股票價格的行為模式課件

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1、股 票 價 格 的 行 為 模 式 1 股 票 價 格 的 行 為 模 式 股 票 價 格 的 行 為 模 式 2 教 學(xué) 目 的 與 要 求 掌 握 隨 機(jī) 變 量 的 概 念 ， 了 解 馬 爾 科 夫 過程 的 特 點(diǎn) ， 掌 握 維 納 過 程 的 特 點(diǎn) 和 性 質(zhì) ，掌 握 一 般 維 納 過 程 的 特 征 以 及 其 漂 移 率和 方 差 率 ， 維 納 過 程 的 均 值 和 標(biāo) 準(zhǔn) 差 。掌 握 Ito過 程 的 特 征 。 股 票 價 格 的 行 為 模 式 3 教 學(xué) 重 點(diǎn) 及 難 點(diǎn) 一 、 馬 爾 科 夫 過 程 與 效 率 市 場 的 關(guān) 系 。 二 、 維 納

2、 過 程 、 一 般 維 納 過 程 與 此 同 時Ito過 程 的 特 征 ， 漂 移 率 和 方 差 率 ， 變 量的 均 值 與 方 差 。 以 及 這 幾 種 過 程 的 內(nèi) 在聯(lián) 系 和 變 化 。 三 、 Ito定 理 及 其 運(yùn) 用 。 股 票 價 格 的 行 為 模 式 4 一 、 隨 機(jī) 過 程 1、 隨 機(jī) 過 程 如 果 某 變 量 的 值 以 某 種 不 確 定 的 方 式 隨時 間 變 化 ， 則 稱 該 變 量 遵 循 某 種 隨 機(jī) 過程 (stochastic process)。 股 票 價 格 的 行 為 模 式 5 2、 分 類 隨 機(jī) 過 程 分 為 離

3、散 時 間 (discrete time)和連 續(xù) 時 間 (continuous time)兩 類 。 一 個 離 散 時 間 隨 機(jī) 過 程 是 指 標(biāo) 的 變 量 值 只能 在 某 些 確 定 的 時 間 點(diǎn) 上 變 化 的 過 程 ； 一 個 連 續(xù) 時 間 隨 機(jī) 過 程 是 指 標(biāo) 的 變 量 值 的變 化 可 以 在 任 何 時 刻 發(fā) 生 的 過 程 。 股 票 價 格 的 行 為 模 式 6 隨 機(jī) 過 程 也 可 分 為 連 續(xù) 變 量 (continuous variable)和 離 散 變 量 (discrete variable)兩 種 過 程 。 在 連 續(xù) 變 量

4、 過 程 中 ， 標(biāo) 的 變 量 在 某 一 范圍 內(nèi) 可 取 任 意 值 ， 在 離 散 變 量 過 程 中 ， 標(biāo) 的 變 量 只 可 能 取某 些 離 散 值 。 股 票 價 格 的 行 為 模 式 7 二 、 弱 式 效 率 市 場 假 說 與馬 爾 科 夫 過 程 1、 效 率 市 場 假 說 1965年 ， 法 瑪 (Fama)提 出 了 著 名 的 效 率 市 場假 說 。 該 假 說 認(rèn) 為 ： 投 資 者 都 力 圖 利 用 可 獲 得 的 信 息 獲 得 更 高 的 報酬 ； 證 券 價 格 對 新 的 市 場 信 息 的 反 應(yīng) 是 迅 速 而 準(zhǔn) 確的 ， 證 券 價

5、格 能 完 全 反 應(yīng) 全 部 信 息 ； 市 場 競 爭 使 證 券 價 格 從 一 個 均 衡 水 平 過 渡 到 另一 個 均 衡 水 平 ， 而 與 新 信 息 相 應(yīng) 的 價 格 變 動 是相 互 獨(dú) 立 的 。 股 票 價 格 的 行 為 模 式 8 2、 效 率 市 場 分 類 效 率 市 場 假 說 可 分 為 三 類 ： 弱 式 、 半 強(qiáng)式 和 強(qiáng) 式 。 弱 式 效 率 市 場 假 說 認(rèn) 為 ， 證 券 價 格 變 動的 歷 史 不 包 含 任 何 對 預(yù) 測 證 券 價 格 未 來變 動 有 用 的 信 息 ， 也 就 是 說 不 能 通 過 技術(shù) 分 析 獲 得 超

