2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準(zhǔn)教材《集合與簡易邏輯》講義稿.doc
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2019-2020年高中數(shù)學(xué)競賽標(biāo)準(zhǔn)教材《集合與簡易邏輯》講義稿 一、基礎(chǔ)知識 定義1 一般地,一組確定的、互異的、無序的對象的全體構(gòu)成集合,簡稱集,用大寫字母來表示;集合中的各個對象稱為元素,用小寫字母來表示,元素在集合A中,稱屬于A,記為,否則稱不屬于A,記作。例如,通常用N,Z,Q,B,Q+分別表示自然數(shù)集、整數(shù)集、有理數(shù)集、實(shí)數(shù)集、正有理數(shù)集,不含任何元素的集合稱為空集,用來表示。集合分有限集和無限集兩種。 集合的表示方法有列舉法:將集合中的元素一一列舉出來寫在大括號內(nèi)并用逗號隔開表示集合的方法,如{1,2,3};描述法:將集合中的元素的屬性寫在大括號內(nèi)表示集合的方法。例如{有理數(shù)},分別表示有理數(shù)集和正實(shí)數(shù)集。 定義2 子集:對于兩個集合A與B,如果集合A中的任何一個元素都是集合B中的元素,則A叫做B的子集,記為,例如。規(guī)定空集是任何集合的子集,如果A是B的子集,B也是A的子集,則稱A與B相等。如果A是B的子集,而且B中存在元素不屬于A,則A叫B的真子集。 定義3 交集, 定義4 并集, 定義5 補(bǔ)集,若稱為A在I中的補(bǔ)集。 定義6 差集,。 定義7 集合記作開區(qū)間,集合 記作閉區(qū)間,R記作 定理1 集合的性質(zhì):對任意集合A,B,C,有: (1) (2); (3) (4) 【證明】這里僅證(1)、(3),其余由讀者自己完成。 (1)若,則,且或,所以或,即;反之,,則或,即且或,即且,即 (3)若,則或,所以或,所以,又,所以,即,反之也有 定理2 加法原理:做一件事有類辦法,第一類辦法中有種不同的方法,第二類辦法中有種不同的方法,…,第類辦法中有種不同的方法,那么完成這件事一共有種不同的方法。 定理3 乘法原理:做一件事分個步驟,第一步有種不同的方法,第二步有種不同的方法,…,第步有種不同的方法,那么完成這件事一共有種不同的方法。 二、方法與例題 1.利用集合中元素的屬性,檢驗(yàn)元素是否屬于集合。 例1 設(shè),求證: (1); (2); (3)若,則 [證明](1)因?yàn)?,且,所? (2)假設(shè),則存在,使,由于和有相同的奇偶性,所以是奇數(shù)或4的倍數(shù),不可能等于,假設(shè)不成立,所以 (3)設(shè),則 (因?yàn)椋? 2.利用子集的定義證明集合相等,先證,再證,則A=B。 例2 設(shè)A,B是兩個集合,又設(shè)集合M滿足 ,求集合M(用A,B表示)。 【解】先證,若,因?yàn)?,所以,所以? 再證,若,則1)若,則;2)若,則。所以 綜上, 3.分類討論思想的應(yīng)用。 例3 ,若,求 【解】依題設(shè),,再由解得或, 因?yàn)?,所以,所以,所以?,所以或3。 因?yàn)?,所以,若,則,即,若,則或,解得 綜上所述,或;或。 4.計數(shù)原理的應(yīng)用。 例4 集合A,B,C是I={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的子集,(1)若,求有序集合對(A,B)的個數(shù);(2)求I的非空真子集的個數(shù)。 【解】(1)集合I可劃分為三個不相交的子集;A\B,B\A,中的每個元素恰屬于其中一個子集,10個元素共有310種可能,每一種可能確定一個滿足條件的集合對,所以集合對有310個。 (2)I的子集分三類:空集,非空真子集,集合I本身,確定一個子集分十步,第一步,1或者屬于該子集或者不屬于,有兩種;第二步,2也有兩種,…,第10步,0也有兩種,由乘法原理,子集共有個,非空真子集有1022個。 5.配對方法。 例5 給定集合的個子集:,滿足任何兩個子集的交集非空,并且再添加I的任何一個其他子集后將不再具有該性質(zhì),求的值。 【解】將I的子集作如下配對:每個子集和它的補(bǔ)集為一對,共得對,每一對不能同在這個子集中,因此,;其次,每一對中必有一個在這個子集中出現(xiàn),否則,若有一對子集未出現(xiàn),設(shè)為C1A與A,并設(shè),則,從而可以在個子集中再添加,與已知矛盾,所以。