6+3 第7層鋼管數(shù)為10；即：710＝7+3 若用表示鋼管數(shù)，n表示層數(shù)，則可得出每一層的鋼管數(shù)為一數(shù)列，且≤n≤7） 運用每一層的鋼筋數(shù)與其層數(shù)之間的對應規(guī)律建立了數(shù)列模型，運用這一關系，會很快捷地求出每一層的鋼管數(shù)這會給我們的統(tǒng)計與計算帶來很多方便。 讓同學們繼續(xù)看此圖片，是否還有其他規(guī)律可循？（啟發(fā)學生尋找規(guī)律） 模型二：上下層之間的關系 自上而下每一層的鋼管數(shù)都比上一層鋼管數(shù)多1。 即；； 依此類推：（2≤n≤7） 對于上述所求關系，若知其第1項，即可求出其他項，看來，這一關系也較為重要。 遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前n項）間的關系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式 遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法。 如下數(shù)字排列的一個數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89 遞推公式為： 數(shù)列可看作特殊的函數(shù)，其表示也應與函數(shù)的表示法有聯(lián)系，首先請學生回憶函數(shù)的表示法：列表法，圖象法，解析式法．相對于列表法表示一個函數(shù)，數(shù)列有這樣的表示法：用 表示第一項，用 表示第一項，……，用 表示第 項，依次寫出成為 4、列表法 ．簡記為 ． [范例講解] 例3 設數(shù)列滿足寫出這個數(shù)列的前五項。 解：分析：題中已給出的第1項即，遞推公式： 解：據(jù)題意可知：， [補充例題] 例4已知， 寫出前5項，并猜想． 法一： ，觀察可得 法二：由 ∴ 即 ∴ ∴ [補充練習] 1．根據(jù)各個數(shù)列的首項和遞推公式，寫出它的前五項，并歸納出通項公式 (1) ＝0, ＝＋(2n－1) (n∈N)； (2) ＝1, ＝ (n∈N)； (3) ＝3, ＝3－2 (n∈N). 解：(1) ＝0, ＝1, ＝4, ＝9, ＝16, ∴ ＝(n－1); (2) ＝1,＝,＝, ＝, ＝, ∴ ＝; (3) ＝3＝1+2, ＝7＝1+2, ＝19＝1+2, ＝55＝1+2, ＝163＝1+2, ∴ ＝1＋23; Ⅳ.課時小結 本節(jié)課學習了以下內容： 1．遞推公式及其用法； 2．通項公式反映的是項與項數(shù)之間的關系，而遞推公式反映的是相鄰兩項（或n項）之間的關系. 課題: 2.2等差數(shù)列（第1課時） ●教學目標 知識與技能：了解公差的概念，明確一個數(shù)列是等差數(shù)列的限定條件，能根據(jù)定義判斷一個數(shù)列是等差數(shù)列; 正確認識使用等差數(shù)列的各種表示法，能靈活運用通項公式求等差數(shù)列的首項、公差、項數(shù)、指定的項 過程與方法：經(jīng)歷等差數(shù)列的簡單產(chǎn)生過程和應用等差數(shù)列的基本知識解決問題的過程。 情感態(tài)度與價值觀：通過等差數(shù)列概念的歸納概括，培養(yǎng)學生的觀察、分析資料的能力，積極思維，追求新知的創(chuàng)新意識。 ●教學重點 等差數(shù)列的概念，等差數(shù)列的通項公式。 ●教學難點 等差數(shù)列的性質 ●教學過程 Ⅰ.課題導入 [創(chuàng)設情境] 上兩節(jié)課我們學習了數(shù)列的定義及給出數(shù)列和表示的數(shù)列的幾種方法——列舉法、通項公式、遞推公式、圖象法.這些方法從不同的角度反映數(shù)列的特點。下面我們看這樣一些例子。 課本P41頁的4個例子： ①0，5，10，15，20，25，… ②48，53，58，63 ③18，15.5，13，10.5，8，5.5 ④10072，10144，10216，10288，10366 觀察：請同學們仔細觀察一下，看看以上四個數(shù)列有什么共同特征？ 共同特征：從第二項起，每一項與它前面一項的差等于同一個常數(shù)（即等差）；（誤：每相鄰兩項的差相等——應指明作差的順序是后項減前項），我們給具有這種特征的數(shù)列一個名字——等差數(shù)列 Ⅱ.講授新課 1．等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示）。 ⑴．公差d一定是由后項減前項所得，而不能用前項減后項來求； ⑵．對于數(shù)列{},若－=d (與n無關的數(shù)或字母)，n≥2，n∈N，則此數(shù)列是等差數(shù)列，d 為公差。 思考：數(shù)列①、②、③、④的通項公式存在嗎？如果存在，分別是什么？ 2．等差數(shù)列的通項公式：【或】 等差數(shù)列定義是由一數(shù)列相鄰兩項之間關系而得若一等差數(shù)列的首項是，公差是d，則據(jù)其定義可得： 即： 即： 即： …… 由此歸納等差數(shù)列的通項公式可得： ∴已知一數(shù)列為等差數(shù)列，則只要知其首項和公差d，便可求得其通項。 由上述關系還可得： 即： 則：= 即等差數(shù)列的第二通項公式 ∴ d= [范例講解] 例1 ⑴求等差數(shù)列8，5，2…的第20項 ⑵ -401是不是等差數(shù)列-5，-9，-13…的項？