《雙曲線及其標準方程》

課前探究學習課堂講練互動活頁規(guī)范訓(xùn)練 了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程的推導(dǎo)過程會利用雙曲線的定義和標準方程解決簡單的應(yīng)用問題2.3.1 雙 曲 線 及 其 標 準 方 程2.3 雙 曲 線【課 標 要 求】【核 心 掃 描】用定義法、待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程(重 點 )與雙曲線定義有關(guān)的應(yīng)用問題(難 點 )1212 課前探究學習課堂講練互動活頁規(guī)范訓(xùn)練 雙曲線的定義把平面內(nèi)與兩個定點F1、F2的距離的_等于常數(shù)(小于|F1F2|)的點的軌跡叫做雙曲線，這_叫做雙曲線的焦點， _叫做雙曲線的焦距試 一 試：在雙曲線的定義中，必須要求“常數(shù)小于|F1F2|”，那么“常數(shù)等于|F1F2|”，“常數(shù)大于|F1F2|”或“常數(shù)為0”時，動點的軌跡是什么？自 學 導(dǎo) 引1差的絕對值兩個定點兩焦點間的距離 課前探究學習課堂講練互動活頁規(guī)范訓(xùn)練 提 示(1)若“常數(shù)等于|F1F2|”時，此時動點的軌跡是以F1，F(xiàn)2為端點的兩條射線F1A，F(xiàn)2B(包括端點)，如圖所示(2)若“常數(shù)大于|F1F2|”，此時動點軌跡不存在(3)若“常數(shù)為0”，此時動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線 課前探究學習課堂講練互動活頁規(guī)范訓(xùn)練 雙曲線的標準方程焦點在x軸上焦點在y軸上標準方程_(a0，b0) _(a0，b0)焦點坐標F1(c，0)，F(xiàn)2(c，0) F1(0，c)，F(xiàn)2(0，c)a，b，c的關(guān)系c2_2a2b2 課前探究學習課堂講練互動活頁規(guī)范訓(xùn)練 提 示如果x2項的系數(shù)是正的，那么焦點在x軸上，如果y2項的系數(shù)是正的，那么焦點在y軸上對于雙曲線，a不一定大于b，因此，不能像橢圓那樣比較分母的大小來判定焦點在哪一個坐標軸上 課前探究學習課堂講練互動活頁規(guī)范訓(xùn)練 對雙曲線定義的理解(1)把定常數(shù)記為2a，當2a|F1F2|時，其軌跡不存在(2)距離的差要加絕對值，否則只為雙曲線的一支若F1、F2表示雙曲線的左、右焦點，且點P滿足|PF1|PF2|2a，則點P在右支上；若點P滿足|PF2|PF1|2a，則點P在左支上名 師 點 睛1 課前探究學習課堂講練互動活頁規(guī)范訓(xùn)練 (4)理解雙曲線的定義要緊扣“到兩定點距離之差的絕對值為定值且小于兩定點的距離”雙曲線的標準方程(1)只有當雙曲線的兩焦點F1、F2在坐標軸上，并且線段F1F2的垂直平分線也是坐標軸時得到的方程才是雙曲線的標準方程(2)標準方程中的兩個參數(shù)a和b，確定了雙曲線的形狀和大小，是雙曲線的定形條件，這里b2c2a2，與橢圓中b2a 2c2相區(qū)別，且橢圓中ab0，而雙曲線中a、b大小則不確定2 課前探究學習課堂講練互動活頁規(guī)范訓(xùn)練 (3)焦點F1、F2的位置，是雙曲線定位的條件，它決定了雙曲線標準方程的類型“焦點跟著正項走”，若x2項的系數(shù)為正，則焦點在x軸上；若y2項的系數(shù)為正，那么焦點在y軸上(4)用待定系數(shù)法求雙曲線的標準方程時，如不能確定焦點的位置，可設(shè)雙曲線的標準方程為Ax2By21(AB0)或進行分類討論 課前探究學習課堂講練互動活頁規(guī)范訓(xùn)練 題 型 一 求 雙 曲 線 的 標 準 方 程【例 1】 課前探究學習課堂講練互動活頁規(guī)范訓(xùn)練 課前探究學習課堂講練互動活頁規(guī)范訓(xùn)練 課前探究學習課堂講練互動活頁規(guī)范訓(xùn)練 課前探究學習課堂講練互動活頁規(guī)范訓(xùn)練 規(guī) 律 方 法 求雙曲線的標準方程與求橢圓的標準方程的方法相似，可以先根據(jù)其焦點位置設(shè)出標準方程的形式，然后用待定系數(shù)法求出a，b的值若焦點位置不確定，可按焦點在x軸和y軸上兩種情況討論求解，此方法思路清晰，但過程復(fù)雜，注意到雙曲線過兩定點，可設(shè)其方程為mx2ny21(mn0)，通過解方程組即可確定m、n，避免了討論，實為一種好方法 課前探究學習課堂講練互動活頁規(guī)范訓(xùn)練 求適合下列條件的雙曲線的標準方程：(1)a3，c4，焦點在x軸上；(2)焦點為(0，6)，(0，6)，經(jīng)過點A(5，6)解(1)由題設(shè)知，a3，c4，由c2a2b2得，b2c2a242327.