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2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列同步練習(xí) 文
1．了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)．
2．了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)．
1．?dāng)?shù)列的定義
按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項(xiàng)．
2．?dāng)?shù)列的分類
分類原則
類型
滿足條件
按項(xiàng)數(shù)分類
有窮數(shù)列
項(xiàng)數(shù)有限
無窮數(shù)列
項(xiàng)數(shù)無限
按項(xiàng)與項(xiàng)間
的大小關(guān)系
分類
遞增數(shù)列
an＋1>an
其中
n∈N*
遞減數(shù)列
an＋1
1，
兩式相減可得：＝2n＋5－2(n－1)－5＝2，
∴an＝2n＋1，n>1，n∈N*.
當(dāng)n＝1時(shí)，＝7，∴a1＝14，
綜上可知，數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為：an＝
故選B．
答案： B
4．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和記為Sn，a1＝1，an＋1＝2Sn＋1(n≥1，n∈N)，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是________．
解析： 由an＋1＝2Sn＋1，可得an＝2Sn－1＋1(n≥2)，兩式相減，得an＋1－an＝2an，an＋1＝3an(n≥2)．
∵a2＝2S1＋1＝3，∴a2＝3a1，故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為3的等比數(shù)列．
∴an＝3n－1.故填an＝3n－1(n≥1，且n∈N)．
答案： an＝3n－1(n≥1，且n∈N)
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，其求解過程分為三步：
(1)先利用a1＝S1求出a1；
(2)用n－1替換Sn中的n得到一個新的關(guān)系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出當(dāng)n≥2時(shí)an的表達(dá)式；
(3)對n＝1時(shí)的結(jié)果進(jìn)行檢驗(yàn)，看是否符合n≥2時(shí)an的表達(dá)式，如果符合，則可以把數(shù)列的通項(xiàng)公式合寫；如果不符合，則應(yīng)該分n＝1與n≥2兩段來寫．
由遞推關(guān)系式求數(shù)列的通項(xiàng)公式
根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式：
(1)a1＝2，an＋1＝an＋n＋1；
(2)a1＝1，an＝an－1(n≥2)；
(3)a1＝1，an＋1＝3an＋2.
解析： (1)由題意得，當(dāng)n≥2時(shí)，
an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)
＝2＋(2＋3＋…＋n)＝2＋＝＋1.
又a1＝2＝＋1，符合上式，
因此an＝＋1.
(2)∵an＝an－1(n≥2)，
∴an－1＝an－2，…，a2＝a1.
以上(n－1)個式子相乘得
an＝a1…＝＝.
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝1，上式也成立．
∴an＝.
(3)∵an＋1＝3an＋2，
∴an＋1＋1＝3(an＋1)，∴＝3，
∴數(shù)列{an＋1} 為等比數(shù)列，公比q＝3，
又a1＋1＝2，∴an＋1＝23n－1，
∴an＝23n－1－1.
根據(jù)下列條件，確定數(shù)列{an }的通項(xiàng)公式：
(1)a1＝1，an＋1＝an＋2n.
(2)a1＝1，an＋1＝2nan.
解析： (1)an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1.
(2)由于＝2n，
故＝21，＝22，…，＝2n－1，
將這n－1個等式疊乘，
得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，
故an＝2.
由數(shù)列遞推式求通項(xiàng)公式常用方法有：累加法、累積法、構(gòu)造法．形如an＝pan－1＋m(p、m為常數(shù)，p≠1，m≠0)時(shí)，構(gòu)造等比數(shù)列；形如an＝an－1＋f(n)({f(n)}可求和)時(shí)，用累加法求解；形如＝f(n)({f(n)}可求積)時(shí)，用累積法求解．
A級 基礎(chǔ)訓(xùn)練
1．下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是( )
A．1，，，，…
B．－1，－2，－3，－4，…
C．－1，－，－，－，…
D．1，，，…，
解析： 根據(jù)定義，屬于無窮數(shù)列的是選項(xiàng)A、B、C(用省略號)，屬于遞增數(shù)列的是選項(xiàng)C、D，故同時(shí)滿足要求的是選項(xiàng)C．
答案： C
2．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)積為n2，那么當(dāng)n≥2時(shí)，an＝( )
A．2n－1 B．n2
C． D．
解析： 設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)積為Tn，則Tn＝n2，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝＝.
答案： D
3．?dāng)?shù)列{an}滿足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，則S21為( )
A．5 B．
C． D．
解析： ∵an＋an＋1＝，a2＝2，
∴an＝
∴S21＝11＋102＝.故選B．
答案： B
4．(xx吉林普通中學(xué)摸底)已知數(shù)列{an}，an＝－2n2＋λn，若該數(shù)列是遞減數(shù)列， 則實(shí)數(shù)λ的取值范圍是( )
A．(－∞，6] B．(－∞，4]
C．(－∞，5] D．(－∞，3]
解析： 數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是關(guān)于n(n∈N*)的二次函數(shù)，若數(shù)列是遞減數(shù)列， 則－≤，即λ≤6.