綜上,。 6.競賽常用方法與例問題。 定理4 容斥原理;用表示集合A的元素個數(shù),則 ,需要xy此結(jié)論可以推廣到個集合的情況,即 定義8 集合的劃分:若,且,則這些子集的全集叫I的一個-劃分。 定理5 最小數(shù)原理:自然數(shù)集的任何非空子集必有最小數(shù)。 定理6 抽屜原理:將個元素放入個抽屜,必有一個抽屜放有不少于個元素,也必有一個抽屜放有不多于個元素;將無窮多個元素放入個抽屜必有一個抽屜放有無窮多個元素。 例6 求1,2,3,…,100中不能被2,3,5整除的數(shù)的個數(shù)。 【解】 記,,由容斥原理,,所以不能被2,3,5整除的數(shù)有個。 例7 S是集合{1,2,…,xx}的子集,S中的任意兩個數(shù)的差不等于4或7,問S中最多含有多少個元素? 【解】將任意連續(xù)的11個整數(shù)排成一圈如右圖所示。由題目條件可知每相鄰兩個數(shù)至多有一個屬于S,將這11個數(shù)按連續(xù)兩個為一組,分成6組,其中一組只有一個數(shù),若S含有這11個數(shù)中至少6個,則必有兩個數(shù)在同一組,與已知矛盾,所以S至多含有其中5個數(shù)。又因?yàn)閤x=18211+2,所以S一共至多含有1825+2=912個元素,另一方面,當(dāng)時,恰有,且S滿足題目條件,所以最少含有912個元素。 例8 求所有自然數(shù),使得存在實(shí)數(shù)滿足: 【解】 當(dāng)時,;當(dāng)時,;當(dāng)時, 。下證當(dāng)時,不存在滿足條件。 令,則 所以必存在某兩個下標(biāo),使得,所以或,即,所以或,。 (?。┤?,考慮,有或,即,設(shè),則,導(dǎo)致矛盾,故只有 考慮,有或,即,設(shè),則,推出矛盾,設(shè),則,又推出矛盾, 所以故當(dāng)時,不存在滿足條件的實(shí)數(shù)。 (ⅱ)若,考慮,有或,即,這時,推出矛盾,故??紤],有或,即=3,于是,矛盾。因此,所以,這又矛盾,所以只有,所以。故當(dāng)時,不存在滿足條件的實(shí)數(shù)。 例9 設(shè)A={1,2,3,4,5,6},B={7,8,9,……,n},在A中取三個數(shù),B中取兩個數(shù)組成五個元素的集合,求的最小值。 【解】 設(shè)B中每個數(shù)在所有中最多重復(fù)出現(xiàn)次,則必有。若不然,數(shù)出現(xiàn)次(),則在出現(xiàn)的所有中,至少有一個A中的數(shù)出現(xiàn)3次,不妨設(shè)它是1,就有集合{1,},其中,為滿足題意的集合。必各不相同,但只能是2,3,4,5,6這5個數(shù),這不可能,所以 20個中,B中的數(shù)有40個,因此至少是10個不同的,所以。當(dāng)時,如下20個集合滿足要求: {1,2,3,7,8}, {1,2,4,12,14}, {1,2,5,15,16}, {1,2,6,9,10}, {1,3,4,10,11}, {1,3,5,13,14}, {1,3,6,12,15}, {1,4,5,7,9}, {1,4,6,13,16}, {1,5,6,8,11}, {2,3,4,13,15}, {2,3,5,9,11}, {2,3,6,14,16}, {2,4,5,8,10}, {2,4,6,7,11}, {2,5,6,12,13}, {3,4,5,12,16}, {3,4,6,8,9}, {3,5,6,7,10}, {4,5,6,14,15}。 例10 集合{1,2,…,3n}可以劃分成個互不相交的三元集合,其中,求滿足條件的最小正整數(shù) 【解】 設(shè)其中第個三元集為則1+2+…+ 所以。當(dāng)為偶數(shù)時,有,所以,當(dāng)為奇數(shù)時,有,所以,當(dāng)時,集合{1,11,4},{2,13,5},{3,15,6},{9,12,7},{10,14,8}滿足條件,所以的最小值為5。 三、基礎(chǔ)訓(xùn)練題 1.給定三元集合,則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________。 2.若集合中只有一個元素,則=___________。 3.集合的非空真子集有___________個。 4.已知集合,若,則由滿足條件的實(shí)數(shù)組成的集合P=___________。 5.已知,且,則常數(shù)的取值范圍是___________。 6.若非空集合S滿足,且若,則,那么符合要求的集合S有___________個。 