6、 過 平 均 收 益 率 的 收 益 。 股 票 價 格 的 行 為 模 式 9 半 強(qiáng) 式 效 率 市 場 假 說 認(rèn) 為 ， 證 券 價 格 會迅 速 、 準(zhǔn) 確 地 根 據(jù) 可 獲 得 的 所 有 公 開 信息 調(diào) 整 ， 因 此 以 往 的 價 格 和 成 交 量 等 技術(shù) 面 信 息 以 及 已 公 布 的 基 本 面 信 息 都 無助 于 挑 選 價 格 被 高 估 或 低 估 的 證 券 。 股 票 價 格 的 行 為 模 式 10 強(qiáng) 式 效 率 市 場 假 說 認(rèn) 為 ， 不 僅 是 已 公 布的 信 息 ， 而 且 是 可 能 獲 得 的 有 關(guān) 信 息 都已 反 映 在

7、股 價 中 ， 因 此 任 何 信 息 (包 括“ 內(nèi) 幕 信 息 ” )對 挑 選 證 券 都 沒 有 用 處 。 效 率 市 場 假 說 提 出 后 ， 許 多 學(xué) 者 運(yùn) 用 各種 數(shù) 據(jù) 對 此 進(jìn) 行 了 實 證 分 析 。 結(jié) 果 發(fā) 現(xiàn) ，發(fā) 達(dá) 國 家 的 證 券 市 場 大 體 符 合 弱 式 效 率市 場 假 說 。股 票 開 戶 咨 詢 股 票 價 格 的 行 為 模 式 11 3、 馬 爾 科 夫 過 程 弱 式 效 率 市 場 假 說 可 用 馬 爾 可 夫 隨 機(jī) 過程 (Markov Stochastic Process)來 表 述 。 馬 爾 科 夫 過 程 (

8、Markov process)是 一 種 特殊 類 型 的 隨 機(jī) 過 程 。 這 個 過 程 說 明 只 有 變 量 的 當(dāng) 前 值 與 未 來的 預(yù) 測 有 關(guān) ， 變 量 過 去 的 歷 史 和 變 量 從過 去 到 現(xiàn) 在 的 演 變 方 式 則 與 未 來 的 預(yù) 測不 相 關(guān) 。 股 票 價 格 的 行 為 模 式 12 股 價 的 馬 爾 科 夫 性 質(zhì) 與 弱 型 市 場 有 效 性(the weak form of market efficiency)相一 致 ： 一 種 股 票 的 現(xiàn) 價 已 經(jīng) 包 含 了 所 有 信 息 ，當(dāng) 然 包 括 了 所 有 過 去 的 價 格

9、 記 錄 。 如 果 弱 型 市 場 有 效 性 正 確 的 話 ， 技 術(shù) 分析 師 可 通 過 分 析 股 價 的 過 去 歷 史 數(shù) 據(jù) 圖表 獲 得 高 于 平 均 收 益 率 的 收 益 是 不 可 能的 。 是 市 場 競 爭 保 證 了 弱 型 市 場 有 效 性 成 立 。 股 票 價 格 的 行 為 模 式 13 三 、 維 納 過 程 布 朗 運(yùn) 動 起 源 于 物 理 學(xué) 中 對 完 全 浸 沒 于 液 體 或氣 體 中 的 小 粒 子 運(yùn) 動 的 描 述 ， 以 發(fā) 現(xiàn) 這 種 現(xiàn) 象的 英 國 植 物 學(xué) 家 Robert Brown命 名 。 描 述 布 朗 運(yùn) 動

10、 的 隨 機(jī) 過 程 的 定 義 是 維 納 (wiener)給 出 的 ， 因 此 布 朗 運(yùn) 動 又 稱 維 納 過 程 股 價 行 為 模 型 通 常 用 布 朗 運(yùn) 動 來 描 述 。 布 朗 運(yùn) 動 是 馬 爾 科 夫 隨 機(jī) 過 程 的 一 種 特 殊 形 式 。 股 票 價 格 的 行 為 模 式 14 （ 一 ） 標(biāo) 準(zhǔn) 布 朗 運(yùn) 動 變 量 z是 一 個 隨 機(jī) 變 量 ， 設(shè) 一 個 小 的 時 間間 隔 長 度 為 t， 定 義 z為 在 t時 間 內(nèi) z的變 化 。 要 使 z遵 循 維 納 過 程 ， z必 須 滿 足兩 個 基 本 性 質(zhì) ： 股 票 價 格 的