答案： A
5．(xx安徽合肥二檢)數(shù)列{an}滿足a1＝2，an＝，其前n項(xiàng)積為Tn，則T2 014＝( )
A． B．－
C．6 D．－6
解析： 由an＝，得an＋1＝，而a1＝2，
則有a2＝－3，a3＝－，a4＝，a5＝2，
故數(shù)列{an}是以4為周期的周期數(shù)列，且a1a2a3a4＝1，
所以T2 014＝(a1a2a3a4)503a1a2＝15032(－3)＝－6.故選D．
答案： D
6．(xx海南三亞一模)在數(shù)列1,2，，，，…中，2是這個數(shù)列的第________項(xiàng)．
解析： 因?yàn)閍1＝1＝，a2＝2＝，a3＝，a4＝，a5＝，…，所以an＝.令an＝＝2＝，得n＝26.
答案： 26
7．(xx天津六校第三次聯(lián)考)數(shù)列{an}中， 已知a1＝1，a2＝2，an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)，則a7＝________.
解析： 由已知an＋1＝an＋an＋2，a1＝1，a2＝2，能夠計(jì)算出a3＝1，a4＝－1，a5＝－2，a6＝－1，a7＝1.
答案： 1
8．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a1＝1，Sn＝nan，則an＝________.
解析： 當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝nan－(n－1)an－1，
∴an＝an－1(n≥2)．
又∵a1＝1，
∴an＝1.
答案： 1
9．?dāng)?shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝n2－7n＋6.
(1)這個數(shù)列的第4項(xiàng)是多少？
(2)150是不是這個數(shù)列的項(xiàng)？若是這個數(shù)列的項(xiàng)，它是第幾項(xiàng)？
(3)該數(shù)列從第幾項(xiàng)開始各項(xiàng)都是正數(shù)？
解析： (1)當(dāng)n＝4時(shí)，a4＝42－47＋6＝－6.
(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，
解得n＝16或n＝－9(舍去)，
即150是這個數(shù)列的第16項(xiàng)．
(3)令an＝n2－7n＋6＞0，解得n＞6或n＜1(舍)．
∴從第7項(xiàng)起各項(xiàng)都是正數(shù)．
10．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2＋2n，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝2－bn.求數(shù)列{an}與{bn}的通項(xiàng)公式．
解析： ∵當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝(2n2＋2n)－[2(n－1)2＋2(n－1)]＝4n，
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝4也適合，
∴{an}的通項(xiàng)公式是an＝4n(n∈N*)．
∵Tn＝2－bn，∴當(dāng)n＝1時(shí)，b1＝2－b1，b1＝1.
當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝Tn－Tn－1＝(2－bn)－(2－bn－1)，
∴2bn＝bn－1.
∴數(shù)列{bn}是公比為，首項(xiàng)為1的等比數(shù)列．
∴bn＝n－1.
B級 能力提升
1．定義：稱為n個正數(shù)P1，P2，…，Pn的“均倒數(shù)”．若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)的“均倒數(shù)”為，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( )
A．a(chǎn)n＝2n－1 B．a(chǎn)n＝4n－1
C．a(chǎn)n＝4n－3 D．a(chǎn)n＝4n－5
解析：?。剑啵?n－1，∴a1＋a2＋…＋an＝(2n－1)n；a1＋a2＋…＋an－1＝(2n－3)(n－1)(n≥2)，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝(2n－1)n－(2n－3)(n－1)＝4n－3；a1＝1也適合此等式，∴an＝4n－3.
答案： C
2．下列關(guān)于星星的圖案構(gòu)成一個數(shù)列，該數(shù)列的一個通項(xiàng)公式是________．
解析： 從題圖中可觀察星星的構(gòu)成規(guī)律，n＝1時(shí)，有1個；n＝2時(shí)，有3個；n＝3時(shí)，有6個；n＝4時(shí)，有10個；…
∴an＝1＋2＋3＋4＋…＋n＝.
答案： an＝
3．已知數(shù)列{an}滿足前n項(xiàng)和Sn＝n2＋1，數(shù)列{bn}滿足bn＝，且前n項(xiàng)和為Tn，設(shè)cn＝T2n＋1－Tn.
(1)求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)判斷數(shù)列{cn}的增減性．
解析： (1)a1＝2，an＝Sn－Sn－1＝2n－1(n≥2)．
∴an＝∴bn＝.
(2)∵cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1
＝＋＋…＋，
∴cn＋1－cn＝＋－
＝－＝＜0，
∴{cn}是遞減數(shù)列．
4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝an－1(n∈N*)．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)在數(shù)列{bn}中，b1＝5，bn＋1＝bn＋an，求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式．
解析： (1)當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝a1＝a1－1，
所以a1＝2.
