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1、17. 1 一元二次方程
學(xué)習(xí)目標(biāo)
知識(shí)與技能:
1 .了解一元二次方程及相關(guān)概念
2 .應(yīng)用一元二次方程的概念解決一些簡(jiǎn)單題目
過(guò)程與方法:
在探索問(wèn)題的過(guò)程中使學(xué)生感受方程是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界的一種模型,體會(huì)方程與實(shí)際生活的 聯(lián)系。
情感態(tài)度與價(jià)值觀:
通過(guò)豐富的實(shí)例,讓學(xué)生合作探討,培養(yǎng)學(xué)生合作交流的能力,建立數(shù)學(xué)模型并通過(guò)數(shù)學(xué) 模型自己總結(jié)一元二次方程的定義,培養(yǎng)學(xué)生的歸納總結(jié)和數(shù)學(xué)建模的能力。
教學(xué)過(guò)程
一、情境導(dǎo)入
問(wèn)題:一個(gè)面積為120m2的矩形苗圃,它的長(zhǎng)比寬多 2m,苗圃的長(zhǎng)和寬各是多少?
設(shè)苗圃的寬為xm,則長(zhǎng)為(x+2)m.
根據(jù)題意,得x(x+2)
2、= 120.
所列方程是否為一元一次方程?(回憶:一元一次方程的定義)
(給出定義:這個(gè)方程便是即將學(xué)習(xí)的一元二次方程. )
二、合作探究
探究點(diǎn)一:一元二次方程的概念
[類型一元二次方程的識(shí)別
國(guó) 下列方程中,是一元二次方程的是 (填入序號(hào)即可).
①y"-y=0;②2x2-x- 3=0;③4=3;
4 x
④ x2=2+3x;⑤ x3 —x+ 4=0;⑥ t2=2;
⑦x2+3x —3=0;⑧迎一x =2.
解析:由一元二次方程的定義知 ③⑤⑦⑧不是.答案為 ①②④⑥.
方法總結(jié):判斷一個(gè)方程是不是一元二次方程,先看它是不是整式方程,若是,再對(duì)它
進(jìn)行整理,若能
3、整理為 ax2+bx+c= 0(a, b, c為常數(shù),aw0)的形式,則這個(gè)方程就是一元 二次方程.
變式訓(xùn)練:課本21頁(yè)第1題
[類型二]根據(jù)一元二次方程的概念求字母的值
112
(1)ax2 — x= 2x2 — ax— 3;
(2)(a — 1)xa| 1+ 2x— 7= 0.
解析:(1)將方程轉(zhuǎn)化為一般形式,得 (a—2)x2+(a—1)x+ 3=0,當(dāng)a-2^0,即a^2
時(shí),原方程是一■?!龃畏匠蹋?(2)由|a|+1=2,且a—1W0知,當(dāng)a=— 1時(shí),原方程是一■兀
二次方程.
解:(1)將方程整理得(a—2)x2+(a—1)x+3=0,=a —2W0,
4、,aw2.當(dāng) aw2 時(shí),原方程 為一元二次方程;
(2),「|a|+1 = 2,,a= .當(dāng) a= 1 時(shí),a— 1 = 0,不合題意,舍去.,當(dāng) a = — 1 時(shí),原 方程為一元二次方程.
方法總結(jié):用一元二次方程的定義求字母的值的方法:根據(jù)未知數(shù)的最高次數(shù)等于 2,
列出關(guān)于某個(gè)字母的方程,再排除使二次項(xiàng)系數(shù)等于 0的字母的值.
變式訓(xùn)練:見(jiàn)《學(xué)練優(yōu)》本課時(shí)練習(xí)“課堂達(dá)標(biāo)訓(xùn)練”第 2題
[類型三]一元二次方程的一般形式
把下列方程轉(zhuǎn)化成一元二次方程的一般形式,并指出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和
常數(shù)項(xiàng).
(1)x(x— 2) = 4x2—3x;
x+ 1 -x- 1
(
5、3)關(guān)于 x 的方程 mx2-nx+ mx+ nx2= q — p(m+nw 0).
