2019年高考試題匯編理科數(shù)學--圓錐曲線

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1、(2019全國1)10.已知橢圓的焦點為，，過的直線與交于，兩點.若，，則的方程為（ ） A. B. C. D. 答案： B 解答： 由橢圓的焦點為，可知，又，，可設(shè)，則，，根據(jù)橢圓的定義可知，得，所以，，可知，根據(jù)相似可得代入橢圓的標準方程，得，，橢圓的方程為. (2019全國1)16.已知雙曲線C:的左、右焦點分別為，過的直線與的 兩條漸近線分別交于兩點.若，則的離心率為 . 答案： 解答： 由知是的中點，，又是的中點，所以為中位線且，所以，因此，又根據(jù)兩漸近線對稱，，所以，. (2019全國1

2、) 19.已知拋物線的焦點為，斜率為的直線與的交點為，，與軸的交點為. （1） 若，求的方程； （2） 若，求. 答案： （1）； （2）. 解答： （1）設(shè)直線的方程為，設(shè)，， 聯(lián)立直線與拋物線的方程：消去化簡整理得，，，，依題意可知，即，故，得，滿足，故直線的方程為，即. （2）聯(lián)立方程組消去化簡整理得，，，，，，可知，則，得，，故可知滿足， . （2019全國2）8. 若拋物線的焦點是橢圓的一個焦點，則（ ） A.2 B.3 C.4 D.8 答案：D 解答： 拋物線的焦點是，橢圓的焦點是， ∴，∴. （2019全國2）11. 設(shè)為

3、雙曲線的右焦點，為坐標原點，以為直徑的圓與圓交于 兩點，若 ，則的離心率為（ ） A. B. C. D. 答案:A 解答： ∵，∴, 又，∴ 解得，即. （2019全國2）21. 已知點，動點滿足直線和的斜率之積為，記的軌跡為曲線. （1）求的方程，并說明什么曲線； （2）過坐標原點的直線交于兩點，點在第一象限，軸，垂足為，連結(jié) 并延長交于點. ①證明：是直角三角形； ②求的面積的最大值. 答案： 見解析 解答： (1)由題意得：，化簡得： ，表示焦點在軸上的橢圓（不含與軸的交點）. (2) ①依題意設(shè)，直線的斜率為 ，則 ，

4、 ∴， 又， ∴， ∴，即是直角三角形. ②直線的方程為，聯(lián)立 ，得 ， 則直線， 聯(lián)立直線和橢圓，可得， 則，∴ ， 令，則， ∴， ∵， ∴. （2019全國3）10.雙曲線：的右焦點為，點為的一條漸近線的點，為坐標原點.若則的面積為（ ） A: B: C: D: 答案: A 解析： 由雙曲線的方程可得一條漸近線方程為；在中過點做垂直因為得到;所以;故選A; （2019全國3）15.設(shè) 、為橢圓的兩個焦點，為上一點且在第一象限，若為等腰三角形，則的坐標為________. 答案： 解析： 已知橢圓可知，，，由為上一點

5、且在第一象限，故等腰三角形中，,,，代入可得.故的坐標為. （2019全國3）21.已知曲線，為直線上的動點.過作的兩條切線,切點分別是,, （1）證明：直線過定點; （2）若以為圓心的圓與直線相切,且切點為線段的中點,求四邊形的面積. 答案： 見解析； 解答： （1）當點在時，設(shè)過的直線方程為，與曲線聯(lián)立化簡得 ，由于直線與曲線相切，則有，解得， 并求得坐標分別為，所以直線的方程為； 當點橫坐標不為時，設(shè)直線的方程為（），由已知可得直線 不過坐標原點即，聯(lián)立直線方程與曲線的方程可得，， 消并化簡得，∵有兩個交點∴， 設(shè)，，根據(jù)韋達定理有， ，， 由已知可得曲線為

6、拋物線等價于函數(shù)的圖像， 則有，則拋物線在上的切線方程為①， 同理，拋物線在上的切線方程為②， 聯(lián)立①，②并消去可得， 由已知可得兩條切線的交點在直線上，則有 ， 化簡得，，∵，∴， 即，即為，解得，經(jīng)檢驗滿足條件， 所以直線的方程為過定點， 綜上所述，直線過定點得證. （2）由（1）得直線的方程為， 當時，即直線方程為，此時點的坐標為， 以為圓心的圓與直線相切于恰為中點， 此時； 當時，直線方程與曲線方程聯(lián)立化簡得， ，，， 則中點坐標為， 由已知可得，即， 解得，， 由對稱性不妨取，則直線方程為， 求得的坐標為，， 到直線距離，到直線距離，

7、則， 綜上所述，四邊形的面積為或. （2019北京）4.已知橢圓（a＞b＞0）的離心率為，則 A. a2=2b2 B. 3a2=4b2 C. a=2b D. 3a=4b 【答案】B 【解析】【分析】 由題意利用離心率的定義和的關(guān)系可得滿足題意的等式. 【詳解】橢圓的離心率,化簡得, 故選B. 【點睛】本題考查橢圓的標準方程與幾何性質(zhì),屬于容易題,注重基礎(chǔ)知識?基本運算能力的考查. （2019北京）18.已知拋物線C：x2=?2py經(jīng)過點（2，?1）． （Ⅰ）求拋物線C的方程及其準線方程； （Ⅱ）設(shè)O為原點，過拋物線C的焦點作斜率不為0的直線l交拋物線C于兩點M，