11、行 為 模 式 15 性 質(zhì) 1： z與 t的 關(guān) 系 滿 足 方 程 式 z= 其 中 為 服 從 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布 (即 均 值 為 0、標(biāo) 準(zhǔn) 差 為 1.0的 正 態(tài) 分 布 )中 抽 取 的 一 個 隨機(jī) 值 。 性 質(zhì) 2： 對 于 任 何 兩 個 不 同 時 間 間 隔 t，z的 值 相 互 獨(dú) 立 。 t股 票 開 戶 咨 詢 股 票 價 格 的 行 為 模 式 16 從 性 質(zhì) 1， 我 們 得 到 z本 身 具 有 正 態(tài) 分 布 ， z的 均 值 =0 z的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 = z的 方 差 =t 性 質(zhì) 2則 隱 含 z遵 循 馬 爾 科 夫 過 程 ， 即 變量 對

12、 過 去 沒 有 記 憶 效 應(yīng) 。 t 股 票 價 格 的 行 為 模 式 17 在 一 段 相 對 長 的 時 間 T中 z值 的 增 加 表 示 為 z(T)-z(0)。 這 可 被 看 作 是 在 N個 長 度 為 t的 小 時 間 間隔 中 z的 變 化 的 總 量 ， 這 里 其 中 i（ i=1， 2， ， N） 是 從 標(biāo) 準(zhǔn) 正 態(tài) 分 布的 隨 機(jī) 抽 樣 值 。 tTN Ni i tzTz 1)0()( 股 票 價 格 的 行 為 模 式 18 從 性 質(zhì) 2中 可 知 , i是 相 互 獨(dú) 立 的 ， 從 上 式 可 得 z(T) z(0)是 正 態(tài) 分 布 的 ， 其

13、 中 z(T) z(0)的 均 值 =0 z(T) z(0)的 方 差 =N t=T z(T) z(0)的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 = 因 此 ， 在 任 一 長 度 為 T的 時 間 間 隔 內(nèi) ， 遵 循 維 納 過 程 的 隨機(jī) 變 量 值 的 增 加 具 有 均 值 為 0、 標(biāo) 準(zhǔn) 差 為 的 正 態(tài) 分 布 。 這 就 是 為 什 么 z被 定 義 為 與 的 乘 積 而 不 是 與 t的乘 積 。 對 于 相 互 獨(dú) 立 的 正 態(tài) 分 布 ， 方 差 具 有 可 加 性 ， 標(biāo) 準(zhǔn)差 不 具 有 可 加 性 。 這 樣 定 義 的 隨 機(jī) 過 程 就 可 以 使 得 變 量 變化 的 方

14、差 而 不 是 標(biāo) 準(zhǔn) 差 與 所 考 慮 的 時 間 長 度 成 正 比 。TT t 股 票 價 格 的 行 為 模 式 19 例 ： 假 設(shè) 一 個 遵 循 維 納 過 程 的 變 量 z， 其 最 初 值 為 25，以 年 為 單 位 計 時 。 那 么 ， 則 有 ： 在 第 一 年 末 ， 變 量 值 服 從 均 值 為 25； 標(biāo) 準(zhǔn) 差 為 1.0的 正態(tài) 分 布 ； 在 第 二 年 末 ， Z將 服 從 均 值 為 25、 標(biāo) 準(zhǔn) 差 為 2或 1.414的 正 態(tài) 分 布 。 分 析 ： 之 所 以 第 2年 末 標(biāo) 準(zhǔn) 差 變 為 2 ， 是 因 為 變 量 值在 未 來

15、某 一 確 定 時 刻 的 不 確 定 性 （ 用 標(biāo) 準(zhǔn) 差 來 表 示 ）是 隨 著 時 間 長 度 的 平 方 根 而 增 加 的 。股 票 開 戶 咨 詢 股 票 價 格 的 行 為 模 式 20 當(dāng) t0時 ， 我 們 就 可 以 得 到 極 限 的 標(biāo) 準(zhǔn) 布 朗運(yùn) 動 或 維 納 過 程 ： dtdz 股 票 價 格 的 行 為 模 式 21 股 票 價 格 的 行 為 模 式 22 股 票 價 格 的 行 為 模 式 23 股 票 價 格 的 行 為 模 式 24 (二 )普 通 布 朗 運(yùn) 動 漂 移 率 (Drift Rate)是 指 單 位 時 間 內(nèi) 變 量 Z均 值的

