高中數學《向量的應用》學案1蘇教版必修4

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1、 向量的應用 ●知識梳理 理解向量的幾何、 代數、三角及物理方面的應用， 能將當前的問題轉化為可用向量解決 的問題，培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神和應用能力 . 特別提示 許多代數、 幾何中的問題都可以轉化為向量來處理 .它不僅能解決數學學科本身的問題， 跨學科應用也是它的一個特點 . ●點擊雙基 1.若 O 是△ ABC 內一點， OA + OB + OC =0，則 O 是△ ABC 的 A. 內心 B.外心 C.垂心 D.重心 解析：以 OB 、 OC

2、 為鄰邊作平行四邊形 OBDC ，則 OD = OB + OC . A O B E C D 又 OA + OB + OC =0， ∴ OB + OC =－ OA . ∴－ OA = OD .∴ O 為 AD 的中點，且 A、 O、D 共線 . 又 E 為 OD 的中點，∴ O 是中線 AE 的三等分點，且 OA= 2 AE. 3 ∴ O 是△ ABC

3、 的重心 . 答案： D 2.將橢圓 x2+6y2－ 2x－ 12y－ 13=0 按向量 a 平移，使中心與原點重合，則 a 的坐標是 A. （－ 1， 1） B. （ 1，－ 1） C.（－ 1，－ 1） D. （1， 1） 解析：橢圓方程變形為（ x－ 1） 2+6（y－ 1） 2=20. 需按 a=（－ 1，－ 1）平移，中心與原點重合 . 答案： C 3.平面直角坐標系中， O 為坐標原點，已知兩點 A（ 3

4、， 1）、 B（－ 1， 3），若點 C 滿 足 OC =α OA +β OB ，其中 α 、β ∈ R，且 α +β=1，則點 C 的軌跡方程為 A.3x+2y－ 11=0 B. （ x－ 1） 2+（ y－2） 2=5 C.2x－ y=0 D. x+2y－ 5=0 解析： C 點滿足 OC =α OA +β OB 且α +β =1 ，∴ A、B、 C 三點共線 .∴C 點的軌跡是 用心 愛心 專心 1 直線 AB. 答案： D 4.在四邊形 ABCD 中， AB BC

5、=0， BC = AD ，則四邊形 ABCD 是 A. 直角梯形 B.菱形 C.矩形 D.正方形 解析：由 AB BC =0 知 AB ⊥ BC .由 BC = AD 知 BC AD.∴四邊形 ABCD 是矩形 . 答案： C 5.（ 2004 年全國Ⅱ，理 9）已知平面上直線 l 的方向向量 e=（－ 4 ， 3 ），點 O（ 0，0） 5 5 和 A（ 1，－ 2）在 l 上的射影分別是 O 和 A′，則 O A =λ e，其中 λ 等于 A. 11 B.－ 11 C.2 D.－ 2 5 5

6、 解析：如圖所示，令 e 過原點， O A 與 e 方向相反，排除 A 、C，驗證 D 即可 . y O O A x A 答案： D ●典例剖析 【例 1】 已知 a、 b 是兩個非零向量，當 a+tb（ t∈ R）的模取最小值時， （ 1）求 t 的值； （ 2）求證： b⊥（ a+tb） . 剖析：利用 |a+tb|2=（ a+tb） 2 進行轉換，可討論有關 |a+tb|的最小值問題，若能計算得 b（ a+tb） =0 ，則證得了 b⊥（ a+tb）.

7、 （ 1）解：設 a 與 b 的夾角為 θ ，則 2 2 2 2 2 2 2 2 2 （ t+ | a | 22 2 |a+tb| =（ a+tb） =|a| +t |b| +2a（ tb）=|a| +t |b| +2t|a||b|cosθ=|b| | b | cosθ ） +|a| sin θ， 所以當 t=－ |a | cosθ =－ | a || b | cos =－ a b 時， |a+tb|有最小值 .

8、 | b | | b |2 | b |2 （ 2）證明：因為 b（ a+tb）=b（ a－ a b b）=ab－ ab=0，所以 b⊥（ a⊥ tb）. | b |2 評注：用向量的數量積可以處理有關長度、 角度和垂直等幾何問題， 向量的坐標運算為 處理這類問題帶來了很大的方便 . 思考討論 對 |a+tb|的變形，有兩種基本的思考方法：一是通過 |a+tb|2=（ a+tb）2 進行向量的數量積 運算；二是設 a、b

9、 的坐標，通過向量的坐標運算進行有目的的變形 .讀者可嘗試用后一方法 解答本題 . 深化拓展 用心 愛心 專心 2 已知 OA =a， OB =b， a b=|a－b|=2，當△ AOB 面積取最大值時，求 a 與 b 的夾角 . 解：因為 |a－ b|2=4 ，所以 a2－ 2a b+b2=4.所以 |a|2+|b|2=4+2 a b=8， △ AOB 1 OA OB sinθ S