解析:首先對(duì)上述三個(gè)方程進(jìn)行整理, 通過(guò)“去分母” “去括號(hào)” “移項(xiàng)” “合并同類 項(xiàng)”等步驟將它們化為一般形式,再分別指出二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng).
解:(1)去括號(hào),得x2- 2x= 4x2—3x.移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),得 3x2-x= 0.二次項(xiàng)系數(shù)為3, 一次項(xiàng)系數(shù)為一1,常數(shù)項(xiàng)為0;
(2)去分母,得 2x2—3(x+ 1)=3(-x-1).去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),得 2x2=0.二次
項(xiàng)系數(shù)為2, 一次項(xiàng)系數(shù)為0,常數(shù)項(xiàng)為0;
(3)移項(xiàng)、合并同類項(xiàng),得 (m + n)x2+(m—
6、n)x+p —q= 0.二次項(xiàng)系數(shù)為 m+n, 一次項(xiàng)系 數(shù)為m-n,常數(shù)項(xiàng)為p-q.
方法總結(jié):(1)在確定一元二次方程各項(xiàng)系數(shù)時(shí),首先把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一般形式,
如果在一般形式中二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù),那么最好在方程左右兩邊同乘- 1,使二次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)?
正數(shù);
(2)指出一元二次方程的各項(xiàng)系數(shù)時(shí),一定要帶上前面的符號(hào);
(3)一元二次方程轉(zhuǎn)化為一般形式后,若沒(méi)有出現(xiàn)一次項(xiàng) bx,則b=0;若沒(méi)有出現(xiàn)常數(shù)
項(xiàng)c,則c= 0.
變式訓(xùn)練:課本21頁(yè)第2題
探究點(diǎn)二:根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立一元二次方程模型
[1
如圖,現(xiàn)有一張長(zhǎng)為 19cm,寬為
長(zhǎng)是多少的小正方形,才能將其做成底面
7、積為
15cm的長(zhǎng)方形紙片,需要在四個(gè)頂角處剪去邊
81cm2的無(wú)蓋長(zhǎng)方體紙盒?請(qǐng)根據(jù)題意列出方
第3頁(yè)共3頁(yè)
程.
解析:小正方形的邊長(zhǎng)即為紙盒的高,中間虛線部分則為紙盒底面,設(shè)出未知數(shù), 禾1J用
長(zhǎng)方形面積公式可列出方程.
解:設(shè)需要剪去的小正方形邊長(zhǎng)為
xcm ,則紙盒底面的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為 (19- 2x)cm,寬為
(15 — 2x)cm.
根據(jù)題意,得(19 —2x)(15—2x) = 81.整理得 x2-17x+51 = 0(0
8、量之間的等量關(guān)系,正確地列出方程.在列出方程后,還應(yīng)根據(jù)實(shí)際需求, 注明自變量的取值范圍.
變式訓(xùn)練:課本21頁(yè)第3題
探究點(diǎn)三:一元二次方程的根
已知關(guān)于x的一元二次方程
x2+mx+3= 0的一個(gè)解是 x= 1,求m的值.
解析:將方程的解代入原方程,可使方程的左右兩邊相等.本題將 x=1代入原方程,
可得關(guān)于m的一元一次方程,解得 m的值即可.
解:根據(jù)方程的解的定義,將 x= 1代入原方程,得12 + mX 1 + 3=0,解得m = -4, 即m的值為一4.
方法總結(jié):方程的根(解)一定滿足原方程,將根(解)的值代入原方程,即可得到關(guān)于未 知系數(shù)的方程,通過(guò)解方程可以求出未知系數(shù)的值,這種方法叫做根的定義法.
變式訓(xùn)練:課本21頁(yè)第4題 三.課堂小結(jié)
本節(jié)課你學(xué)到了什么?(學(xué)生回答,教師總結(jié)補(bǔ)充)
四.家庭作業(yè)
完成同步練習(xí)對(duì)應(yīng)練習(xí)