高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)雙曲線課時(shí)作業(yè)44文北師大版

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1、 2012 屆高考（文科）數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課時(shí)作業(yè) 44 雙曲線 一、選擇題 1． [2011 安徽卷 ] 雙曲線 2x2－ y2＝ 8 的實(shí)軸長(zhǎng)是 ( ) A．2 B ． 2 2 C ．4 D ． 4 2 解析： 雙曲線方程可化為 x2 y2 ＝ 1，所以 a 2 a ＝ 2，所以 2 ＝ 4. 故實(shí)軸長(zhǎng)為 4. － ＝ 4，得 4 8 a

2、 答案： C 2．(2010 年課標(biāo)全國(guó)高考 ) 已知雙曲線 E 的中心為原點(diǎn)， F(3,0) 是 E 的焦點(diǎn)，過(guò) F 的直線 l 與 E 相交于 A，B 兩點(diǎn)，且 AB的中點(diǎn)為 N( －12，－ 15) ，則 E的方程為 () 2 2 2 2 x y x y A. 3 － 6 ＝ 1

3、 B. 4 － 5 ＝ 1 C. x2 y2 x2 y2 6 － ＝ 1 D. － ＝ 1 3 5 4 x2 y2 0＋ 15 解析： 由 c＝ 3，設(shè)雙曲線方程為 a2－ 9－ a2＝ 1，kAB＝3＋ 12＝ 1，設(shè) A( x1， y1) ，B( x2， y2) ， x1 2 y1 2

4、 則 a2 － 9－ a2＝ 1，① 2 2 x2 y2 a2 － 9－a2＝ 1，② x ＋ x 2 x －x 2 y ＋y 2 y － y 2 1 1 1 1 ＝ 0. ①－②，得 a2

5、 － 9－ a2 又 N( － 12，－ 15) 為 AB中點(diǎn)，∴x1＋x2＝－ 24， y1＋ y2＝－ 30. －x1－ x2 －y1－ y2 ∴ a2 ＝ 9－ a2. ∴ y1－y2 －a2 ＝ 1. ＝ 2 x1－ x2 5a ∴ 2 x2 y2 a ＝4. ∴雙曲線方程為 － ＝ 1.

6、 4 5 答案： B x2 y2 3．(2010 年天津高考 ) 已知雙曲線 a2－ b2＝ 1( a>0， b>0) 的一條漸近線方程是 y＝ 3x，它 的一個(gè)焦點(diǎn)在拋物線 y2＝ 24x 的準(zhǔn)線上，則雙曲線的方程為 () x2 y2 x2 y2 A. 36－ 108＝1 B. 9 － 27＝ 1 C. x2 － y2 ＝1 D.

7、 x2 － y2＝ 1 108 36 27 9 x2 y2 bb 解析： ∵雙曲線 a2－ b2＝ 1( a>0， b>0) 的漸近線方程為 y＝ ax，∴ a＝ 3. ① 用心 愛(ài)心 專心 - 1 - ∵拋物線 y2＝ 24x 的準(zhǔn)線方程為 x＝－ 6， ∴－ c＝－ 6. ② 又 c2＝a2＋ b2. ③ 由①②③得 a＝ 3， b＝3 3. 2 2 ∴ a2＝9， b2＝ 27. ∴雙曲線方程為 x －

8、 y ＝ 1. 9 27 答案： B x2 y2 4．已知雙曲線 a2－b2＝ 1( a>0，b>0) 的焦點(diǎn)為 F1、F2，M為雙曲線上一點(diǎn)，以 F1F2 為直徑的 圓與雙曲線的一個(gè)交點(diǎn)為 ，且 tan ∠ 1 2＝ 1，則雙曲線的離心率為( ) M MFF 2 A. 2 B. 3 C．2 D. 5