10、 = 2 = 1 |a||b| 1 cos 2 2 = 1 | a | 2 | b | 2 2 2 （a b） = 1 | a |2 | b |2 4 2

11、 ≤ 1 （ | a |2 | b |2 2 2 2 ） 4 = 3 ， （當且僅當 |a|=|b|=2 時取等號） 所以當 |a|=|b|=2 時，△ AOB 的面積取最大值，這時，cosθ = a b = 2 = 1 ，所以 | a ||b | 2 2 2 θ =60 . 【例 2】 如圖，四邊形 MNPQ 是

12、⊙ C 的內接梯形， C 是圓心， C 在 MN 上，向量 CM 與 PN 的夾角為 120， QC QM =2. Q P M N C （ 1）求⊙ C 的方程； （ 2）求以 M、 N 為焦點且過點 P、 Q 的橢圓的方程 . 剖析：需先建立直角坐標系，為了使所求方程簡單，需以 C 為原點， MN 所在直線為 x 軸，求⊙ C 的方程時，只要求半徑即可，求橢圓的方程時，只需求 a、 b 即可 . 解：（ 1）以 MN 所在直線為 x 軸， C 為原點，建立直角坐標系 xOy.∵ CM 與 PN 的夾

13、 角為 120，故∠ QCM =60 .于是△ QCM 為正三角形，∠ CQM =60 . 又 QC QM =2 ，即 | QC || QM |cos∠ CQM =2 ，于是 r =| QC |=2. 故⊙ C 的方程為 x2+y2=4. （ 2）依題意 2c=4， 2a=|QN|+|QM|， 而 |QN|= 4 2 2 2 =2 3 ， |QM|=2， 于是 a= 3 +1 ，b2 =a2－c2=2 3 . ∴所求橢圓的方程為 x2 y2 2 3 + =1. 4 2 3 用心 愛心 專心

14、3 評述：平面向量在解析幾何中的應用越來越廣，復習時應引起重視 . ●闖關訓練 夯實基礎 1.（2004 年遼寧， 6）已知點 A（－ 2，0），B（ 3，0），動點 P（ x，y）滿足 PA PB =x2， 則點 P 的軌跡是 A. 圓 B.橢圓 C.雙曲線 D.拋物線 解析： PA =（－ 2－ x，－ y）， PB =（ 3 － x，－ y）， PA PB =（－ 2－ x）（ 3－ x） +（－ y） 2=x2，整理得 y2=x+6.∴ P 點的軌跡為拋物線 .

15、 答案： D 2.臺風中心從 A 地以 20 km/h 的速度向東北方向移動， 離臺風中心 30 km 內的地區(qū)為危 險區(qū)，城市 B 在 A 的正東 40 km 處， B 城市處于危險區(qū)內的時間為 A.0.5 h B.1 h C.1.5 h D.2 h 解析：臺風中心移動 t h，城市 B 處在危險區(qū)， 則（20t）2+402－ 2 20t 40cos45≤ 900. ∴ 2 － 1 ≤t≤ 2 + 1 .∴B 城市處在危險區(qū)的時間為 1 h. 2 2 答案： B 3.在一座

16、 20 m 高的觀測臺頂測得地面一水塔塔頂仰角為 60， 塔底俯角為 45，那么 這座塔的高為 _______. 解析：如圖， AD=DC=20. ∴ BD=ADtan60=20 3 . B o A 60 D 45o 2 0m C ∴塔高為 20（ 1+ 3 ） m. 答案： 20（ 1+ 3 ） m 4.有一兩岸平行的河流，水速為 1，小船的速度為 2 ，為使所走路程最短，小船應朝 _______方向行駛 . 解析：如下圖，為使小船所走路程最短，

17、 v 水+v 船應與岸垂直 .又 v 水 = AB =1，v 船 = AC = 2 ， ∠ADC =90 ，∴∠ CAD=45 . C D 2 1 A B 答案：與水速成 135角的 5.如圖，△ ABC 的 BC 邊的中點為 M，利用向量證明： AB2+AC2=2（ AM2+ BM2） . 用心 愛心 專心 4 A B M C 證明：設 AM =m， AB =b， AC =c，則 m= b c ， m m= b c b

18、c 2 2 2 1 2 1 1 2 = b + 2 b c+ c 4 4 = 1 AB 2+ 1 AC 2+ 1 ABAC cos∠ BAC 4 4 2 = 1 AB 2+ 1 AC 2+ 1 ABAC AB 2 AC 2 BC 2 4 4 2 2AB AC = 1 AB 2+ 1 AC 2+ 1 （ AB2+AC 2－ BC2） . 4 4 4 ∴ AM2= 1 AB2+ 1 AC 2－ 1 BC2. 2 2 4 又∵ BC2=4BM 2