由Sn＝an－1，①
可知當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝an－1－1，②
①－②，得an＝－，
所以an＝3an－1，又a1≠0，
故an－1≠0，
所以＝3，
故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為3的等比數(shù)列，
所以an＝23n－1.
(2)由(1)知bn＋1＝bn＋23n－1.
當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝bn－1＋23n－2，
…，
b3＝b2＋231，
b2＝b1＋230，
將以上n－1個式子相加并整理，
得bn＝b1＋2(3n－2＋…＋31＋30)
＝5＋2＝3n－1＋4.
當(dāng)n＝1時(shí)，31－1＋4＝5＝b1，
所以bn＝3n－1＋4(n∈N*)．
第二節(jié) 等差數(shù)列及其前n項(xiàng)和
1．理解等差數(shù)列的概念．
2．掌握等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式．
3．能在具體的問題情境中識別數(shù)列的等差關(guān)系，并能用有關(guān)知識解決相應(yīng)的問題．
4．了解等差數(shù)列與一次函數(shù)、二次函數(shù)的關(guān)系．
1．等差數(shù)列的有關(guān)概念
(1)定義：如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列．符號表示為an＋1－an＝d(n∈N*，d為常數(shù))．
(2)等差中項(xiàng)：數(shù)列a，A，b成等差數(shù)列的充要條件是A＝，其中A叫做a，b的等差中項(xiàng)．
2．等差數(shù)列的有關(guān)公式
(1)通項(xiàng)公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1＋d＝.
1．等差數(shù)列的性質(zhì)
已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和．
(1)通項(xiàng)公式的推廣：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}的公差為d，則{a2n}也是等差數(shù)列，公差為2d.
(4)若{bn}是等差數(shù)列，則{pan＋qbn}也是等差數(shù)列．
(5)數(shù)列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…構(gòu)成等差數(shù)列．
2．等差數(shù)列的四種判斷方法
(1)定義法：an＋1－an＝d(d是常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．
(2)等差中項(xiàng)法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)?{an}是等差數(shù)列．
(3)通項(xiàng)公式：an＝pn＋q(p，q為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．
(4)前n項(xiàng)和公式：Sn＝An2＋Bn(A、B為常數(shù))?{an}是等差數(shù)列．
1．判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊?
(1)若一個數(shù)列從第2項(xiàng)起每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都是常數(shù)，則這個數(shù)列是等差數(shù)列．( )
(2)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是對任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( )
(3)等差數(shù)列{an}的單調(diào)性是由公差d決定的．( )
(4)數(shù)列{an}為等差數(shù)列的充要條件是其通項(xiàng)公式為n的一次函數(shù)．( )
(5)數(shù)列{an}滿足an＋1－an＝n，則數(shù)列{an}是等差數(shù)列．( )
(6)已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是an＝pn＋q(其中p，q為常數(shù))，則數(shù)列{an}一定是等差數(shù)列．( )
答案： (1) (2)√ (3)√ (4) (5) (6)√
2．已知在等差數(shù)列{an}中，a2＝7，a4＝15，則前10項(xiàng)和S10＝( )
A．100 B．210
C．380 D．400
解析： 因?yàn)閍2＝7，a4＝15，所以d＝4，a1＝3，
故S10＝103＋1094＝210.
答案： B
3．(xx北京海淀區(qū)期末)若數(shù)列{an}滿足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和數(shù)值最大時(shí)，n的值為( )
A．6 B．7
C．8 D．9
解析： ∵a1＝19，an＋1－an＝－3，
∴數(shù)列{an}是以19為首項(xiàng)，－3為公差的等差數(shù)列，
∴an＝19＋(n－1)(－3)＝22－3n.
答案： B
4．(xx重慶卷)若2，a，b，c,9成等差數(shù)列，則c－a＝________.
解析： 設(shè)公差為d，∵2，a，b，c,9成等差數(shù)列，
∴9－2＝4d，∴d＝.
又∵c－a＝2d，∴c－a＝2＝.
答案：
5．在等差數(shù)列40,37,34，…中，第一個負(fù)數(shù)項(xiàng)是________．
解析： ∵a1＝40，d＝37－40＝－3，
∴an＝40＋(n－1)(－3)＝－3n＋43，
令an＜0，即－3n＋43＜0，解得n＞，
故第一個負(fù)數(shù)項(xiàng)是第15項(xiàng)，即a15＝－315＋43＝－2.
答案：?。?