16、 變 化 值 。 方 差 率 (Variance Rate)是 指 單 位 時 間 的 方 差 變動 比 率 。 標(biāo) 準(zhǔn) 布 朗 運(yùn) 動 的 漂 移 率 為 0， 方 差 率 為 1.0。 漂 移 率 為 0意 味 著 在 未 來 任 意 時 刻 z的 均 值 都 等于 它 的 當(dāng) 前 值 。 方 差 率 為 1.0意 味 著 在 一 段 長 度 為 T的 時 間 段 后 ，z的 方 差 為 1.0 T 股 票 價 格 的 行 為 模 式 25 令 漂 移 率 的 期 望 值 為 a， 方 差 率 的 期 望 值為 b2， 得 到 變 量 x的 普 通 布 朗 運(yùn) 動 ,用 dx定義 如 下

17、： dx=adt+bdz 其 中 a和 b為 常 數(shù) 。 dz遵 循 標(biāo) 準(zhǔn) 布 朗 運(yùn) 動 。這 個 過 程 指 出 變 量 x關(guān) 于 時 間 和 dz動 態(tài) 過程 。 股 票 價 格 的 行 為 模 式 26 其 中 第 一 項 adt為 確 定 項 ， adt項 說 明 了 x變 量 單 位 時 間 的 漂 移 率 期 望 值 為 a。 如 果缺 省 bdz項 ， 方 程 變 為 : dx=adtdx/dt=a x=x0+at 其 中 x0為 x在 零 時 刻 的 值 。 經(jīng) 過 長 度 為 T的 時 間 段 后 ， x增 加 的 值 為 aT。 第 二 項 bdz是 隨 機(jī) 項 ， 它

18、 表 明 對 x的 動 態(tài)過 程 添 加 的 噪 音 或 波 動 率 。 這 些 噪 聲 或波 動 率 的 值 為 維 納 過 程 的 b倍 。 股 票 價 格 的 行 為 模 式 27 類 似 的 ， 可 得 任 意 時 間 T后 x值 的 變 化 具 有 正 態(tài) 分布 ， 且 ： 方 程 ： dx=adt+bdz 給 出 了 普 通 布 朗 運(yùn) 動 ， 其 漂 移 率 (即 單 位 時 間平 均 漂 移 )的 期 望 值 為 a， 方 差 率 (即 單 位 時 間的 方 差 )的 期 望 值 為 b 2。 如 圖 ：Tbx Tbx aTx 2 的 方 差的 標(biāo) 準(zhǔn) 差的 均 值 股 票 價

19、 格 的 行 為 模 式 28 股 票 價 格 的 行 為 模 式 29 例 ： 假 設(shè) 某 公 司 的 現(xiàn) 金 頭 寸 遵 循 一 般 維 納 過 程 ， 每 年 漂 移 率為 20， 每 年 方 差 為 900， 最 初 的 現(xiàn) 金 頭 寸 為 50萬 。 那 么 ， 則 有 ： 在 第 6個 月 末 ， 該 頭 寸 將 服 從 正 態(tài) 分 布 ， 均 值 為 60； 標(biāo)準(zhǔn) 差 為 300.5=21.21的 正 態(tài) 分 布 ； 在 第 1年 末 ， 該 頭 寸 將 服 從 正 態(tài) 分 布 ， 均 值 為 70， 標(biāo) 準(zhǔn)差 為 30。 分 析 ： 同 前 ， 隨 機(jī) 變 量 值 在 未 來

20、某 一 確 定 時 刻 的 不 確 定 性（ 用 標(biāo) 準(zhǔn) 差 來 表 示 ） 是 隨 著 時 間 長 度 的 平 方 根 增 加 而 增 加 的 。股 票 開 戶 咨 詢 股 票 價 格 的 行 為 模 式 30 (三 )Ito過 程 若 把 變 量 x的 漂 移 率 和 方 差 率 當(dāng) 作 變 量 x和 時 間 t的 函 數(shù) ， 得 到 另 一 種 類 型 隨 機(jī) 過 程 ， 即 著 名 的Ito過 程 (Ito process)， 即 伊 藤 過 程 。 dx=a(x,t)dt+b(x,t)dz 其 中 ， dz是 一 個 標(biāo) 準(zhǔn) 布 朗 運(yùn) 動 ， 參 數(shù) a和 b是 標(biāo)的 變 量 x和

