高中數學第十三章《排列組合與概率》數學競賽講義蘇教版

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1、 第十三章 排列組合與概率 一、基 知 1．加法原理：做一件事有 n 法，在第 1 法中有 m1 種不同的方法，在第 2 法中有 m 種不同的方法， ??，在第 n 法中有 m 種不同的方法， 那么完成 件事一共有 N=m+m+? 2 n 12 +m 種不同的方法。 n 2．乘法原理：做一件事，完成它需要分 n 個步 ，第 1 步有 m 種不同的

2、方法，第 2 步有 m 1 2 種不同的方法，??，第 n 步有 mn 種不同的方法，那么完成 件事共有 N=m1 m2? mn 種不 同的方法。 3．排列與排列數：從 n 個不同元素中，任取 m(m≤ n) 個元素，按照一定 序排成一列，叫做 從 n 個不同元素中取出 m個元素的一個排列，從 n 個不同元素中取出 m個 (m≤ n) 元素的所有 排列個數，叫做從 n 個不同元素中取出 m 個元素的排列數，用 Anm 表示， Anm =n(n-1) ?

3、 n! , 其中 m,n∈N,m≤ n, (n-m+1)= (n m)! 注：一般地 An0 =1， 0！ =1， Ann =n! 。 4． N 個不同元素的 周排列數 Ann =(n-1)! 。 n 5． 合與 合數：一般地，從 n 個不同元素中，任取 m(m≤ n) 個元素并成一 ，叫做從 n 個 不同元素中取出 m個元素的一個 合，即從 n 個不同元素中不 序

4、地取出 m個構成原集合 的一個子集。 從 n 個不同元素中取出 m(m≤ n) 個元素的所有 合的個數， 叫做從 n 個不同元素 中取出 m個元素的 合數，用 C nm 表示： C nm n(n 1) (n m 1) n! . m! m! (n m)! 6． 合數的基本性 ： （ 1） C nm Cnn m ；（ 2） C nm 1 C nm C nn 1 ；（

5、 3） n Cnk 11 Cnk ；（ 4） k n C n0 C n1 C nn C nk 2 n ；（ 5）Ckk C kk 1 C kk m C kk m1 1 ；（ 6）C nk C km C nn mk 。 k 0 7．定理 1：不定方程 x1+x2+?+xn=r 的正整數解的個數 C

6、rn 11 。 [ 明 ] 將 r 個相同的小球裝入 n 個不同的盒子的裝法構成的集合 A，不定方程 x1+x 2+? +xn=r 的正整數解構成的集合 B， A 的每個裝法 B 的唯一一個解，因而構成映射，不同的裝法 的解也不同，因此 射。反之 B 中每一個解 (x 1,x 2, ?,x n), 將 xi 作 第 i 個盒子中球的 個數， i=1,2, ?,n ，便得到 A 的一個裝法，因此 射，所以是一一映射，將 r 個小球從左 到右排成一列，每種裝法相當于從 r-1 個空格中

7、 n-1 個，將球分 n 份，共有 C rn 11 種。故定 理得 。 用心 愛心 專心 - 1 - 推 1 不定方程 x1+x2+? +xn=r 的非 整數解的個數 C nr r 1. 推 2 從 n 個不同元素中任取 m個允 元素重復出 的 合叫做 n 個不同元素的 m可重 合， 其 合數 C nm m 1 .