19、， 2 2 2 2 ∴ AB +AC =2（ AM +BM ） . 6.如圖，用兩根繩子把重 10 N 的物體 W 吊在水平桿子 AB 上.∠ACW=150，∠BCW=120，求 A 和 B 處所受力的大小 .（忽略繩子重量） A B C F E W 解：設 A、 B 處所受力分別為 f1、 f2， 10 N 的重力用 f 表示，則 f1+f2=f.以重力作用點 C 為 f1、 f2 的始點，作平行四邊形 CFWE ，使 CW 為對角線，則 CF =f1， CE =f2， CW =f，則 ∠ ECW=180－

20、150 =30 ， ∠ FCW=180 － 120 =60，∠ FCE =90 . ∴四邊形 CEWF 為矩形 . ∴ |CE |=|CW |cos30=10 3 =5 3 ， 2 ｜ CF ｜ =| CN |cos60 =10 1 =5. 2 ∴ A 處受力為 5 3 N， B 處受力為 5 N. 培養(yǎng)能力 7.已知 A（ 4， 0）， N（ 1， 0），若點 P 滿足 AN AP =6| PN |. （ 1）求點 P 的軌跡方程，并說明該軌跡是什么曲線； （ 2）求 | PN |的取值范

21、圍； 用心 愛心 專心 5 （ 3）若 M（－ 1， 0），求∠ MPN 在［ 0， π］上的取值范圍 . 解：（ 1）設 P（ x， y）， AP =（ x－ 4， y）， PN =（ 1－ x，－ y）， AN =（－ 3， 0）， ∵ AN AP =6| PN |， ∴－ 3（ x－ 4） =6 （1 2 2 2 2 x） （ y） ，即 3x +4y =12. ∴ x2 y2 =1. ∴P 點的軌跡是以（－ 1， 0）、（ 1， 0）為焦點，長軸長為 4 的橢圓 .

22、 4 3 （ 2）N（ 1，0）為橢圓的右焦點， x=4 為右準線，設 P（x0，y0）， P 到右準線的距離 為 d， d=4－x ， | PN | 1 ，|PN|= 1 4 x0 ≤ 2，∴ 1≤ |PN|≤ 3. 0 =e= 2 d= 2 .∵－ 2≤ x0 d 2 當 |PN|=1 時， P（ 2， 0）；當 |PN |=3 時， P（－ 2， 0） . （ 3）令 |PN|=t （ 1≤t ≤ 3），則 |PM |=4－t ， |MN |=2， | PN |2 | PM |2

23、| MN |2 cos∠ MPN = = 2 | PN || PM | t 2 （4 2 6 t ） 4 . 2t（4 =－ 1+ t） t（4 t） 由 1≤ t≤ 3，得 3≤ t（ 4－ t ）≤ 4， ∴ 1 ≤ cos∠ MPN ≤ 1.∴ 0≤∠ MPN ≤ π . 2 3 8.如圖，已知△ ABC 的頂點坐標依次為 A（ 1，0）， B（ 5， 8）， C（7，－ 4），在邊 AB 上有一點 P，其橫坐標為 4，在 AC 上求一點 Q，使線段 PQ 把△ AB

24、C 分成面積相等的兩部分 . y B P O A x Q C 解：設 P 分 AB 的比為 λ 1，則 1 5 1 λ 1=3 ， 4= 1 1 即 | AP | =3， | AB | = 4 . | PB | | AP | 3 又 S S  ABC APQ  1 | AB || AC | sin BAC 2 1 | AP || AQ | sin BAC 2 用心 愛心 專心 6

25、 = | AB | | AC | = 2 ， | AP | | AQ | 1 ∴ | AC | = 3 ，即 | AQ | =2. | AQ | 2| QC | AQ 1 7 2 ， 設 λ 2= ，則 λ 2=2. ∴xQ = =5 QC 2 4 2 yQ = 1 2 探究創(chuàng)新  =－ 8 .∴ Q（5，－ 8 ） . 3 3 9.如下圖，已知△ OFQ 的面積為 S，且 OF 與 FQ 的數量積等于 1， Q O F

26、 （ 1）若 1 ＜ S＜ 2，求向量 OF 與 FQ 的夾角 θ 的取值范圍； 2 （ 2）設 | OF |=c（ c≥2）， S= 3 c，若以 O 為中心， F 為焦點的橢圓經過點 Q，當 |OQ | 4 取得最小值時，求此橢圓的方程 . 1 | OF || FQ （ π ） S 解：（ 1） 2 | sin tanθ =2S.又∵ 1 ＜ S＜ 2， | OF || FQ | cos 2