【變 式 1】 課前探究學習課堂講練互動活頁規(guī)范訓(xùn)練 (1)若雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，求點M到另一個焦點的距離；(2)若P是雙曲線左支上的點，且|PF1|PF2|32，試求F1PF2的面積題 型 二 雙 曲 線 定 義 的 應(yīng) 用【例 2】思 路 探 索 (1)由雙曲線的定義得|MF1|MF2|2a，則點M到另一焦點的距離易得；(2)結(jié)合已知條件及余弦定理即可求得面積 課前探究學習課堂講練互動活頁規(guī)范訓(xùn)練 (1)由雙曲線的定義得|MF1|MF2|2a6，又雙曲線上一點M到它的一個焦點的距離等于16，假設(shè)點M到另一個焦點的距離等于x，則|16x|6，解得x10或x22.故點M到另一個焦點的距離為6 或22.(2)將|PF2|PF1|2a6，兩邊平方得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|36， |PF1|2|PF2|2362|PF1|PF2|36232100.在F 1PF2中，由余弦定理得 課前探究學習課堂講練互動活頁規(guī)范訓(xùn)練 課前探究學習課堂講練互動活頁規(guī)范訓(xùn)練 規(guī) 律 方 法 (1)求雙曲線上一點到某一焦點的距離時，若已知該點的橫、縱坐標，則根據(jù)兩點間距離公式可求結(jié)果；若已知該點到另一焦點的距離，則根據(jù)|PF1|PF2|2a求解，注意對所求結(jié)果進行必要的驗證(負數(shù)應(yīng)該舍去，且所求距離應(yīng)該不小于ca)(2)在解決雙曲線中與焦點三角形有關(guān)的問題時，首先要注意定義中的條件|PF1|PF2|2a的應(yīng)用；其次是要利用余弦定理、勾股定理或三角形面積公式等知識進行運算，在運算中要注意整體思想和一些變形技巧的應(yīng)用 課前探究學習課堂講練互動活頁規(guī)范訓(xùn)練 由定義和余弦定理得|PF1|PF2|6，|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 60，所以102(|PF1|PF2|)2|PF1|PF2|，所以|PF1|PF2|64，【變 式 2】 課前探究學習課堂講練互動活頁規(guī)范訓(xùn)練 題 型 三 與 雙 曲 線 有 關(guān) 的 軌 跡 問 題【例 3】 課前探究學習課堂講練互動活頁規(guī)范訓(xùn)練 課前探究學習課堂講練互動活頁規(guī)范訓(xùn)練 【題 后 反 思】 求解與雙曲線有關(guān)的點的軌跡問題，常見的方法有兩種：(1)列出等量關(guān)系，化簡得到方程；(2)尋找?guī)缀侮P(guān)系，得到雙曲線的定義，從而得出對應(yīng)的方程求解雙曲線的軌跡問題時要特別注意：(1)雙曲線的焦點所在的坐標軸；(2)檢驗所求的軌跡對應(yīng)的是雙曲線的一支還是兩支 課前探究學習課堂講練互動活頁規(guī)范訓(xùn)練 如圖所示，已知定圓F1：(x5)2y21，定圓F2：(x5)2y242，動圓M與定圓F1，F(xiàn)2都外切，求動圓圓心M的軌跡方程解 圓F1：(x5)2y21，圓心F1(5，0)，半徑r11；【變 式 3】圓F2：(x5)2y242，圓心F2(5，0)，半徑r24.設(shè)動圓M的半徑為R，則有|MF 1|R1，|MF2|R4， |MF2|MF1|310|F1F2|. 課前探究學習課堂講練互動活頁規(guī)范訓(xùn)練 課前探究學習課堂講練互動活頁規(guī)范訓(xùn)練 只考慮焦點在x軸上，忽視了焦點在y軸上的情況 誤 區(qū) 警 示 忽 略 雙 曲 線 焦 點 位 置 致 誤【示 例】 課前探究學習課堂講練互動活頁規(guī)范訓(xùn)練 答 案m|3m3