331 幾何概型學(xué)案(人教A版必修三)

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1、 3.3 幾何概型 3.3.1 幾何概型 【明目標(biāo)、知重點】 1.了解幾何概型的定義及其特點. 2.了解幾何概型與古典概型的區(qū)別. 3.會用幾何概型的概率計算公式求幾何概型的概率. 【填要點、記疑點】 1.幾何概型的定義 如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱幾何概型. 2.幾何概型的特點 (1)試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個. (2)每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等. 3.幾何概型的概率公式 P(A)= . 【探要點、究所然】 [情境導(dǎo)學(xué)] 在現(xiàn)實生活中,常常會遇到試驗的所有可能

2、結(jié)果是無窮多的情況,例如:一個正方形方格內(nèi)有一內(nèi)切圓,往這個方格中投一個石子,求石子落在圓內(nèi)的概率,由于石子可能落在方格中的任何一點,這個實驗不能用古典概型來計算事件發(fā)生的概率.對此,我們必須學(xué)習(xí)新的方法來解決這類問題. 探究點一 幾何概型的概念 思考1 計算隨機事件發(fā)生的概率,我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了哪些方法? 答 (1)通過做試驗或計算機模擬,用頻率估計概率;(2)利用古典概型的概率公式計算. 思考2 某班公交車到終點站的時間可能是11:30~12:00之間的任何一個時刻;往一個方格中投一粒芝麻,芝麻可能落在方格中的任何一點上.這兩個試驗可能出現(xiàn)的結(jié)果是有限個,還是無限個?若沒有人為因素,

3、每個試驗結(jié)果出現(xiàn)的可能性是否相等? 答 出現(xiàn)的結(jié)果是無限個;每個結(jié)果出現(xiàn)的可能性是相等的. 思考3 下圖中有兩個轉(zhuǎn)盤,甲乙兩人玩轉(zhuǎn)盤游戲,規(guī)定當(dāng)指針指向B區(qū)域時,甲獲勝,否則乙獲勝.你認為甲獲勝的概率分別是多少? 答 以轉(zhuǎn)盤(1)為游戲工具時,甲獲勝的概率為;以轉(zhuǎn)盤(2)為游戲工具時,甲獲勝的概率為. 思考4 上述每個扇形區(qū)域?qū)?yīng)的圓弧的長度(或扇形的面積)和它所在位置都是可以變化的,從結(jié)論來看,甲獲勝的概率與字母B所在扇形區(qū)域的哪個因素有關(guān)?哪個因素?zé)o關(guān)? 答 與扇形的弧長(或面積)有關(guān),與扇形區(qū)域所在的位置無關(guān). 思考5 玩轉(zhuǎn)盤游戲中所求的概率就是幾何概型,你能給幾何概型下

4、個定義嗎?參照古典概型的特征,幾何概型有哪兩個基本特征? 答 如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例,則稱這樣的概率模型為幾何概率模型,簡稱幾何概型;幾何概型的基本特征:(1)可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個;(2)每個結(jié)果發(fā)生的可能性相等. 思考6 古典概型和幾何概型有什么相同點和不同點? 答 相同點:兩者基本事件發(fā)生的可能性都是相等的; 不同點:古典概型要求基本事件有有限個,幾何概型要求基本事件有無限多個. 例1 判斷下列試驗中事件A發(fā)生的概型是古典概型,還是幾何概型. (1)拋擲兩顆骰子,求出現(xiàn)兩個“4點”的概率; (2)思考3中,求甲獲勝的概率.

5、解 (1)拋擲兩顆骰子,出現(xiàn)的可能結(jié)果有66=36種,且它們都是等可能的,因此屬于古典概型; (2)游戲中指針指向B區(qū)域時有無限多個結(jié)果,而且不難發(fā)現(xiàn)“指針落在陰影部分”,概率可以用陰影部分的面積與總面積的比來衡量,即與區(qū)域面積有關(guān),因此屬于幾何概型. 反思與感悟 判斷一個概率是古典概型還是幾何概型的步驟:(1)判斷一次試驗中每個基本事件發(fā)生的概率是否相等,若不相等,那么這個概率既不是古典概型也不是幾何概型;(2)如果一次試驗中每個基本事件發(fā)生的概率相等,再判斷試驗結(jié)果的有限性,當(dāng)試驗結(jié)果有有限個時,這個概率是古典概型;當(dāng)試驗結(jié)果有無限個時,這個概率是幾何概型. 跟蹤訓(xùn)練1 判斷下列試驗

6、是否為幾何概型,并說明理由: (1)某月某日,某個市區(qū)降雨的概率. (2)設(shè)A為圓周上一定點,在圓周上等可能地任取一點與A連接,求弦長超過半徑的概率. 解 (1)不是幾何概型,因為它不具有等可能性;(2)是幾何概型,因為它具有無限性與等可能性. 探究點二 幾何概型的概率公式 問題 對于具有幾何意義的隨機事件,或可以化歸為幾何問題的隨機事件,一般都有幾何概型的特性,那么,對于屬于幾何概型的試驗,如何求某一事件的概率?有沒有求幾何概型的概率公式呢? 思考1 有一根長度為3 m的繩子,拉直后在任意位置剪斷,那么剪得的兩段的長度都不小于1 m的概率是多少?你是怎樣計算的? 答 從每一個位

7、置剪斷都是一個基本事件,剪斷位置可以是長度為3 m的繩子上的任意一點. 如上圖,記“剪得兩段的長都不小于1 m”為事件A.把繩子三等分,于是當(dāng)剪斷位置處在中間一段上時,事件A發(fā)生.由于中間一段的長度等于繩長的, 于是事件A發(fā)生的概率P(A)=. 思考2 射箭比賽的箭靶涂有五個彩色的分環(huán),從外向內(nèi)依次為白色、黑色、藍色、紅色,靶心是金色,金色靶心叫“黃心”.奧運會射箭比賽的靶面直徑是122 cm,黃心直徑是12.2 cm,運動員在距離靶面70 m外射箭.假設(shè)射箭都等可能射中靶面內(nèi)任何一點,那么如何計算射中黃心的概率? 答 如右圖,由于中靶點隨機地落在面積為π1222 cm2的大圓