等差數(shù)列的基本運(yùn)算
1．(xx福建卷)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝2，S3＝12，則a6等于( )
A．8 B．10
C．12 D．14
解析： 因?yàn)镾3＝3a1＋d＝32＋d＝12，所以d＝2.所以a6＝a1＋(6－1)d＝2＋52＝12.故選C．
答案： C
2．(xx天津卷)設(shè){an}是首項(xiàng)為a1，公差為－1的等差數(shù)列，Sn為其前n項(xiàng)和．若S1，S2，S4成等比數(shù)列，則a1的值為________．
解析： 由已知得S1＝a1，S2＝a1＋a2＝2a1－1，S4＝4a1＋(－1)＝4a1－6，而S1，S2，S4成等比數(shù)列，所以(2a1－1)2＝a1(4a1－6)，整理得2a1＋1＝0，解得a1＝－.
答案：?。?
3．(xx福建福州一模)已知等差數(shù)列{an}，其中a1＝，a2＋a5＝4，an＝33，則n的值為________．
解析： 在等差數(shù)列{an}中，a2＋a5＝2a1＋5d＝＋5d＝4，所以d＝，又an＝＋(n－1)＝33，解得n＝50.
答案： 50
4．已知an＝－2n＋27，則a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2＝________.
解析： 由an＝－2n＋27，知a3n－2＝－6n＋31，故{a3n－2}是首項(xiàng)為25，公差為－6的等差數(shù)列．
從而a1＋a4＋a7＋…＋a3n－2＝(a1＋a3n－2)＝(－6n＋56)＝－3n2＋28n.
答案： －3n2＋28n
等差數(shù)列基本運(yùn)算的通性通法
(1)等差數(shù)列運(yùn)算問題的一般求法是設(shè)出首項(xiàng)a1和公差d，然后由通項(xiàng)公式或前n項(xiàng)和公式轉(zhuǎn)化為方程(組)求解．
(2)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了方程的思想．
等差數(shù)列的判定與證明
已知數(shù)列{an}滿足：a1＝2，an＋1＝3an＋3n＋1－2n.設(shè)bn＝.
證明：數(shù)列{bn}為等差數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式．
證明： ∵bn＋1－bn＝－
＝－＝1，
∴{bn}為等差數(shù)列，又b1＝＝0.
∴bn＝n－1，∴an＝(n－1)3n＋2n.
1．已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an＝2－(n≥2，n∈N*)．
設(shè)bn＝(n∈N*)，求證：數(shù)列{bn}是等差數(shù)列．
證明： ∵an＝2－，
∴an＋1＝2－.
∴bn＋1－bn＝－＝－＝＝1，
∴{bn}是首項(xiàng)為b1＝＝1，公差為1的等差數(shù)列．
2．在數(shù)列{an}中，a1＝1,3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)．
(1)證明數(shù)列是等差數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
解析： (1)證明：將 3anan－1＋an－an－1＝0(n≥2)整理得－＝3(n≥2)．
所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列．
(2)由(1)可得＝1＋3(n－1)＝3n－2，
所以an＝.
3．(xx新課標(biāo)全國卷Ⅰ)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝1，an≠0，anan＋1＝λSn－1，其中λ為常數(shù)．
(1)證明：an＋2－an＝λ；
(2)是否存在λ，使得{an}為等差數(shù)列？并說明理由．
解析： (1)證明：由題設(shè)知anan＋1＝λSn－1，an＋1an＋2＝λSn＋1－1，
兩式相減得an＋1(an＋2－an)＝λan＋1，
由于an＋1≠0，所以an＋2－an＝λ.
(2)由題設(shè)知a1＝1，a1a2＝λS1－1，可得a2＝λ－1.
由(1)知，a3＝λ＋1.
令2a2＝a1＋a3，解得λ＝4.
故an＋2－an＝4，由此可得{a2n－1}是首項(xiàng)為1，公差為4的等差數(shù)列，a2n－1＝4n－3；
{a2n}是首項(xiàng)為3，公差為4的等差數(shù)列，a2n＝4n－1.
所以an＝2n－1，an＋1－an＝2，
因此存在λ＝4，使得數(shù)列{an}為等差數(shù)列．
等差數(shù)列的判定方法大全
(1)等差數(shù)列的判定通常有兩種方法：第一種是定義法，an－an－1＝d(常數(shù))(n≥2)；第二種方法是利用等差中項(xiàng)，即2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
(2)解答選擇題和填空題時(shí)也可以用通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式直接判定．
(3)若判定一個數(shù)列不是等差數(shù)列，則只需要說明某連續(xù)3項(xiàng)(如前三項(xiàng))不是等差數(shù)列即可．
等差數(shù)列的性質(zhì)
(1)設(shè)數(shù)列{an}，{bn}都是等差數(shù)列，且a1＝25，b1＝75，a2＋b2＝100，則a37＋b37等于( )
A．0 B．37
C．100 D．－37
(2)(xx北京卷)若等差數(shù)列{an}滿足a7＋a8＋a9>0，a7＋a10<0，則當(dāng)n＝________時(shí)，{an}的前n項(xiàng)和最大．
(3)(xx上海虹口二模)等差數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－8，下列四個命題．α1：數(shù)列{an}是遞增數(shù)列；α2：數(shù)列{nan}是遞增數(shù)列；α3：數(shù)列是遞增數(shù)列；α4：數(shù)列{a}是遞增數(shù)列．其中真命題是________．
解析： (1)設(shè){an}，{bn}的公差分別為d1，d2，則(an＋1＋bn＋1)－(an＋bn)＝(an＋1－an)＋(bn＋1－bn)＝d1＋d2，∴{an＋bn}為等差數(shù)列，又a1＋b1＝a2＋b2＝100，∴{an＋bn}為常數(shù)列，∴a37＋b37＝100.