21、 時 間 t值 的 函 數(shù) 。 變 量 x的 漂 移 率 為 a，方 差 率 為 b。 即 Ito過 程 的 期 望 漂 移 率 和 方 差 率 都 隨 時 間 變 化而 變 化 。 股 票 價 格 的 行 為 模 式 31 四 、 股 票 價 格 的 行 為 過 程 討 論 無 紅 利 支 付 股 票 價 格 遵 循 的 隨機(jī) 過 程 股 票 價 格 的 行 為 模 式 32 1、 假 定 股 票 價 格 遵 循 普 通 布 朗 運(yùn) 動 的 不 合 理性 這 種 假 定 表 明 股 票 價 格 運(yùn) 動 具 有 不 變 的 期 望 漂移 率 和 方 差 率 。 以 S代 表 股 票 價 格 ,

22、 t時 間 段 股 價 的 變 化 為 S，那 么 在 t時 間 段 ， S的 均 值 為 at,方 差 為 b2t。此 時 at/S代 表 股 票 的 期 望 收 益 率 。 這 表 明 承 擔(dān) 相 同 風(fēng) 險 的 情 況 下 ， 股 價 高 的 獲 得的 收 益 率 低 ， 股 價 低 的 獲 得 的 收 益 率 高 。 這 與 投 資 者 要 求 來 自 股 票 的 期 望 收 益 率 與 股 票價 格 無 關(guān) 的 現(xiàn) 實 不 一 致 。 股 票 價 格 的 行 為 模 式 33 2、 一 種 修 正 ： 假 定 股 票 價 格 變 化 率 遵 循普 通 布 朗 運(yùn) 動 假 設(shè) 股 價

23、變 化 比 率 遵 循 布 朗 運(yùn) 動 。 設(shè) S遵循 期 望 漂 移 率 為 S（ 為 常 數(shù) ） 的 布 朗 運(yùn)動 。 因 此 ， 在 短 時 間 間 隔 t后 ， S的 增 長期 望 值 為 St。 參 數(shù) 是 股 票 的 期 望 收 益率 ， 以 小 數(shù) 的 形 式 表 示 。 即 ， 假 定 S/S的 變 化 遵 循 普 通 布 朗 運(yùn) 動 ，其 期 望 漂 移 率 為 一 恒 定 參 數(shù) 。 在 短 時 間間 隔 t后 ， S/S的 期 望 值 （ 股 票 的 期 望收 益 率 ） 為 。 股 票 價 格 的 行 為 模 式 34 （ 1） 若 股 票 價 格 的 方 差 率 恒

24、為 0，這 個 模 型 即 為 ： 其 中 So是 零 時 刻 的 股 票 價 格 。 以 上 方 程 說 明 了當(dāng) 方 差 率 為 0時 ， 股 票 價 格 以 單 位 時 間 為 的 連續(xù) 復(fù) 利 方 式 增 長 。 （ 注 ： 這 是 只 存 在 于 一 個 無 風(fēng) 險 的 世 界 中 ） teSS dtSdS SdtdS 0: 結(jié) 果 為即 股 票 價 格 的 行 為 模 式 35 （ 2） 股 票 價 格 的 方 差 率 不 為 0 當(dāng) 然 ， 實 際 上 股 票 價 格 確 實 存 在 著 波 動率 。 一 個 合 理 假 設(shè) 是 ： 無 論 股 票 價 格 如 何 ，短 時 間

25、t后 的 百 分 比 收 益 率 的 方 差 保 持不 變 。 即 ， 不 管 股 票 價 格 為 $50還 是 $10， 投 資者 認(rèn) 為 他 或 她 的 收 益 率 的 不 確 定 性 是 相同 的 。 股 票 價 格 的 行 為 模 式 36 定 義 2為 股 票 價 格 比 例 變 化 的 方 差 率 ， 即 2t是 t時 間 后 股 票 價 格 比 例 變 化(proportional change)的 方 差 ， 2S2t是 經(jīng) 過 t后 股 票 價 格 的 實 際 變 化(actual change)的 方 差 。 因 此 ， S的 瞬 態(tài) 方 差 率 (instantaneou

26、s variance rate)為 2S2。股 票 開 戶 咨 詢 股 票 價 格 的 行 為 模 式 37 3、 股 票 價 格 行 為 的 幾 何 布 朗 運(yùn) 動 （ 1） 從 以 上 闡 述 可 以 得 出 結(jié) 論 ： S可 以 用 瞬 態(tài)期 望 漂 移 率 (instantaneous expected drift rate)為 S和 瞬 態(tài) 方 差 率 為 2S2的 Ito過 程 （ 幾 何 布 朗運(yùn) 動 ） 來 表 達(dá) ， 表 示 為 ： dzdt SdS SdzSdtdS :即 股 票 價 格 的 行 為 模 式 38 幾 何 布 朗 運(yùn) 動 是 描 述 股 票 價 格 行 為