如果是，是第幾項？ 解：⑴由 n=20，得 ⑵由 得數(shù)列通項公式為： 由題意可知，本題是要回答是否存在正整數(shù)n，使得成立解之得n=100，即-401是這個數(shù)列的第100項 例3 已知數(shù)列{}的通項公式，其中、是常數(shù)，那么這個數(shù)列是否一定是等差數(shù)列？若是，首項與公差分別是什么？ 分析：由等差數(shù)列的定義，要判定是不是等差數(shù)列，只要看（n≥2）是不是一個與n無關的常數(shù)。 解：當n≥2時, （取數(shù)列中的任意相鄰兩項與（n≥2）） 為常數(shù) ∴{}是等差數(shù)列，首項，公差為p。 注：①若p=0，則{}是公差為0的等差數(shù)列，即為常數(shù)列q，q，q，… ②若p≠0, 則{}是關于n的一次式,從圖象上看,表示數(shù)列的各點均在一次函數(shù)y=px+q的圖象上,一次項的系數(shù)是公差,直線在y軸上的截距為q. ③數(shù)列{}為等差數(shù)列的充要條件是其通項=pn+q (p、q是常數(shù))，稱其為第3通項公式。 ④判斷數(shù)列是否是等差數(shù)列的方法是否滿足3個通項公式中的一個。 [補充練習] 1.（1）求等差數(shù)列3，7，11，……的第4項與第10項. 分析：根據(jù)所給數(shù)列的前3項求得首項和公差，寫出該數(shù)列的通項公式，從而求出所求項. 解：根據(jù)題意可知：=3,d=7－3=4.∴該數(shù)列的通項公式為：=3+（n－1）4,即=4n－1（n≥1,n∈N*）∴=44－1=15, =410－1=39. 評述：關鍵是求出通項公式. （2）求等差數(shù)列10，8，6，……的第20項. 解：根據(jù)題意可知：=10,d=8－10=－2. ∴該數(shù)列的通項公式為：=10+（n－1）（－2）,即：=－2n+12,∴=－220+12=－28. 評述：要注意解題步驟的規(guī)范性與準確性. （3）100是不是等差數(shù)列2，9，16，……的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由. 分析：要想判斷一數(shù)是否為某一數(shù)列的其中一項，則關鍵是要看是否存在一正整數(shù)n值，使得等于這一數(shù). 解：根據(jù)題意可得：=2,d=9－2=7. ∴此數(shù)列通項公式為：=2+（n－1）7=7n－5. 令7n－5=100,解得：n=15, ∴100是這個數(shù)列的第15項. （4）－20是不是等差數(shù)列0，－3，－7，……的項？如果是，是第幾項？如果不是，說明理由. 解：由題意可知：=0,d=－3 ∴此數(shù)列的通項公式為：=－n+, 令－n+=－20,解得n= 因為－n+=－20沒有正整數(shù)解，所以－20不是這個數(shù)列的項. Ⅳ.課時小結 通過本節(jié)學習，首先要理解與掌握等差數(shù)列的定義及數(shù)學表達式：－=d ，（n≥2，n∈N）.其次，要會推導等差數(shù)列的通項公式：，并掌握其基本應用.最后，還要注意一重要關系式：和=pn+q (p、q是常數(shù))的理解與應用. 課題: 2.2等差數(shù)列（第２課時） ●教學目標 知識與技能：明確等差中項的概念；進一步熟練掌握等差數(shù)列的通項公式及推導公式, 能通過通項公式與圖像認識等差數(shù)列的性質，能用圖像與通項公式的關系解決某些問題。 過程與方法：通過等差數(shù)列的圖像的應用，進一步滲透數(shù)形結合思想、函數(shù)思想；通過等差數(shù)列通項公式的運用，滲透方程思想。 情感態(tài)度與價值觀：通過對等差數(shù)列的研究，使學生明確等差數(shù)列與一般數(shù)列的內在聯(lián)系，從而滲透特殊與一般的辯證唯物主義觀點。 ●教學重點 等差數(shù)列的定義、通項公式、性質的理解與應用 ●教學難點 靈活應用等差數(shù)列的定義及性質解決一些相關問題 ●教學過程 Ⅰ.課題導入 首先回憶一下上節(jié)課所學主要內容： 1．等差數(shù)列：一般地，如果一個數(shù)列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數(shù)，即－=d ，（n≥2，n∈N），這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)就叫做等差數(shù)列的公差（常用字母“d”表示） 2．等差數(shù)列的通項公式： (或=pn+q (p、q是常數(shù))) 3．有幾種方法可以計算公差d ① d=－ ② d= ③ d= Ⅱ.講授新課 問題：如果在與中間插入一個數(shù)A，使，A，成等差數(shù)列數(shù)列，那么A應滿足什么條件？ 由定義得A-=-A ，即： 反之，若，則A-=-A 由此可可得：成等差數(shù)列 [補充例題] 例 在等差數(shù)列{}中，若+=9, =7, 求 , . 分析：要求一個數(shù)列的某項，通常情況下是先求其通項公式，而要求通項公式，必須知道這個數(shù)列中的至少一項和公差，或者知道這個數(shù)列的任意兩項（知道任意兩項就知道公差），本題中，只已知一項，和另一個雙項關系式，想到從這雙項關系式入手…… 解：∵ {an }是等差數(shù)列 ∴ +=+ =9=9－=9－7=2 ∴ d=－=7－2=5 ∴ =+(9－4)d