(2)由等差數(shù)列的性質(zhì)可得a7＋a8＋a9＝3a8>0，即a8>0；而a7＋a10＝a8＋a9<0，故a9<0.所以數(shù)列{an}的前8項(xiàng)和最大．
(3)由已知an＝2n－8可知等差數(shù)列{an}的公差d為2，
∴{an}是遞增數(shù)列，命題α1正確；而nan＝2n2－8n＝2(n－2)2－8，易知數(shù)列{nan}不是遞增數(shù)列，命題α2錯誤；＝2－，易證數(shù)列是遞增數(shù)列，命題α3正確；a＝4(n－4)2，有a>a>a>a6)，則數(shù)列{an}的項(xiàng)數(shù)n＝________.
解析： 由題意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①
an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②
①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36，
又Sn＝＝324，∴18n＝324，∴n＝18.
答案： 18
4．在等差數(shù)列{an}中，已知a1＝20，前n項(xiàng)和為Sn，且S10＝S15，求當(dāng)n取何值時(shí)，Sn取得最大值，并求出它的最大值．
解析： 法一：∵a1＝20，S10＝S15，
∴1020＋d＝1520＋d，
∴d＝－.
∴an＝20＋(n－1)＝－n＋.
∴a13＝0.即當(dāng)n≤12時(shí)，an>0，n≥14時(shí)，an<0.
∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn取得最大值，且最大值為S12＝S13＝1220＋＝130.
法二：同方法一求得d＝－.
∴Sn＝20n＋＝－n2＋n
＝－2＋.
∵n∈N*，∴當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn有最大值，且最大值為S12＝S13＝130.
等差數(shù)列的最值的處理方法：
(1)利用Sn＝an2＋bn轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)求最值時(shí)要注意n的取值．
(2)若{an}是等差數(shù)列，求其前n項(xiàng)和的最值時(shí)，
①若a1＞0，d＜0，且滿足前n項(xiàng)和Sn最大．
②若a1＜0，d＞0，且滿足，前n項(xiàng)和Sn最小．
A級 基礎(chǔ)訓(xùn)練
1．(xx海淀質(zhì)檢)等差數(shù)列{an}中，a2＝3，a3＋a4＝9，則a1a6的值為( )
A．14 B．18
C．21 D．27
解析： 依題意得
由此解得d＝1，a1＝2，
a6＝a1＋5d＝7，a1a6＝14.
答案： A
2．(xx陜西五校三模)等差數(shù)列{an}中，如果a1＋a4＋a7＝39，a3＋a6＋a9＝27，則數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為( )
A．297 B．144
C．99 D．66
解析： 由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，2(a2＋a5＋a8)＝(a1＋a4＋a7)＋(a3＋a6＋a9)＝39＋27＝66，
∴a2＋a5＋a8＝33，
則數(shù)列{an}前9項(xiàng)的和為66＋33＝99.
答案： C
3．(xx河北唐山一中調(diào)研)已知等差數(shù)列{an}中，a7＋a9＝16，S11＝，則a12的值是( )
A．15 B．30
C．31 D．64
解析： 由題意可知2a8＝a7＋a9＝16?a8＝8，S11＝＝＝11a6＝，a6＝，則d＝＝，
所以a12＝a8＋4d＝15，故選A．
答案： A
4．(xx安徽六校聯(lián)考)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為3，{bn}為等差數(shù)列， 且bn＝an＋1－an(n∈N*)，若b3＝－2，b10＝12，則a8＝( )
A．0 B．3
C．8 D．11
解析： 設(shè){bn}的公差為d，
∵b10－b3＝7d＝12－(－2)＝14，∴d＝2.
∵b3＝－2，∴b1＝b3－2d＝－2－4＝－6.
∴b1＋b2＋…＋b7＝7b1＋d＝7(－6)＋212＝0.