27、最 廣 泛 使 用的 一 種 模 型 。 變 量 通 常 被 稱 為 股 票 價 格 波 動 率 (stock price volatility)。 即 是 股 票 收 益 率 單 位 時 間 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 。2表 示 股 票 收 益 率 單 位 時 間 的 方 差 。 變 量 為 股 票 在 單 位 時 間 內(nèi) 以 連 續(xù) 復(fù) 利 表 示 的股 票 價 格 的 預(yù) 期 收 益 率 (expected rate of return)。 這 兩 個 參 數(shù) 假 設(shè) 為 常 數(shù) 。 dz表 示 標(biāo) 準(zhǔn) 布 朗 運(yùn) 動 。 股 票 價 格 的 行 為 模 式 39 （ 2） 從 幾 何 布 朗 運(yùn)

28、 動 可 知 ， 在 短 時 間 t后 ， 證 券 價 格 比 率 的 變 化 值 S/S為 ： S/S=t+ 方 程 的 左 邊 是 短 時 間 t后 股 票 的 收 益 率 。 t項 是 這 一 收 益 率 的 期 望 值 ， 項 是 收 益 率 的 隨 機(jī) 部 分 。 隨 機(jī) 部 分的 方 差 (也 是 整 個 收 益 的 方 差 )為 2t。 tt 股 票 價 格 的 行 為 模 式 40 可 見 ， S/S也 具 有 正 態(tài) 分 布 特 征 ， 其 均 值 為 t，標(biāo) 準(zhǔn) 差 為 ， 方 差 為 2t。 其 中 (m， s)表 示 均 值 為 m， 標(biāo) 準(zhǔn) 差 為 s的 正 態(tài)分 布

29、 。 t ttSS , 股 票 價 格 的 行 為 模 式 41 短 時 間 t后 股 票 價 格 比 例 變 化 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差為 。 作 一 粗 略 的 近 似 ， 在 相 對 長 一 段 時 間 T后股 票 價 格 比 例 變 化 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 為 。 這 就 是 說 ， 作 為 近 似 ， 波 動 率 可 被 解 釋為 一 年 內(nèi) 股 票 價 格 變 化 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 。 注 意 ： 在 一 段 較 長 時 間 T后 的 股 票 價 格 比例 變 化 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 并 不 精 確 地 為 。 這 是因 為 比 例 變 化 不 具 有 可 加 性 t TT 股 票 價 格 的 行

30、為 模 式 42 4、 參 數(shù) 的 討 論 （ 1） 參 數(shù) 時 間 ： 在 幾 何 布 朗 運(yùn) 動 中 ， 我 們 涉 及 兩 個 符 號 ：和 ， 其 大 小 取 決 于 時 間 計 量 單 位 。 若 無 特 別 申 明 ， 通 常 以 年 為 時 間 的 計 量單 位 。 股 票 價 格 的 行 為 模 式 43 （ 2） 根 據(jù) 資 本 資 產(chǎn) 定 價 原 理 ， 值 取 決 于 ： 該 證 券 的 系 統(tǒng) 性 風(fēng) 險 ， 無 風(fēng) 險 利 率 水 平 (利 率 水 平 越 高 ， 投 資 者要 求 任 一 種 股 票 的 預(yù) 期 收 益 率 就 越 高 )， 市 場 的 風(fēng) 險 收

31、益 偏 好 (多 數(shù) 投 資 者 認(rèn) 為 ，如 果 承 擔(dān) 更 大 的 風(fēng) 險 ， 將 要 求 獲 得 更 高的 預(yù) 期 收 益 率 。 所 以 值 應(yīng) 當(dāng) 取 決 于 股 票收 益 的 風(fēng) 險 )。 股 票 價 格 的 行 為 模 式 44 由 于 后 者 涉 及 主 觀 因 素 ， 因 此 的 決 定 本身 就 較 復(fù) 雜 。 然 而 幸 運(yùn) 的 是 衍 生 證 券 的 定 價 與 標(biāo) 的 資產(chǎn) 的 預(yù) 期 收 益 率 ()是 無 關(guān) 的 。 因 為 依 附 于 某 種 股 票 的 衍 生 證 券 的 價 值一 般 是 獨(dú) 立 于 的 。 股 票 價 格 的 行 為 模 式 45 （ 3）