8、 8．二 式定理： 若 n∈ N , 則(a+b) n 0 n 1 n 1 b 2 n 2 b 2 r n r b r n n . =C n a C n a C n a C n a C n b + 其中第 r+1 項 Tr+1= C nr an r b r ,C nr 叫二 式系數。 9．隨機事件：在一定條件下可能 生也可能不 生的事件叫隨機事件。在大量重復 行同一 ，事件 A 生的 率

9、m 是接近于某個常數，在它附近 ， 個常數叫做事件 A 發(fā) n 生的概率， 作 p(A),0 ≤p(A) ≤ 1. 10. 等可能事件的概率，如果一次 中共有 n 種等可能出 的 果，其中事件 A 包含的 果 有 m種，那么事件 A 的概率 p(A)= m. n A ， 11. 互斥事件：不可能同 生的兩個事件，叫做互斥事件，也叫不相容事件。如果事件

10、 1 A ，?， A 彼此互斥，那么 A ，A ，?， A 中至少有一個 生的概率 2 n 1 2 n p(A 1+A2+? +An)= p(A 1)+p(A 2)+ ? +p(An). 12． 立事件：事件 A， B 互斥事件，且必有一個 生， A， B 叫 立事件， A 的 立 事件 A。由定 知 p(A)+p( A )=1. 13．相互獨立事件：事件 A（或 B）是否 生 事件 B（或 A）

11、生的概率沒有影響， 的 兩個事件叫做相互獨立事件。 14．相互獨立事件同 生的概率：兩個相互獨立事件同 生的概率，等于每個事件 生 的概率的 。即 p(A?B)=p(A) ?p(B). 若事件 A1，A2，?， An 相互獨立 , 那么 n 個事件同 生 的概率 p(A ?A ? ? ?A )=p(A ) ?p(A ) ? ? ?p(A ). 1 2 n 1 2 n 15. 獨立重復 : 若 n 次重復 中 , 每次 果

12、的概率都不依 于其他各次 的 果 , 稱 n 次 是獨立的 . 16. 獨立重復 的概率 : 如果在一次 中 , 某事件 生的概率 p, 那么在 n 次獨立重復 中 , 個事件恰好 生 k 次的概率 pn(k)= C nk ?pk(1-p) n-k . 17．離散型隨機 量的分布列：如果隨機 的 果可以用一個 量來表示，那么 的 量叫隨機 量， 例如一次射 命中的 數 ξ 就是一個隨機 量， ξ可以取的 有 0,1,2, ? ,10 。 如果隨機 量的可能取 可以一一

13、列出， 的隨機 量叫離散型隨機 量。 一般地， 離散型隨機 量 ξ 可能取的 x1,x 2, ? ,x i , ? , ξ 取每一個 xi (i=1,2, ? ) 的概 率 p( ξ=x i )=p i ， 稱表 ξ x1 x2 x3 ? xi ? p p1 p2 p3 ? pi ? 隨機 量 ξ 的概率分布， 稱 ξ 的分布列， 稱 Eξ =x1p1 +x2p2+? +xnpn+? ξ 的數學期望或平均 、均 、 稱期望， 稱 Dξ =(x 1-Eξ )2 ?p1+(x 2-E ξ )2 ?p2+? +(x n-E ξ)2p n+? ξ的均方差，

14、 稱方差。 D 叫隨機 量 ξ 的 準差。 18．二 分布：如果在一次 中某事件 生的概率是 p，那么在 n 次獨立重復 中， 個 用心 愛心 專心 - 2 - 事件恰好 生 k 次的概率 p( ξ =k)= Cnk p k qn k , ξ 的分布列 ξ 0 1 ? xi ? N p C n0 p 0q n C 1n p1q n 1 ? Cnk p k qn k ? C nn pn 此 稱 ξ 服從二 分布， 作 ξ ～ B(n,p). 若ξ ～ B(n,p) ， Eξ=np,

15、D ξ=npq, 以上 q=1-p. 19. 幾何分布： 在獨立重復 中， 某事件第一次 生 所做 的次數 ξ 也是一個隨機 量， 若在一次 中 事件 生的概率 p， p( ξ =k)=q k-1 p(k=1,2, ?) ，ξ 的分布服從幾何分布， Eξ = 1 ，Dξ = q (q=1-p). p p 2 二、方法與例 1．乘法原理。 例 1 有 2n 個人參加收 培 ， 每兩個人 一 互 互收， 有多少種不同的 方式？ 2．