8、內(nèi), 若要射中黃心,則中靶點落在面積為π12.22 cm2的圓內(nèi), 所以P==0.01. 思考3 在裝有5升純凈水的容器中放入一個病毒,現(xiàn)從中隨機取出1升水,那么這1升水中含有病毒的概率是多少?你是怎樣計算的? 答 概率為,由于病毒在5升水中的哪個位置的可能性都有,1升水中含有病毒的概率為1升水的體積除以5升水的體積. 思考4 根據(jù)上述3個思考中求概率的方法,你能歸納出求幾何概型中事件A發(fā)生的概率的計算公式嗎? 答 P(A)= . 例2 某公共汽車站每隔10分鐘有一輛汽車到達,乘客到達車站的時刻是任意的,求乘客候車時間不超過6分鐘的概率. 解 如下圖所示,設(shè)上輛車于時刻T1到

9、達,而下輛車于時刻T2到達,則線段T1T2的長度為10,設(shè)T是線段T1T2上的點,且TT2的長為6,記“等車時間不超過6分鐘”為事件A,則事件A發(fā)生即當(dāng)點t落在線段TT2上,即D=T1T2=10,d=TT2=6.所以P(A)===. 故乘客候車時間不超過6分鐘的概率為. 反思與感悟 數(shù)形結(jié)合為幾何概型問題的解決提供了簡捷直觀的解法.利用圖解題的關(guān)鍵:首先用圖形準(zhǔn)確表示出試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域,由題意將已知條件轉(zhuǎn)化為事件A滿足的幾何區(qū)域,然后根據(jù)構(gòu)成這兩個區(qū)域的幾何長度(面積或體積),用幾何概型概率公式求出事件A的概率. 跟蹤訓(xùn)練2 某人午覺醒來,發(fā)現(xiàn)表停了,他打開收音機,想聽電臺

10、報時,求他等待的時間不多于10分鐘的概率. 解 記“等待的時間小于10分鐘”為事件A,打開收音機的時刻位于[50,60]時間段內(nèi)則事件A發(fā)生. 由幾何概型的概率公式求得P(A)==, 即“等待報時的時間不超過10分鐘”的概率為. 探究點三 幾何概型的應(yīng)用 例3 在Rt△ABC中,∠A=30,過直角頂點C作射線CM交線段AB于M,求使|AM|>|AC|的概率. 解  設(shè)事件D為“作射線CM,使|AM|>|AC|”. 在AB上取點C′使|AC′|=|AC|, 因為△ACC′是等腰三角形, 所以∠ACC′==75, μA=90-75=15,μΩ=90, 所以P(D)==.

11、 反思與感悟 幾何概型的關(guān)鍵是選擇“測度”,如本例以角度為“測度”.因為射線CM落在∠ACB內(nèi)的任意位置是等可能的.若以長度為“測度”,就是錯誤的,因為M在AB上的落點不是等可能的. 跟蹤訓(xùn)練3 在△ABC中,∠B=60,∠C=45,高AD=,在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M,求BM<1的概率. 解 ∵∠B=60,∠C=45,∴∠BAC=75, 在Rt△ADB中,AD=,∠B=60, ∴BD==1,∠BAD=30. 記事件N為“在∠BAC內(nèi)作射線AM交BC于點M,使BM<1”,則可得∠BAM<∠BAD時事件N發(fā)生. 由幾何概型的概率公式得P(N)==.            

12、         【當(dāng)堂測、查疑缺】 1.下列關(guān)于幾何概型的說法錯誤的是 (  ) A.幾何概型也是古典概型中的一種 B.幾何概型中事件發(fā)生的概率與位置、形狀無關(guān) C.幾何概型中每一個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性 D.幾何概型在一次試驗中能出現(xiàn)的結(jié)果有無限個 答案 A 解析 幾何概型與古典概型是兩種不同的概型. 2.面積為S的△ABC,D是BC的中點,向△ABC內(nèi)部投一點,那么點落在△ABD內(nèi)的概率為 (  ) A. B. C. D. 答案 B 解析 向△ABC內(nèi)部投一點的結(jié)果有無限個,屬于幾何概型.設(shè)點落

13、在△ABD內(nèi)為事件M,則P(M)==. 3.ABCD為長方形,AB=2,BC=1,O為AB的中點,在長方形ABCD內(nèi)隨機取一點,取到的點到O的距離大于1的概率為 (  ) A. B.1- C. D.1- 答案 B 解析 若以O(shè)為圓心,1為半徑作圓,則圓與長方形的公共區(qū)域內(nèi)的點滿足到點O的距離小于或等于1, 故所求事件的概率為P(A)==1-. 4.在區(qū)間[-1,1]上隨機取一個數(shù)x,則sin 的值介于-與之間的概率為________. 答案  解析 ∵-1≤x≤1,∴-≤≤. 由-≤sin ≤,得-≤≤, 即-≤x≤1. 故所求事件的概率為=. 【呈重點、現(xiàn)規(guī)律】 1.幾何概型適用于試驗結(jié)果是無窮多且事件是等可能發(fā)生的概率模型. 2.幾何概型主要用于解決與長度、面積、體積有關(guān)的題目. 3.注意理解幾何概型與古典概型的區(qū)別. 4.理解如何將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型的問題,利用幾何概型公式求解,概率公式為 P(A)=

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