高中數(shù)學 第一章 導數(shù)及其應用 1.7 定積分的簡單應用課件 新人教版選修2-2.ppt

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1.7 定積分的簡單應用,第一章 導數(shù)及其應用,1.理解定積分的幾何意義，會通過定積分求由兩條或多條曲線圍成的圖形的面積. 2.掌握利用定積分求曲邊梯形面積的幾種常見題型及方法. 3.通過具體實例了解定積分在物理中的應用，會求變速直線運動的路程和變力做功的問題.,,學習目標,,,欄目索引,,,知識梳理 自主學習,題型探究 重點突破,當堂檢測 自查自糾,知識梳理 自主學習,知識點一 定積分在求幾何圖形面積方面的應用,,答案,1.求由一條曲線y＝f(x)和直線x＝a，x＝b(a＜b)及y＝0所圍成的平面圖形的面積S.,,答案,2.求由兩條曲線f(x)和g(x)(f(x)＞g(x))，直線x＝a，x＝b(a＜b)所圍成平面圖形的面積S. (1)如圖④，當f(x)＞g(x)≥0時，S＝ .,,答案,3.當g(x)＜f(x)≤0時，同理得S＝,,思考 (1)怎樣利用定積分求不分割型圖形的面積？,答案 求由曲線圍成的面積，要根據(jù)圖形，確定積分上下限，用定積分來表示面積，然后計算定積分即可.,答案,(2)當f(x)0時，f(x)與x軸所圍圖形的面積怎樣表示？,答案 如圖，因為曲邊梯形上邊界函數(shù)為g(x)＝0，下邊界函數(shù)為f(x)，所以,4.利用定積分求平面圖形面積的步驟： (1)畫出圖形：在平面直角坐標系中畫出曲線或直線的大致圖象； (2)確定圖形范圍，通過解方程組求出交點的橫坐標(或縱坐標)，確定積分上、下限； (3)確定被積函數(shù)； (4)寫出平面圖形面積的定積分表達式； (5)利用微積分基本定理計算定積分，求出平面圖形的面積，寫出答案.,知識點二 定積分在物理中的應用,,答案,1.在變速直線運動中求路程、位移 路程是位移的絕對值之和，從時刻t＝a到時刻t＝b 所經(jīng)過的路程s和位移s′分別為：,(1)若v(t)≥0，則s＝ ，s′＝ .,(2)若v(t)≤0，則s＝ ，s′＝ .,(3)若在區(qū)間[a，c]上v(t)≥0，在區(qū)間[c，b]上v(t)0， 則s＝ ，s′＝ .,,答案,2.定積分在物理中的應用 (1)做變速直線運動的物體所經(jīng)過的路程s，等于其速度函數(shù)v＝v(t)(v(t)≥0)在時間區(qū)間[a，b]上的定積分，即 .,(2)一物體在恒力F(單位：N)的作用下做直線運動，如果物體沿著與F相同的方向移動了s(單位：m)，則力F所做的功為W＝Fs；而若是變力所做的功W，等于其力函數(shù)F(x)在位移區(qū)間[a，b]上的定積分，即W＝ .,,思考 下列判斷正確的是 . (1)路程是標量，位移是矢量，路程和位移是兩個不同的概念；,(1)(3),返回,答案,題型探究 重點突破,題型一 利用定積分求平面圖形的面積問題,,解析答案,反思與感悟,,,解析答案,反思與感悟,解 在同一個平面直角坐標系上畫出兩個拋物線的大致圖形，如圖. 方法一 以x為積分變量.,,,反思與感悟,方法二 以y為積分變量.,,反思與感悟,若以x為積分變量，則被積函數(shù)的原函數(shù)不易確定，而且計算也比較麻煩；若以y為積分變量，則可以避免這種情況.選取積分變量有時對解題很關(guān)鍵.,,,解析答案,,解析答案,解 如圖所示，設(shè)切點A(x0，y0)， 由y′＝2x得過A點的切線方程為y－y0＝2x0(x－x0)，,設(shè)由曲線和過A點的切線及x軸所圍成圖形的面積為S， 則S＝S曲邊△AOB－S△ABC.,從而切點為A(1,1)，切線方程為y＝2x－1,題型二 運用定積分求解物理問題,,例2 一點在直線上從時刻t＝0(s)開始以速度v＝t2－4t＋3(m/s)運動，求： (1)此點在t＝4 s時的位置； (2)此點在t＝4 s時運動的路程.,解析答案,反思與感悟,,解 因為位置決定于位移，所以它是v(t)在[0,4]上的定積分， 而路程是位移的絕對值之和， 所以需要判斷在[0,4]上哪些時間段的位移為負.,(2)∵v(t)＝t2－4t＋3＝(t－1)(t－3)， ∴在區(qū)間[0,1]及[3,4]上，v(t)≥0， 在區(qū)間[1,3]上，v(t)≤0，,解析答案,反思與感悟,,∴該點在t＝4 s時的路程為,反思與感悟,,解決此類問題的一般步驟： (1)求出每一時間段上的速度函數(shù)； (2)根據(jù)定積分的物理意義，求出對應時間段上的定積分.,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓練2 有一輛汽車以每小時36 km的速度沿平直的公路行駛，在B處需要減速停車.