又b1＋b2＋…＋b7＝(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(a8－a7)＝a8－a1＝a8－3＝0，∴a8＝3.故選B．
答案： B
5．(xx遼寧鞍山檢測)已知Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若對任意的n∈N*滿足an＋1＝an＋a2，且a3＝2，則S2 014＝( )
A．1 0062 013 B．1 0062 014
C．1 0072 013 D．1 0072 014
解析： 在an＋1＝an＋a2中，令n＝1，則a2＝a1＋a2，a1＝0，令n＝2，則a3＝2＝2a2，a2＝1，于是an＋1－an＝1，故數(shù)列{an}是首項(xiàng)為0，公差為1的等差數(shù)列，
S2 014＝＝1 0072 013.故選C．
答案： C
6．(xx江蘇連云港二調(diào))設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝－3，ak＋1＝，Sk＝－12，則正整數(shù)k＝________.
解析： 由Sk＋1＝Sk＋ak＋1＝－12＋＝－，
又Sk＋1＝＝＝－，解得k＝13.
答案： 13
7．設(shè)數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－10(n∈N*)，則|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝________.
解析： 由an＝2n－10(n∈N*)知{an}是以－8為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，又由an＝2n－10≥0得n≥5，∴當(dāng)n≤5時(shí)，an≤0，當(dāng)n＞5時(shí)，an＞0，∴|a1|＋|a2|＋…＋|a15|＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋a6＋…＋a15)＝20＋110＝130.
答案： 130
8．設(shè)等差數(shù)列{an}，{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，若對任意自然數(shù)n都有＝，則＋的值為________．
解析： ∵{an}，{bn}為等差數(shù)列，
∴＋＝＋＝＝.
∵＝＝＝＝，∴＝.
答案：
9．各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}滿足a＝4Sn－2an－1(n∈N*)，其中Sn為{an}的前n項(xiàng)和．
(1)求a1，a2的值；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
解析： (1)當(dāng)n＝1時(shí)，a＝4S1－2a1－1，
即(a1－1)2＝0，解得a1＝1.
當(dāng)n＝2時(shí)，a＝4S2－2a2－1＝4a1＋2a2－1
＝3＋2a2，
解得a2＝3或a2＝－1(舍去)．
(2)a＝4Sn－2an－1，①
a＝4Sn＋1－2an＋1－1.②
②－①得a－a＝4an＋1－2an＋1＋2an
＝2(an＋1＋an)，
即(an＋1－an)(an＋1＋an)＝2(an＋1＋an)．
∵數(shù)列{an}各項(xiàng)均為正數(shù)，
∴an＋1＋an＞0，an＋1－an＝2，
∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列．
∴an＝2n－1.
10．(xx湖北卷)已知等差數(shù)列{an}滿足：a1＝2，且a1，a2，a5成等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)記Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，是否存在正整數(shù)n，使得Sn>60n＋800？若存在，求n的最小值；若不存在，說明理由．
解析： (1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d.∵a1，a2，a5成等比數(shù)列，∴a＝a1a5，即(a1＋d)2＝a1(a1＋4d)，解得d＝0或d＝4.∴an＝2或an＝4n－2.
(2)當(dāng)an＝2時(shí)，Sn＝2n.
由2n>60n＋800及n∈N*得n無解；
當(dāng)an＝4n－2時(shí)，Sn＝＝2n2，由2n2>60n＋800得n>40.∵n∈N*，∴n的最小值為41.
B級 能力提升
1．?dāng)?shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝ran＋r(n∈N*，r∈R且r≠0)，則“r＝1”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
解析： 當(dāng)r＝1時(shí)，易知數(shù)列{an}為等差數(shù)列；由題意易知a2＝2r，a3＝2r2＋r，當(dāng)數(shù)列{an}是等差數(shù)列時(shí)，a2－a1＝a3－a2，即2r－1＝2r2－r，解得r＝或r＝1，當(dāng)r＝時(shí)，an＝1，故“r＝1”是“數(shù)列{an}為等差數(shù)列”的充分不必要條件，選A．
答案： A
2．已知數(shù)列{an}是首項(xiàng)為a，公差為1的等差數(shù)列，bn＝，若對任意的n∈N*，都有bn≥b8成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為________．
解析： 依題意得bn＝1＋，對任意的n∈N*，都有bn≥b8，即數(shù)列{bn}的最小項(xiàng)是第8項(xiàng)，于是有≥.又?jǐn)?shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列，因此有，即，
由此解得－80)，q＝2，S7＝＝127.
答案： C
3．(xx重慶卷)對任意等比數(shù)列{an}，下列說法一定正確的是( )
A．a(chǎn)1，a3，a9成等比數(shù)列 B．a(chǎn)2，a3，a6成等比數(shù)列
C．a(chǎn)2，a4，a8成等比數(shù)列 D．a(chǎn)3，a6，a9成等比數(shù)列
解析： 設(shè)等比數(shù)列的公比為q，因?yàn)椋剑絨3，即a＝a3a9，所以a3，a6，a9成等比數(shù)列．故選D．
答案： D
4．在等比數(shù)列{an}中，已知a7a12＝5，則a8a9a10a11＝________.