8、N，直線y=?1分別交直線OM，ON于點A和點B.求證：以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點． 【答案】(Ⅰ) ，； (Ⅱ)見解析. 【解析】【分析】 (Ⅰ)由題意結(jié)合點的坐標可得拋物線方程，進一步可得準線方程； (Ⅱ)聯(lián)立準線方程和拋物線方程，結(jié)合韋達定理可得圓心坐標和圓的半徑，從而確定圓的方程，最后令x=0即可證得題中的結(jié)論. 【詳解】(Ⅰ)將點代入拋物線方程：可得：， 故拋物線方程：，其準線方程為：. (Ⅱ)很明顯直線的斜率存在，焦點坐標為， 設(shè)直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得：. 故：. 設(shè)，則， 直線的方程為，與聯(lián)立可得：，同理可得， 易知以AB為直徑的圓的

9、圓心坐標為：，圓的半徑為：， 且：，， 則圓的方程為：， 令整理可得：，解得：， 即以AB為直徑的圓經(jīng)過y軸上的兩個定點. 【點睛】本題主要考查拋物線方程的求解與準線方程的確定，直線與拋物線的位置關(guān)系，圓的方程的求解及其應用等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力. （2019天津）5.已知拋物線的焦點為，準線為.若與雙曲線的兩條漸近線分別交于點A和點B，且（為原點），則雙曲線的離心率為 A. B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】 只需把用表示出來，即可根據(jù)雙曲線離心率的定義求得離心率。 【詳解】拋物線的準線的方程為， 雙曲線的漸近線方程為，

10、 則有 ∴，，， ∴。 故選D。 【點睛】本題考查拋物線和雙曲線的性質(zhì)以及離心率的求解，解題關(guān)鍵是求出AB的長度。 （2019天津）18.設(shè)橢圓的左焦點為，上頂點為.已知橢圓的短軸長為4，離心率為. （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)點在橢圓上，且異于橢圓的上、下頂點，點為直線與軸的交點，點在軸的負半軸上.若（為原點），且，求直線的斜率. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）或. 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由題意得到關(guān)于a,b,c的方程，解方程可得橢圓方程； (Ⅱ)聯(lián)立直線方程與橢圓方程確定點P的坐標，從而可得OP的斜率，然后利用斜率公式可得MN的斜率表達式，最后利用直線垂直的充分必要條

11、件得到關(guān)于斜率的方程，解方程可得直線的斜率. 【詳解】(Ⅰ) 設(shè)橢圓的半焦距為，依題意，，又，可得，b=2，c=1. 所以，橢圓方程為. (Ⅱ)由題意，設(shè).設(shè)直線的斜率為， 又，則直線的方程為，與橢圓方程聯(lián)立， 整理得，可得， 代入得， 進而直線的斜率， 在中，令，得. 由題意得，所以直線的斜率為. 由，得， 化簡得，從而. 所以，直線的斜率為或. 【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程和幾何性質(zhì)?直線方程等基礎(chǔ)知識.考查用代數(shù)方法研究圓錐曲線的性質(zhì).考查運算求解能力，以及用方程思想解決問題的能力. （2019上海）10．如圖，已知正方形，其中，

12、函數(shù)交于點，函數(shù)交于點，當最小時，則的值為　?。? 【解答】解：由題意得：點坐標為，，點坐標為， ， 當且僅當時，取最小值， 故答案為：． （2019上海）11．在橢圓上任意一點，與關(guān)于軸對稱，若有，則與的夾角范圍為　　． 【解答】解：設(shè)，則點， 橢圓的焦點坐標為，，，， ， ， 結(jié)合 可得：， 故與的夾角滿足： ， 故， 故答案為：， （2019上海）20．已知拋物線方程，為焦點，為拋物線準線上一點，為線段與拋物線的交點，定義：． （1）當時，求； （2）證明：存在常數(shù)，使得； （3），，為拋物線準線上三點，且，判斷與的關(guān)系． 【解答】解：（1）

13、拋物線方程的焦點，， ，的方程為，代入拋物線的方程，解得， 拋物線的準線方程為，可得， ，； （2）證明：當時，， 設(shè)，，，則， 聯(lián)立和，可得，， ， 則存在常數(shù)，使得； （3）設(shè)，，，則 ， 由， ， 則． （2019江蘇）10.在平面直角坐標系xOy中，P是曲線上的一個動點，則點P到直線x+y=0的距離的最小值是_____. 【答案】4 【解析】 【分析】 將原問題轉(zhuǎn)化為切點與直線之間的距離，然后利用導函數(shù)確定切點坐標可得最小距離 【詳解】當直線平移到與曲線相切位置時，切點Q即為點P到直線的距離最小. 由，得，， 即切點