16、加法原理。 例 2 圖 13-1 所示中沒有 流通 流表，其原因 因 阻斷路的可能性共有幾種？ 3．插空法。 例 3 10 個 目中有 6 個演唱 4 個舞蹈，要求每兩個舞蹈之 至少安排一個演唱，有多少種不同的安排 目演出 序的方式？ 4．映射法。 例 4 如果從 1， 2，?， 14 中，按從小到大的 序取出 a1,a 2,a 3 使同 足： a2-a 1≥ 3,a 3-a 2 ≥ 3，那么所有符合要求的不同取法有多少種？ 5． 獻法。

17、 例 5 已知集合 A={1 ， 2，3，?， 10} ，求 A 的所有非空子集的元素個數之和。 用心 愛心 專心 - 3 - 6．容斥原理。 例 6 由數字 1，2，3 成 n 位數 (n ≥ 3) ，且在 n 位數中， 1，2，3 每一個至少出 1 次， ： 的 n 位數有多少個？ 7． 推方法。 例 7 用 1， 2，3 三個數字來構造 n 位數，但不允 有兩個 挨著的 1 出 在 n 位數中， ： 能構造出多少個 的 n 位數？

18、 8．算兩次。 例 8 m,n,r r 0 r 1 r 1 2 r 2 r0 ∈ N ， 明： C n m Cn Cm CnCm Cn Cm Cn Cm. ① + 9．母函數。 例 9 一副三色牌共有 32 ， 、黃、 各 10 ， 號 1，2，?， 10，另有大、小王各 一 ， 號均 0。從 副牌中任取若干 牌，按如下 算分 ：每 號 k 的牌 2k 分，若它 的分 之和 2004， 稱 些牌 一個“好牌” ，

19、求好牌 的個數。 10． 合數 C nk 的性 。 k 例 10 明： C2m 1 是奇數 (k ≥ 1). 例 11 對 n≥ 2, 明： 2 n C 2nn 4n. 11．二 式定理的 用。 若 n∈ N, n ≥ 2，求 ： 21 1 n 例 12 3. n 用心 愛心 專心 - 4 - n C nm kh C

20、 kh C nm 11 (h m n). 例 13 證明： k 0 12．概率問題的解法。 例 14 如果某批產品中有 a 件次品和 b 件正品，采用有放回的抽樣方式從中抽取 n 件產品，問：恰好有 k 件是次品的概率是多少？ 例 15 將一枚硬幣擲 5 次，正面朝上恰好一次的概率不為 0，而且與正面朝上恰好兩次的概 率相同，求恰好三次正面朝上的概率。 例 16 甲、乙兩個乒乓球運動員進行

21、乒乓球比賽，已知每一局甲勝的概率為 0.6 ，乙勝的概 率為 0.4 ，比賽時可以用三局二勝或五局三勝制，問：在哪一種比賽制度下，甲獲勝的可能性大？ 例 17 有 A， B 兩個口袋， A 袋中有 6 張卡片，其中 1 張寫有 0，2 張寫有 1， 3 張寫有 2；B 袋中有 7 張卡片，其中 4 張寫有 0，1 張寫有 1， 2 張寫有 2。從 A 袋中取出 1 張卡片， B 袋中 取 2 張卡片，共 3 張卡片。求：（ 1）取出 3 張卡片都寫 0 的概率；（ 2）取出的 3 張卡片數字之積是 4

22、的概率；（ 3）取出的 3 張卡片數字之積的數學期望。 用心 愛心 專心 - 5 - 三、基 1．三 均 整數且最大 11 的三角形有 _________個。 2．在正 2006 形中，當所有 均不平行的 角 的條數 _________。 3．用 1， 2， 3，?， 9 九個數字可 成 _________ 個數字不重復且 8 和 9 不相