設(shè)汽車以2 m/s2的加速度剎車，問：從開始剎車到停車，汽車行駛了多遠？,解 設(shè)從開始剎車到停車，汽車經(jīng)過了t s. v0＝36 km/h＝10 m/s，v(t)＝v0－at＝10－2t. 令v(t)＝0，解得t＝5. 所以從開始剎車到停車，汽車行駛的路程為,故從開始剎車到停車，汽車行駛了25 m.,題型三 用定積分解決變力做功問題,,解析答案,反思與感悟,例3 設(shè)有一個長為25 cm的彈簧，若加以100 N的力，則彈簧伸長到30 cm，求使彈簧由25 cm伸長到40 cm所做的功.,解 設(shè)x表示彈簧伸長的長度，f(x)表示加在彈簧上的力， 則f(x)＝kx(其中常數(shù)k為比例系數(shù)). 因為當f(x)＝100時，x＝5，所以k＝20. 所以f(x)＝20x. 彈簧由25 cm伸長到40 cm時，彈簧伸長的長度x從0 cm變化到15 cm，,,(1)根據(jù)物理學知識，求出變力f(x)的表達式； (2)由功的物理意義知，物體在變力f(x)的作用下，沿力的方向做直線運動，使物體由一個位置移到另一個位置，因此，求功之前應先求出位移的起始位置和終止位置；,反思與感悟,,解析答案,跟蹤訓練3 如圖所示，設(shè)氣缸內(nèi)活塞一側(cè)存在一定量氣體，氣體做等溫膨脹時推動活塞向右移動一段距離，若氣體體積由V1變?yōu)閂2，求氣體壓力所做的功.,解 由物理學知識知，氣體膨脹為等溫過程，,記L1，L2分別表示活塞的初始位置和終止位置，,所以氣體體積由V1變?yōu)閂2，氣體壓力所做的功為C(ln V2－ln V1).,,解析答案,用定積分求平面圖形面積時，因?qū)D形分割不當致誤,例4 求由拋物線y2＝8x(y＞0)與直線x＋y－6＝0及y＝0所圍成圖形的面積.,返回,防范措施,,易錯易混,,錯解 由題意，作出圖形如圖,解析答案,所以拋物線y2＝8x(y＞0)與直線x＋y－6＝0的交點坐標為(2,4)，,防范措施,,,上述S顯然不是所求圖形的面積.,解析答案,防范措施,,防范措施,,,,合理劃分積分上、下限及正確選擇積分變量，最好結(jié)合圖形進行處理.,返回,防范措施,當堂檢測,1,2,3,4,5,1.在下面所給圖形的面積S及相應表達式中，正確的有( ),① ②,,1,2,3,4,5,③ ④,解析答案,A.①③ B.②③ C.①④ D.③④,1,2,3,4,5,③和④正確.故選D.,答案 D,1,2,3,4,5,,B,解析答案,1,2,3,4,5,,3.一列車沿直線軌道前進，剎車后列車速度v(t)＝27－0.9t，則列車剎車后前進多少米才能停車 ( ) A.405 B.540 C.810 D.945,解析答案,A,解析 停車時v(t)＝0，由27－0.9t＝0，得t＝30，,1,2,3,4,5,,解析答案,4.由曲線y＝x2＋4與直線y＝5x，x＝0，x＝4所圍成平面圖形的面積是 .,解析 由圖形可得,1,2,3,4,5,,解析答案,5.一個彈簧壓縮x cm可產(chǎn)生4x N的力，把它從自然長度壓縮到比自然長度短5 cm，求彈簧克服彈力所做的功.,解 設(shè)F(x)＝kx， ∵彈簧壓縮x cm可產(chǎn)生4x N的力， ∴k＝4. ∴彈簧克服彈力所做的功為,,課堂小結(jié),1.利用定積分求平面圖形面積的一般步驟： (1)在平面直角坐標系中畫出圖形； (2)通過解方程求出交點坐標； (3)寫出平面圖形面積的定積分表達式，當被求平面區(qū)域較復雜時，可分割求和； (4)運用微積分基本定理計算定積分，求出平面圖形的面積. 2.路程問題. (1)用定積分解決變速直線運動的位移和路程問題時，將物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題是關(guān)鍵.,,返回,(2)路程是位移的絕對值之和，因此在求路程時，要先判斷速度在區(qū)間內(nèi)是否恒正，若符號不定，應求出使速度恒正或恒負的區(qū)間，然后分別計算. 3.變力做功問題. (1)變力做功問題，首先要將變力用其方向上的位移表示出來，這是關(guān)鍵一步. (2)根據(jù)變力做功的公式，將其轉(zhuǎn)化為求定積分的問題.,