9、 答案： D 1、 2 分別為雙曲線 x 2 2 5．(2010 年浙江高考 ) 設(shè) 2－ y2＝ 1( >0， >0) 的左、右焦點(diǎn)．若在雙 F F a b a b 曲線右支上存在點(diǎn) P，滿足 | PF2| ＝ | F1F2| ，且 F2 到直線 PF1 的距離等于雙曲線的實(shí)軸長(zhǎng)，則該 雙曲線的漸近線方程為 ()

10、 A．3x4y＝0 B．3x5y＝0 C．4x3y＝0 D．5x4y＝0 解析： 由已知： | 2| ＝ | 1 2| ＝ 2 ， 2 到直線 1 的距離為 2 ，易求 | 1| ＝ 4 . PF F F c F PF a PF b 由雙曲線的定義 | PF1| － | PF2| ＝ 2a， ∴ 4b－ 2c＝2a，即 c＝2b－ a

11、. 又 c2＝a2＋ b2， 22 b 4 ∴ a ＋ b ＝ 2b－ a，整理得 a＝ 3. 4 ∴雙曲線的漸近線方程為 y＝ 3x. 即 4x3y＝0. 答案： C x2 y2 6．(2011 年浙江省溫州市八校聯(lián)考 ) 已知點(diǎn) P 是雙曲線 a2－b2＝1( a>0， b>0) 右支上一點(diǎn)， 用心 愛(ài)心 專心 - 2 - 1 F1、F2 分別是雙曲線的左、 右焦點(diǎn)， I 為△ PF1F2 的內(nèi)心， 若 S△ IPF1＝ S△ IPF2＋ 2S△ IF 1F2 成立， 則雙曲線的離心率為 ( )

12、 A．4 5 B. 2 5 C．2 D. 3 解析： 由 △ 1 ＝ △ 2＋ 1 △ 1 2 得， | 1| ＝ | 2| ＋ 1 2 ， P 是右支上的點(diǎn)，所以 S IPF S IPF 2S IF F PF PF 2 c

13、1 | PF1| ＝ | PF2| ＋ 2a，即有 22c＝ 2a， e＝ 2，選 C. 答案： C 二、填空題 2 x2 y2 7．已知拋物線 y ＝ 2px( p>0) 與雙曲線 a2－b2＝ 1( a>0， b>0) 有相同的焦點(diǎn) F，點(diǎn) A 是兩曲 線的交點(diǎn)，且 AF⊥ x 軸，則雙曲線的離心率為 ________． 2 p 解析： 拋物線 y ＝ 2px( p>0) 的焦點(diǎn) F 的坐標(biāo)是 ( 2，

14、 0) ，拋物線與雙曲線有相同的焦點(diǎn) F， p 2 即： 2＝c，所以 y ＝4cx，焦點(diǎn)為 ( c, 0) ，準(zhǔn)線為 x＝－ c. AF⊥ x 軸，那么點(diǎn) A 的橫坐標(biāo)為 c，代入 y2＝ 4cx 得縱坐標(biāo)為2 c，又點(diǎn) A( c，2c) 在雙 c 2 4 2 2 22 4 2 c 曲線上，所以 a2－ b2 ＝ 1，又 b ＝ c － a ，代入前式并整理得 e －6e ＋ 1＝ 0，解得 e＝1＋

15、 2. 答案： 2＋1 x2 y2 8．(2010 年江蘇高考 ) 在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，雙曲線 4－ 12＝ 1 上一點(diǎn) M的橫坐標(biāo)為 3，則點(diǎn) M到此雙曲線的右焦點(diǎn)的距離為 ________． 解析： 由題意點(diǎn) 的橫坐標(biāo)可求得為 (3 ， 15) ，雙曲線的右焦點(diǎn)的坐標(biāo)為2(4,0) ． M M F 由兩點(diǎn)間的距離公式得

16、 F2M＝x2－x1 2＋ y2－ y1 2 ＝－ 2＋ 15－ 2＝ 4. 答案： 4 9．雙曲線 x2 － y2＝ 1 上一點(diǎn) P 到右焦點(diǎn)的距離是實(shí)軸兩端點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離的等差中項(xiàng)， 16 9 則 P 點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離為 ________． 解析： 由 a＝4， b＝ 3，得 c＝ 5，設(shè)左焦點(diǎn)為 F ，右焦點(diǎn)為 F ，