23、的七位數。 4． 10 個人參加 球 ，分五 ，每 兩個人有 _________種分 方法。 5．以 方體的 點 點的三棱 的個數是 _________。 6．今天是星期二，再 101000 天是星期 _________。 7．由 ( 3x 3 2)100 展開式所得的 x 的多 式中，系數 有理數的共有 _________ 。 8．如果凸 n 形 (n ≥ 4) 的任意三條 角 不共點，那么 些 角 在凸 n 形內共有 _________個交點。

24、 9．袋中有 a 個黑球與 b 個白球，隨機地每次從中取出一球（不放回） ，第 k(1 ≤ k≤a+b) 次取 到黑球的概率 _________。 10．一個箱子里有 9 卡片，分 號 1， 2，?， 9，從中任取 2 ，其中至少有一個 奇 數的概率是 _________ 。 11．某人拿著 5 把 匙去開 ，有 2 把能打開。他逐個 ， 三次之內打開房 的概率是 _________。 12． 路上有 號 1，

25、2， 3，?， 10 的十 路燈，要將其中三 關掉，但不能同 關掉相 的兩 或三 ，也不能關掉兩端的路燈， 足條件的關燈方法種數是 _________。 13． a,b,c,d,e 五個人安排在一個 桌周 就坐，若 a,b 不相 有 _________種安排方式。 14．已知 i,m,n 是正整數，且 1(1+n) m. m n 15. 一 “ 關游 ” 定：在第 n 關要拋 一 骰子 n 次，如

26、果 n 次拋 所得到的點數之 和大于 2 n， 算 關。 ： （ 1）某人在 游 中最多能 幾關？（ 2）他 前三關的概率 是多少？（注：骰子是一個在各面上分 有 1， 2， 3，4， 5， 6 點數的均勻正方體） 四、高考水平 1．若 n∈ {1,2, ?,100} 且 n 是其各位數字和的倍數， 種 n 有__________ 個。 2．從 {-3,-2,-1,0,1,2,3,4} 中任取 3 個不同元素作 二次函數 y=ax 2+bx+c 的系數， 能 成 原點，且 點在第一或

27、第三象限的拋物 有 ___________條。 3．四面體的 點和各棱的中點共 10 個點，在其中任取 4 個不共面的點， 有 _________種取法。 4．三個人 球， 從甲開始 球， 每次接球后將球 另外兩人中的任意一個， 經 5 次 球后， 球仍回到甲手中的 法有 _________種。 5．一條 路原有 m 個 站（含起點， 點） ，新增加 n 個 站（ n>1），客運 票相 地增加 了 58 種，原有 站有 _________個。 n 6．將二 式 1 的展開式按降 排列， 若前三 系數

28、成等差數列， 展開式中 x x 24 x 的 指數是整數的 有 _________個。 7．從 1 到 9 九個自然數中任取兩個分 作 數的真數和底數，共可得到 _________種不 同的 數 。 用心 愛心 專心 - 6 - 8．二 式 (x-2) 5 的展開式中系數最大的 第 _________ ，系數最小的 第 _________ 。 9．有一批 格相同的均勻 棒，每根被劃分成 度相同的 5 ，每 用 、黃、 三色之一

29、 涂色，可以有 _________種 色不同的 棒？（ 倒后相同的算同一種） 10．在 1， 2，?， 2006 中隨機 取 3 個數，能構成 增等差數列的概率是 _________。 11．投 一次骰子，出 點數 1， 2，3，?， 6 的概率均 1 ， 6 次，出 的點數之和 6 為 35 的概率 _________。 12．某列火 有 n 旅客 ， 站后站臺上有 m(m≥ n) 名旅客候 ，每位旅客隨意 上 ， 每 都有旅客上 的

30、概率是 _________ 。 13．某地 有耕地 10000 公 ， 劃 10 年后糧食 比 在增加 22%，人均糧食占有量比 在提高 10%，如果人口年增 率 1%，那么耕地平均每年至多只能減少多少公 （精確到 1 總產量 ） 公 ）？（糧食 = 耕地面積 五、 一 水平 1．若 0