解析： ∵a7a12＝5，∴a8a9a10a11＝(a8a11)(a9a10)＝(a7a12)2＝25.
答案： 25
5．設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，8a2＋a5＝0，則＝________.
解析： ∵8a2＋a5＝0，∴8a2＝－a5，即＝－8.
∴q3＝－8，∴q＝－2.
∴＝＝＝＝－11.
答案： －11
等比數(shù)列的基本運(yùn)算
1．(xx北京朝陽一模)在各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，a1＝2，a2＋a3＝12，則該數(shù)列的前4項(xiàng)和為________．
解析： 設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，由a1＝2，a2＋a3＝12，則a1q＋a1q2＝12，解得q＝2，故S4＝＝30.
答案： 30
2．(xx揚(yáng)州中學(xué)期中測試)設(shè)等比數(shù)列{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，其前n項(xiàng)和為Sn，若a1＝1，a3＝4，Sk＝63，則k＝________.
解析： 設(shè)等比數(shù)列{an}公比為q，由已知a1＝1，a3＝4，得q2＝＝4.又{an}的各項(xiàng)均為正數(shù)，∴q＝2.而Sk＝＝63，∴2k－1＝63，解得k＝6.
答案： 6
3．已知等比數(shù)列{an}為遞增數(shù)列，且a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an＝________.
解析： 設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公比為q，
∵a＝a10,2(an＋an＋2)＝5an＋1，
∴
由①得a1＝q，
由②知q＝2或q＝，
又?jǐn)?shù)列{an}為遞增數(shù)列，∴a1＝q＝2，從而an＝2n.
答案： 2n
4．設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知a2＝6,6a1＋a3＝30，求an和Sn.
解析： 設(shè){an}的公比為q，由題意得
解得或，
當(dāng)a1＝3，q＝2時(shí)，an＝32n－1，Sn＝3(2n－1)；
當(dāng)a1＝2，q＝3時(shí)，an＝23n－1，Sn＝3n－1.
1.等比數(shù)列基本運(yùn)算方法
(1)使用兩個公式，即通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式．
(2)使用通項(xiàng)公式的變形：an＝amqn－m(m，n∈N*)．
2．等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的應(yīng)用
在使用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)，應(yīng)首先判斷公比q能否為1，若能，應(yīng)分q＝1與q≠1兩種情況求解．
等比數(shù)列的判定與證明
已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且an＋Sn＝n.
(1)設(shè)cn＝an－1，求證：{cn}是等比數(shù)列；
(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
解析： (1)證明：∵an＋Sn＝n，①
∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②
②－①得an＋1－an＋an＋1＝1，
∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，
∴＝.
∵首項(xiàng)c1＝a1－1，又a1＋a1＝1，
∴a1＝，c1＝－.
又cn＝an－1，故{cn}是以－為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列．
(2)由(1)知cn＝－n－1＝－n
∴an＝1－n.
1．已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1＝5，前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)．證明數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列．
證明： 由已知Sn＋1＝2Sn＋n＋5(n∈N*)可得當(dāng)n≥2時(shí)，Sn＝2Sn－1＋n＋4，兩式相減得Sn＋1－Sn＝2(Sn－Sn－1)＋1，即an＋1＝2an＋1，從而an＋1＋1＝2(an＋1)，
當(dāng)n＝1時(shí)，S2＝2S1＋1＋5，即a2＋a1＝2a1＋6，
又a1＝5，所以a2＝11，從而a2＋1＝2(a1＋1)．
故an＋1＋1＝2(an＋1)，對n∈N*恒成立，
又a1＝5，a1＋1≠0，從而＝2.
所以數(shù)列{an＋1}是等比數(shù)列．
2．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且a2＝1，S11＝33.
(1)求{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)bn＝an，
求證：{bn}是等比數(shù)列，并求其前n項(xiàng)和Tn.
解析： (1)依題意有
解得，∴an＝.
(2)證明：∵bn＝＝n，
∴＝為常數(shù)．
∴{bn}是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，
∴Tn＝＝1－n.
3．已知數(shù)列{an}和{bn}滿足a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ為實(shí)數(shù)，n為正整數(shù)．
(1)證明：對任意實(shí)數(shù)λ，數(shù)列{an}不是等比數(shù)列；
(2)證明：當(dāng)λ≠－18時(shí)，數(shù)列{bn}是等比數(shù)列．
證明： (1)假設(shè)存在一個實(shí)數(shù)λ，使{an}是等比數(shù)列，
則有a＝a1a3，即2＝λ
?λ2－4λ＋9＝λ2－4λ?9＝0，矛盾．
所以{an}不是等比數(shù)列．
(2)bn＋1＝(－1)n＋1[an＋1－3(n＋1)＋21]
＝(－1)n＋1
＝－(－1)n(an－3n＋21)＝－bn.