32、 證 券 價 格 的 波 動 率 對 于 衍 生 證 券 的 定 價則 是 相 當(dāng) 重 要 的 。 證 券 價 格 的 波 動 率 可 理 解 為 證 券 價 格 的“ 脾 氣 ” ， 我 們 可 以 通 過 歷 史 數(shù) 據(jù) 來 觀察 各 種 證 券 “ 脾 氣 ” 的 大 小 ， 然 后 通 過幾 何 布 朗 運(yùn) 動 來 確 定 其 未 來 價 格 的 概 率分 布 。 注 意 ， 幾 何 布 朗 運(yùn) 動 把 當(dāng) 作 常 數(shù) ， 實 際上 ， 證 券 價 格 的 脾 氣 是 會 變 的 。 會 隨 時間 變 化 而 變 化 。 股 票 價 格 的 行 為 模 式 46 例 ： 設(shè) 一 種 不

33、 付 紅 利 股 票 遵 循 幾 何 布 朗運(yùn) 動 ， 其 波 動 率 為 每 年 18 ， 預(yù) 期 收 益率 以 連 續(xù) 復(fù) 利 計 為 每 年 20 ， 其 目 前 的市 價 為 100元 ， 求 一 周 后 該 股 票 價 格 變 化值 的 概 率 分 布 。 股 票 價 格 的 行 為 模 式 47 解 ： =0.20,=0.18， 其 股 價 過 程 為 ：dS/S 0.20dt十 0.18dz在 隨 后 短 時 間 間 隔 后 的 股 價 變 化 為 :S/S=0.20t+0.18由 于 1 周 等 于 0.0192年 ， 因 此S=100(0.00384+00249) =0.38

34、4+2.49上 式 表 示 一 周 后 股 價 的 增 加 值 是 均 值 為0.384元 ， 標(biāo) 準(zhǔn) 差 為 2.49元 的 正 態(tài) 分 布 的隨 機(jī) 抽 樣 值 。 t 股 票 價 格 的 行 為 模 式 48 五 、 Ito定 理 股 票 期 權(quán) 的 價 格 是 該 標(biāo) 的 股 票 價 格 和 時 間 的 函數(shù) 。 更 一 般 地 ， 任 何 一 種 衍 生 證 券 的 價 格 都 是 這 些標(biāo) 的 證 券 價 格 和 時 間 的 函 數(shù) 。 在 這 一 領(lǐng) 域 內(nèi) 的 一 個 重 要 結(jié) 論 由 一 個 叫 K.Ito的數(shù) 學(xué) 家 在 1951年 發(fā) 現(xiàn) 。 這 是 在 伊 藤 過 程

35、 的 基 礎(chǔ) 上 ， 由 伊 藤 進(jìn) 一 步 推 導(dǎo)出 來 的 。 因 此 稱 為 Ito定 理 (Itolemma)。 股 票 價 格 的 行 為 模 式 49 假 設(shè) 變 量 x的 值 遵 循 Ito過 程 ：dx=a(x,t)+b(x,t)dz 其 中 ， dz是 一 個 維 納 過 程 ， a與 b是 x和 t的函 數(shù) 。變 量 x的 漂 移 率 為 a和 方 差 率 為 b2。Ito定 理 表 明 x和 t的 函 數(shù) G遵 循 如 下 過 程 ： 股 票 價 格 的 行 為 模 式 50 dS=Sdt+Sdz 和 為 常 數(shù) 。 這 是 股 票 價 格 運(yùn) 動 的 一 個 合 理 的

36、 模型 。 從 Ito定 理 得 到 S與 t的 函 數(shù) G遵 循 的 過 程 為 ： SdzSGdtSSGtGSSGdG 222221 股 票 價 格 的 行 為 模 式 51 六 、 Ito定 理 的 應(yīng) 用 股 票 價 格 的 行 為 模 式 52 （ 一 ） 應(yīng) 用 于 股 票 價 格 對 數(shù) 變 化 1.現(xiàn) 在 我 們 用 Ito定 理 推 導(dǎo) lnS變 化 所 遵 循 的 隨 機(jī)過 程 。 dzdtdGG tGSSGS )2(: 0,1,1SG: lnSG: 2222的 過 程 為得 出由 于定 義 股 票 價 格 的 行 為 模 式 53 由 于 和 為 常 數(shù) ， 這 個 方

