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1、單擊此處編輯母版標題樣式,,單擊此處編輯母版文本樣式,,第二級,,第三級,,第四級,,第五級,,,*,用,空間向量證(解)立體幾何題之,,(五,),,,-----,證明線面平行,講課教師：,廣東省汕頭市金園實驗中學,2004年3月,葛立其,,用空間向量證(解)立體幾何題是現(xiàn)階段的熱門話題,。,它可以把一些復雜的證明或計算題用“程序化”的計算來給出解答。,前,段,時間我們研究了用空間向量求角(包括線線角、線面角和面面角)、求距離(包括線線距離、點面距離、線面距離和面面距離)和證明垂直(包括線線垂直、線面垂直和面面垂直)。,,用空間向量證明“平行”， 包括線面平行和面面平行。,↑,
2、→,↑,↑,,G,A,E,D,C,B,F,H,M,N,例,1.如圖：,ABCD,與,ABEF,是正方形，,CB⊥,平面,ABEF，H、G,分別是,AC、BF,上的點，且,AH=GF.,求證：,HG∥,平面,CBE.,MH∥AB,NG ∥AB MH∥NG,AH=FG CH=BG CH:CA=BG:BF MH=NG,,G,A,E,D,C,B,F,H,P,PH∥CB,PG∥BE,,平面,HPG∥,平面,CBE,,,HG∥,平面,CBE,,,G,A,E,D,C,B,F,H,o,z,y,證明：由已知得：,AB、BC、BE,兩兩垂直，故可建立如圖所示的空間直角坐標系
3、,o-xyz.,x,設正方形邊長為1,,AH=FG=a,,,則,H(0,1- a , a)、,,G(1- a , 1- a,0),,故 ,而平面,CBE,的法向量為 (0,1,0), 故 ,而 平面,CBE,故,HG∥,平面,CBE,,R,D,B,C,A,A,1,Q,P,N,M,D,1,C,1,B,1,例,2.在正方體,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,P、Q,分別是,A,1,B,1,和,BC,上的動,點，且,A,1
4、,P=BQ，M,是,AB,1,的中點，,N,是,PQ,的中點. 求證：,MN∥,平面,AC.,M,是中點，,N,是中點,MN∥RQ,,MN∥,平面,AC,,D,B,C,A,A,1,Q,P,N,M,D,1,C,1,B,1,作,PP,1,⊥AB,于,P,1，,作,MM,1,⊥AB,于,M,1，,連結,QP,1，,,作,NN,1,⊥ QP,1,于,N,1，,連結,M,1,N,1,N,1,M,1,P,1,NN,1,∥PP,1,MM,1,∥AA,1,又,NN,1,、MM,1,均等于邊長的一半,故,MM,1,N,1,N,是平行四邊形，故,MN∥M,1,N,1,MN∥,平面,AC,,D,B,C,A,A,1
5、,Q,P,N,M,D,1,C,1,B,1,z,y,x,o,證明：建立如圖所示的空間直角坐標系,o-xyz,設正方形邊長為2，又設,A,1,P=BQ=2x,則,P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0),,故,N(2-x, 1+x, 1),,而,M(2, 1, 1),所以向量 (-,x, x, 0)，,又平面,AC,的法向量為 (0, 0, 1)，∴ ∴,又,M,不在平面,AC,內(nèi)，所以,MN∥,平面,AC,,D,C,B,A,D,1,C,1,B,1,A,1,例3.在正方體,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，求證： 平面,
6、A,1,BD∥,平面,CB,1,D,1,平行四邊形,A,1,BCD,1,,,A,1,B∥D,1,C,平行四邊形,DBB,1,D,1,,B,1,D,1,∥BD,于是平面,A,1,BD∥,平面,CB,1,D,1,,D,C,B,A,D,1,C,1,B,1,A,1,o,z,y,x,證明：建立如圖所示的空間直角坐標系,o-xyz,設,正方形邊長為1，則向量,設平面,BDA,1,的法向量為,則有,x+z=0,,x+y=0,令,x=1,,則得方程組的解為,x=1 y=-1 z=-1,故,平面,BDA,1,的法向量為,,同理可得,平面,CB,1,D,1,的法向量為,則,顯然有,即得兩,平面,BDA,1,和,
7、CB,1,D,1,的法向量平行,所以 平面,BDA,1,∥CB,1,D,1,,通過本例的練習，同學們要進一步掌握平面法向量的求法：即用平面內(nèi)的兩個相交向量與假設的法向量求數(shù)量積等于0，利用解方程組的方法求出平面法向量(在解的過程中可令其中一個未知數(shù)為某個數(shù))。,※例1、2與例3在利用法向量時有何不同？,,D,C,B,A,D,1,C,1,B,1,A,1,F,G,H,E,例4.在正方體,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中，,E、F、G、H,分別是,A,1,B,1,、B,1,C,1,、C,1,D,1,、D,1,A,1,的中點. 求證： 平面,AEH∥,平面
8、,BDGF,AD∥GF，AD=GF,又EH∥B,1,D,1,，GF∥B,1,D,1,EH∥GF,平行四邊形,ADGE AE∥DG,故得,平面,AEH∥,平面,BDGF,,D,C,B,A,D,1,C,1,B,1,A,1,H,G,F,E,o,z,y,x,略證：建立如圖所示的空間直角坐標系,o-xyz,則,求得平面,AEF,的法向量為,求得平面,BDGH,的法向量為,顯然有,故 平面,AEH∥,平面,BDGF,,小結：,,利用向量的有關知識解決一些立體幾何的問題，是近年來很“時髦”的話題，其原因是它把有關的“證明”轉化為“程序化的計算” 。本課時講的內(nèi)容是立體幾何中的證明“線面平行”的
9、一些例子，結合我們以前講述立體幾何的其他問題(如：證明垂直、求角、求距離等)，大家從中可以進一步看出基中一些解題的“套路”。,,利用向量解題 的關鍵是建立適當?shù)目臻g直角坐標系及寫出有關點的坐標。,,D,C,B,A,D,1,C,1,B,1,A,1,P,F,E,作業(yè)： 1.在正方體,ABCD-A,1,B,1,C,1,D,1,中,,E、F,分別是,A,1,D,1,、,,BB,1,的中點，問:在邊,CC,1,上,是否存在一點,P，,使,AC∥,平面,EFP？,若,存在，求出,P,的位置；若不存在，請說明理由。,,N,M,P,D,C,B,A,2.在四棱錐,P-ABCD,中，底,ABCD,是正方形， 且,PA=PB=PC= PD=AB=BC= CD =DA, M、N,分別 是,PA、BD,上的 動點， 且,PM:MA=BN:ND。,問：直線,MN,與平面,PBC,有什么關系？請證明你的結論.,,謝謝光臨,再見,請?zhí)?意見 電話：13322702081,,
2用空間向量證(解)立體幾何題之2