17、 1 2 用心 愛(ài)心 專心 - 3 - 1 則| PF2| ＝ 2( a＋c＋ c－ a) ＝ c＝ 5， 由雙曲線的定義得 | PF1| ＝ 2a＋ | PF2| ＝ 8＋ 5＝ 13. 答案： 13 三、解答題 10．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)， 焦點(diǎn) F1，F(xiàn)2 在坐標(biāo)軸上， 離心率為 2，且過(guò)點(diǎn) (4 ，－ 10) ．點(diǎn) M(3 ， m) 在雙曲線上． (1) 求雙曲線方程； → → (2) 求證： MF1 MF2＝ 0； (3) 求△ F1MF2 面積．

18、 解： (1) ∵ e＝ 2，∴可設(shè)雙曲線方程為 x2－ y2＝ λ . ∵過(guò)點(diǎn) (4 ，－ 10) ，∴ 16－ 10＝ λ ，即 λ ＝ 6. ∴雙曲線方程為 x2－ y2＝ 6. (2) 證明：證法一：由 (1) 可知，雙曲線中 a＝ b＝ 6，∴c＝ 2 3， ∴F ( － 2 3， 0) ， F (2 3， 0) ， 1 2 1 m 2 m ∴kMF＝ 3＋ 2 ， kMF＝ ， 3 3－ 2 3 2 2 1 2 m m

19、 kMFkMF＝ 9－12＝－ 3 . ∵點(diǎn) (3 ， m) 在雙曲線上，∴ 2 2 9－ m＝ 6， m＝ 3， 故 kMF1 kMF2＝－ 1，∴ MF1⊥ MF2. → → ∴MF1 MF2＝ 0. → → 3－ 3，－ m) ， 證法二：∵ MF＝ ( － 3－2 3，－ m) ， MF＝ (2

20、 1 2 → → ＋ 2 3) (3 － 2 3) 2 1 2 ∴MF MF＝ (3 ＋ m ＝－ 3＋ 2， m ∵M(jìn)點(diǎn)在雙曲線上，∴ 2 2 9－ m＝

21、 6，即 m－ 3＝0， → → 1 2 ∴MF MF＝ 0. (3) △ F1MF2的底 | F1F2| ＝ 4 3，由 (2) 知 m＝ 3. ∴△ F MF的高 h＝| m| ＝ 3，∴ S△F MF＝ 6. 1 2

22、 1 2 11．已知雙曲線 x2 y2 a >0， >0) 的離心率 e 2 3 l 過(guò) ( 0) ， (0 ，－ b ) 兩 2－ 2＝ 1( ＝ ，直線 a b b 3 A a, B 用心 愛(ài)心 專心 - 4 - 3 點(diǎn)，原點(diǎn) O到直線 l 的距離是 2 . (1) 求雙曲線的方程； → → (2) 過(guò)點(diǎn)

23、B 作直線 m交雙曲線于 M、 N兩點(diǎn)，若 OMON＝－ 23，求直線 m的方程． x y 3 ab 解：(1) 依題意，l 方程 a＋ － b＝ 1，即 bx－ ay－ab＝ 0，由原點(diǎn) O到 l 的距離為 2 ，得 a2＋ b2 ab3 ＝ c ＝ 2 ， c 2 3 又 e＝ a＝ 3 ， ∴b＝ 1， a＝ 3. x2 2 故所求雙曲線方程為 3 －y ＝ 1. (2) 顯然直線 m不與 x

24、 軸垂直，設(shè) m方程為 y＝ kx－ 1， 則點(diǎn) M、 N坐標(biāo) ( x1， y1) ，( x2， y2) 2 x 2 是方程組 y＝kx－ 1， － y ＝ 1 的解， 3 消去 y，得 (1 － 3k2) x2＋ 6kx－ 6＝ 0. ① 依題意， 1－3k2≠0，由根與系數(shù)關(guān)系， 6k 6 知 x1＋x2＝ 3k2－ 1， x1x2＝ 3k2－ 1 → → OM ON＝ ( x1， y1) (x2， y2) ＝x1x2＋ y1y2 ＝ x1x2＋ ( kx1－ 1)( kx2－ 1) ＝ (1 ＋ k2) x1x2－ k( x