31、） 足 a+d=b+c 且 bc-ad=93. 2. 已知直 ax+by+c=0 中的 a,b,c 是取自集合 {-3,-2,-1,0,1,2,3} 中的 3 個不同的元素，并 且 直 斜角 角， 的直 條數是 _________。 3．已知 A={0 ，1，2，3，4，5，6，7} ，映射 f:A → A 足：（ 1）若 i ≠ j ， f(i) ≠f(j) ；（ 2） 若 i+j=7 ， f(i)+f(j)=7， 的映射的個數 _________ 。 4．1，2，3，4，5 的排列 a1,a 2,a

32、 3,a 4 ,a 5 具有性 ： 于1≤ i ≤4,a 1,a 2, ? ,a i 不構成 1，2，?， i 的某個排列， 種排列的個數是 _________。 5．骰子的六個面 有 1，2，?， 6 六個數字，相 兩個面上的數字之差的 叫 差， 差的 和叫全 差 V， 全 差 V 的最大 _________，最小 _________ 。 6．某次 球 打比 中，原 劃每兩名 手恰比 一 ，但有 3 名 手各比 2 之后就 退出了， ，全部比 只 行 50 ，上

33、述三名 手之 比 數 _________。 7．如果 a,b,c,d 都屬于 {1,2,3,4} 且 a≠ b,b ≠ c,c ≠d, d ≠ a；且 a 是 a,b,c,d 中的最小 ， 不同的四位數 abcd 的個數 _________ 。 8．如果自然數 a 各位數字之和等于 7，那么稱 a “吉祥數” ，將所有的吉祥數從小到大排成 一列 a1,a 2,a 3, ? , 若 an =2005， an=_________。 2 n 1 1) k 1 n k =

34、_________。 9．求 ： ( k 1 C 2kn 10．投 一次骰子，出 點數 1， 2，?， 6 的概率均 1 ， 10 次，出 的點數之和是 6 30 的概率 _________。 11．將 號 1， 2，?， 9 九個小球隨機放置在 周的九個等分點上，每個等分點

35、上各有 一個小球， 周 上所有相 兩球的號 之差的 之和 S，求 S 達到最小 的放法的概 率（注：如果某種放法 旋 或 面反射后可與另一放法重合， 是相同的放法） 。 12．甲、乙兩人 流向同一目 射 ，第一次甲射 ，以后 流射 ，甲每次 中的概率 p(0

36、m C m 1 C n C n 1 Cn 1 ? + C n 1 . 用心 愛心 專心 - 7 - 六、 二 水平 1． 100 卡片上分 寫有數字 1 到 100，一位魔 把 100 卡片放入 色分 是 色、 白色、 色的三個盒子里，每個盒子里至少放入一 卡片。 一位 眾從三個盒子中挑出兩個，并從中各 取一 卡片，然后宣布 兩 卡片上的兩個數的和數，魔 知道 個和數之后，便能 指出哪一個是沒有被 眾取出卡片的盒子。 ：共有多少種放卡片的方法，使得 個魔 能 成功？（如果至少有一 卡片被

37、放入不同 色的盒子，兩種方法被 是不同的） 2． S={1,2, ? ,10} ，A ，A ，?，A 是 S 的 k 個子集合， 足：（1）|A |=5,i=1,2, ? ,k; （ 2） 1 2 k i |A i Aj | ≤ 2,1 ≤ i

38、 1 2 12 1 固定的正整數； （ 3）存在 h0,1 ≤ h0≤ k-1 ， 使得 jh 1 jh ≥m+1. 0 0 4. 設 n 2S1 2 S2 2 Sm , 其中 S1， S2，?， Sm 都是正整數且 S1

39、 m 2 。 5． n(n 1) 個不同的數隨機排成 13-2 所示的三角形 ， Mk 是從上往下第 k 行中的最大 2 數，求 M