27、 ∴ 1＜ tanθ ＜4.∴ π ＜ θ＜ arctan4. 4 （ 2）以 O 為原點， OF 所在直線為 x 軸建立坐標系， 設橢圓方程為 x2 y2 a2 + b 2 =1（ a＞ b＞ 0）， 點 Q（ x1， y1），則 FQ =（ x1－ c， y1） . 又∵△ OFQ 的面積為 1 | OF | y1= 3 c， 2 4 ∴ y1= 3 .又由 OF FQ =1，解得 x1=c+ 1 . 2 c 2 2 1 2 9 | OQ |= x1

28、y1 = （ c ） （ c≥ 2） . c 4 設 f（ c） =c+ 1 ，則 f （ c） =1－ 1 c 2 1 c c 2 = c2 . 用心 愛心 專心 7 當 c≥ 2 時， f （c）＞ 0，∴ f（ c）在［ 2，＋∞）上遞增，∴當 c=2 時， | OQ |最小， 此時 Q（ 5 ， 3 ），由此可得 2 2 25 9 1 4b 2 4b 2 a2=10， b2=6.

29、 a 2 b2 4 ∴橢圓方程為 x2 y 2 10 =1. 6 ●思悟小結 向量兼具代數的抽象與嚴謹和幾何的直觀， 向量本身是一個數形結合的產物， 因此在向 量的復習中要注意數與形的結合、代數與幾何的結合、形象思維與邏輯思維的結合 .應用向 量可以解決平面幾何中的一些問題，在物理和工程技術中應用也很廣泛 . ●教師下載中心 教學點睛 教材中安排了解三角形應用舉例和實習作業(yè)， 根據新教材突出應用這一顯著特點， 教學 中應充分利用這些素材， 使學生受到把實際問題抽象成數學問題的訓練

30、， 滲透數學建模思想， 培養(yǎng)學生分析、解決實際問題的能力 . 拓展題例 【例 1】 已知 a=（ 1 x2， x）， b=（ x， x－ 3）， x∈［－ 4， 4］. 3 （ 1）求 f（x） =a b 的表達式； （ 2）求 f（x）的最小值，并求此時 a 與 b 的夾角 . 解：（ 1） f（ x） =ab= 1 x2 x+x（ x－3） = 1 x3+x2－ 3x， x∈［－ 4，4］ . 3 3 （ 2） f （ x） =x2+2 x－ 3=（ x+3）（ x－ 1） . 列表： x －4（－ 4，－ 3） －3 （－

31、 3，1） 1 （1，4）4 f （ x） + 0 － 0 + f （x） 20 極大值 9 ↓ 5 76 ↑ 極小值－ ↑ 3 3 3 故當 x=1 時， f（ x）有最小值為－ 5 . 3 此時 a=（ 1 ， 1）， b=（ 1，－ 2） . 3 設 θ 為 a 與 b 的夾角，則 cosθ = a b 2 =－.

32、 | a || b | 2 又由 θ∈［ 0，π ］，得 θ = 3π. 4 【例 2】 如圖所示，對于同一高度（足夠高）的兩個定滑輪，用一條（足夠長）繩子 跨過它們，并在兩端分別掛有 4 kg 和 2 kg 的物體，另在兩個滑輪中間的一段繩子懸掛另一 物體，為使系統(tǒng)保持平衡狀態(tài)，此物體的質量應是多少 ?（忽略滑輪半徑、繩子的重量） 用心 愛心 專心 8 F1 F2 4 k g 2 kg

33、 m kg 分析：先進行受力分析，列出平衡方程，然后用數學方法求解 . 解：設所求物體質量為 m kg 時，系統(tǒng)保持平衡，再設 F 1 與豎直方向的夾角為 θ 1， F 2 與豎直方向的夾角為 θ 2，則有 4 g sin 4 g cos  1 1  2g sin ， ① 2g cos mg， ② （其中 g 為重力加速度） . 由①式和②式消去 θ 2，得 2 即 m=4cosθ 1 2 4 cos2 1 3 . ③

34、 ∵ cosθ 2＞ 0，由②式知，③式中 m=4cosθ 1－ 2 4 cos2 1 3 不合題意，舍去 . 又∵ 4cos2θ 1－ 3≥ 0，解得 3 ≤cosθ 1≤ 1. 2 經檢驗，當 cosθ 1= 3 時， cosθ2 =0，不合題意，舍去 . 2 ∴ 2 3 ＜ m＜ 6. 綜上，所求物體的質量在 2 3 kg 到 6 kg 之間變動時，系統(tǒng)可保持平衡 . 評注：（ 1） m 的范圍是通過函數 y=4x+2 4x2 3 的單調性求得的 .（ 2）實際問題的處 理要注意變量的實際意義，本題容易忽略 cosθ 2＞ 0 的實際限制 . 用心 愛心 專心 9