25、1＋ x2) ＋ 1 ＋ k2 6k2 ＝ 3k2－ 1 －3k2－ 1＋ 1 6 ＝ 3k2－1＋ 1. → → 又∵ OM ON＝－ 23， 6 1 ∴ 2＋ 1＝－ 23， k＝ ， 3k －12 1 當(dāng) k＝ 2時(shí)，方程①有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根， 1 1 ∴方程為 y＝2x－ 1 或 y＝－ 2x－ 1. 用心 愛(ài)心 專心 - 5 - x2 y2 12． (2011 年重慶八中第四次月考 ) 雙曲線 a2－ b2＝ 1( a>0， b>0

26、) 的左、右焦點(diǎn)分別為 F1、 A B → → → → → → 2， 為坐標(biāo)原點(diǎn)， 點(diǎn) 在雙曲線的右支上， 點(diǎn) 在雙曲線左準(zhǔn)線上， 2 ＝ ， 2 ＝ . F O F O AB OF OA OA OB (1) 求雙曲線的離心率 e； (2) 若此雙曲線過(guò) C(2 ， 3) ，求雙曲線的方程； (3) 在 (2) 的條件下， D1、D2 分別是雙曲線的虛軸端點(diǎn) ( D2 在 y 軸正半軸上 ) ，過(guò) D1 的直線 l → → 交雙曲線 M、 N，D2M⊥

27、D2N，求直線 l 的方程。 解： (1) → → 2 ＝ ， ? 四邊形 2是平行四邊形， F O AB F ABO → → → → → OA( OF2－ OB) ＝0 即 OA BF2＝ 0， → → ∴OA⊥ BF2，∴平行四邊形 F2ABO是菱形． 如圖，則 r 2＝ d1＝ c， r 1＝ 2a＋ r 2＝ 2a＋ c， 由雙

28、曲線定義得 r 1＝ d1e? 2a＋ c＝ ce? e2－ e－2＝ 0， ∴e＝ 2( e＝－ 1 舍去 ) (2) 由 c＝ 2? b2＝ c2－ a2＝ 3a2， a x2 y2 雙曲線方程為 a2－ 3a2＝ 1， 把點(diǎn) C(2 ， 3) 代入有得 a2＝ 3， 用心 愛(ài)心 專心 - 6 - x3 y2 ∴雙曲線方程 3 － 9 ＝ 1. (3) 1(0 ，－ 3) ， 2(0,3) ，設(shè) l 的方程為 y ＝ kx － 3， ( 1， 1) ， ( 2， 2)

29、D D M x y N x y 則由 y＝ kx －3,3 2 2 2 2 x － y ＝ 9? (3 － k ) x －6kx － 18＝0， 因 l 與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，∴ 3－ k2≠0 － 6 － 18 k ∵ x1－x2＝ 3－ k2，x1x2＝ 3－ k2， ＝ 36k2＋418(3 － k2)>0

30、 － 18 ∴y1＋y2＝ k( x1＋x2) － 6＝ 3－ k2， y1 y2＝ k2x1x2－ 3k( x1＋ x2 ) ＋ 9＝ 9 → → ∵D2M＝ ( x1， y1－3) ， D2N＝( x2， y2－ 3) ， → → DM DN? x x ＋y y － 3( y ＋y ) ＋ 9＝ 0 2 ⊥ 2 1 212 11 － 18 － 18 2 ∴ 2＋ 9－ 3 2＋ 9＝ 0? k ＝ 5， 3－ k 3－ k 滿足 >0，∴ k＝ 5 故所求直線 l 方程為 y＝ 5x－ 3 或 y＝－ 5x－ 3 用心 愛(ài)心 專心 - 7 -