7.集合之間的關(guān)系是___________。 8.若集合,其中,且,若,則A中元素之和是___________。 9.集合,且,則滿足條件的值構(gòu)成的集合為___________。 10.集合,則 ___________。 11.已知S是由實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合,且滿足1))若,則。如果,S中至少含有多少個元素?說明理由。 12.已知,又C為單元素集合,求實(shí)數(shù)的取值范圍。 四、高考水平訓(xùn)練題 1.已知集合,且A=B,則___________,___________。 2. ,則___________。 3.已知集合,當(dāng)時,實(shí)數(shù)的取值范圍是___________。 4.若實(shí)數(shù)為常數(shù),且___________。 5.集合,若,則___________。 6.集合,則中的最小元素是___________。 7.集合,且A=B,則___________。 8.已知集合,且,則的取值范圍是___________。 9.設(shè)集合,問:是否存在,使得,并證明你的結(jié)論。 10.集合A和B各含有12個元素,含有4個元素,試求同時滿足下列條件的集合C的個數(shù):1)且C中含有3個元素;2)。 11.判斷以下命題是否正確:設(shè)A,B是平面上兩個點(diǎn)集,,若對任何,都有,則必有,證明你的結(jié)論。 五、聯(lián)賽一試水平訓(xùn)練題 1.已知集合,則實(shí)數(shù)的取值范圍是___________。 2.集合的子集B滿足:對任意的,則集合B中元素個數(shù)的最大值是___________。 3.已知集合,其中,且,若P=Q,則實(shí)數(shù)___________。 4.已知集合,若是平面上正八邊形的頂點(diǎn)所構(gòu)成的集合,則___________。 5.集合,集合,則集合M與N的關(guān)系是___________。 6.設(shè)集合,集合A滿足:,且當(dāng)時,,則A中元素最多有___________個。 7.非空集合,≤則使成立的所有的集合是___________。 8.已知集合A,B,aC(不必相異)的并集, 則滿足條件的有序三元組(A,B,C)個數(shù)是___________。 9.已知集合,問:當(dāng)取何值時,為恰有2個元素的集合?說明理由,若改為3個元素集合,結(jié)論如何? 10.求集合B和C,使得,并且C的元素乘積等于B的元素和。 11.S是Q的子集且滿足:若,則恰有一個成立,并且若,則,試確定集合S。 12.集合S={1,2,3,4,5,6,7,8,9,0}的若干個五元子集滿足:S中的任何兩個元素至多出現(xiàn)在兩個不同的五元子集中,問:至多有多少個五元子集? 六、聯(lián)賽二試水平訓(xùn)練題 1.是三個非空整數(shù)集,已知對于1,2,3的任意一個排列,如果,,則。求證:中必有兩個相等。 2.求證:集合{1,2,…,1989}可以劃分為117個互不相交的子集,使得(1)每個恰有17個元素;(2)每個中各元素之和相同。 3.某人寫了封信,同時寫了個信封,然后將信任意裝入信封,問:每封信都裝錯的情況有多少種? 4.設(shè)是20個兩兩不同的整數(shù),且整合中有201個不同的元素,求集合中不同元素個數(shù)的最小可能值。 5.設(shè)S是由個人組成的集合。求證:其中必定有兩個人,他們的公共朋友的個數(shù)為偶數(shù)。 6.對于整數(shù),求出最小的整數(shù),使得對于任何正整數(shù),集合的任一個元子集中,均有至少3個兩兩互質(zhì)的元素。 7.設(shè)集合S={1,2,…,50},求最小自然數(shù),使S的任意一個元子集中都存在兩個不同的數(shù)a和b,滿足。 8.集合,試作出X的三元子集族&,滿足: (1)X的任意一個二元子集至少被族&中的一個三元子集包含; (2)。 9.設(shè)集合,求最小的正整數(shù),使得對A的任意一個14-分劃,一定存在某個集合,在中有兩個元素a和b滿足。- 1.請仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對于不預(yù)覽、不比對內(nèi)容而直接下載帶來的問題本站不予受理。
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