14、， 則切點Q到直線的距離為， 故答案為：4． 【點睛】本題考查曲線上任意一點到已知直線的最小距離，滲透了直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng).采取導數(shù)法和公式法，利用數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化與化歸思想解題. （2019江蘇）17.如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C:的焦點為F1（–1、0）， F2（1，0）．過F2作x軸的垂線l，在x軸的上方，l與圓F2:交于點A，與橢圓C交于點D.連結(jié)AF1并延長交圓F2于點B，連結(jié)BF2交橢圓C于點E，連結(jié)DF1．已知DF1=． （1）求橢圓C的標準方程； （2）求點E的坐標． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】 (1)由題意分別求得a

15、,b的值即可確定橢圓方程； (2)解法一：由題意首先確定直線的方程，聯(lián)立直線方程與圓的方程，確定點B的坐標，聯(lián)立直線BF2與橢圓的方程即可確定點E的坐標； 解法二：由題意利用幾何關(guān)系確定點E的縱坐標，然后代入橢圓方程可得點E的坐標. 【詳解】（1）設(shè)橢圓C的焦距為2c. 因為F1(－1，0)，F(xiàn)2(1，0)，所以F1F2=2，c=1. 又因為DF1=，AF2⊥x軸，所以DF2=， 因此2a=DF1+DF2=4，從而a=2 由b2=a2-c2，得b2=3. 因此，橢圓C的標準方程為. （2）解法一： 由（1）知，橢圓C：，a=2， 因為AF2⊥x軸，所以點A的橫坐標為1.

16、 將x=1代入圓F2的方程(x-1) 2+y2=16，解得y=4. 因為點A在x軸上方，所以A(1，4). 又F1(-1，0)，所以直線AF1：y=2x+2. 由，得， 解得或. 將代入，得， 因此.又F2(1，0)，所以直線BF2：. 由，得，解得或. 又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以. 將代入，得.因此. 解法二： 由（1）知，橢圓C：.如圖，連結(jié)EF1. 因為BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB， 從而∠BF1E=∠B. 因為F2A=F2B，所以∠A=∠B， 所以∠A=∠BF1E，從而EF1∥F2A. 因為AF2⊥x軸，所以E

17、F1⊥x軸. 因為F1(-1，0)，由，得. 又因為E是線段BF2與橢圓的交點，所以. 因此. 【點睛】本題主要考查直線方程、圓的方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓及橢圓的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、分析問題能力和運算求解能力. （2019浙江）2.漸近線方程為的雙曲線的離心率是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】 本題根據(jù)雙曲線的漸近線方程可求得，進一步可得離心率.容易題，注重了雙曲線基礎(chǔ)知識、基本計算能力的考查. 【詳解】因為雙曲線的漸近線為，所以，則，雙曲線的離心率. 【點睛】理解概念，準確計算，

18、是解答此類問題的基本要求.部分考生易出現(xiàn)理解性錯誤. （2019浙江）15.已知橢圓的左焦點為，點在橢圓上且在軸的上方，若線段的中點在以原點為圓心，為半徑的圓上，則直線的斜率是_______. 【答案】 【解析】 【分析】 結(jié)合圖形可以發(fā)現(xiàn)，利用三角形中位線定理，將線段長度用坐標表示考點圓的方程，與橢圓方程聯(lián)立可進一步求解.利用焦半徑及三角形中位線定理，則更為簡潔. 【詳解】方法1：由題意可知， 由中位線定理可得，設(shè)可得， 聯(lián)立方程 可解得（舍），點在橢圓上且在軸的上方， 求得，所以 方法2：焦半徑公式應用 解析1：由題意可知， 由中位線定理可得，即 求得，所以

19、. 【點睛】本題主要考查橢圓的標準方程、橢圓的幾何性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系，利用數(shù)形結(jié)合思想，是解答解析幾何問題的重要途徑. （2019浙江）21.如圖，已知點為拋物線，點為焦點，過點的直線交拋物線于兩點，點在拋物線上，使得的重心在軸上，直線交軸于點，且在點右側(cè).記的面積為. （1）求的值及拋物線的標準方程； （2）求的最小值及此時點的坐標. 【答案】（1）1，；（2），. 【解析】 【分析】 (1)由焦點坐標確定p的值和準線方程即可； (2)設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程和拋物線方程，結(jié)合韋達定理求得面積的表達式，最后結(jié)合均值不等式的結(jié)論即可求得的最小值和點G的坐標. 【詳解

20、】(1)由題意可得，則，拋物線方程為，準線方程為. (2)設(shè)， 設(shè)直線AB的方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得： ，故：， ， 設(shè)點C的坐標為，由重心坐標公式可得： ，， 令可得：，則.即， 由斜率公式可得：， 直線AC的方程為：， 令可得：， 故， 且， 由于，代入上式可得：， 由可得，則， 則 . 當且僅當，即，時等號成立 此時，，則點G的坐標為. 【點睛】直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系，本題主要考查了拋物線準線方程的求解，直線與拋物線的位置關(guān)系，三角形重心公式的應用，基本不等式求最值的方法等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.