37、程 表 明 了 證 券價 格 對 數(shù) G遵 循 一 個 普 通 布 朗 運(yùn) 動 （ 一 般化 的 維 納 過 程 ） 。 它 具 有 恒 定 的 漂 移 率 2 2和 恒 定 的方 差 率 2。 由 本 章 前 面 的 結(jié) 果 可 知 ： 股 票 價 格 的 行 為 模 式 54 證 券 價 格 對 數(shù) 的 變 化 呈 正 態(tài) 分 布 。 如 果 一 個 變 量 的 自 然 對 數(shù) 服 從 正 態(tài) 分 布 ， 則 稱這 個 變 量 服 從 對 數(shù) 正 態(tài) 分 布 。 根 據(jù) 正 態(tài) 分 布 的 特 性 ， 從 上 式 可 以 得 到 ： ),)(2(lnln 2 tTtTSST 股 票 價 格

38、 的 行 為 模 式 55 這 表 明 ST服 從 對 數(shù) 正 態(tài) 分 布 。 lnST 的 標(biāo) 準(zhǔn) 差 與 成 比 例 。 這 說 明 證 券 價 格 對 數(shù) 的 不 確 定 性 (用 標(biāo) 準(zhǔn)差 表 示 )與 我 們 考 慮 的 未 來 時 間 的 長 度 的平 方 根 成 正 比 。 tT 股 票 價 格 的 行 為 模 式 56 例 1 設(shè) A股 票 價 格 的 當(dāng) 前 值 為 50元 ， 預(yù) 期 收 益為 每 年 18%， 波 動 為 每 年 的 20%， 該 股 票價 格 遵 循 幾 何 布 朗 運(yùn) 動 ， 且 該 股 票 在 6個月 內(nèi) 不 付 紅 利 ， 請 問 該 股 票 在

39、6個 月 后 的價 格 ST 的 概 率 分 布 ： 解 ： 6個 月 后 ST的 概 率 分 布 為 ： 股 票 價 格 的 行 為 模 式 57 由 于 一 個 正 態(tài) 分 布 變 量 取 值 位 于 均 值 左 右 兩 個 標(biāo) 準(zhǔn)差 范 圍 內(nèi) 的 概 率 為 95 ， 因 此 ， 置 信 度 為 95 時 ： 3.71 lnST 4.274 即 ： 40.85 ST 71.81 因 此 ， 6個 月 后 A股 票 價 格 落 在 40.85元 到 71.81元之 間 的 概 率 為 95 。 )141.0,992.3(ln 5.02.0,5.0)204.018.0(50lnln TTS

40、S 股 票 價 格 的 行 為 模 式 58 2.ST的 期 望 值 與 方 差 根 據(jù) ln ST服 從 正 態(tài) 分 布 和 對 數(shù) 正 態(tài) 分 布 的 特 性 ，可 知 ST的 期 望 值 E(ST)為 ： E(ST) Se(T-t) 這 與 作 為 預(yù) 期 收 益 率 的 定 義 相 符 。 ST 的 方 差Var(ST)為 ： 1)var( )()(22 2 tTtTT eeSS 股 票 開 戶 咨 詢 股 票 價 格 的 行 為 模 式 59 例 2 請 問 在 上 中 ， A股 票 在 6個 月 后 股 票 價 格的 期 望 值 和 標(biāo) 準(zhǔn) 差 等 多 少 ?E(ST) 50e0.

41、18 0.5 54.71元 var(ST) 2500e2 0.18 0.5 (e0.04 0.5一 1)=60.46 半 年 后 ， A股 票 價 格 的 期 望 值 為 54.71元 ，標(biāo) 準(zhǔn) 差 為 60.46或 7.78。 股 票 價 格 的 行 為 模 式 60 （ 二 ） 在 遠(yuǎn) 期 合 約 中 的 應(yīng) 用 我 們 考 慮 某 個 無 紅 利 支 付 股 票 的 遠(yuǎn) 期 合 約 。 假設(shè) 無 風(fēng) 險 利 率 為 常 數(shù) ， 對 于 所 有 的 到 期 日 它 都等 于 r。 定 義 F為 遠(yuǎn) 期 價 格 。 從 方 程 (3.5): )(22)()( ,0,SF: tTrtTrtTr rSetFSFeSeF 得 到 股 票 價 格 的 行 為 模 式 61 假 設(shè) S遵 循 預(yù) 期 收 益 為 ， 波 動 率 為 的 幾 何 布 朗運(yùn) 動 。 從 Ito定 理 推 出 F的 過 程 表 示 為 ： F遵 循 幾 何 布 朗 運(yùn) 動 。 它 的 期 望 增 長 率 為 r而 不 是 。 FdzFdtrdF SeF SdzedtrSeSedF tTr tTrtTrtTr )( :, )( )()()( 上 式 成 為代 入用