又λ≠－18，所以b1＝－(λ＋18)≠0.
由上式知bn≠0，所以＝－(n∈N*)．
故當(dāng)λ≠－18時(shí)，數(shù)列{bn}是以－(λ＋18)為首項(xiàng)，－為公比的等比數(shù)列．
等比數(shù)列的判斷與證明的常用方法
(1)定義法：若＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或＝q(q為非零常數(shù)，且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列；
(2)中項(xiàng)公式法：若數(shù)列{an}中，an≠0，且a＝anan＋2(n∈N*)，則數(shù)列{an}是等比數(shù)列；
(3)若要判定一個數(shù)列不是等比數(shù)列，則只需判定某連續(xù)三項(xiàng)不成等比數(shù)列即可．
等比數(shù)列的性質(zhì)
(1)(xx山東淄博期末)已知等比數(shù)列{an}的公比為正數(shù)，且a3a9＝2a，a2＝2，則a1＝( )
A． B．
C． D．2
(2)(xx廣東珠海質(zhì)量監(jiān)測)等比數(shù)列{an}共有奇數(shù)項(xiàng)，所有奇數(shù)項(xiàng)和S奇＝255，所有偶數(shù)項(xiàng)和S偶＝－126，末項(xiàng)是192，則首項(xiàng)a1＝( )
A．1 B．2
C．3 D．4
解析： (1)由等比數(shù)列的性質(zhì)得a3a9＝a＝2a，∵q>0，
∴a6＝a5，q＝＝，a1＝＝，故選C．
(2)設(shè)等比數(shù)列{an}共有2k＋1(k∈N*)項(xiàng)，則a2k＋1＝192，則S奇＝a1＋a3＋…＋a2k－1＋a2k＋1＝(a2＋a4＋…＋a2k)＋a2k＋1＝S偶＋a2k＋1＝－＋192＝255，解得q＝－2，而S奇＝＝＝255，解得a1＝3，故選C．
答案： (1)C (2)C
1．(xx北京豐臺一模)已知等比數(shù)列{an}中，a2＋a3＝1，a4＋a5＝2，則a6＋a7等于( )
A．2 B．2
C．4 D．4
解析： 因?yàn)閍2＋a3，a4＋a5，a6＋a7成等比數(shù)列，a2＋a3＝1，a4＋a5＝2，所以(a4＋a5)2＝(a2＋a3)(a6＋a7)，解得a6＋a7＝4.
答案： C
2．(xx鄭州模擬)在正項(xiàng)等比數(shù)列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，則n＝( )
A．12 B．13
C．14 D．15
解析： 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q，
由a1a2a3＝4＝aq3與a4a5a6＝12＝aq12，
可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，
因此q3n－6＝81＝34＝q36，
所以n＝14，故選C．
答案： C
等比數(shù)列常見性質(zhì)的應(yīng)用
等比數(shù)列的性質(zhì)可以分為三類：①通項(xiàng)公式的變形；②等比中項(xiàng)的變形；③前n項(xiàng)和公式的變形，根據(jù)題目條件，認(rèn)真分析，發(fā)現(xiàn)具體的變化特征即可找出解決問題的突破口．
A級 基礎(chǔ)訓(xùn)練
1．(xx北京海淀一模)在數(shù)列{an}中，“an＝2an－1，n＝2,3,4，…”是“{an}是公比為2的等比數(shù)列”的( )
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
解析： 當(dāng)an＝0時(shí)，滿足an＝2an－1，n＝2,3,4，…，但{a n}是等差數(shù)列，不是等比數(shù)列，故充分性不成立；又當(dāng){an}是公比為2的等比數(shù)列時(shí)，有＝2，n＝2,3,4，…，即an＝2an－1，n＝2,3,4，…，所以必要性成立，故選B．
答案： B
2．(xx河北衡水中學(xué)五調(diào))已知等比數(shù)列{an}的公比q＝2，且2a4，a6,48成等差數(shù)列，則{an}的前8項(xiàng)和為( )
A．127 B．255
C．511 D．1 023
解析： ∵2a4，a6,48成等差數(shù)列，
∴2a6＝2a4＋48，
∴2a1q5＝2a1q3＋48，又∵q＝2，∴a1＝1，
∴S8＝＝255.
答案： B
3．(xx遼寧沈陽模擬)已知數(shù)列{an}滿足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)且a2＋a4＋a6＝9，則log(a5＋a7＋a9)的值是( )
A．－5 B．－
C．5 D．
解析： 由l
2019-2020年高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第五章 數(shù)列同步練習(xí) 文.doc
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